장음표시 사용
351쪽
PROPOSITIO L XX VII. AXium quadrata simul sumpta aequalia sunt quadratis cuiuscunque
i coniugationis simul sumptis. De onstrati'.
' CInt ABC ellipseos axes A B, C D, & alia quaevis dial metroru coniugatio FH,G L. dico AB, CII quadrata simul sumpta ςquari quadratis FbH, GL simul si1mptis. ducantur ordinatim linea: FI, GK quae, quia ad axes ducuntur, perpendiculares erunt; centrum autem lectionis ponatur E. Quadratum EC aequat est quadrato EIta una cum CID rectangulo id est v quadrato GK. quadratum autem EB e aequale est quadrato E K una cum re -- ctangulo AK B id est d quadrato F Ii viide quadrata duo M EB, EC simul sumpta aequalia sunt quadrati, FI , IE, EX,G K, simul sumptis. sed iisdem quadratis aequalia sunt quadrata FE, EG, quadratis igitur EF, E G aequalia sunt quadrata EB, EC. quare cum A B , CD quadrata simul sumpta quadrupla sint quadratorum EB, EG & FH, GL quadrata quadrupla quadratorum EF EG; patet A B, C D quadrata simal simpla aequari quadratis FH. G L simul sumptis. Quod erat demonstrandum.
Xes ellipseos simul sumpti minimae sunt omniurn ilia metrorum coniugatarum simul sumptarum. . '
Demonstratior CInt axes AC, BD quaevis diametrorum eoniugatio ιMEF, G H dico axes simul fiamptos minores esse diametris coniugatis simul sumptis. Quoniam AC, BD quadrata simul tumpta, aequalia sunt quadratis EF, GH simul sumptis: sit autem ic BD maxima diametrorum, A Cvero minima, ehunt AC, B D simul sumptae minores te EF, GH: igitur,&c. Quod fuit demonstrandum
PRO Pos ITIO LXXIX. SInt ABC alipsis axes A B, CD, diuis pro
portionaliter in E & F: ductisque ordinatim .sclus hic sunt perpendiculares in lineis EG, FH: iungantur AG, G B, C H, FI : Dico quatuor quadrata AG, G B, CH, H D, simul sumpta, aequari
352쪽
Demonstratio. t Iinadratum AB aequale est quadratig AE,EAvn. lcum rectangulo AEB id est . quadrato I F his sumpto, quadrarum vero C D ae litate est quadratis Cp, FD, N: CF D rectangulo id est quadrato EG his sum pto, sed ijsdem ς quadratis aequalia sunt quadrata A GB , C H, H D. igitur axium quadrata simul sumpta aequalia sunt quadratis AG, ΘΒ, CH, H D. Quόder i
QVadrata linearum extrema axium coniun- il i,
gentium aequalia sunt quadratis linearum quae extrema cuiusuis coniugationis coniungui. ' i
CInt ABC ellipseos axes AC, BD de alia quatuis . . t diametrorum Coniugatio Ed6 G H. iun amurque BC, CD, E H, FI . dico quadrata BC CD. simul sum- pra aequari quadratis ΕΗ, FH simul sumptis.quadrata I BC, CD simul sumpta 4 aequalia sunt quadraris BI. IC bis sumptis; quadrata autem EH, H F aeqoantur αs i i ALI Iquadratis El. II bis sumptis: sed quadrata EI, IH si- l id, si iii ci Mimul i. mptae sit hiatqualia quadratis BI,IC simul silm- bris I si,
ptis, igitur quadrata BC, CD simul sumpta , aequalia a l sunt quadratis E H, H F simul sumptis, Quod erat de- λ . χυ . monstrandum. /ψ
SEcent ABC ellipsimi cuius centrum D duae diametrorum eoniugautiones Α D, DC, BD, D E, iunctiique punctis AB, C Edividantura B, C E linet laseriam in F dc G, ducanturq; D F , D G quae productae
Occurrant ellips in H & I. Dico H D, ID diametros esse coniugata S. Demonstratio.QVoniam AD, DC, B D; UE, diametrimi cons
gatae, erunt A DC, B DE seliores aequalest ablato igitur commui i BDC, erunt ADB; CDE reliquiae- quaIes i rursum cum AB lineam secet in F, bifatiam jdiametet D H, erunt tam AD H, B D H .sectores,qua, A F D, B FD triangula aequalia. eodem modo ostendi- . tur EDI sector aequalis sectori CDI, tecto es igitur ADII, EDr sunt aequales inter se r Additti igitur cominmuni PIDI, erit festor ADI aequalis sectori H DB, coniugatae ergo h sunt DΗ DI;
353쪽
I IJI Quare cum di ipsi aequales sint, etiam ipsorum sectores ly . dimidij I BD,ΚBFaequales erunt.1cctor igitur I BD
l J BK, ae proinde maior quam B Quod erat demonia, V strandum..' Ini ABC ellipseos axes AB, C D,&alia quaevis diametrorum con-oaugatio EF, Gu iunganturque EM, E G. . Dico lineam E H quae axem maiorem secat, minorem esse linea E G, quae minorem secat. s onstratio.'
N, in I, & K. Quoniam G H. E F sunt coniu- gatae; 4 sectores GLE, ELII squales erutit, ac pro- inde. segmenta GNE,EΜH aequalia sunt. Quare. I tu LM, LN bisecantes subtensas EH , EG , proportio. '. tialiter sunt diuisae. Ergo MI ad Ic, ut NK ad K I. i &coponendo ac permutando ut LM ad L se LI ad L Κ sed LM t maior estquam LN;ergo LI etiam i maior quam L Κ.Iam veriscum LN, LM etiam, simi' coniugatς, ω EG sit ordinatim ex constr. posita ad Y LN, erit L Μ parallela ad EK. ob similem causam LN, EI parallelae erunt f parallelogrammum igitur B est EI. LX, adeoque L I, KE, L Κ, EI; aequantur. Cum ergo LI ostenta sit maior esse quam L K, erit &KE maior quam L K, hoe est quam EI. Quare dupla eius E G, maior dupla E H. Quod erat dentonstrandum.
AXium extrema coniungentes simul sumptae maximet sunt omnium
quae quarumvis diametrorum coniugatarum coliuertun rex crema. Demon
354쪽
Sint axes AB, C D de alia quaevis diametrorum contu gatio EF, GH et iunganturque extrema tam axium, quam aliarum diametrorum.dico linea V A, AD , DB, B C simul silmptas maiores esse sineis FG,GF, FH,HEsimul sumptis. Quoniam CK. ipsi HK aequalis est, ΕΚ veto communis, &EH R recta maior quam E G, erit angulus ENH. maior angulo EΚGrigitur 6c angulus ΕΚΗ'maior est recto A K C.sunt autem b AKC,E KHtriangula aequalia, quare dc EH s est maior quam AC: eadem modo ostenditur AC Iinea maior esse tecta E G. ergo E G minima est, Λ EH, maxima linearum EH, AC, AD,Ea igitur cum d EH, EG quadrata simul sumpta sint aequalia quadratis AC, AD simul sumpti , erunt e E H, EG linea: simul sumptet minores lineis AC, CD simul sumptis. Eodem modo ostenduntur lineae G F, F H minores lineis C B, BD. ergo, bc C. Quod erat demonstrandum.
N nulla ellipsi est inuenire diametros coniugatas quae sese ad rectos
SInt axes, AB maior, CD minor 8c alia quae uis diametrorum coniugatio EF, GH: centrum autem ellipsis sit Κ. dico neutrum angulorum ΕΚ G, GKF reiactum esse: iungantur enim puncta EG, GF: Quoniam E Κ, Κ G duabus rectis FK, KG aequales sunt, & EGs minor quam FG, erit angulus EX G minor st angulo GKF: Quare cum eorum summa sit duobus rectis squatis,neuter illotu rectus est: idem de alijs omnibus ostenditur: igitur in nulla ellipsi est inuenire, Sec. Quod erat demonstrandum.
SIni ABCellipsis axes AC , BD Malia quaevis diametrorum coniugatio EF, GH : iunctisque punctis ΑΒ , BC , tectae ducantur EH, E G. Dico angulum Α Β C qui citea
minorem axem existit, maiorem esse angulo GEH,ac proinde maximum esse omnium angulorum qui continentur a. lineis extrema diametrorum coniugatarum coniungentibus. Demo,
355쪽
Cum GH linea minor sit axe AC, producatur ut rimque ς qualiter in KSe L ut L Κ, sit α qualis axi A C, iunganturque puncta E K, EL,&ex E demittatur E M normalis ad Ι. K: erit Igitur KEL triangulum maius triangulo GEH id est triangulo. ABC , qua cum in kqualium trianguloru bases A C. L Κ sint aequales , erit E M b altitudo trianguli KEL, maior In altitudine trianguli ABC r adeoque ς angulus KEL maior angulo ABC : angulus igitur GEH multo minor est anguIO AB Q. Quod erat demonstrandum.
Sint ABC ellipseos axes AC, B D r iunganturque illorum extrema A B, B C, C D, D Ar sit autem & alia quaecunque diametrorum coniugatio E F, G H, quarum extrema quoque coniungantur. Dico angulos ABC, EG F, H FG, B C D arithmetice esse proportionales.
lelogrammum est. erunt tam ABC, BCD anguli, quam EGF, G FH duobus rectis aequales:quare M anguli AB C. BCD, simul sumpti aequantur angulis EGF, G FH simul sumptis i est autem angulus ABC, ostensus a maior angulis EG Rigitur& GFH maior est angulo BCD r&quia, ut iam ostendi, anguli B, Ac C simul sumpti aequantur angulis G,&F, simul sumptis quo excessu ABC angulus superat angulum E GF, eodem necesse est ut angulus GFH superet angulum BCD. Quod erat demonstrandum. oralia m. TIIne patet angulum B C D qui circa axem maiore existit minimum esse omnium
in angulorum qui fiunt a lineis diametrorum coniugatarum extrema coniungentibus. l
PROPOSITIO LXXXVII I. ELlipsim ABC cuius axes AC, EG contingat in B recta quaedam
D E conueniens cum utroque axe in D dc Et ex centro vero G recta demittatur G F parallela lineae D E. Dico DB, GL BE lineas esse in continua proportione.
356쪽
Entro G, interuallo AG circu- Ius describatur AH C: & ex D linea demittatur D K contingens circulum in Α occurrens EG axielli pseos in K, ductaque ex H ii-nea HL normali ad axem quae per Coroll. 33. huius transit etiam per B, agatur per F normalis alia F MN, rungamurque pulicta NG, H G. Quoniam L Η , M N linea aequid istant , erunt anguli L DB, M GF aequales: sunt autem & an guli BL D, FΜG recti per constructione;igitur dereliquus L BD, teliquo M F G aequalis est, quare anguli DBH, GFN inter se aequantur. Quia autem triangula DLB, GMF sunt si lia , erit ut
L B acl MF, sic DB ad GF. sed ex demonstratis in scholio quartae huius, ut La ad F, sie B H ad FN. ergo D Bad GF, ut B H ad FN. quare cum anguli DBH, GFN iam ostensi sint aequales, a similia erunt triangula DBΗ, GF N. ergo H D est ad BD , hoe est HKest ad B E, ut G N ad G F. dc permutando vi H K ad G N, sie B E ad G F. 'Deinde eum in triangulo DG Κ angulus ad G rectus sit de GH ex centro ad contactum d cta, normalis ad D K, k erit HK ad GH, ut G H ad Η D. sed GN. GH ςquantur. ergo, ut KHad GN. hoc est sicut ante ostendi, ut BE ad GF, sic GN ad DH.sed ob similitudinem triangulorum ve GN ad DH, sic GF ad DB. ergo, ut BE ad GF, se G F ad D B. Quod erat demonstrandum.
isdem positis si G F sit proportionalis media inter D B, 3 E. R Dico punctum F esse ad ellipsim.
I punctum P non est ad elliplim, occurrat ergo ellipsis rectar GF in p. supra vel infra F. Ergo per praecedentem DB, GP, BE sunt continue proportionales; quod fieri non potest , cum DB, GF, B E ponantur continuet. Non igitur aliud punctum reciae GF ad ellipsim est, quam F. Quod erat demonstrandum.
I Ata quavis diametrorum coniugatione, ellipseos axes reperire.
357쪽
Int datae diametri coniugatae Α B, C D secan-Otes se bifariam in E: actaqsse per A Iinςa F Gquq aequid illet C D , fiat ut AE ad E D , sieED ad AH : tum E H diuisa bifariam in Κ,
erigatur ex K normalis KL occurrens FG in L. dein centro L interuallo LE circulus describatur EFG, transibit hic per ii secabitque FG lj-neam in punctis quibusdam F dc G: iungantur demum puncta FF, EG. dico lineas EF, E Gsatisfacere petitioni. Quoniam enim rectae Α Ε, E D, Α Η sunt ex constructione in continua analogia, erit quadrato ED aequale rectangulum
E AH, lioe est F Α G rectangulum. itaque GA, D E, F Α tectae in continua etiam sunt analogia, ac proinde, erit punctum D d ellipsim cuius axes sunt in lineis EF, E G. sed de A in eadem es hellipsi, igitur & B, C puncta, in eadem erunt ellipsi. Porrd termini avium ita inuenientur: ductis ΑM, AN normalibus ad EG Iineam, inueniatur inter EM, EG media EO, & inter EN, EF media ER describaturque per D,Α,Cpuncta ellipss: quoniam CD ipsi A B est coniugata. ademque ad ipsum ordinatim posita & FG linea aequialitat ipsi CD, erit FG tangens bellipsim AB C. sunt autem ΑM, AN normales ad lineas in quibus axes sectionis, existunt;&ram EM, EO, EG, quam EN , ER, EF continuae, igitur . ellipsis ABC transit per puncta R O: quare R & O termini sunt axium, quos oportuit ex-
conseruerionem eam nempe quam ex illa nos iam attulimus, hed non dem Urat. Fνederitus Commandissia demonurationem sqpore eonatus est, ua scribens:
Producatur ΑM usque ad T ita ut T M ipsi M A, sit aequalist producatur e iam A N vsque ad Y ut Y N sit aequalis N A r erunt puncta T Y in ellipsi. ex ijs quae demonstrata sunt ab Apollonio in propos. 7. 2. lib. Conic. sed RS parallela est ipsi AT, est enim angulus in semicirculo rectus , quare de OP ipsi ΑΥ parallela erit. Quoniam igitur C D ad AB ordinatim est applicata quet per A ipsi D C pa- allela ducitur, videlicet FG sectionem in puncto A continget, eum F G sectio- 'nem contingens diametro occurrat in G dc AM ordinatim applicetur, erit per L .ptam. Coni. Apollon. rectangulum GEM aquale quadrato ex Eo vel EP. E demquoque ratione cum AN ordinatim applicetur rectangulum F EN quadrato exER Vel ES aequale est; ergo OP, RS ellipsis coniugati axes erunt. Hae Command M. quibus recte offendis OP o R S coniugatos axes esse esti si qua per ρώncta A T Y incedit, o a linea F G in puncta tangitur: verum hoc propositum non fuit.
Nam ad inueniendum eiusmodi coniuσasos axes non optu erat ad describendum cινα mFE Giacere recta alam E AH quadrato ED a Gle , se secare ΕΗ bifariam in xi des normalem excitareοῦ qua congrediens cam F G in L, centrumpraeberes L circuli BEG, sumptos quidem in Enea F G centroquacumque, si per E circulas circumducatur, qui secet eam F G non iam quidem in punctis F ct G fedin aliis qua ex E recta eminentur angulam rentum continenηι, nonsec- ac E F se E G, quare si ab A ad has Vsis postremo ductas tinem normales ducantur, quales erant AM , AN, duplicentars ut A T , Α Υ, erunt puncta qua vices punctorum T ct Y subibunt in est si, qua per A tiscedit, tangitin ab FG in A, axesi habet in normasibin sis, qua ex E ad communes insiectiones circulo estinea F G in ita de tinantur. At peroicuum est hanc esisto squod fuerat demonstandu a 'per
358쪽
perpuncia C s D minime transire, ρropterea quod circuli centrum aliud ab L assumptam
Iis, necμ quadratum ED rectangulos, E A, O aba tinea qaam AH contentum aquale. Itaque ut ostenditur O P cfi R S coniugaros axes esse H sis, quae per terminos diametrorum coniugatarum A B, Cr C D incedit, alia ratio ela ineunda , quam in demonstratione nostraram proposimM. Hac hactenm super Commandini demonstratione Caterum i Ue Pappi textus rem portim in ari ἔ nemo quid inserrank assu isdetur, ita enim habet Facile autem eli u uentas quibuscumque coniugationibus diametroruellipsis, es eius organice inuenire. quod quidem hac ratione fiet. Asy verba legitimum seu sum non habent,cum ea, quam adfert constraiatia non organica sed omnino Geomestica sit,ut eam legencisatis paret: quare puto omisium verbum Geometric , sic, legendam : Facile autem est inuentis quibuscumque coniugationibus diametrorum ellipsis , axeS eius organice inuenire. quod quidem Geometrice hae ratione fiet. Deinde addita sensis Usa constructione isti verba: cum sit D E maior quam Ε Α : cum enim constru-
cIω ωniuersalusit, siue D E minor siue maior, siue i E A aqualis ponatur, ut ex nostradenronorarione colligi potes, quod L Pavam etiam titere nuti modo potuisse certum es, seu Bra assumitur D E maioν ipsa E A. mrum proinde est hunc errarem Frederacum Comma dinum non aduertisse,praesertim tum isto assumpto an demonstratione sua, quam superius dei mas, usus nonfuerit sed uniuersalem atralerit demonstrationem unde cum si adesit de monstratio,q am quin Pappus adaederit, dubiam non et .stu manifectum est eorum errere sdeontigisse in f orum manus venit Mepropositio is pene tota,ut existimo tereiderat Θqui eam plane iam mutuam es ιmperfectam fultra refluere conati sunt.
Atis axibus in ellipsi, aequales diametros coniugatas exhibere. C onstruetio es dem batio.
SIni ABC ellipsis axes AC, BD r oporteat autem
exhibere diametros coniugatas aequales: iunctis A B, AD: dividantur rectae AB, AC bifariam in E Ae R Ze per E & F ex G centro rectae ducantur G H, G K, ocis Currentes ellipsi in H, K, L. M punctis. dico illas satisfacere propositioni. Quoniam enim rectae duae EB, B G, aequales fiunt duabus lineis FD , DG sunt autem de anguli, aequaIibus lateribus contenti inter se aequales)erunt etiam anguli ad basim, E G B, F G D adeoque dereliqui AGE, AGF aequales. Rursum cum angulus
AGB sit tectus & basis AB in E diuisa bifariam, si
centro Einteruallo EA describatur circulus, transibitis etiam per B, adeoque EA, EG lineae erunt aequales. Quare de angulus E A G aequalis angulo E G A,hoc est AG F. ergo ΑΒ . K M tineae paralle Iaer eodem modo ostenduntur rectae AD, HL parallelae r unde cum diametri HL, ΚΜ mutuas parallelas bisecent, erunt coniugatae. quia vero angulus HGAest angulo AGK ostensus aequalis, etit quoque H G linea aequalis GK,ut patet ex i8.huius. ergo H L, KM diametri sunt coniugatae & aequales. exhibuimus ergo,&αQuod erat
IN una ellipsi duas tantum est reperire diametros coniugatas aequales.
359쪽
CIe ABC ellipsis centium Di 3e in ea aequales dia metri coniugatae E D,F D: dico alias viametro conα 'iugaras de aequales in ea exhiber, non posse: fine enim,si potest fieri, praeter ED, FD diamettos, aliae aeqEa es &coniugatae G D. HI : emtagi BDF luctori aequalis lector GD H. Quod fieri non potest , nam GDi H diametri eum sint aequales necesse est maiores vel minores illas esse diametetis BD ι F D, adeoq, amtras simul cadere supra vel infia diametros ED, FD. Igituopraeter E D, FD diametros coiugatas aequales, nullas alias Muales in ellips est exhibere.Quod erat demonstrata lum.
PROPOsITIO XC . . IN ellipsi aequales diametri coniugatae simul sumptae , maximae sunt
omnium diametrorum coniugatarum simul sumptarum. Demon alio.
Int AB, CD diametri coniugatae aequales, sit autem - Ac alia quςuis diametrorum coniugatio EF, G H:dico diametros A B, C D simul sumptas maiores esse diame. tris EF, G Η fimul sumptisi cum enim sectores A C. GKE bsint inter se aequales, necesse est unam coniuga tarum inaequalium sit EFὶ axi viciniorem esse utrauis aequalium AB, CDr alteram vero HGι remotiorem. unde ς ex quatuor diametris EF maxima, Se GH minima es .sunt autem EF, GH 4 quadrata simul sumpta aequalia quadratis ΑΒ CD simul sumptis igitur A B, C D lineae simul sumptae maiores η quoqi sunt lineis E RGH simul sumptis: Quod erat demonstrandum.
LIneae quae extrema diametrorum coniugatarum aequalium coniungunt, ab axibus bifariam secantur.
Int AB, CD diametri coniugatς aequales,iungantur. que illarum extrema A D, A C, C B, D B. Dico illas ab axibus bifariam secari, diuisa enim AD bifariam in F, agatur per E centrum F E G Decurrens C A rectaem G. Quandoquidem ergo AB.CD ponantur aequales, harum dimidiae A E, D E, etiam sunt aequales aequantur autem ex cons . similiter Α F, DF. Itaque in triangulis A E F, DEF cum F E fit commune,omnia latera sibi inis uicem aequantur. ergo anguli ad Fςquales, adeoque rectu de anguIi quoque F E A, FE D, aequales dune an-γIi etiam GEC, GEB prioribus ad verticem oppositi aequantur. sunt vero latera rursum CD, E R aeoualiare EG commune utrique triangulo GEC, GEB . Igi
360쪽
int C G, BG aes ales, de anguli ad G aequales adeoque recti. Cum ergo FG rectasA P, C B, N- mx-iunt parallelae) bifariam & ad angulos rectos secet,axis est, secaptur is Rupinaxe bifariAn, rectς AD, CB extrem coniuSatarum aequa-lωn-nnectet Ims Lin sua modo ostendemus reliquas duas AC, BD ab axe HIta Maii. constR go vcritas propolitionis.
CI lineae quae exteema coniugatarum conoectunt, ab axibus secentur
Dico diametros illas ςsse inter se aequales. Demonstratio.
Ponatureaclam fisura quaeprius, sintque AD,CB, AC lineae, extrema coniuga. A latum connodiecites in F GN K bifariam & ad rectos diuisae axibus HI,Fa diaco. ΑΒ, CD, d,ama tros coniugatas elle in ter se aequales: cum enim AD, CB per Rhuius sint parallelae Se ex hypothesi ab axe in F M G biseeentur anguli ad F,recti sunt, de latera duo ARF β aequalia sunt lateribus DF, FE: reliqua igitur latera ARED quoque huter scaequalia. similiter ostendam CE, EB aequales.vnde&tot et diametri AB, CD, aequatas. Quodnis demonstrandam.
cis otianum. T Inc Patet linoas, quae inaequalium coo iugatarum extrema coniura9at, nu*qua M. -ε ab axibus aut alia quavis diametro bifariam oc ad rectos s pari.
LInearum qu ς extrema coniugatarum quarumvis coniungunt, illa Inaxim qii quae coniugat s aequales connς 2ςns, axem minorem secat, minima, quae maiorem.
CInt AC, BD axes ellipseos 4BC, coniugatae vero aqqales FG , HIllinctaque FH malpri xi occurrat in
neam maximam esse illarum quae cuiuscunque coniugationis e trema cou-
iung*nt, x Fri minimam. Fi t chim quae ιiis ali diametrorum Comugatio MR,NQ qqarum extroma iungan M N, N R , quibus in V At S bisectis ducantur per centrum X OP, VST. Quoniam ergo F G, HI sunt coniugatae, sectores EF BH, EMICG aequali- γ a saaiat; tur. Ergo egmenta FB H, H CGκ- TV . qualia sunt, uuare, cum axes B D, A Getiam hilecent ς rectas FH, H G, quae D eis M.
aequales coniugatas iungunt, erunt axes
ipsi 4 in K Ae L. proportionaliter secti. du. ἐαι. Ergo rectangulum ΒΚ D aequale est e 74. Μωδquadrato L H. simili plane discursu ostendemus rectangulum P Ο X aequari quadrato NS. Deinde quia i sectores MEN, FEH aequantur, adeoque e segmenta R '