장음표시 사용
381쪽
PROPOSITIO CXXX lIII. APunc' o. H) in axe ellipseos assignato lineam ad perimetrum bre
CInt D, M E foci ellipseos. Axem AC seca in F,ita ut A F sit ad F C, sicut D H est ad HE. Tum ex polo ad perimetrum aptetur DB aequalis ipsi AF, iunganturq; H B. Di eo HB este breuistimam. Ducatur enim ex polo Had B recta E B. N LM tangens ellipsim in B, DB, BE. aequantur axi. sed DB a qualis est ΑF. ergo BE aequalis est F C. Ergo D B est ad B E, ut A F ad FC , hoc est ex eonstr. ut D H adHE. ergo anguli DBH, EB H aequantur, aequantur b autem re anguli ad contingentem D B L, EB M, toti igitur anguli H BL,Η B M aequales sunt: norma lis igitur est HB ad tangentem, ergo per praecedentem breuissima omnium quae ex puncto H ad perimetrum duci possunt. Factum igitur est quod petebatur. Si punctum F incidat in polum D, aut inter A, & Di tunc breuissima ex dato
puncto H ad perimetrum erit pars axis, ut patet constructionem ac demonstratio n in priorem Conside rρnti.
IN data ellipsi circulum describere maximum eorum qui ellipsim in
termino axis contingunt di a bellipsi comprehenduntur. constructio or demonstratio. Poli ellipseos sint Dde, E. Fiat ut CD ad D A,
sic EF ad FD. Dico circulum centro F interuallo Α descriptum eum esse qui petitur. Cum enim ex const.lit CD, ad DA, ut EF ad FD, patet ex praeced. FA esse breuissimam omnium, quae a puncto F ad perimetrum duci possiant; Circulus igitur centro F per A descriptus tangit ellipsim. quod erat primum. quod autem tangentiam intra ellipsim maxinflassit,sic ostendo. Sume viterius punctum aliquod G pro centro maioris circuli, quoniam igitur EG est ad GD, in minori ratione quam EF ad F D, hoc est quam CD ad DA, fit exemp.grar. vi EG ad GD , se CP ad F A eritque F A necessario maior quam D A: adeoque punctum F cadet ultra polum D versus E si igitur ex polo D ad perimetrum aptetur DB aequalis G A, iungaturquo G B, patet ex praeced. GB fore minimam omnium quae ex G ad perimetrum ducuntur. Quare GA maior est quam G B, circulus' ergo centro G per A descriptus extra ellipsim eadit. similiter ostendemus quemlibet cireulum alium maiorem citculo qui interuallo FA ante descriptus est , cadete
382쪽
extra ellipsim : ergo ille omnium intra ellipsim tangentium, maximus est. In dati igitur ellipsi,&c. Quod erat faciendum. corollarium.
EX huius propositionis discursii cIare constat circulos omni interuallo descriptos quod minus est interuallo F A ellipsim intra contingere in puncto A. si centro
inter F & A constituto pertingant usque ad A. verticem axeos. IlIi e retram circuli contingent eum qui radio F A descriptus est,eoque minores erunt quare e Iam ellipsim intra contingent cuius axis A C.
2 : i PROPOSITIO C XX XV. SIt AB C ellipseos axis maior A C & in illo poli D, E, fiatque ut C Dad D A sie E F ad F D, & D G ad G E. Dico ex quo uis puncto recta: FG circulos posse describi qui ellipsim
intus in duobus punctis contingant: centra vero illorum consistere inter F de G exclusis terminis. DemonstratIo.
Cumatur enim quod uis in FG recta punctum Π, &ex H linea ducatur H B, breuisiima illarii a quae ex H ad peripheriam duci poterunt;dein ex Bordinatim ad axem ponatur BLK, Ac iunge HK, HB, patet per elementa HK iunctam aequari HB, adeoque circulum centro Hinteruallo HB descriptum transire per K dc Br & cum HK, HB lineae sint brcuissimae per Constructionem, patet circulum BD Κ , totum cadere intra ellipsim ac proinde eam in B & Κ, punctis contingere. Quod autem centra circulorum ellipsim in duobus punctis contingentium consistant inter F G exclusis terminis, ex eo patet quod FA, GC lineae breuissimae sint illarum ouat ex F & G, ad peripheriam duci poterunt, adeoque circuis It centro F vel G, & interuallo quouis maiore quam sit F A vel GC descripti ellipsim jecent: rad ijs vero F Avel GC descripti b maximi sint, illorum qui ellipsim intus in uno tantum puncto contingunt.
P R. O POSITIO CXXXVI. EAdem manente figura: propositum sit in axe punctum designare
quo centro circulus describatur , qui ellipsim in dato puncto intus contingat. structio in demon Iratιo.
CIt datum in peripheria punctum B, per quod si acta intelligatur contingens,demit- 'Otatur ex B linea B H, normalis ad tangentem, occurrens axi in H. Manifestu in est e tii. H punctum satisfacere petitioni. nam cum ς HB linea breuisiima sit earum quae exH ad peripheriam duci possunt, continget circulus centro H interuallo HB de- t scriptus ellipsim in β puncto B; igitur, dcc. Quod erat faciendum.
383쪽
PROPOSITIO CXXXVII. Elioseos axis sit A, C, poli D, E, ex quibus ductae sint D B, EFG
normalesaxi;ellipsim autem tangat ΚBl in B, occurrens axi m K,
rectae vero G F in I, iungaturque D F. Dico tectangulum Fl G quadrato DE aequale esse. Demonstratio. Quoniam DB , EB dumeliante polis ad contactum,
anguli ΚBD, IBE aequalessiam. sed, quia D B, EI parallelae, angulus Κ B D angulo EI B
a qualis est, aequantur igitur a
aequales sunt. . Deinde quia r
lia sunt, etia quadrata EF, D Bsunt aequalia, adeoque de rectae EF, DB aequales. Quare cum DB, BEς aequentur EF, FRetiam BE. DF aequales erunt
Atqui BE ollensa est aequalis EI. ergo & D F est aequalis EI.& quadrata proinde DF,EIaeis qualia sim t. sed quadrata DE, EF, aequantur quadrato DF ide, quia GF bisecta est in Eeique adiecta FI, Tectangulum CIP cum quadrato Es aequatur quadrato EL quadrata ergo DE, EF aequantur rectangulo G IF cum quadrato EF. Dempto igitur communi quadrato EF, remanent aequalia rectangulum G IF M quadratum D E. ini oderat demonstrandum.
Indem positis ducantur quotcunque aliae Q, Η, Κ, M, normales axi. Dico rectangula H, Q, M, quadratis DK esse aequalia. Demonstratio.
GLlipsim tangat CN in C. occurrens tangenti BN in N, ducaturque BC se-λ- eans QM in O, dc I G in S. quoniam N C, I G sunt normales axi,aequi- distant. ergo per ea quae propos 9'. huius demo nstrauimus,rectangulum FΙ G,aequatur quadrato SI, de rectangulum H QM quadrato QO aequale est: quare ut quadratum IS ad quadratum QO, hoc est ut quadratum S B ad quadratum OB,hoc est ut quadratum E D ad quadratum Κ D, ita rectangulum FI G ad rectangulum H Q hi,&permutando verectangulum FIG ad quadratum ED, ita rectangulum H QM ad quadratum K D, sed rectangulum FIG per praeced. aequatur quadrato ED. Ergo rectangulum quoque HuM aequatur quadrato ΚD. Similiter dentonstrabimus ad alteram partem poli D , rectangula I Q M quadratis ΚD elle aequalia.tangat enim ellipsim AP, m A Occurrens tangenti in P. Miactus uingat ΑΒ secans QM in R. in triangulo B CN, Ducatur aliqua QO,parallela N C normali ad axem, ita se habens ad 4B, ut QR est ad Q S. erit igitur. Permu-
384쪽
ELLIPSI s. 3t permutando ut QS ad B ioc est ut KD ad DK, ita Q. Ο ad Q R. ergo vequadratum KD ad quadratum DK, ita quadratum QO ad quadratum QR, hoc est a rectangulum H QM ad rectanFulum H Q M. permutando igitur vi rechaniagulum H Q. M ad quadratum KD, ita rectangulum H QM ad quadratum DK. Atqui supra demonstratum est rectangulu H illud nempe quod est versus C aequari quadrato ΚD, ergo rectangulum quoque HKM quod est verses Α, aequa tui quadrato D K.Omma igitur re angula HKM,Ecc.Quod erat demonstrandum i Carollarium. Ex disieursu demonstrationis iam allatae licet colligere quadrata tangentium C A P, quadratis CD, D A eta aequalia.
PROPO si ΤΙΟ CXXXIX. DAta sit ellipsis cuius axis AC, poli D, H, ex polo D ducta sit ad
perimetrum D P normalis axi, & in P ellipsim tangat linea G P G. Ducantur autem quotcunque normales axi GF E, iunganturi DF, DF. Dico lineas omnes DF, lineis omnibus G E aequales esse. Demonstratio. 9Roducatur una rectarum GE in Μ. per praeced. rectangulum FGM aequatur quadrato DE. addito igitur communi quadrato EF, aequantur quadrata DE, . EF, hoc est quadratum DE, rectanguIo FGM cum quadrato EF, hoc est, . quadrato G E. Quia igitur quadratum DF aequatur quadrato G E, etiam recta DF rectae GE aequalis est. Eodem discursu reliquae omnes DF, reliquis omnibus GEaequales sunt. Quod erat demonstrandum. In libro de hyperbola, tria sequentia theoremata licet sint demonstranda quod ab hyperbolet proprietatibus dependeant, ob miram tamen cum ellipticis assectioianibus connexionem visum est non alienum hoc Ioco proponere.
PROPO si TIo CXL.FAdem manente figura, si rectis DF e polo ductis aequentur lineae
E F G normales ad axem A C. Dico lineam per puncta G ductam esse rectam quae ellipsim contingae in P.
Demonstratio manifesta est ex propositione praecedenti.
385쪽
habens AB, centrum Diumatur in axe punctum quod primo si centrum elislipseos, ex eo ducatur ad perimetrum normalis.axi DC ac deinde quotcunque aliae DE, DE: quibus aequales fiant lineae F EG axi nor
Dico lineam per puncta G descriptam esse hyperbolam quς idem habeat blatiellipsi centrum D, eamque contingit in C.
Demonstrationem vide in lib.de hyperboIa.
PROPOSITIO CXLII. lipsim tangat in P.
Demonstrabitur in libro de hyperbola. PRO Dissili reo by Cooste
386쪽
Ata rursum sit ellipsis axem h bens A C, polos o, Q, in axe sumatur punctum E inter polum D &
verticem A, ex quo ducatur ad perimetrum normalis axi E B et Sc quot- uis aliae Ep. bilibus aequales fiant
Dico lineam quς per puncta H descimitur hyperbolam esse quae ellipsim ainbiatdctahgat inpufino A. '
dabimus in libro de Deiponstratibnem hyperbola i
DAta basi aggregato laterum o l
altitudine triangulum exhibere. D
'Ato aggregato laterum ponatur ΑΒ. - aequalis , qua bifariam diuisa in C -- - - - l lfiat D E aequalis has trianguli bifariam Zis N in diuisae in C sic ut utrimque relinquantur Z aequales AD, B E. altitudini autem si i
aequalis F, ex lateribus AC, C B, D E l l fiat triangulum DHEa inam A C, CB, it asimul sumptae maiores sunt DE,ὶ erit o B A c y STA 1DHE I sceles. Deinde fiat ut qua- . -- alitum H C ad F quadratum, ira i ctangulum ACB ad AKB, Ω erigatur RG aequalis F parallela H C, de iun-σantur DG, GE. Dico D GE, esse triangulum quaesitum.quomam ACB, reoctangulum est ad A RB re stanguliun, ut quadratum HS ad qWadratum F, hoe est Gk, quadratum,erunt puncta A,G,H,B ad eandem ellipsim cuius AB, est axis: requia Aia, ipsi EB, itemque DN, HE, aequales sunt ipsi AB, erunt DE, a pun-- 'cta excdparatione facta siue foci ellipseos,quare DGE, latera aequalia sunt axi Α Β, hoc est aggregato laterum estque basis data DE, & altitudo F hoe est GK. I tui exhibuimus triangulum quod quaerebatur.
387쪽
Ectam A B, subtensam cuiusuis arcus circuli Α Β Raltera secare C in eidem ad angulos rectos vi CE ad Eo .datam obtinere ratiosem
Κl M. ἀ-ti tur RM in T.: Reinde rectangulo No P, fiati l l aequale quadratum LE; tandem ducatur pet, I l I E, recta normalis CE ra. Dico C EI , diuita iam in Ε, s eundum tὲisonem F. ad a. Quoia niam sunt lineae N P, Κ M ad angulos rectos Q bifariam diuisti igitur doscripta poci irca
illas tamquam axes ellipsis, N Kk, mirit ita-T que O ,ὶE, ordinatim positet ad singulos axes:& quia axes similiter diuitae sunt in O ML, estque rem1ngulum N OP aequale qua-a aut .drato LE, patet a punitum E esse ad ellipsim per puncta N, , Ρ, M d scriptam. ergo est ut HK ad ΚI, hoc est ut F ad G. sic CE ad E D, pater rectam D applicatam esse in circulo normaliter ad CD svi CE ad SD datam rationem obtineat F ad G. Quod fuit demonstrandum. I d ii ii c 3
Ata recta A C & altitudine B D , ellipsim deseribere euius poli
sint Α, & C. f i ta . l. constructioHdemonstratis. stat super ΑC Ilnea in altitudine in B D triangulum isoleeles ABC, dein AC linea virlinhue aequaliter producatur in E ia Fr ut tota EF set AE aeqv lis duabus AB, BCι tum per 1 E, B,F, puncta ellipsis describatur: li-
388쪽
' Corollarium. . HIne sequitur dato quouis triangulo lucisceli ABC continente ad verticem, an gulum quemcunqae, describi posse ellipsim cui Glaci sint extrema balistria guli dati ABC. demonstratio patet ex propositrone.
PROPOSITIO CXLVII. 'upet AC linea descripta sint quotcunque triangula isoperimetra ABC, AG C. Dico puncta G, B, B esse ad eandem ellipsim cuius poli sint A lt C. . U. Demonstratio.
DRoducatur A C utrimque aequaliter in D& E , ut tota D E si aequalis duabus AB, BC, tum per puncta D, E, Gellipss descri-bbatur. dico illam transire per reliqua puncta qBS. sin vero 1 transeat supra veI infra H. ac primum supra per punctum F. producta CB donec peripheriet occurrat in F, iungamur AT quoniam igitur G F puncta ad elliis psim sunt, cuius apoli A & C. erunt AG C, AF C triangula , i petimetia r est autem A GC triangulum per constructionem isoperimetrum triangulo ABC; igitur ΑFC, ABC triangula sunt isoperimetra. quod fieri non potest . quare D GE, MUlipsis non transit is a B, sed nec infra B, cadere eodem modo demonstrabitur. ergo per B. B puncta,igitur G B B sunt ad ellipsim cuius poli sunt Α, C. Quod erat
389쪽
i Uarias exhibet ellipsis genesis. ἡpRopOSITIO CXLVIII. ait A B linea utcunque diuisa in C, & ex C quotcunque seriagantur parallelet CD, fiatque ut ACB rectangulum ad 'reiactangulum ACB sic DC quadratum ad quadratum DC. Dico ADB puncta esse ad eandem elliplim vel circulum.
Demonstratio. An bisecta in G, erigatur GR p
tallela ipsis CDς fiatque Ut rectangulum ACB ad rectangulum R A G B. se quadrarum C D ad quadratum G E. in tolligatur deinde descripta esse ellipsis cuius diametri coniu-' gatae sint A G, G Etsi ergo ellipsis non transit per punctum D, Occurrat rectet CD supra vel infra D in P. quia A G, EG sunt diametri conii gatae; erunt DC, ipsi EG parallelae ordinatim positae ad diametrum AB. Quare cum ellipsis dicatur transire per F, erit quadratum F ad quadratum E G virectangulum ACB ad rectangulum AGB, hoc est ex constr. ut quadratum DC ad quadratum E G: Quod est absiurdum .non igitur punctiim ullum F supra aut infra D. est ad ellipsim . sed ipsum D punctum ad ellipsim est. sumatur iam aliud quodlibet punctum D, exisempli gratia punctum propius sequens ; si rursum ellipsis non transi per D, occurrat rectae CD sia pra vel infra D in M. Quoniam est ex hypothesi ut quadratum DC ad quadratu DC, sic rectangulum A CB ad rectangulum A CR,&ex constrivi quadratum DC ad quadratu E G, ita rectangulum AC B ad rectangulum AGBrerit ex aequali ut quadratum D C ad quadratu m E G,ita Α C B rectangui u ad rectangulum AGB: sed etiam est quadratum M C ad quadratum EG, vi rectangulum ACB ad rectangulum AGB cum punctum M ponatur esse ad ellipsim. Ergo quadrata DC, MC ad quadratum EG, eandem habent rationem. Quod est abis surdum. Non igitur punctum M aut aliud ullum praeter D ad ellipsim in. fimili diccursu reliqua puncta D ad ellipsm esse demoustiabimus. ex quibus constat veritas Theorematis.
SIe ABC triangulum quodcunque, diuisoque latere BC utcunque in punctis D D: ducantur ex D rectae D E parallelae A B,& ex Α demittantur lineae E F sic ut quadrata E F, sint B D E rectangulis aequalia. Dico puncta A, F, C esse ad eandem ellipsim .
390쪽
VT BDE rectangulum ad reetangulum BDE, sic BDC , rectangulum est ad ' rectangulum ADC, hoe est tectangulum A EC ad rectangulum A EC: sed ut BDE rectangulum est ad tectangulum BDE , sic EF quadratum est ad quadratum EF, igitur ut tectangulum AEC est ad rectangulum AEC, sic EF qu a νιν ν dr sum cst ad quadratum EF. ergo ae AF C, puncta sunt ad ellipsim. .
PROPOSITIO CL. Sit AB, CD parallelogrammi diameter AC, ducanturm ΑΒ lateri
quo cumque parallelae F G, secantes AC lineam in E i dein fiant inter F E, E G mediae E H. Dico puncta A, C, & omnia puncta H esse ad eandem ellipsim, nisi sint ad circulum. Demosinatio.
Atto p E G rectanguli ad reetangulum A FEG est composta ex ratione F E ad FE, id est AE ad ΑΕ,&ex EG ad EG,
idest EC ad EC οῦ sed ex iisdem componitur ratio rectanguli A E C ad A E C. reerangulum, igitur ut FEG rectangulum ad rectangulum FEG, hoc est quadratum E Had quadratum ΕΗ, sie Α E C rectangulum est ad rectangulum AE C. quare . A H, H Cpuncta sunt ad ellipsim. Quod erat demo I randum. corollarium cI ΑΒ reeta sit normalis ad AC, & illi fiterit aequalis, erunt Α Η Η puncta ad eundecireulum ierit enim AEC rectangulum aequale rectangulo FBG hoc est quadrato E . adeoque puncta Hu ad circulum.