장음표시 사용
331쪽
Coraliarium. Inc patet quadrilatera C FB Α , DGEA, qualia este, eodem enim distussis probabimus qualia esse triangula ABF, AEG. quo probauimus aequa-
332쪽
CIrculus centro ellipseos descriptus, si ellipsim secat,in quatuor punctis sis
SIt enim ellipseos cen ro G descriptus circulus secas ellipsim in B, ducatur axis FD, de recta B GI; tum ordinatim applicetur BKΑ occurrens ellipsi in A, ducantur item recta A G C, IC: in triangulis BKG, ΑΚ G. ΒΚ, Α x, aequantur, & Κ G est communis, angulique ad X recti; ergo G B, G A qquales. quare cum punctum B sit ad circulum , erit& punctum A. est autem idem punctum etiam ad ellipsim,ergo circulus ellipsim secat in A Deinde A B, IC sunt parallelae, adeoq; cum angulus Α ΚΗ rectus sit, erit etiam rectus IH K; ac proinde IC ordinatim est posita ad axem DF, ac bisecta in H. sunt autem tot et A B, IC b aequales , ergo A K, IH earum dimidiae etiam sunt qquales. In triangulis igitur G K A, G H I,A K ipsi 1 H, & KGipii HG est aequalis , anguli vero ΑΚ. G, IH G etiam aequales sunt; ergo GA, GI aequantur.qua re cum punctum A sit ad circulum, erit dc punctum I. atqui etiam punctum Ι est ad ellipsim . ergo circulus ellipsi insecae in I. similiter ostendemus circulum ellipsi oecurrere in C. In quatuor igitur punctis secat. Quod erat demonstrandum. Corollarium. Quod autem non secet ellipsim circulus in pluribus punctis quam quatuor, faciucolligetur ex demonstratione iam posita.
333쪽
De pectoribus si mentis Ellipseos.
PROPOSITIO X L II. Sit ABC ellipseos diameter B D, ad quam ordinatim ponatur A E
iunganturque AB C. Dico ABC triangulum maximum esse illorum quae segmento ABC interibi possunt.
ACta per B contingente B F, ex A recta ducatur quaevis AF, occurrens ellipsi in G 8c contingenti in F. iungantutdue GC , FC r Quoniam Ff contingens cadit supra G, igitur triangulum AF C maius est trian- 'ς gulo AG C; sed AF C triangulo aequale est trianguIum ABC ob ΑC, BF aequid istantesagitur Zc ABC trian. gulum maius est triangulo AG C : unde cum idem de alijs omnibus triangulis ostendatur, patet ABC tria Sulum, maximum eorum esse quae legmento ABC inscribi possunt. Quod erat demonstrandum. corollarium. HIne facilis prinis elicit ut ad mscribendum cuiuis segmento triangulum maximum: erigendo nimirum diametrum B D, iungendoque AB, BC. puncta. demonstratio patet ex priori.
TR i ngulum maximum segmento cuiuis non maiori semiellipsi inscriptum , mala est dimidio eiusdem segmenti. Demonstratio.
ΓSto ABC segmento, non maiori semiellipsi inscri-Mptum triangulum maximum ABC Dico illud maius esse dimidio segmenti ABC: ducta enim diametro BE, quae AC subtensam diuidat bifariam in D, eriga. tur ex A Ze C lineae Α F, C G parallelae diametro B E, quae FG eontingenti per B actae occurrant in F&G, iunganturque AB, CD: triangulum ABCbdimidium est parallelogrammi ΑG. Atqui AG parallelogram-mum maius est figmento AB C, cum AF, CG, F G lineae cadant extra ellipsi mi igitur Ac triangulum ABC, maius est dimidio eiusdem segmenti. Quod fuit de
334쪽
PROPOSITIO X L I V. ELlipsim ABC secet diameter B D , ad quam ordinatim posita sit
AE Ci iunctis AB , CB inscribatur segmento AFB triangulum maximu A FB,& ex F ponatur FG parallela A C, iunganturch BG,GC. Dico BG C triangulum esse maximum eorum quae segmento BG Cinscribi possunt, & si triangula fuerint maxima, dico FG esse parallelam ad A C. . Demonstratio.
O vomam 'FIR GI lineae sunt aequales, triangula FB H, G BL eandem haben ἀ-tia altitudinem, aequalia erunt. similiter triangula FAH, GIC inter parallelas . G,AC constituta erunt aequalia ac proinde aequabuntur tota triangula B F Α, BGC : si igitur BGC non sit maximum, ponatur aliud BL C, maius triangulo BGC, de ex L ducatur LM atquidistans AC, erit igitur ut prius triangulum B L a quale triangulo ΑMB, adeoque& AMB triangulum, maius triangulo BGCid est AFB, quod est contra suppositum,cu BF A maximum ponaturugitur B GC triangulum maximum est eoru quae segmento BGC in*ribi possunt.quod erat primum.sint deinde triangula BF A, B GC maxima,demonstrabimus iunctam FG. Parallelam esse Α C. si enim non est parallela, sit alia supra vel infra ipsam F Gparallela ad AC, nimirum tecta F L; iunganturque BD, CL. ergo per primam par-t m huius trianguum BL C erit maximum ,quod fieri non potest cum FGC ex hypothesi sit maximum.Non igitur F L, aut alia ulla praeter F G est parallela ad AC. Quod erat secundo loco demonstrandum.
Coraliarium primum. IInc sequitur si triangu Ia B F A, B GC maxima sint eorum quae segmentis Inseri b, postulat, esse aequalia. Nam per secundam partem huius FG est parallela ad AC. VndebFH, Gl aequales sunt, ac proinde triangula FB H, BI G, de FAΚG CI; adeoque de tota B F A, B G C et qualia sunt.
335쪽
coraliariumsicundum. QVod si fuerint binae AC,FG ad diametrum ordinatim positae, iungamurqueFA, CG, triangula quae segmentis AF, C G inscribuntur maxima , inter se quoque aequalia esse, eodem plane discursu demonstrab imus, quo usi sumus in propositione & corollario primo, nullo alio immutato. quam quod loco 26. huius assumenda sit vigesima septima.
PROPOSITIO X L U. li ABCellipsis diameter quaecunque B D ad quam ordinatim po
tur A FC. Dico AGBF segmentum aequari segmento CH B F. Demonstratio.
unctis A B. C B, inscribant ut a segmentis re- liquis triangula maxima A G B, C HB erunt illa per primum Coroll. praecedentis propositionis inter se aequalia & b maiora dimidio segmentorum ABG , C BH: dein de residuis via trimque segmentis triangula inscribantuemaxima ΑKG, GIB, C MH, BL H erunt ut prius triangula A K G, GIB partim per corollari primum, partim per secundum ςqualia triangulis C MH, BL Η, & maiora dimidijs segmentorum: igitur cum ea inscriptio semper posse continuarian utroque segmento AGB. BHC, & utrimque partes ablatae sine inter se
aequales, maiores dimidioinegmentoru a quia bus auferuntur, constat e AGB segmentum aequale esse segmento C H B. Quare additis aequalibus tri gulis ABF , C BF erunt tota segmenta AGBRCH BF aequalia. Quod erat demonstrandum. corosianum. HIn sequitur a quavis diametro ellipsim bifariam secari: sit enim diametet quar-uis BD,&ducatur per quod uis illius punctum ordinatim ΑFC, per propositionem iam demonstratam segmentum ABF, segmento BCF, aequatur. rursu imper eandem propositioncsegmentum ADF, segmento CDP aequale est. ergo segmenta ABF,ADF, hoc est totum segmentum D AB, aequantur segmentis BCF. CDF, hoc est toti segmento DC B: bifariam igitur diuisa est ellipsis a diametro BD.
PROPOSITIO X L V I. . DIametri duae coniugatae ellipsim quadrifariam diuidunt, & diametri
ellipsim quadrifariam diuidentes, sunt inter se coniugatae.
336쪽
SInt in ABC ellipsi diametri duae coniugatae AB, CD. dico illas ellipsim quadrifariam diuidere 1 &si Α B, CD
diametri ellipsina quadrifariam dividant, di eo illas eme coniugatas. Quoniam A B, CD diametri sunt coniugatae retit A B ordinatim posita ad diametrum DC, unde a tam AEC, CEB quam A ED, B ED sectores sunt aequales; sunt auiatem & AEC, AED sectores ob eandem rationem aequales; lectores igitur quatuor AEC, CEB, B ED, D E A,sunt inter se aequales ,& AB , CD lineae quadrifatiam diuidunt ellipsim: Quod erat primum. Sitiam ellipsis quadrifariam diuisa , dico AB, CD diametros esse coniugatas. sin vero ducatur ipsi CD, coniugata FG, igitur F E C , sector quadrans ellipseos est per priorem partem huius. Atqui sector NEC ex hypothesi etiam quarta ellipseos pars est, ergo sectores F E C. AEC aequales liant, pars & totum.quod fieri nequiti igitur FG diameter non esteoniugata ipsius CD, nec qua tus alia praeter AB. Quod erat demonstrandum.
. . Corogarium. Ine patet sectores quarumcumque eoniugatarum , aequales esse sectoribus e A iuscunque alterius coniugationis singulos singulis r singuli enim quadrantes sunt ellipseos, & si lectores lint aequales ac latera unius sint coniugatae, alteraus stiam latera esse coniugatas.
PROpOSITIO XLVII. Ectores ad vertieem oppositi sunt inter se aequales. Demreseratio.
Eeent ABC ellipsim diametri quaecunque AC, BD. dico sectores ad verticem oppositos esse inter se aequales. ducantur enim ex E centro diametri duae EF, EGιδe EF quidem coniugata ipsi EB: EG vero coniugata ipli AE. Quoniam igitur sectores BEF, AEG, haequales sunt,dempto communi AEF, erit sector ΑΕΒ , aequalis sectori FE G: rursum cum sectores FED, GE Ce sint qquales, dempto communi DEG, erit sector DEC aequalis sectori PEG, id est ΑΕΒ ad verticem opposito. eodem modo ostenduntur AED, BEC sectores aequales. igitur, dec. Quod fuit demonstrandum.
ad periphqriam ducere, quae cum AB linea sectorem constituat da io ABC aequalem.
337쪽
ELLIPSIS. Constructio F demonstratio.
DVcatur ex C ordinatim ad diametrum AB , recta CED, iungaturque BD. dico factum esse quod petitur. est enim segmentum AED . a quale tegmento AEC, ω cum aequales sint CE, ED, triangulum DEB aequale est triangulo CEB, igitur Sc sector A BD aequalis sectori ABC. eduximus igitur , bcc. Quod fuit fa
mune latus B D,iunganturque AB, CB. Dico segmenta lineis A B, C B ablata esse inter se aequalia, &si segmenta fuerint aequalia, dico & sectores aequari. Σ Demonstratio.
Ungantur A,C occurratque A C,linea diametro B Dina E, tum si AC non sit diuisa bifariam in Et diuiditur bis tiam in H, agaturque per H diameter D Κ.Quoniam Α C, linea ordinatim ducta est ad diametrum D K , erunt AHK, CH Κου segmenta aequalia. sunt autem dc ΑΗ mCH D triangula aequalia, sectores igitur Α DK, CDK Hater se ςquales sunt , sed ex hypothesi quoque festores ADB, CDB ςquales sunt, igitur sector CDK, aequalis est sectori CD B pars toti. Quod absurdum. quare AH linea non diuiditur in H bifariami nec in alio puncto qua in Er adeoque igitur A C, linea posita est ordinatim.ad diametrum BD. unde AE B segmentum ς est aequale segmento CEB. sunt autem AEB,CEB triangula aeqhalba, ergo reIiquum segmenis tum ΑΗ, aequaIe est segmento C B quod erae primum. Sint iam AB, CB segmenta aequalia dc ex Α, Β,C punctis diametri ponatur A D. BD, CD, dico sectores ADB, CD B, esse inter se aequales. sin vero : fiat CD B se-a., M. ctorLMqualis sector ' BD L , iunganturque puncta L B. erit igitur L B segmentum aequale segmento CB hoc est AB per hypothesin, adeoque pars aequalis toti. Quod Aeri nonootest. igitur sector BD L non est squalis sectori CD B: nec alius quisquam praeter ADB sectorem. Quod erat demonstrandum.
PROpOSITIO L. Sit ABC sector quicunque.
Dico line m ex centro ductam, quς AC sustensam diuidit bifariam, sectorem quoque bifariam secare. Demonnratio.
Ducatur ex B centro diamerer BD. secans bifari mAC lineam in E: dico AB D, CBD sectores esse aea quales t Cum enim AC in E diuisa sit bifariam,erunti A B E, C B E triangula aequalia, sed, quia A C est ordin tim posita ad diametrum B D, etiam segmenta φ AED, CED sunt aequalia , igitur totus sector ABD, sectori CBD aequale est. Quod erat demonstrandum. PRU-
338쪽
E L L I P s t si PROPOSITIO Li. ELlipsim ABC secent duae quaevis parallelae AD, B C, iunganturq;
AB, CD. Dico AB, CG segmenta esse aequalia, &si segmenta fuerint aequalia, dico BC, AD lineas aequi distare.
- E linea FE, oecurrens ellipfi in H, erit illa diameter. quare BPH, CFH legmenta a sunt aequalia. rursum quoniam AE, D E aequales sunt,& segmenta A FI E, D HE ςqualia erunt: ablatis igitur aequalibus segmentis B H F, C H F remanent segmenta A B, FE, DC, FEaequalia. Deinde quoniam AE,ED sunt aequales, &altitudo communis parallelarum BC, AD, erunt A EF B, DE FC trapeZia aequalia, igitur ab aequalibus se- Λgmentis A B FE, D C F E, trapeziis, ablatis aeqv alibus, manent A B, C D reliqua segmenta inter se aequalia. Quod erat primum. Simiam ΑΒ, CD segmenta ςqualia, iunganturque B C, A D; dico AD, BC lineas ae luidistare: sin vero,duiscatur ipsi BC parallela AG, iunganturque CG : erit igitur per primam partem huius segmentum AB aequa
se segmento C Gr sed de CD segmentum ex hypothesi aequale est segmento AB; segmenta igitur C D. C G sulit aequalia, quod fieri non potest, cum punctum G cadat supra vel infra D, adeoque C G segmentum maius vel minus sit segmento C D: igitur AG linea non aequidistat ipsi B C, sed sola A D. Quod erat demonstrandum. Quod li punctum datum D idem sit cum puncto A, ducatur AL tantens ellipsim in puncto A siue D, sunt enim Α de D lain ex hypothesi unum idemque punctum ducta lue BG parallela ad AL iunge DaDico hanc abscindere segmentum DFG aequale segmento ACB. aEx contactu ducatur diameter A Ki igitur BG quia a tangenti aequida stat, est ordinatim h posita ad diametrum AK adeoque bisecta in H , triangula igitur B ΑΗ, G A H aequantur; aequantur vero ς de segmenta B C Α Η, G F Α H. ergo reliqua etiam segmenta BCA, GFΑsiue GFB ςquantur. Factum igitur est quod petebat M.
SEcet ellipsim recta quaevis AB r auferens ACB segmentum , α detur in peripheria
punctum quodvis D, oportet ex D rectam ducere D E , quς auserat segmentum V E F, aequale segmento ABG.
339쪽
Congruitio tar demonstratro. Iungantur BD,&ex A ponatur A E aequidistans B D,
iunganturque ED. patet per praecedentem DEF segmentu inaequale esse segmcnto ABC. Igitur ex puncto dato, &c. Quod erat faciendum:
PROPOSITIO L III. SEcent ΑΒ Cellipsim duae quae uis lineς ΑΒ,
D E segmenta auferentes aequalia: diuisis autem ΑΒ , D E rectis bifariam in G & H , ducantur per G & H diametri I G C , IH F. Dico illas in G & H proportionaliter esse diuisas. Et si diametri sint proportionaliter diuisς : dico segmenta esse aequalia. Demonstratio.
- niam A C B, D F E segmenta ponuntur aequalia, A D. EB lineae parallelae sunt: est autem ut Α G ad G B. sieDH ad HE, cum ΑΒ , DE lineae in G & H diuisiesint bifariam, igitur & GH linea aequidistae AD, B E. Iam vero cum ΑΒ sit ad diametrum IC ordinatim posta, erunt segmenta AG C, BG Ch aequalia, adeoque legmentum A GC dimidium segmenti ACB. simili de causa segmentum DFH dimidium est segmenti DF E. Quare cum tota segmenta Α C B, D FE ponantur aequalia. erunt etiam segmenta AG C, D FH, eorum dimidia inter se aequalia. Deinde e triangula ACB, D FE maxima sunt eorum quae segmentis inscri bi possunt, &quo. niam Α D, B E ostensae sunt parallelae, etiam dinter se aequalia erunt; aequabuntur igitur 3c eorum dimidia triangula A G C, DF Η: quae si auferas a segmentis aequali e-bus AG C, D FH, remanent segmenta aequalia AC, DC, ergo CF linea aequi- distat rectae AD hoc est GH: quare ut CG ad GI, si e FH ad III. Quod erat demonstrandum. Hinc iam veritas conuerta fit manifesta.
PROPOSITIO LIV. SIt in AB C ellipsi quaevis diametrorum coniugatio AC, B D, iunia
ctaque ΑΒ, ducatur quae uis F G parallela AB; & ex F & G, rectae ponantur GH, F I ordinatim ad diametros BD, A C. Dico AC, BD diametros in K & L proportionaliter esse diuisas.
340쪽
ungantur GB, ΒΗ, FA, AI, III. Quoniam ΑΒ, AGI. lineae aequidistant , erunt GB , a FAsegmenta aequalia: sed G B segmento est aequale segmentum H B. nam segmentulineae GKB aequatur segmento HKB,& triangulum G BK triangulo HBΚὶ & FA segmento ob eandem causam aequatur segmentum ΑΙ; igitur εἴ AH B segmentum est aequale segmento AI,&HI aequi- distat blineae AB, hoc est FG. quare totum segmentum GBH, squale est toti segmento FAI : adeoque per praece gentem AC, BD diametri in K de L similiter sunt diuisae. Quod erat demonstrandum
IN Ellipsi data sit quaecunque diametrorum coniugatio AB, CB , de
iungatur A C, cui parallela sit quaevis E D, ex punctis autem D, & Edueantur ordinatim ad diametros D F, E H, o G, EI, erunt igitur figurae DF BG, ElBH parallelogramma. Dico parallelogramma illa aequalia esse. Demonstratio.
Quia per praecedentem BA, BC proportionalitet sunt diuisae,erit AB ad BF, ut CB ad ΒΗ: &peris, mutando ut AB ad CB, sic BF ad B H. similiter AB per praecedentem est ad BI Vt CB ad BG,& permutando ut AB ad CB, sic BI ad BG. ergo BF est ad B Η, vi BI ad BG. ergo 'parallelogramma AG, HL aequalia sunt. Quod erat demonstrandum.
Sint AB, BC diametri coniugatq; iunctis puniactis AC, ὸucatur E o parallela rectae AC, tum ex D & L rectet ponantur E I,DF, D G, E Hordinatim ad diametros AB, CB, iunganturque i
EB, DB. 'Dico EBD sectorem, aequari figurae E IF D Κ E. Demonstratio.
DEr praecedentem parallelogramma F G, HI: 6e illorum dimidia, triangula DF B. A, E I B inter se sunt aequaliat ablato igitur communi LIB, erit EL B triangulum aequaIe trapezio DFIL. quare addita figura communi ELDΚE , sector EBD aequalis est figurae EI FDKE. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO L V I I. Ecent ABC ellipsim duae quiuis linee AB,CD, oportet CD lineς
parallelam ducere, quς segmentum auferat aequale tegmento AH B. M m constru-