장음표시 사용
371쪽
3 ELLIPSI Lproductis occurrens in E & F: deinde ex centro B ducatur B G, ipsi EF aequi distans, sitque. GB media inter ED, DF. Dico punctum G esse in peripheria ellipseos, cuius diametri coniugatae A B, B C, & tangens E D. 'Demonstratio.
EX centro ad contactiam ducatur B D, de quia G B ex hypothesi est parallela tangenti ED, erit GB ordi- . natim posita ad B D, & quidem ad centrum. unde B D, GB suae diametri coniugatae iungantur deinde AH C& DG, ex C ducatur CK parallela ipsi Ah , oecurrens B D protractae in K : quae sectionem in Ccontingit , eritque ut A II ad H C, ita B H ad II Ri. sed ut AH ad H C, ita cst ABH triangulum ad triangulum H BC , 6e ut Bri ad HK, ita est triangulum H B C, ad triangulim H C K: ergo ut triangulum A B Had ipsum H BC ita est triangulum H BC ad triangu
lum H CK: ergo componendo, ac permutando tria
gulum ABC, ad triangulum BCK est yt triangulum BHC ad triangulum H CK, id est ut iam ostensum, vex νο Misi Ni ngulum A BΗ ad triangulum H BC, id est vilineat . A H ad lineam H Ct sed aequalia sunt triangula a BC BD F,ergo etiam erit trianis gulum ADC ad trianguIum BDF, ut AH ad I C. Vlterius quoniam DF, GRM- μω. s. u parallelae, erit triangulum b GDB, ad DBF triangulum , ut G B, ad DFised, quoniam ex hypothesi ED, G B, DF sunt continuae , ratio G B ad DF, .io,. ιλ est dimidia rationi , E Dad DF.Ergo ratio ζrianguli GDB ad triangulum DB P. . dimidiata est rationis ED ad DF. Atquis ratio AH ad H C, hoe est ut ostensum supra, ratio trianguli ABC ad triangulum DB F, dimidiata quoque est rationis ED ad DF. ergo triangulum G DB est ad triangulu DBF, ut triangulu ABC ad idem triangulum DB F. aequantur igitur triangula G D B, A B C.ergo Se parallelogrammum contentum semidiametris,ut supra ostendi, coniiugatis,G B,B D in angu- apisis. ω lo G BD aequatur parallelogrammo contento sub semidiametris coniugatis AB. i. im. B C. Ergo si punctum G est ad ellipsim. Quod erat demonstrandum.
SInt rursum binae diametri coniugatae B A, B C. Et sumpto in perimetro ellipsis puncto D inter Α, ac C, tangat ellipsim EF in D, oecurrens diametris in E & F. Deinde ex centro B ducatur ad perimetrum B G parallela tangenti. Dico E U, G B, D F esse in continua analogia. Demonstratio.
I non sit aliqua LB minor veI maior quam GB media inter ED, DF. Erga' per praecedentem punetiam L est ad ellipsim. quod fieri non potest, cum ex hy- .pothesi punctum Gad ellipsim existat. Nulla igitur praeter GB media est inter ED, . . DF. ergo E D, G B, DF sunt continuae proponionale .Quod erat demonstrandum.
372쪽
PROPOSITIO CXIX. lnt in ellipsi diametri coniugatς ΑΒ, BC iungaturq; AC cui paral
lela fiat linea D Etangens ellipsin in F,&occurrens diametris coniugatis protractis in D & E. Dico triangulum E D B trianguli C A B duplum esse.' Demonstratio.
Ex centro B per tactum F ducatur diameter B Hs,
cui occurrat in K recta CK cllipsim tangens in C, deinde ex tactu F ponatur ordinatim FIG. Quoniam AC parallela est ex hypothesi tangenti DE, erit a ad diametrum BF ordinatim posita. ergo ΚΒ, FB, FIBb sunt continuae propori ionales. ergo ς est ut KB ad F B,
se KF ad FH. led ΚΒ est ad FB , M triangulum
KCB ad triangulum FCB, hoc est , quiad triangulae KCB, EFB aequantur , ut triangulum EFB ad idem triangulum C F B, hoc est ut E B ad C B. Igitur ut E Bad CB, sic KF ad FH. Deinde quia ex constri KCtangit ,& FG est posita ordinatim ad BC, rectat EB, C B, GB sunt continuae. Ergo 'ut F.B ad C B, sic E Cad C G. sed etiam est ut iam ostendi , sicut EB ad CBita KF ad FH. Ergo ut KF ad FH, sic EC ad C G. Ergo ut triangulum Κ CF ad triangulum FCH, sic triangu Ium EF C ad trianguIum CFG tqui cum tota KCB, EF B. aequalia sint. ablato communi FB Creliqua KCF, EF C aequalia sunt. Ergo Sc FCH CFG aequalia sunt: ablato igitur communi FIC , aequalia remanent FI H, CIG. quibus si commune addis B HI G, F GR aequabitur CH B. Iam vero quia AC ordinatim posita est, ut supra ostendi. ad BF, bisecta est AC in H, adeoque x triangulum C AB duplum est trianguli CHB, Ec DE parallela ad AC etiam bisecatur in F : est vero FG, ut- Dote ducta ordinatim ad C B, parallela ad C B. diametrum coniugata ipsi CB. ergo M BE bilecatur in G. proindeque E FB duplum est GFB. Atqui CH B. FG dostensa sunt aequalia. Ergo & eorum dupla C AB , E FB aequalia sunt. sed trianguis tum DEB duplum est it anguli EF B, est enim DE bisecta in F. Ergo triangulum DEB duplum quoque est trianguli C A B. Quod erat demonstrandum.
373쪽
Sectionu polos, s lineam a puncto in axe dato adperipheriam, breuissimam designat. at Artem hane , quae de polis est , ageresura , paucis praemutemus raquae adιnuentionem polorum ab Apollomo bbro tertio propositione ga. c s. demonstratasiunt; cir quidem hoc necessarium eqse duxi; tam quod ad iliorum intelli entiam qua inpostonius in rem banc contutit, nec omnium captus ita patent, plurimum conducant, tum quod ad rem nostram plane iudicem necessana. pollonius ιPtur mi in axe Ab ospolos exhibea hac utitur constructisne propositione F. or 6. Quartς, tuquιt, parti figurae aequale rectangulum comparetur ex utraque parte : a est, simonis axis A C ita sireturis duobis punctu G Ο Η , mi tam AG C quam C H A rectangulum aequale sis quarta parti figura: q- posito miteriin ostendit G c H polos esse fictionis r quos punct
evocat ex comparatione 'ota; φυι debcet ex comparatione rectangulorum sub sigmentis axeos, cum quarta partesi' . Fguram porri, bie vocat Apostonivi rectangulum quodsit sita latere recto axeos maioris in ipsi axe: atque istud cum quarta sui parte ad ustrui reteximios; videlicet inuentionem polorum e .singularipra re in rectanguia appellatione figuram appellauit antiquitas: huius autem quarta parti quale est quadratum laxeos minoris: quodPergaeus ita. terno, propos 41. praeclare demonstrauit,σnos merbo Uosic ostendinus.
Lemma ΡEt undecimam huius,figurae siue rectangulo sub axe maiore de latere illius recto aequale est quadratum axeos minoris; sed quadrati minoris axis quarta pars est quadratum dimidii axis minori si igitur quadratum dimidij axeos minoris aequaIe est quartae parti figurae. unde cum voce illa in hac parte utar, quarta pars figurae, intelligi volo quadratum semiaxeos minoris. Occurrent in hae parte opositiones aliquot eadem eum iEP quas apollonius de focis , d monti ramι: quod eo con ofeci, ne quid in hae materia studiosus lector desideraret.
SInt A B C ellipsis axes A C, B D, actaque per B tangente E F et centro BD interuallo DA circulus describatur AE FC, qui tangenti occurrat in E & F. dein ex E de F, normales demittantur E G, FH ad axem A C. Dico tam A GC quam ΑΗ C rectangulum aequale esse quartae parti
374쪽
Quoniam eam EB linea aequidistat rectae AD quam EG ipsi BD.
erunt EG, BD lineae aequales r est autem AG C rectangulum aeuuale quadrato EG, quod recta EG ducta sit ad diametrum circuli normalis; igitur & quadrato BD aequale est rectangulum A GC. eodem modo
est FH quadrato , hoc est quadrato BD aequale tectangulum ΑΠ C. sed BD quadratum est aequale quartae parti figurae,isitur tam A GC quam AH C rectangulum est aequale quartς parti figurae. Quod erat demonstrandum. Corollarium. FIinc patet AG, H C lineas esse aequales & GH bifariam esse diuisam in D.
isdem positis ducantur rectae B G, B H. Dico BG, B H lineas simul suinptasaxi AC esse aequales. Demonseratio.
Voniam aequales sunt h A G, H C,quadratum A G aequatur rectangulo ex A G de H C. Iterum quia aequales sunt GD, D Η, aequabitur rectangulum AGDό
bis sumptum rectangulo AGH. Quare cum ς quadratum AD aequale sit quadra-Hotis DG, AG de rectangulo AGD his, idem quadratum AD aequabitur quadrato e μα α DG ω rectangulo ex AG . HC una cum rectangulo AGH. Atqui rectangula AG, IC, AGris aequantur rectangulo AG C. Ergo quadratum AD aequale est quadrato DG una cum rectangulo AG C i hoc est quadratis D G, G E, hoe est 4 s quadratis D G, D B. sed ijsdem aequatur quadratum G B, squantur igitur quadrata Α D, G B, ac proinde rectae A D, G B aequales sunt. Eodem modo demonstrabitur tectas CD, HB aequales esse. Ambet igitur GB, B H simul sumptae axi sunt aequales. Quod erat demonstrandum. Creoliarium. HIne sequitur: si A B C ellipsis axes fuerint Α C, B D, 8e ex B vertice minoris axis rectae dimittatitur BG, ΒΗ, aequales lineis AD, D C, secantes axem A Cin G & H. Quod tam A GC quam ΑΗ C rectangulum, aequale sit quartae parti figurae. adeoque G δc H sectionis poli sunt.
diametri coniugatae AC, DE contingant in AN C,εe alio puncto quo uis B tres lineae AF, CG, FG i & FG quidem o Currat A F, C G rectis in F & G. productaque E Doecurrat FG lineae in I, &
ex B, recta demittatur B H ordinatim ad A C diamettum
375쪽
, hi, kς 'RRgulum supς AF, CG lineis . Uquari rectangulo super Demonstratio.
Imeae, sunt in Coutinua ratio.
ad F A r adeoque rectangulum super A F, C G lineis aequale rectangulo B H. ID Quod erat demonstrandum. coralia m. HInc sequitur rectangulum A v, C G vel H 3, ID , aequale esse quarte parti Arae: ducatur enim BR parallela axi AC i erit rectangulum DK, DI aeuualer 'hi ζή, . . 's' μ ARC G xφομ'gvivin φst aequale quadrato E D hoe est quae PROPOSITIO CXXIII FLlipsim ABC cuius axis AC, contingant in Α &C, &alio ovouis puncto B, linea: A D, C F, DF; & DF quidem conueniat eum A D, C F lineis in D & F. diuidatur autem linea A C in G & H ut ΑGCA H C rectangula sint aequalia quartae parti figuret. ducantuti linet D G'G F, D H, H F. Dico angulos D G F, D H F esse rectos, & s sint tecti di eo D F, lineam tangere ellipsim.
Demonstratio. D Ectangulum D ACF, ea aequale
quartet parti figurς , hoc eri rectangulo A G C. Ergo ut A G ad A D, ne P C ad C G sunt autem anguli D A G, FC Glectiligitur D A F C G. ι ' xxia gulR e similia r & angulus ADGaequalis angulo CGF, est autem angulus ADG, una cum anguIO AGD. . ε - . aequ*Jiβ mi recto,cum D A G inquiu, an triangu Io ADG ut rectus rigimi Stangulus CGF, una cum angulo AGD uni recto lunt aequales. ergo reIiqvus DGF est rectus. eodem modo ostenditur anguia ιM DEF rectus. Quod erat demonstrandum. . -
PRO Pos ITIO CXXIV. ELlipsim ABC cuius axis A C contingant in A, C, B, punctis lineae
376쪽
xVngantur ptincta DF, FE,D GR Quoniam tam angulus DF E, quam DGE est rectus; dc DE linea virum- cue subtendens diuisa bifariam in LH, patet circulum centro H interual- μ iij lo H D descriptum tranare per F&G. il . l
AIesse inter se aequaIes est enim angulus ΑDF in demonstratione praeia --i--
cedentis aequaIis ostensus angulo GFEr sed anguIo G F E aequatur angulus E D Geum eidem arcui EG insistat, ergo anguli EDG , FD A sunt inter se aequa-
Llipsim ABC cuius axis AC - contingant in Α, C, B, lineae AD, I CE, DE: & DEquidem conueniat cum AD, CE lineis in D& E. nant autem A FC, AG C rectangula aequalia quartae parti figurae: ducti Gque lineis F E, G D quae se interlocent in H, ex puncto H ad contactum B, ducatur recta H B. , Dico H B normalem esse ad tangentem D E. Demonstratio. r Vcatur rectς PD, CR. Anguli
DFE,ECD recti erunt. Iam seper H D, HE lineis ut diametris circuli describantur DB H, Egre 'Quoniam D H, H E lineae non sunt in directum patet D AH, EBII circulos se inuice secare in puncto ali- laeruo B. iunctis igitur punctis ΗΒ.ueantur rectae D B, E B: etunt an- sYguli DBH , EB H recti , adeoque m
D B, E B lineae in directum,&Η Η 'linea normalis rectae DE. sunt au- smisistem ut ante ostendi DFE , EG D rei. -- anguli recti; itur DE v linea est tangens. Quare tecta BA est normalia ad EDI'Σ-- tangentem. Quod erat dcmoivirandum.
EAdem manente figura: dueantur F B, B G.
Dico angulos DB RE BG adeontingentem esse aequales.
377쪽
arecti sunt, trantibunt per F Ee G, circuli D F Η,EG Hr transit autem uterqu e etiam Per B: quia b an.
guli EB H, DBH sunt rediit igitur tam anguli DBF., DHF quam EB G, E HG anguli sunt inter se aequales: sed angulus D H F aequalis est angulo EH G : ergo & DBFaequatu r ansulo E B G.QAod erat demonstrandum.
sineώ omnes ex F ιπyeripheriam esti sdactas ines undau in G. Sare est panina. FG polistu foci a nonnullis vocam guri qua ab inpiagonio puncta ex com paratione facta dicuntar porro haec in e fi risis mirabis habent proprietatenistre reliquas puruit sequorem his ad
Sini A, C,fori est seratiquorum d sanita parsis interuasio oculorum ona ruri in Α oeutas ser, O dexter in C. Dico illam per totum geratum ana rare oculo dextro, in C posito: s viribsim o Iamdextrum in C. ρον totum θeculam via riab oculo istro in A. demon oratio patet: ρeries enim obiecti A, per rotaem eculum dissas νefectuntuν in C,, θeries obiecti C per totum disses resectuntur in A. quare obiectum Aper torum aptarebit se iam, oculo Q mis obiectam C, oculis A. hine serim ur quod miniamum es visibiis p sam in C , maximam apparebis oculo in A posito : quia apparebit per rotari culi siversiciem dissem.
PROPOSITIO CXXVII. FLlipsim ABC, cuius axis AC & poli DE contingant in puncti
Α, C, B rectet AF, CG, FG i&FG quidem conueniat cum A RC G lineis in F & G. erigatur ex E, linea EH normalis ad tangentem FG,iunganturq; puncta AH, CH. Dico angulum ΑΗ C rectum esse. Demonstratis. DVctis lineis F E. R G describantur super FE, EG dia metris circuli FH E, H G C: ae circulus quidem FHE, Cum anguli EHF, F sint recti,transbit per Η, F, Α. puncta: circulus vero H GC; cam D H E. ECG anguli quoque recti sine erunt igitur tam adguli AH P. AEF quam EHC, EG C, an i gutt
378쪽
ELLIPSIS. 3irguli aequales: sed angulus CGE per demonstrata in rai. huius aequalis est angulo FFLA, igitur &angulo CHE aequatur angulus AH FI addito ergo communi an gulo A H D, erit angulo F H E recto aequalis angulus A H C, quare dc ipse rectus est. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXXVIII. ELlipsim ABC cuius axis ACcontingant in A, C, B, lineae AD, C E, D E, ac D E quidem occurrat A D, C E lineis in D & E e sint
autem poli F, G, centrum H ductaque ex F recta FB ad punctum contactus ducatur ex H linea HI parallela rectae F B occurrens E D lineae in I.
Dico Hi lineam aequalem lineae H C, & si HI occurrens E D rectae, sit aequalis H C. dico Hi lineam et qui distare F B. Demonstratio.
TIat B I aequalis IKt iungamurque BG, G Κ, &rectae dueantur AI, IC. Quoniam IB. I K sunt aequales, erit B I ad IK, ut FH ad FI G: adeoque BF,KGlineς parallelae& angulus BKG aequalκ angulo DB F, hoc est a I BG t quare 'B GK lineae aequalest silini autem ω duo reliqua latera BI, IG aequalia duobus lateribus ΚΙ IG. Angulus ergo BΙG, aequalis angulo KIG: adeoque GIlinea normalis tangenti D E, M angulus AIC rectus. quare circulus centro H interuallo H C descriptus transibit per I, eritque HI linea aequalis lineae H C. Quod erat primum. 'Reliquis manentibus, sitiam HI Iinea quae occurrat tangenti ED in I, qualis lineae H C. Dico HI rectam aequi distare linei BF: sin veros ducatur ex H linea HL, parallela rectae FB occurrens ED tangenti in Lierit igitur H Llinea aequa lis lineae H C, hoc est HI. quare circulus centro H interuallo H C descriptus transilit per I & L puncta. Quod impossibile: igitur H L non est parallela ipli F B: nec quaevis alia : pretier HI lineam. Quod erat demonstrandum.
379쪽
SIt F centrum ellipseos; actaque per B tangente B G: ducatur recta F G parallela lineae D B secans E B lineam in H. Quoniam BD, FG line sunt parallelae, erit angulus FGB aequalis angulo DBI hoe est EB G, adeoque HB, HG lineae aequaIes: rursum cum sit ut DE ad F E, sie B E adHE, sitque DE, dupla FR, erat de ER. dupla rectae B H id est HG : sed etiam B D dupla est F H, eum sit ut D E ad F H, sic D B ad F H. igitur E. B, B D lineae smul sumptae duplae sunt tectae F G hoc est FC : quare & aequales axi A C. Quod
Riangulorum isoperimetrorum maximum est iso scelium. Demonstratio.
Escribatur ellipsis quaecunque ABC cuius axes AC, FB poli D, E, iunganturque puncta DB, BE r tum super 'EDhasi triangula constituantur quq unque D GE , quorum vertices G sine in peripheria Quoniam tam DB, BE lineae quam D GE simul sumptae sunt aequa. Ies axi AC: patet D B E, DGE triangula esse ilisperimetrar dico autem illorum esse maximum triangulum DBEr agatur enim per B tangens: quae cum in uncitantum puncto B ellipsi occurrat fic reliqua sui parte tota cadat extra,patet D GEtriangula quae terminantur in ellipsi minorem habere altitudinem triangulo D d E. adeoque illo esse minora est autem DBE triangulum isosteles, quia DF , FB latera aequalia sunt lateribus EF, FB 8c anguli illis contenti recti υ igitur triangu-Iorum isoperimctrorum maximum est iso sceles. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXXXI. Oporteat e focis ellipseos DE duas inclinare ad idem punctum pe
rimetri quae datam contineant rationem H ad Κ. . . Debet autem data ratio maior esse ratione A D ad DC, minor vero
Construetio es demonstratιst. CEcetur axis AC in G . secundum d
tam rationem II ad K, quς cum ponatur maior ratione AD ad DC, de minor ratione A E ad E C. manifestum est A G lineam maiorem esse recta A D: minorem vero A E , ac proinde punctum G cadere inter polos D, E. erigatur igitur cK
Dad peripheriam linea DB aequalis rectae ΑG. Iunganturque puncta BE. dico factum esse quod petitur. cdm enim rectae duae DB, BE simul lum prae sint aequales axi AC, sit autem per constructionem DB linea aequalis lineae AG, erit BE reliqua aequalis reliquet G C: igitur D B est ad B E, ut A G ad G C, id est vi H ad K. Inclinavimus igitur, dec. Quod erat faciendum.
380쪽
ELlipsim ABC contingat in B linea BD comaeniens cum axe maio
re CA, in D. ex B autem contactu, normalis ad contingentem po natur B E, occurrens axi in E.
Dico EB lineam breuissimam esse illarum quae ex E puncto adpeti-pheriam ellipseos duci pollum.
Entro E interuallo EB circulus describa- - ur FBG occurrens axi in F dc a centrum ellipseos sit H. Quoniam DB ellips m
contingens cir axe maiori conuenit in D, de an
gulus L BE rectus est , RE linea non transit pet II centrum ellipseos tu enim E centrum est, recta E B, normaliter ad contingentem posita adiis erit coniugatus axi A C, cum aequi- distantes mones contingenti DB a bifariam Sc ad rectos diuidete t. adeoque DB aequidistaret axi AC r non igitur E eentrum est ellipseos. nec EB diametet 1 quia vero DB cum axo conuenit ad partes Α, EB linea v minotest se. midiametro, sibi parallela r adeoque de minor
re circulus radio E B desicriptus, occurrit axi in
G intra ellipsim, punctum igitur G, supra C et . Rursum cum H C id est A Η,maior sit osten- quam EB id est EG, ablato communi Eri, manet ΑΕ maior quam HG, posita autem EI aequali EH, recta FI aequatur H G, igitur Α E quoque maior est FI i ablato ergo ex FE 3c A E, communi IE, manee ΙA maior quam IF: unde te F punctum cadit intra ellipsim infra A. vlterius ponatur per F, contingens F Κ, cui aequidistet P QN M, erit igitur ve M B quadratum ad quadratum Bia sic ς MO rectangulum ad quadratum FK; sed ut M B quadratum ad quadratum BK sic PMN rectangulum ad rectangulum vi K a; igitur ut QM O rectangulum ad quadratum FR se PMN rectangulum est ad rectangulum α Ks: Ac permutando, inuertendo ut PK quadratum ad rectangulum ας β, sic QMO, rectangulum est ad rectangulum P MNr est autem FK quadratum maius rectangulo e a Kβ , igitur &φεμ ηδ QM O rectangulum maius est rectangulo PMN : iterum QMO retiangulum una cum quadrato ZO aequale est quadrato ZM, de PMN rectangulum una cum quadrato ZN, eidem quadrato ZM aequale est; aequale igitur est rectangulum QMO 3c una cum quadrat Z O , Iectangulo PMN , una cum quadrato ZN ; a quibus si inaequalia auserantur rectangula QMO , PMN , inaequalia rematient quadrata ZO, ZN: se quia QMO rectangulum maius est rectangulo PMN, quadratum Z Ο minus est quadrato Z N: dc Z a minus quadrato ΡZ: puncta igi- ut O & Q intra ellipsini sunt: similiter ostendentur puncta X Τ , de quaevis alia Perimetri circuli FB Gesse intracti ipsi π1 circulus igitur F B G totus intra ellipsim cadit: unde cum rectς omnes ex E centro circuli ad ellipsis peripheriam ductet prius
circulo occurrant quam cilipsi : adeoque semidiametris eiusdem maiores sint: igitur EB, quae in B puncto communi ellipsi de circulo terminatur omnium illarum
Breuissima est quae ex L puncto ad ellipsis peripheriam duci possunt. Quod erat