장음표시 사용
361쪽
D B axis inaior est quam X P. Ergo re clanguiu B Κ D, hoc est, ut ante ostencla, quadratum H L, maius est rectania
gulo POX, hoc est quadrato N s. Ergo recta HL maior tecta NS. sed H G dupla est ipsius H L, ut ante osten di, de N R ex const. ipsus N S dupla
est. ergo HG maior quam NR quia autem N Rb maior est quam Mesierit HG etiam maior quam MN. Eodem modo ostendemus HG maiorem esse
quarumvis aliarum conrugatarum ex
trema connectentibus. ergo H G.est' omnium maxima. quod erat primum. Quod autem FH sit omnium mini ma, discursu plane smili demonstrabimus. sumatur enim quacuis alia diameia trorum coniugatio M R. N Q, de eade, quae sit praest adhibita, repetatur const ructio.eodem modo ostendemus quadratum F Κ minus esse quadrato M o, Ze rectam F Κ minorem recta M O , ac proinde FH, minorem quam MN est autem c RN maior quam MN. ergo FH etiam minor est quam N R. Atque ita demonstrabimus FH minorem esse quarumvis coniugatarum extrema connectentibus. omnium igitur minima est. Quod erat secundo loco ostendendum.
Coniugararum aequalium extrema coniungentes simul sumptae mini-mς sunt omnium quς quascunq; diametros coniugatas coniungunt. Demonstratis.
CInt in A B C ellipsi coniugatae aequales EF, G repona
tur autem Malia quaevis diametrorum coniugatio, E F, G H. dico lineas quae extrema coniugatarum aequalium coniungunt, simul sumptas minores esse lineis quae extrema alterius co iugationis connectunt. simi enim EG,GF quadrata aequalia quadratis A B. B C, insuper de EG linea connectentium minima, de FG maxima per praecedentem,igitur e EG, GF lineae minores sunt lineis AB, B C; eodem modo ostenduntur EH, H F lineae minores lineis AD, DC : igitur lineae, &c. Quod fuit demon- sttandum.
PROPOSITIO XCVIII. SInt ABC ellipseos axes AC, BD & EF vn
ex diametris coniugatis aequalibus.
Dico quadrata A Κ, ΒΚ simul sumpta esse dupla quadrati E K.
362쪽
DVcatur GH altera diametrorum coniugatarum a qualium. Oniam AC, BD quadrata a simul sumpta aequalia sunt quadratis EF, G H simul sumptis, erunτ&quadrata ΑΚ, ΒΚ subdimidis saxibus, aequalia quadratis ΕΚ, GK sub dimidijs diametris aequalibus: iunt autem E GK quadrata inter se aequalia, igitur quadrata A K, B K simul sumpta dupla sunt quadrati ΕΚ.Quod erat demonstrandum. Apollonias 3. Coni prop.rs Missmod habet theorema r selli hom tangant A E, C ta renueniores in E , o sim o in sectione puncto G ducasar GH F tangentium uni parallela . I G H p. mi rectauidum G F H ad laadratam B C, ut quadraram AE ad quadratum C E. Verum non ibrudo ransum rarianam sed Jariorum etiam qualitaι reperietursi tangentes a diametrorum coniugataram aqualium ducta fuerint.
ELlipseos diametri eoniugatae aequales sint A B , C D, in qriarum ter minis A, C, ellipsim tangant duae rectet conuenientes in E , si alter tri ducantur quot uis paralleis G H erunt re stangula G F H quadratis FC aequalia.
Quoniam CD est diameter eoni ligata diametri As. vivo erit dipsam ordinatim positat ergo rangenti AE A f g Tnarallela est. Eodem modo AK tangenti EC parallela
fisura igitur K AEC est parallelogrammum .Qua- f f Ire cum A K, KC ex hypothesis ni aequales etiam AE, V/V fC E aequale iunci aequantur igitur quadrata Α E, E C. ω f Atqui est ut quadratum AB ad quadratum EC, ita J I in rectangulum GPH ad quadratum FC, ergo rect 0- ἡ / f Ium G FH quadrato FC aequale est. Quod erat de- i i
Et quoniam Theorema illud Apollonii iam habemus
in manibus, etiam hoc addo quod similiter Apollonius XX non viilςtur obseruasse t nimirum si ductis tangentibus A E, C E, i ungantur puncta contactuum Α, C, re stangula GFH, quadratis KF aequalia esse. Quoniam F ΑΕ sunt palallelae, eriangula A E C, KF C similia sun cier. Sgo ut A E ad EC, sic KF ad FC.er. go ut quadratum A E ad quadratum BC, sic quadratum KF ad quadratum v C. sed etiam ut quadratum AC ad quadratum AC sic rectangula GFH ad quadratum KR Ergo quUratuna e
KF de rectangulum G FH ad qua-
di tum E C. eandem lRheni ratio. , . inem; aequantur igitur. Quod erat de- monstrandum.
363쪽
ELLIPSIS. PROPOsITIO C. SInt A B, B C diametri eoniugatae inaequales, Ze ex A recta quae uis ducatur Α D secans ellipsim in D; cui ex C parallela ducatur C Eiun an turq; E B, D B. Dico E B, D B diametros esse coniugatas & contra.
PRimo cadant paralleIae ad eandem partem ellipseos. Dua cantur tectae lineae EA, DC. Quoniam AD, EClineae
sibi mutuo aequidistant, erunt segmenta EA, DC i ter te aequalia, adeoque i, ABE. DBC sectores aequales. addiro igitur communi ABD, erunt E B D, ABC sectores inter se aequales. quare cum unius lectoris latera BA BC sint diametri eoniugatae, etiam alterius latera E B. BD sunt coniugatae.
Secundo cadant AD, CE parallelae ad partes ellipsis Oppositas: producantur te millia metri AB, DB in H αI, unganturque puncta ΗΙ. Quoniam ΑΒ, BC sunt coniugatae erit . sector A BC quarta pars ellipseos,ied Α H dia. metro d blseeat ellipsim, adeoque portio A CH, dimidium est ellipseos. Ergo ABC sector dimidius est semi- ellipseos ACH. ac proinde aequalis sectori CBH. quia aurem IH per i .huius est parallela ad D A. cui ex hypothesi etiam C E est parallela, erunt IE, CE interis parallelet ergo segmenta . CI, E H adeoque & sectois res C B I,Η B E aequantur3addito igitur communi IB H, sector I BE aequalis est sectori CBΗ, hoc est , ut iam ante ostendi, sectori A B C.quare cum sector ABCt sieluarta pars ellipseos, siue dimidium semiellipseos. etiam sector IBE erit dimidium semiellipseos,hoc est portionis IED, quam esse semiellipsim patet ex CorolL 4s. huius. Ergo sectes IBE hoc est sector ABC qqualis cst secto ri EBD Quare clim AB, BC sint coniugatae, eciam D B. E B erunt coniugatae. Sintiam AB, CB,item, EB, DB diametri coniugatae iunganturque A D. E C. dico AD, EC lineas esse parallelas. Sin vero, ducatur ex A ipsi EC parallela AFiunganturque FBr erit igitur FB diameter coniugata ipsi E B per secundam par tem huius: sed DB per constructionem coniugata est diametro EB, ergo eidem Enplures diametri sunt coniugatae. quod fieri non potest. igitur AF nonae luidistat ipsi EC. idem ostenditur de quavis alia. ergo ΑD sola parallela est rectae E C. Quod erat demonstrandum.
SIt in ADC ellipsi cuius centrum B quaevis diametrorum coniugatio AB, BC: iunctisque punctis AC, secet AC lineam in E diameter quaecunque B D, cui coning ta ducatur BF, ductaque linea FD secet
Dico Λ C, F D lineas, uti & B D, A B in E & G proportionaliter esse
364쪽
Quoniam tam AB, BC diametri quam DB , FB
comugatae fiant , sectores ABC, a FBD aequales erunt: ablato igitur communi . A BD, aequales manent DBC , ABF lectores. unde BD, b ΑΒ lineae, item AC, D in E & G proportibnaliter sunt diuisae.
Dico iunctas A D, FCaequidi stare. . t Demonstratio.
Er praecedentem sectores DBC, ABF ostensi sunt aequales , segmenta igitur . . D C. R AF quoquo inter se aequantur: ergo A D, FC a lineae aequadistant. Quod
coniugatio A E, C D: sit autem &alia diametrorum coniugatio, F E , G E que iunctas A D. A C secet in hi & I: Dico esse ut AH ad H M DI ad I A. Demonstratio.
meter quaecunque B D tst autem & E F G, ellipsis s-milis &aequalis ellips ABC: quam secet quae uis alia diameter FH : dein BD , FH diametris proportionaliter diuisis in I & Κ, agantur per I &Κ, ordinatim lineae AC, EGaequaram extremit tibus ducantur semidiametri A L, CL, EM, G M. Dico ALC, EMG triangula esse aequalia
365쪽
I FKH, tectangulum ad rectanguiny tum FMH: quare ut quadratum AI ad quadratum N L sic qua-
dratum E K ad quadratum 1 Miri & vi AI linea aes lineam ML sic EK ad PM: sed etiam est per constructionem ut IL ad B L, id est L D, se K Mad F M id est M H; igitur vi triangulum N LD ad triangulum AIL , sic PM H triangulum ad triangulum E KM quia ex ijsdem illorum ratio componitur: ω permutando vi N L D triangulum ad triangulum P M H, sic AI L triangulum ad trian culum EΚM. sed NLD, P ΜΗ triangula sunt aequalia, igitur AIL, EΚM triania gula, adeoque tota ACL, EGM ςquantur. -od irri demonstrandum.
Eeent ABCellipsim duae diametrorum coniugationes AB, CD, EF, GH, di omnes quatuor diametri proportionaliter sint diuilae in I, Κ, M, L punctis, pet quae ordinatim ducantur lineae NO, P Q, RS, TV. Dico quadrata NO, PQ simul sumpta aequari quadratis R S , T UDico quadratas mul sumptis.
Quoniam tam AB, EF, quam CD, HG proportionaliter sunt diuisae,erit ut A B quadratum ad rectangulum AIB , sic EF quadratum ad rectangulum EL R& quadratum CD ad rectangulum C Κ D , & HGqu dratum ad rectangulum H M G. Ex iisdem enim rationii bus singulae quadratorum ad rectangula proportiones co ponuntur. Igitur ut AB, CD quadrata sint ut sumpta ad rectangula AI B, C Κ D simul sumpta, sic quadrata EF, GH simul sumpta sunt ad reaangula EL F, HMG simul sumptar 3t permutando ut A B,C D quadrata ad qua, drata EF, G H. sic AI B, C Κ D rectangula , sunt ad rectangula EL F, HMG. hoc est a quadrata PR, NI ad quadrata SL TM:sed AB, CD quadratis simul sumptis 377----b aequalia sint quadrata EF. GH simul sumpta; igitur de quadratis NI, P K aequalia sunt quadrata SL, TM: ergo NO, P in quadrata simul sumpta aequalia sunt quadratis S R, T v.Quod erat demonstrandum.
366쪽
bus proportionaliter diuisis in O & P : ducatur una ex diametris coniugatis aequalibus ΑS qus diuidatur in N , ut CD est diuisia in o. per No P rectae ducantur ordinatim GH, I Κ, L M.
Dico lΚ, L M quadrata simul sumpta esse dupla quadrati G H. Demonstratio.
vcaturaltera coniugatarum aequalium QR, qua similiter diuisa in Z, ut SA - - est in N, Ac C D, EF, in Ode P, per punctum Z ponatur ordinatim v Tquia igitur QR, A S sunt aequales de similiter sectet, rectangulum Q Z R aequatur re- et ngulo ANS . sed rectangula Q Z R. ANS a a quantur quadratis G N, TZ.ergo quadrata GN, TZ adeoque Ae quadrata GH, T v aequalia sunt. sed quadrata ara. ΜL, ΙΚ b aequantur quadratis V T, G H. ergo quadrata ΜL, IK dupla sunt quadrati G H. Quod erat demonstrandum. . '
PROPOsITIO CVII. SEcent ABC ellipsim duae diametrorum coniugationes AB, CD,
EF, GH : sitque ΑΒ maxima N E F magnitudine secunda. Dico rationem A B ad E F minorem esse ratione G H ad C D. Demonstratio.QVoniam AB, CD quadrata simul sumpta aequalia sunt quadratis E F, G H simul sumptis : non est ut A B ad Es , se G Η ad C D, nam tunc quadrata A B, CD maximet& minimae maiora eunt quadratis ERGH. fiat igitur ut A B ad Ep. se GH ad CI: eruntque AB, CI quadrata maiora quadratis EF, G Rhoc est quadratis A B. C U. quare C I linea est maior rem C D, se ratio G A ad C D, id est ex cuns t. ratio AB ad EF minor est ratione GH ad CD. Quod erat de
367쪽
H ---- Clat ABC ellipsis axes AB, CD: centrum E: ratio vetddata malorisad minus F afl G, quam non mariorem esse oportet ratione axium AE,EC. si ratio da-
ta aequalis est axium rationi;res patet: si minor, sumanii pur HI, I K lineae , rectis AE, EC aequales, ponaciisti π turque ad angulum rectum HI K: ductaque HK, Bediuisa bifariam in L, centro Linteruallo LII circulus describatur H IK qui transibit per puncta I & Κ, in segmento dein VI K inclinemur duae lineae HI Κha- hentes datam rationem F ad G.Quoniam ιgitur H MI est ad M K vi F ad G , estque ratio F ad G , minor ratione axium, hoe est ex constr. ratione HI ad I Κ, patet punctum M eadere inter I M. H, adeoque Te ctam HM minorem quam HI, hoc est quam EA, re. t L P ctam veto MK maiorem quam IK hoc est quam E C. I l centeo igitur E interuallo H M, descriptus circulus se I . 1 catellipsim in punctoaliquo N inter A dc C, ducatur I igitur diameter NE, eiq; coniugata Eo, dic N G, I OE diametros satisfacere petitioni.Quoniam quadra ta NE, OE vsuneaequalia quadratis A E, E C hoc est HL IK hoc est quadratis ΗM, MKi sit autem M NER linea aequalis rectae ΗM. erit te OE linea aequalia it. neae MK. igitur vi H M ad ΜΚ, id est o F ad G, suN E ad O E. exhibuimas ergo, dcc. Quod erat faciendum.
SEcet AC D ellipsim quaevis diametrorum coniugatio AB, BC. an sumptoque in peripheria puncto quovis D inter A ec C, agatur per D contingens E F, quae cum Α B, B C lineis concurrat in E M F, cui per centrum parallela ducatur BG. Dico D p, B c, D E lineas esse in continua analogia.
A γ 'Voniam ex hypothesi DF. BG sent parallelat,
i Mitiangula DFH, B HG, vi ex elementis patet.
f si , exunt si nilia, ac proinde DF est ad BG, ut D H ad I H G: hoe est ut triangulum D H B ad triangulu B H G. I Deinde, quoniam B G per centrum est tangenti DP
a parallela, liquet eam conrugatam ei Ie diametrum ipsi
i l I DB: sunt vero ex hypothesi etiam AB, BF coniuga. I .Ergo sectores BD CG, B ADC, adeoque 4 de I triangula BDG. B AC aequantur : Quorum bases, I D G, A C,eum proportionaliter sint diuisae in II & I, I ut D H sit ad HG, sicut CI est ad I Α , constat ex elementis triangula BHD, BIC de B HG, BIA es.
se aeqtialia. ergo cum privsostenderim D Fesse ad B G
368쪽
ut triangulum AH D ad triangulum B HG, erit quoque Dp ad BG, ut triangulum B IC ad triangulum BIA. vlterius eum triangulum B HG sit ad triangulum B H D, ut G H ad HD. hoc est ut ΑΙ ad I C,. hoc est ut ΚI ad ιB cum enim . CB sit coniugata thst ΑΒ , de AK, ex constructione tangens, patet AK. CB est sparallelas) hoe est ut triangulum AI K ad m,ngillum AIB : erit componendo triangulum BD Gad triangulum B H D. ut triρnsulum ΑΚΒ ad triangulum AIM' ω permutando triangulum B D G ad triangulum AKB, ut triangulum B ID, hoe est sicut ante ostendi, ut triangulum B IC ad triangulum AI B. sed triangulum , ΑΚΒ est i, triangulum L DB, ergo tria'gulupi ADGest ad triangulum ED B, b i. - hoc est, quoniam E D. B G lunt parallelae , BG est ad EI , ut triangulum B IC ad triangulum AIR. hoc est sicin ostendi supra. ut DF ad BG. sunt igitur in ratiooeeontinua D F, B G, E D. Quod erat demonstrandum.
Sint AB, BC diametri quaecunque coniugata , assumptoq; in peri pheria, inter Λ α C puncto quovis D, agatur per D contingens, occurrens AB, BC diametris in E &F, iunctaque AC Occurrat diame
tro DB in G. Dico tectam DF ad DE crationem habete duplicaram, eius quam
recta Dis occurrens PB lineae in I. erunt igitur per Draecedeotem, continuR FD, ΒΗ, E D. adeoque rario FD ad E D, duplicata rationis FD ad B H, id est D I ad lii, quia DF, BII per sonstructionem aequidi instanti ruritim eum H B recta aequidistet tangenti DF, erunt D B , B H diametri coniugatae; sunt autem ex con structione etiam Α B, B C eoniugatae , igitur c ut DI ad ΙΗ, sie CG ad GA: quare& ratio FD ad DE, duplicata est rationis CG ad GA. Quod erat demonstran
SInx AB, B C diametri coniugatae & per Α& C tangentes ducantur D E, F G. sit autem ερ alia quaevis diametrorum coniugatio HI, K L, quae producta occurrat tangentibus D E, F G in E , F, D, α G. Dico lineas DE, FG in Α εe C proportionaliter esse diuisas. nimirum esse E Λ ad A D, ut G Cad C F. D ω'utio.
Dueantur lineae ΗΚ,SI quae tectas A A, B C secen in M & N. Ratio EA ad AD 4 duplicata est ratio. nis LM ad MH, de GC ad C F. duplicata est rationis IN ad N Κ, Aequi ratio ΚM ad M H aequalis est rationi IN ad N K. ergo rationes E A ad AD.&GCad CF aequalium rationum duplicatae, simi aequales, proportionaliter ergo secta sunt D GF in punctis Cin. Risd erat demonstrandum.
369쪽
Corollarium.. 'Vod si per x ducatur tertia tangens, conuaniens cum B A, B Cconiugatis in OP, dicό fore OR ad ΚΡ, ut ΕΑ ad. AD.quod ducta resta A C eodem modo quo usi sumus demonstrabitur. i lItaque tres tangentes DE, OP, FG similiter lunt diuisae sie ut EA sit ad AD, seut OK ad K P, S: G C ad CR ,
SInt duae diametrorum coniugationes AB, BC, FG, DE, aganturque per Λ dc C tangentes HI, K L, quae F G, D E diametris occurrant in H, i, Κ, L punctis. iDico esse ut BC ad B A sic HI ad K L. . .
QVoniam recta B C aequidistat rectet
HI, MKL linea ipsi AB . prunt tam H Α, BC, AI quam KC, AB, CL Iineae in continua analogia. Cum ergo sit vi H A ad AI, prima ad tetaliam; sic ΚC ad CL, prima ad ter. tiam terit etiam ΗΑ ad BC, prima ad seeundam ut ΚC est ad A B, prima ad secundam et quare permutando est HAad KC, ut BC ad AB , cum igitur ante ostenderim H A esse ad ΑΙ, ut KC ad CL , adeoque inuertenda. Componendo, ac permutando sit ut HA ad KC, sic HI, ad KL , erit ut
B C ad B A, ita HI ad Καύαragainium. Demonstratio. Eodem modo ostenditur, si per P agatur tangens quae cum A B, B C conueniat in P M Q esse ut BC ad BD, sic HI ad PQ
P Ropos I ΥΙΟ CXIII. SInt duae diametrorum coiugationes A C, B in E F, E G: actisque per F & G tangentibus quae
diametris A C,B D occurrant in H, I,L, M. dugatur recta FG secans B E diametrum in L. H Dico L ΚΕ,Κ I lineas esse continuas. Quoniam FE, utpote coniugata ipsi EG aequidistat
tangenti LG, erit L Κ ad KE, ut GK ad K F. similiter quoniam E G, utpote coniugata ipsi EF, parallela sit tangenti Fr, est ut G Κ ad K F, se Κ E ad KDigitur ut L K ad K E, sic K E est ad K L .Quod erat demonstrandum.
370쪽
Dico I H E, L M E triangula esse aequalia. Demonstratio.
OIDVcatur rect AB quae F E lineam secer in N: fle ex E rectae ducantur EO, ERnormales ad lineas II L LM. Quoniam LM linea aequi dist.it ipsi F E est enim LM tangens, de FE coniugata ipsi E G,) crit angulo FE Gaequalis angulus E G P. eodem modo erit angulus O FE aequalis angulo FEG. quare anguli OFE, E GP sunt inrer se aequales: sunt autem E P G, EO F anguli recti, igitur triangula E GREFO similia.quare ut EG ad EF, sic EP ad Eo. sed est a vi E G ad EF, sic HI a tis. Amad LM. igitur ut EP ad OE . sic reciproce HI ad LM. ergo I HE, LHM trian gula sunt aequalia. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXU. IIsdem positis triangulum E G M, triangulo E FI, & E G L triangu
lum , mangulo E F H aequale est. Demonstratio. Est enim , ut H F ad FI, sic LG ad G M, de componendo ut HI ad FI, sic LM btii. .
ad G Μr sed est ut HI ad FI, sie HIE triangulum ad triangulum FIE, Ee ut LM ad G M, sie ELM triangulum ad triangulum EGM, Igitur ut HIE tri-gulum ad triangulum FI E, sic EI LM trianguIam est ad triangulum E GM, re perinmutando ut HIE triangulum ad triangulum E L M, sic FIE triangulum est ad triangulum EG M. quare FIE , EG M triangula sunt aequalia. eodem modo ostenduntur reliqua E G L. H F E aequalia.
SI ellipsim AD C duae secent diametrorueoniugationes AB, BC FEB, 3 D: aganturque per A, E,C. contingentes FG, H I, KL quς diametris quidem E B, B D occurrat in G,Κ,F,L. diametris vero Α B,B in F N I. Dico triangula FG B, HB I, KL B esse inter se aequalia. Demaehstratio.
Am triangulum BIE e aequatur triangulo L BKC , hoc est per Iis. huius triangu- Io BFΑ :εe triangulum B HE , 4 aequatur triangulo GAB. erso triangulum totum ΗΙ Η aequatur toti BFG. quare cum etiam FGB, ΚBL aequalia sint, liquet tria trian gula esse aequalia.
P Ropos ITIO C X. V II. Sint ellipseos duet diametti coniugavitae AB, BC, Fc expuncto aliquo inter A & C assumpto, scilicet D ducatur tangens DE coniugatis AB, BC