장음표시 사용
341쪽
Diuisis AB, CD bifariam in E & F, agantur ex
G centro per E dc F diametri GH, GI: tum G I diuidatur in Κ, sicut HG diuisa est in E. pona- urque per Κ Ordinatim LM, patet per I3. huius LIM, AH B tegmenta esse aequalia; est autem LM parallela datς CD, igitur dato in ellipsi segmento,' ως Quod erat faciendum.
PROPOSITIO LVIII. SEcent ABC ellipsi meoniugatae duae diametri A B, CD. diuiaque
C D illarum altera quadrifariam in E G , agantur per E & G rectae H l, Κ L aequi distantes diametro A B, iunganturq; puncta D, K, H, C, I, L, D. Dico L D, D Κ, Κ H, H C, CI, IL lineas segmenta auserre aequalia. Demonstratio.
Quoniam KL, ΗΙ, sunt parallelae rectae AB, quae
est diameter coniugata ipsi DC, erunt KL, HIordinatim positae ad D C. ergo ut rectangulum D G Cadrectangulum DEC, ita quadratum LG, ad quadratum H E, adeoque cum rectangula sint aequalia , etiam quadrata erunt aequalia , unde Se rectae ΚG. HE aequales
sunt. sunt vero dc GF, EF aequales de anguli Κ GRFEI quod HI, KL sint parallelae in aequales sunt; igitur L GF triangulum aequale est triangulo FEL angulusque I FE squalis angulo GF Κ, 8c quia GFE. linea recta est, anguli IFE, KFG ad verticem constituti sunt aequales: unde K F I puncta sunt in directum, adeoq; sectores K F D, C FI, iunt ad verticem constituti: quia autem ostendi triangulum KF G, aequari triangulo IFE.& simili discursu ostendi possit triangulum quoq; D KGaequari triangulo ICE, erit triangulum totum D K F, aequale toti triangulo I CRAtqui & sectores D F K,I F C ad verticem positi sunt aequaIes. Igitur reliqua etiam segmenta DK, IC inter se aequalia erunt. eode modo ostenduntur D L, H C segmen ta aequalia Iterum cum duo latera K G. GFsint duobus lateribus D G. G L aequalia, dc anguli lateribus squalibus contenti ad vertice aequales;erunt eriangula GKRDGL inter se aequalia ,&angulus GKF aequalis angulo altero GLD: adeoque KFLDL lineae paralleIae. quare h D K, LI segmenta sunt inter se aequaliaοῦ est vero iam ostensum segmenta quoque CI, DK aequalia esse,aequantur igitur tria segmen ta DK, LI, C I. vlterius quia DC, LI languntqquales de parallelas GL, FELipsae etiam erunt parallelae. unde rursum e legmenin CI, DL aequalia sunt, aequanis tur igitur quatuorsegmenta D L, C I, L I, D K. Rursum quia ΚΗ,LI, iungunt Κ HI aequales Ec parallelas, sunt ipset etiam parallelaei erunt ergo daequalia etiam segmenta ΚΗ,LL aequantur igitur quinque legmenta RH, LI, KD,DL,CI. Atqui etiam ostensum est aequalia esse segmenta H C,DL; aequantur igitur omnia sex se. gmenta. Quod fuerat demonstrandum. Vocetur autem figura DΚHCIL, ellipsi inscripta, polygonum regulare.
342쪽
EAdem manente figura propositum sit ellipsi hexagonum regulare
Cumantur duae quaevis diametri coniugarae AB, CD , diuisaque CD quadrifa-iniam in E &G, agantur per A & G lineae HI, KL aequidistantes ΑΗ: ducanturque DK, K H, H C, CI, IL, LD: patet per praecedentem: rectas illas segmenta adferre aequalia, adeoque figuram hexagonam DK, AC, ILD, esse regularem; igitur ellipsi hexagonum inscripsimus regulare. Quod erat faciendum.
PROPOSITIO LX. SLeent AB Cellipsim duae quae uis linec A C, D E auferentes segmen
ta qualia, ducantutque ad illarum extremitates semidiametri F Α,
les, dico segmenta esse aequalia. DemonstraIIO. DIuIR A C. D A bifariam in G Sc H agantur per
G & H, diametri FB, FI, iunganturque AB,BC.DI, EI. quoniam segmenta AC, DE ex hypothesi sunt aequalia, ergo rectae, quae puncta C ME, A dc Diungerent, forent a parallelae. ergo b triangula segmentis AC, D E inscriptorum maxima, sunt aequalia, sed ABC, DI E, α sunt inscriptorum maxima. erunt igitur triongula ABC, DI E, aequalia r qilia autem FB, FI diametri in G dc H, sunt proportionaliter ddaui sie: igitur ut ABC triangulum est ad triangulu Α FC, sic DIE triangulum est ad triangulum DFE.&permutando ut ABC triangulum est ad triangulu DIE, se AF C triangulum est ad triangulum DFE. Cum igitur triangula ABC DIE, aequalia sint, etiam triangula A F C,DF E aequalia erunt. Quare additis qualibus segmentis AC, DE, erunt sectores F Α C, F D E
Sint iam sectores A F C, D F E aequales, iunganturque AC, DL Dico Aac, DIE segmenta quoque esse aequalia; sin vero : sit alterutrum sputa DI A minus altero, ducaturque e ex D linea DK segmentum auferens aequale segmento ABC:.ω ungantur F, K. Quoniam igitur segmentum D ΙΚ aequale est segmento ABC, sector D F Κ, aequalis est sectori ΑFC, id est sectori DF E quod neri non potest; segmenta ergo AC, DE non inaequalia simised aequalia. Ioderat demonstrandu. serotanum. H hae & ex J3. huius sequitur primo, si AF C, D FE sectores quiuis laetintaequales , eorumclite sit bten' in G de H diuisae bifariam. quod diametti per G de H ductae, ijsdem punctis proportionaliter dividantur. . Secundo si sectores duo A F C, D FE fuerint aequales, subtendanturque ipsorum anguli rectis AC, DE: quod triangula AF C, D FE sine qualia. Tertio hinc tale problema soluitur. dato AFB sectore quocunque,oportet ex PMm a duas
343쪽
duas educere semidiametros quae sectorem constituant aequalem sectori AFB: pro construictione iuncta AB, ducatur ex F semidiameter quςcunque F Dr tum a ex Drecta ducatur D I segmentum' auferens aequale segmento ΑΒ tunsaturque Iripatet IF D sectorem aequari sectori AFB.
PROPOSi TIO L X I. SIne A B C, D B E sectores aequales di iunctisque A C, D E ducatur ex B quaevis linea BG secans AC lineam in F : dein sectori ΑΒ Gfiat riualis sector D B H secetq; HB linea, rectam Eo in I. i. Dico tam AC, DE lineas quam BG, H B in F α I proportionaliter esse diuitas.
Ungantur A G, G C, D H, H E. Quoniam ex hypothesi
sectores tam ABG, DBH, quam ABC, DBE sunt aequales, erunt M reliqui GBC, HBE aequales. quare Α G B triangulum aequale triangvio D HB, de triangulum CGB aequale triangulo H E Rquare ut triangulum B AG ad triangulum GCB, sic BDII triangulum ad triangulum B H E, sed i quod facile exi.ε. est demonstratu rationes rectarum ΑF, FC, 8c DI, IE, eaedem sunt cum rationibus triangulorum BAG, GCB, de B D H. BHE. Ergo etiam . AF est ad FC , ut DI ad I E. Deinde cum trapeZia G Α Β C, B D H E aequalia sint est enim ς triangulum ΒΑ G, triangulo B D II, 3c triangula B G C, triangulo B HE, aequaleὶsit autem dc ACB triangulum is aequale triangulo D E B, erit reliquum triareulsio in tu MCIC H uo D HE: igitur ut AG C triangulum ad triangulum ACB. -- - id est e ut G F ad F B sic D HE triangulum ad triangulum D EB id est HI ad , Mi . . IB. Quod trat demonstrandum.
Sint iam AC, DE lineae in F & I proportionaliter diuisae: aganturi: per F & I semidiametri BG , B H. Dico ABG, D B H sectores esse aequales.. Demoinratio.
In verδ t sit alteruter ut A B G minor altero : fiat Α Β Κ sector aequalis sectori D B H, secetque B K linea rectam A C in L. quoniam A B Κ, D B H sectores sunt aequales: era i per primam partem huius A L ad LC,N DI ad I E. Atqui etiam ΑΗ est ad FC, ut DI ad IE, igitur ut AF ad FC. sie AL ad L C. quod fieri non potest e quia punctum L cadit ultra aut citra F. quare sector ΑΒΚ non eqaequalis sectori DBH nec alius quisquam praeter ABG. Quod erat demonstran
344쪽
Sint duet quae uis diametri AB, AC, iuncti ue illarum extremitati bus, ducantur du quaevis aliae diametri AD, A E se vi iuncta DE, sint ABC, A DE triangula aequalia : diuisis autem BC, DE bifariam in F & G, agantur per F oc G, diametri ΛΗ, Λ I: quet si in F de G, proportionaliter sint diuisi, Dieo B A C, D A E sectores esse ae quales.
DemonstraIIo.QVoniam ΑΗ, ΑΙ diametri in F & G proportionali-- . . aer sunt diuisς, erunt BHC, DIE segmenta aequa- lia: sunt autem ex hypothesi triangula A B C, A D E aequa- ia; sectores igitur B A C, D ΑΕ sunt inter se aequalet. l IQuod erat demonstrantium.
Sint duo sectores D ABC, DEI F, ductisque re- f l.
ais AC, L M, de bisectis in H de G, ducantur f Idiametri DF B, D G I.Sit autem ratio D G ad D I . minor ratione D H ad D B. Dieo sectorem DEI F maiorem esse sectore DAB C. Icongruuis in demonstratio. moniam DG est ad D I in minori proportione quam L H
Quare sectores etiam . DL IM, DABC sunt aequales, D
ac proinde sector DEI F maior est sectore DABC. o erat demonstramlum.
Cum sectores sine ex hypothesi inaequaIes , sit maioe I BDGE. quia ergo triangulum DBE ex hypothesi se aequatur triangulo BAC , erat segmentum D GE maius ὶ segmento AC, abscindatur 4 itaque EG segmentum ipsi j AC aequale,iunganturque BG. GD,& EB producta in lFdueatur FD. quia igitur segmenta GE, Α G aequalia A ffiunt, etiam feeiores aequales sunt, adeoque de triangu- , I RIum GEB. triangulo ACB hoe est triangulo BDE α- 'I I Iquale erit. quare B E, DG sunt parallelae alle is r se. yy gmentum GE, hoe est segmentum AC aequale est se gmento DF: sectores itaque B AC , B FD ε aequantur. M m i Αtaui Diqisti Corale
345쪽
Atqui sectores BF D, BDGE, constituunt semiellipsim, ergo& sectores BC A, B D GE, semiellipsim constituunt. Quod erat demonstrandu m.
PROPOSITIO LXVI. Sumanturiectores duo B A C, D A E, sic ut triangula ABC, A OE .
sint aequalia: si sectores illi suri ut sumpti, maiores fvelint vel mino res semiellipsi: Dieci illos inter seqquales esse. Demon alio.
Si enim non sint aequales, it B AC minor sector8D Α Et cum igitur triangula ABC, D A E sunt aequalia, erunt B A C, D A E sectores simul sumpti aequales semiellipsi r Quod est contra hypothesim. igitur sectores BA , DAE non sunt inaequatis sed aequales. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO L X U l l. Sint ΑΒ, BC diametri coniugatae, ducta4que ex C recta quavis C D , ducatur ex B linea BE parallela rectae CD. iungaturque DBDieo D B C sectorem duplum elle sectoris A B EDemonstratio.
DI uisa C D bifariam in F, ducatur diameter BG, Mquoniam B E aequi distat ordinatim potitae C D ad diametrum BG, ipsa etiam est posita ordinatim & qui. . dem pereentrum, sunt igitur coniugatae diametri BG. BR sunt autem ex hypothesi CR, B Aetiam coniuga-tς. Ergo sector CB A par est sectori G B E, demptoque communi GB A, sectores CBG, AB E aequales erunt. Atqui sector CBD duplus estς sectoris CBG. ergo sector CBD duplus quoque est sectoris ABE. Quod erat demonstrandum.
DVcantur rectae BD, EC, DC, D G. Quia sectores AD E , AEC sunt aequalis, eriam triangul C Η Α. D Η Α 4 aequalia sunt. ergo aequales sime rectae DH. H C. Deinde quia sectores ADB, ACE aequales sunt, etiam segmentae B D, E C sunt aequalia. Ergo C B, E D sunt f parallelae. Anguli igitur G C H, E D H , aequantur: sunt vero anguli quoque GH C, D HE aequa-
346쪽
ses,dc iam cistendi aequales etiam esse rectas D H, H C: igitur . C ED. aequales sunt. similiter ost endemus RP, D E aequales esse.Constat ergo veritas propositionis.
PROPOsITIO LXIX. IIsdem positis producatur D G, donec AC lineae occurat in I.
Dico A Gl, AG C, Α E C triangula in continua esse analogia. Demonstrat o.
E superiori demonstratione , in triangulis C HG, EHD, patet omnia eta aequalia,adeoque latera etiam ΕΗ, Η Grunt aequalia.considerentur modo triangula D HG, BHC, in quibus cum duo latera D H, H E, duobus lateribus CH, HR qualiasint, angulusque D HG aequalis angulo CHE, ad hasim etiam aequales erunt anguli H G D, C E H, ac proinde DI, CE sunt parallelet: adeoque ut ΑI ad AC, sie AG ad AE. sed est ut ΑΙ ad AC, sic AGI triangulum ad triangulum A GC i dc ut AG ad AE sic AG C triangulum ad triangulum AEC i igitur ut AGI triangulum ad triangulum ΑGC: sic AG C triangulum ad triangulum AE Quod e rat demonstrandum.
PROPOSITIO L X X. ELlipsim secent binae diametri AE, AF in punctis E & F, ex quibus
ducantur FC, E B tangentes ellipsina, occurrentes diametris in C& B, iunganturq; E F. . Dico inangulum ACF triangulo A B E aequale esse. Demonstratio.
Ux puncto E ad Α F duc ordinatim ΕΚ, erit betc b tan- 1 genti F parallela, ideoque triangula AER, AC Fsimilia sunt,ac proinde duplicatam habent rationem rarionis ΑΚ ad Ap : hoc est qui . A Κ, AF, ΑΒ sunt tres continuae proportionales, rationem habent quam A x ad A B. sed etiam est ut A K ad AB, sic triansu-' tum idem AE K ad triangulum AEB. ergo riangulum AE K ad triangula ACF, AEB eandem habet rationem: aequantur igitur triangula A C RA E B: Riod
347쪽
considerat axium ac diametrorum coniugatarum tam aqua
lium quam inaequalium proprietates. PROPOSITIO L X X I.
N ellipsi diametrorum maxima & minima sunt axes. Demonseratio. SInt ABC ellipseos axes AB, CD, & AB
quidem maior, CD vero minor. dico ΑΒ, diametrorum esse maximam, CD vero minimam, centro elIipsis Εοῦ interuallo EA circu- Ius describatur AFGr transilit is per B, de reliquo sui totus extra 3 ellipsim cadet: ducatur dein per E diameter quaecunque F G occutarens ellipsi in H de I. circulo autem in F At G. Quoniam circulus A F G totus cadit extra ellipsim, erit FG Iinea maior recta HI: igitur re ΑΒ maior est quam H I. idem ostenditur de quavis alia diametro: igitur A B axis maximus est diametrorum ellipsis ΑΒ C. Quod erat prio
Rursum centro A interuallo ED circulus describatur D KL occurrens F G lineae in Κs.. ... transilit is per ta& reliqua sui parte totus intrab sectionem cadet. igitur H Ilinea maior est quam KL hoc est C D: Quare cum idem de omni alia linea quae per C & D non transi ostendatur, erit C D diameter omnium minima quae in ellipsi Α D B duci possunt. Quod erat demonstrandum.
DIameter quae maiori axi est propior, illa maior est i& quae remotior, minor. si ABC ellipseos axis ΑΒ, centrum Geponaturque GC diameter propior axi quam G R dico GC maiorem esse ipsa GE. Centro enim Ginteruallo GC circulus describatur. Ο curret is e ellipsi in quatuor tantum punctis C K H D. quare GE ad periphetiam non pertinsiti unde minor est quam GC. Quod erat demonstrandum. Corollarium sicundum. Doria diameter axi vicinior est, quaecum axe minorem vel angulum facit vel sectorem. primum patetralterum e primo sic ostendo. Ellipseos axis maior sit A G faciatque diameter B Ecum axe sectorem
348쪽
BEA minorem sectore DEG, quem cum axe facti diameter DE. Quoniam igitur sector DEG maior est sectore B EA, fiat sector FEG aequalis sectori BEA, Ee FE occurrat ellipsi in C,ducaturque BOC, sector BEA qquatur sectori F E G ex eonstructione hoc est sectori ad verticem A E C. Ergo i, BC bifesta est in o ab axe ΑG. anguli ergo ad Orecti sunt. patet ergo angulum BEA aequati angulo A EC, hoe est angulo FEG, hoc est minorem elIe angulo DEG, Iiquet igitur ex primo BE quae lectorem facit cum axe minorem, axi propiorem esse quam D E, quae maiorem.
PROPOSITIO LXXII. Ectangulum sub dimidijs axibus aequale est pa
CInt ABC eIlipsis axes AC, BD: cen- trum E,&quaeuis sentidiametri coniugatae EF, EG. achilque per F de G tangentibus quae conueniant in H,&axi AC Occurrant in I & Κ : ducantur etiam per C& B lineae quae ellipsim contingant in CN B: conueniant autem in M: & H Κ, E Fsecem in O, L, N: tum iunctis punctis E Oagatur per A tangens, secans EN lineam in P. Quoniam tam N Κ E lineς quam OK , NE sibi mutuo atquidistant; erit NON E parallelogrammum , diametro OE diuisum bifariam: sunt autem triangula a E OB, EO G aequalia , igitur 9 re- 413 - Iiqua triangula EBN, E GK inter se aequantur. Rursum cum . AP, CL lineae '' aequidistent, de AE, CE tineae sint aequales, erit ECL triangulo aequale triangulum EAP hoc est EI F. Quoniam igitur triangulum E GK aequatiir triangulo 7' E B N,δc triangulu IF E triangulo ECL, proportionalia erunt quatuor ina triangula; sunt vero etiam similia inter se, nil nisum E GK ipsi IFE,&EBN ipsi ECL, , , ergos rectae KE,ELNE, EL, proportionales sunt. quare eum super proporti βnalibus in directum p sitis constituta sunt triangula I FE, EG K, III K inter te sim ilia dc triangula C LE; EBN, LM N inter se quoque similia, ut sunt duo triangula . .. I FREGK ad duo triangula LEC; EB N, ita b triangulum 1 HR ad triangu- -. Ium L UN. Atqui duo triangula IFR EGK aequantur, ut ostendisii pra, duobus xCE, EB N. ergo etiam triangulu ΙΗΚ triangulo LMN aequale est, ac proinde demptis aequalibus parallelogrammum G EPH sub semidiametris coniugatis, aequatur rectangulo B E C u sub dimidijs axibus contento. Quod etat demonstrandum. corostarium primum. HIne sequitur si in ellipsi duae quaevis sint diametrorum coniugationes A E, EB, EF, E G. triangula super E A, E B. EF, EG in angulis AEB, FEG, essem-tet se aequaIia: sunt enim dimidia parallelogrammorum aequaliumc. Corosianumsicundum.
c Equitur secundo parallelogramma sub totis diamettis coniugatis, inter se essis ae- - qualia:t um snt quadrupla eorum que hac propositione ostenta sunt aequalia.
349쪽
N ellipsi parallelogrammum quod sit i lineis extrema axium coniungentibus aequale est parallelogrammo contento lineis extrema quarum uis diametrorum coniugatarum coniungentibus. Demonstratio. Sint ABC ellipseos axes ABCD . & alia quaevis
diametrorum coniugatio E F G H Iunganturque lain axium, quam diametrorum extrema: dico C A D B parallelogrammum aequari parallelogrammo EHFG.re
ctangulum ex A B &DI duplum est trianguli AD B & rectangulum ex AB de CI, duplum est itianguli ACB. ergo rectangu Iu m ex A B, CD, duplum est parallelogrammi ACBD, siue ACBD parallelogra mum, dimidium est rectanguli super AB, CD. 1imiliter ostendam parallelogrammum E G F H dimidium este parallelogrammi super E F, GH in angulo EI Hrsed parallelogrammum super ΕΙ , GH . aequale est parallelogrammo super A B CD:igitur & ACBD parali grammum aequale est parallelogrammo E G F H. Quod sint demonstrandum.
SInt ABC ellipseos axe, vel diametri eoniugatae, AC, B D. diuis que BD utcunque in E, diuidatur AC in F proportionaliter, dc per E & F ordinatim ducantur lineae E G, FH: Dico rectangulum A FCaequari quadrato G E, de B E D rectangulum Iadrato H F, & si quadratum G E sit aequale rectangulo AF C. dico D, AG proportionaliter esse diuisas in E &F. . Demonstratio.
Cum ex hypothesi DE sit ad EB ut AF ad F Qetit
permutando DE ad A F, ut B E ad F C. quate&tota DB, ad totam AC, ut DE ad ΑF. 6c EB, ad FC. igitur rationes BE, ad FC, dc DE ad A F. simuliumpte duplicatae sunt rationis D B ad AC. Atqui r tio rectanguli BED ad rectangulum ΑFC, come nitur ex rationibus BE ad FC, ω D E ad ΑF. ergo ratio rectanguli BED ad tectangulum AF C duplicata est rationis BD ad AC, hoe est rationis BI ad AL ergo rectangulum BE D est ad rectangulum AF C, ut quadratum B I ad quadratum A I. sed idem quoque rectangulum BED est ad quadratum G E. ut rectanguluB ID. hoc est, quadratum B I, ad quadratum ΑΙ; aequantur igitur quadratum GEM rectangulum AF C. similiter ostendemus rectangulum BED & quadratum H F aequalia esse. Sintiam aequalia quadratum G E Ac rectangulum AF Ct dico BD, AC proportionaliter esse sectas Nam si non est ut BE ad E D, sic AF ad FC, sit ut BE ad E D, sic ΑΚ ad KC. Erit ergo quadratum G E aequale rectangulo ΑΚ C per pri
350쪽
mam Partem huius . Quod fieri non potest , cum quadratum G E ex hypothesi sit aequale rectangulo Ab C. Non igitur AC in K aut alibi quam iii F etit secta pro- . portionaliter ad B D. Quod erat demonstrandum . . . '
SI axes aut diametri coniugatς sint proportionaliter sectae in E & F, &ordinatim ducantur E G, FH. . 'Dico quadratum F H esse ad quadratum E G, ut quadratum B D, ad quadratum A C. . .. Demonstratio.QVadratum FN' aequatur rectangulo B E D, sed rectangulum BEDest ad qu, 'drat ulti EG ve rectangulum B I D, hoc est quadratum B Ι, ad quadratum 1 A. ergo etiam quadratum FH est ad quadratum E G, ut quadratum B Ι ad quadratum . I Α, hoe est, ut quadratum BD ad quadratu ut A C. Quod erat demonstrandum. Quod si ad diametros coniugatas ordinatim politet sint E G, F H, & siri vc qua ratum B D ad quadratum AC, ita quadratum F H ad quadratum E G s Dico B D, A C ptoportionaliter esse sectas in E Ze F. si enim negas esse AF ad FC, ut D Ead E B, nai AK ad KC, ut D E ad EB, dc si ordinatim KL. rego ut quadratum BD ad quadratum AC, sic quadratum KL ad quadratum EGr quod fieri non potest, cum ex hypothesi quadratum FH sit ad quadratum EG, vi quadratum B D ad quadratum A C. non igitur est ut quadratum BD ad quadratum AC, ita quadratum K L, aut quodvis aliud praeter quadratum F Η, ad quadratum E G. Puod erat
Stit. in ABC ellipsi duae quaevis diametrorum coniugationes AC, B D. E F, G H. ducanturque ex E & G lineae El, G Κ ordinatim ad diametros BD, AC. Dico EI quadratum. aequari rectangulo A Κ C, & BID, coangulum aequale esIe quadrato G K. Demonstratio.
Ponantur EB GC. Quoniam igitur tam AC, BD, quam EF, GH diametri sunt coniugatae, erit b sector B L C aequalis sectori E LG,dc dempto commi ni B L A sector E L B aequalis sectori CL G. adeoque. & LEB triangulum ς aequale triangulo LGC: Sc quia B D est coniugata ipsi AC,erit B D parallela ad KGquae est ordinatim posita ad A C. ergo angulus G KL H. aequalis angulo B L A. similiter quia A C est coniugata ipsi BD, erit AC parallela ipsi E Iordinatim positae ad B D; angulus ergo BIB aequalis est angulo B L Ahoe est aligulo G KL: igitur cum triangula lint aequalia, erit sui infra ostendamin vi basii LR ad baum L C, ita KG ad E p, adeoque ut quadratum B L ad quadratum L C, hoc est ut quadratum BD , ad quadratum A C, sic quadratum K Gad quadratum EI. unde B D, . . AC linear in I 8c Κ a proportionaliter sunt diuisae. quare EI quadratum eaequale δυ. rectangum AKC , item B ID rectangulusi aequale quadrato GK. Quod fuit de