장음표시 사용
391쪽
lae A D, B C, iungantur item puncta A C et tum rectet ducantur F G parallelae lineis A D, B C, occurrentes AB lineae in I H, fiantq; HGF, rectangulis aequalia quadrata GI. Dico puncta I, I, l elIe ad ellipsim. Demonstratio.
RAuo HGF rectanguli ad rectangulum H GP est composita ex ratione H G ad HG, id est AG ad AG,&ex ratione FG ad FG, id est G Cad G C: sed ex ijsdem est composita ratio rectanguli A G C ad A G C. igitur vi H G F rectangulum est ad rectangulum H GF hoc est quadratum I G ad quadratum I G, sie A G C rectangulum est ad rectangulum AG C: quare I,I puncta sunt ad ellipsim. Quod erat demonstrandum. Corollarium. Ducatur ex A puncto in te sectionis recta ΕΚ parallela lineae AD: si AK, ΕΚ, Κ C fuerine continuae, & Ε Κ linea hormalis ad rectam A C. dico I,I, puncta esse ad circulum.cum enim sit vi AK C rectangulum ad AG C rectangulum . sic E K quadratum ad quadratum I G: id enim eodem dilcursu probabimus, quo rectangula A G K ostendimus esse ad tectangula AGK vi quadrata GI ad quadrata GLὶ erit permutando ut A K C rectangulum ad quadratum E K sic AG C rectangulum ad quadratum G I. adeoque quadratum I G aequale rein Ciangulo AG C. igitur,I,I sunt ad circulum.
PRO Posi TIO C L II. SIt A B C semicirculi diameter A C, diuisa utcunque in D D, & ex D
normales erigantur D E, fiantque ut B D ad B D, si e E D ad E D. Dico puncta E, E esse ad eandem ellipsim. Dimonstratio.
T quadratum D B ad qua- dratum DB, sic ED quadratum est ad quadratum ED: sed ut quadratum BD ad quadratum BD sic ADC recta gulum est ad rectangulu ADC: gitur vi quadratum ED ad quadratum E D sic ΑDC rectanguintum est ad rectangulum ADC. Quare bE,E puncta sunt ad ellipsim. Quod erat demonstrania
392쪽
SVper ABC semicirculi diametro AC rectangulum describaturA F: ductisque lineis DG parallelis lateri A E quae circulo occurrantly BB, ducatur quaevis lK parallela rectae ED occurrens DG lineis in L L. fiatque ut A l ad I E se B H ad H D.
Dico puncta H H esse ad eandem ellipsim. NemonstratIo. UT AE ad AI, liue est GD ad
tur permutado diuidendo, iterumque permittando ut G B ad L H,
sie B D ad D H, atqui B D est adH D, ut B D ad H D , sunt enim
ambae rationes B D ad H D . eaedem rationi A E ad I E. quare ut
permutando ut G B ad GR. se L H ad L Hr Sc ve quadratum G Bad quadratum G B , sic L H quadratum ad quadratum L Hi est autem vi quadratum G B ad quadratum G B sic A GC rectangulam ad rectangulum A GC, id est ILΚ, rectangulum adrectangulum ILK, igitur ut L H, quadratum est ad quadratum L H, sic IL Κrectangulum est ad rectangulum ILK: quate aΗ,Hpuncta sunt ad ellipsim.Quod M.
PROPOSITIO CLIV. Sit ABC segmentum circuli quodcunque,cuius AC subtensa, diui
sa utcunque in D D, erigantur ex D normales DB, fiatque ut BD
ad BD se ED ad ED. Dico puncta E, E eisse ad ellipsim. Demonstratio.
DErsecto semicirculo ABC: ducaturAE GH diameter circuli GBH parallela lineae AC, quφ BD, lineas productas secet in F F : fiatque ut BD ad D F, sic E D ad D Ki tum ex G 5e H rectae erigantur GL, Η M parallelae lineis BF secantes KK lineam in T, & M. oniam est ut BD ad DF, ssie DE ad DK, crit permutando, ut lBD ad ED, ue DF ad DK. Atqui BD est ad DE, ut BD ad DE. igitur ut DF ad D Κ, Iic D F ad D K r quare puncta Κ,Κ ad eandem lineam . Aequidem parallelam lineae G H. Rursem cuin sit ut BD ad DF, ita ED ad DK, erit componendo dc permutando BF ad EK , ut DF ad DK. igitur ut BF ad Eia se BF ad E l α rursum permutando,ut BF ad AF,sic EN ad ΕΚ, dc ut qua-S s 3 dratum
393쪽
quadratum BF ad quadratum B p. se E K, quadratum ad quadratum E K : sed ut BF quadratum ad quadratum B F , sc LI FG rectangulum est ad rectangulum H FG, id est MKL rectanguliim ad rectangulum M L, igitur vi MKL rectan-guIum ad rectangulum M L sic quadratum E K ad quadratum E K. quare. R E ' - puncta sunt ad ellipsim. Quod erat demonstrandum.
ESto ABC semicirculi diameter AD , quam in D secent quotcunque normales B D : dein rectis B D fiant aequales B E parallela:
Dico puncta E E esse ad ellipsim cuius diameter est A C. Demonstratio.
DVeamur rectae DE. quo niam anguli BD C recti sunt, & B E parallelae, anguli quoque DBE erunt recti. quadrata igitur DE quantur quadratis, B D, B E, hoc est quia BD, B E simi aequales, dupla sunt quadratorum BD. ergo ut quadratum BD ad quadratum BD, hoc est ut rectangulum AI C ad rectangulum ADC, ita quadratum D E ad quadratum D E. Sunt vero de DE rectar inter se parallelae: cum enim anguli DBE recti sint, de latera E D, B E aequalia, erunt BD E semirecti . cum ergo etiam BD C rectus sit, reliqui EDC sunt semirecti, adeoque aequalest unde D E parallelae. Puncta igitur E,Eb sunt ad ellipsim. Quod autem AC sit diameter. facile apparebit si perfecto circulo ellipsis eadem constructione ad partem alte ram producatur, tunc enim parallelae omnes DE a recta AC bifariam diuidentur.
PROPOSITIO C L U I. Circulum ABC secent ad angulos rectos diametri A C, B D ducti seque rectis FG quq A C, diametro aequidistent, demittantur ex Blineae B H aequales rectis FG secantes FG lineas in F H. Dico puncta B,H,E esse ad eandem ellipsim.
Voniam FG quadrato ae- qitale est rectagulu BGD hoc est BGE, rectangulumbis sumptum una cum quadra. to B G , erit Ec quadratum H B aequale rectangulo BGEbis stimpto unicum quadrat B G: sed H B quadratum est aequale quadratis HG , BG, ablato igitur communi quadrato B G manet H G, quadratum aequale rectangulo B GE bis sumpto. similiter reliqua quadrata H G dupla sunt
394쪽
tectangulum est ad rectangulum B G Iu quare puncta B, A, dc omnia puncta H, ad eandem sunt vltipli tu . Quod erat demonstrandum.
p ROPOSITIO CLVII. FSto ABC circuli diameter AC u. ex Crecta quae uis ducta C s oe currant circuli perimetro in B, dein ex B demisia recta B I quq AC. diametrum ad rectos angulos secet in K. ducantur quotcunque lineae E Fparallelae rectar B l occurrentes AC diametro in G ,&lines BC in Difiantque E D F rectangula aequalia quadratis G H. . Dico KHC puncta esse ad eandem ellipsim. DemoUratio.
395쪽
Circulum ABC cuius diameter AC eontingant duae lineae AD, B D secante lese oriogoniliter in D: i unctiique punctis A B, agatur per V tangens CL, occurrens A B lineae in L. dein rectar ducantur quotcunque FE parallelae lines o B occurrentes AB lineae in H Hrle circulo iii E E. tum per E rectae ducantur GK parallelς lineae AD occurrent f AC diametro in Κ &A L lineae in II. fiantque FE lineis aequales E G. Dico puncta A G L esse ad ellipsim. Demonstratio. i XIT AD est ad DB, sic AFV est ad F Hi sed A D, D Blineae tum aequales , igitur MA F, F H lineae aequantur.qua ia te & ΕΚ, FH lineae sunt quales. Rursum com sit ut AF ad F H, se EI ad E H, erunt EI, E H lineae inter se aequales: est
linea aequalis lineae E G: igitur tota I G, est aequalis toti F H, hoe est F A id est E K. quare ut quadratum ΕΚ ad quadratum ΕΚ , sic IG quadratum est ad quadratum I G. sed ut ΕΚ quadratum est ad quadra. tum E K, sic ΑΚ C rectangulum est ad rectangulum Α Κ C. id est AIL rectangulum ad rectangulum AI L . igitur ut quadratum I G est ad quadratum I G, sic AIL rectanguintum est ad rectangulum AI L. Quare A GL puncta sunt ad ellipsim. Quod erat demonis
Quod si eadem constructio ad alteram partem continuetur, perficietur eIlipsis, altera sui parte, quae intra circulum cadec. via hoc notatu dignum Occurrit, quod licet circulus & ellipsis sese inuicem secent, eandem tamen rectana DA in secti nis mutuae puncto A coqtingant. Quod enim circulus contingat rectam AD patet ex hypothesi : quod eandem contingat etiam ellipsis, inde fit manifestum quod omnia perimetri elliptici punct si ut in lineis G K quae inter puncta C M A . ipsi DA ducuntur parallelae.
PROPOSITIO CLX. SEeent se duo circuli ABC, ADC ut illorum alter ABC transeat
per E eentrum circuli Assii unciis punctis AC ducantur ex E Iineae ciuaecunque EF occurrentes circulo ABC in punctis F de A D Ccirculo in punctis G: tu per G rectae agantur H I normales ad lineam A R
396쪽
occurrentes A C lineae in H H, & cireulo A B C in II: fiantis rectis G Faequales lineς G L. Dico puncta ALL esse ad ellipsim. Demonstratio.
Dueantur ex C per G lineae CGq. ut KGC rectangulum est ad rectangulum KGC, sie FGE rectangulum est ad rectangulum FGE: sed est but KGC rectangulum ad rectangulum ΚGC, sic GH l nea ad I neam G H, di vi F G E rectangulum ad tectangulum FGE , sic FG linea ad lineam FG, igitur ut GH ad GH, se FG ad FG, id est L G ad L G, de componendo permutando L H ad L H, ut G H ad G H. Quare pun- ei. ALL sunt ad ellipsim.
PROPOSITIO CLXI. Sit ABC ellipsis diameter qua cun
que AB, actisque per A lineis C D, quς est ipsi occurrant in CC. fatvt AC ad Α C, sic A D ad A D, Be ut A C ad A D, sic A B ad A E. Dico puncta A, D, E ad eandem ellipsim esse. Demonstratis.
Voniam D G, FG sunt paralleIat, triangulaque' proinde PCA, DGA umilia , erunt ut lineae C Α ad lineas AD singulae ad singulas . ita singulae F C ad sngulas GD. Atqui singulae C A rint ad singulas AD ut B A ad A E. Ergo singulae F C sunt ad singulas DG, ut 3 A ad Α E. Quare quam rationem habet una FC ad unam DG , eandem habent singulae reliquae FG ad singulas reliquas DG. Igitur permutando ut sunt FC ad F C. ita GD sunt ad D G, adeoque ut sunt quadrata FC ad quadrata F C, ita quadrata. GD sunt ad quadrata GD. similiter demonstrabimus, ut Ire siunt ad A F, sic esse A Gari AG. Vnde vi reliquae FB sunt ad teliquas FB, ea reliquae GE siunt ad reliquas G E. Quare cum rectangula AFB rationem babeant ad sese inuicem compositam ex rationibus A P ad AF, de F B,ad F B. qciae ostenta sunt eaedem esse rationibus A G ad A G, M GE ad GR , ex quibus componitur ratio rectan- Iorum AGE : erunt ut tectangula Α FB ad rectangula APB, ce rectangula AGE, adrectangula AGE Atqui rectangula AFB fiunt ad rectangula AFB, viqiaadrata FC ad quadrata FC, hoc est per superius demonstrata,ve quadrata GD ad quadrata GD. ergo rectangula AGE sunt ad rectangula AGE, ut quadrata GD ad quadrata GD. puncta igitur DA. ADE sunt ad eIlipsim. Quod erat
397쪽
PROPOSITIO CLXII. Esto ABC elliosis diameter quaevis AB. diuisa utcunque in D t &
ex D ad peripheriam rectae ducruntur DC, D F quae proportionaliter dividantur in E & G : dein AD diuidatur in L , & DB in M , ut DC, DF diui h sunt in E & G. Dico LEGM puneta esse ad ellipsim. Demonstratio.
Ducantur ex C 8c F ordinatim lineae Cn,PIael AB, diametrum quibus exE de G parallelae ducantur EΚ, GN ut DC ad DE, sic D F ad G D , igitur ut C Had ΕΚ, sic FI ad GN , & ΕΚ ad GN. ut C H ad FI i igitur & quadratum Exad quadratum G N ,ut C H quadratum ad quadratum FI. Deinde , quoniam DI est ad DN, ut DF ad D G , & D A est ad D L, ut DF ad D G, erit ut DI ad
D N, sic D A ad D L, ergo ut una antec dens DI ad unum consequens DN, hoc est ut DF ad D G, hoe est ut DC ad DF, hoc est vi DH ad D Κὶ ita ambae antecedentes, hoc est tota AI ad ambas consequentes hoc est totam I. N. smiliter inseremus AH esse ad I, K, ut D H ad DK. Vnde ΑΙ est ad L N, ut AH ad DK, de permutando AI est ad ΑΗ , ve LM ad L Κ. praeterea, quoniam est ut DF ad DG thoe est ut tota DB ad totam DM ὶ sic ablata D H ad ablatam D N, erit & reliqua 1 B ad reliquam N M, ut tota D Bad totam D M. Similiter inferemus ΗΒ esse ad ΚΜ, ut DB ad D M. Ergo ΙΒ ad NM, ut HB ad ΚΜ, permutando igitur ac inuertendo HB ad ΙΗ, vi K Mad N Μ. Cum igitur ostenderimus rationes AH ad AI, Ac AK ad A N, item rationes HBad IB , & ΚΜ ad NM easdem esse , rationes quoque rectanguli ΑΗΒ ad rectangulum AI , & rectanguli Α R B ad rectangulum AN B, ex rationibus u lis aequalibus compositat, eaedem erunt. sed rectangulum AH B est ad rectangulum AIB, ut quadratum CH ad quadratum FI, hoc est per superius demonstrata ut quadratum ΕΚ ad quadratum G N. Ergo rectangulum L KM est ad rectangulum LNM, ut quadratum E K ad quadratum G N. ergo puncta L,E,G, M sunt ad ellipsim .Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXII I. SInt A B C.ellipsis axes A C, B D:
ductisque ex D semidiametris quibusvis DE,DF, agantur per E dc F lineae I G; Κ H aequales ipsis E D,
Dico puncta AI K esse ad ellipsim .
Cuper AC ut diametro deseribatur cir- oculus ΑLC,& DE, DF lineae utrimque producantur donec circuli perimetro
398쪽
occurrant in I., M, N, Ο: actisque per E & F, lineb PER, S FV Quae circulo Occurrant in R, v Sc AC diametro in Q A T, S: aequidistent axi BD , ducantur ordinatim ad axem AC Iineat IX, KZ. Quoniam PER , SEU lineae in E Ac RproportionaIiter sunt diuisae, ratio rectanguli PER ad rectangulum S FU duplicata est rationis P E ad S F, adeoque erit PER rectangulum ad rectangulum S FUut quadratum PE ad quadratum S F id est ut quadratum E Q ad quadratum FT, id est ut quadratum IX ad quadratum K Z. Quare cum rectangula L E N, P F Ο aequalia sint rectangulis PER, SFU, etiam L EN rectangulum est ad rectangulum MF Ο, ut quadratum IX ad quadratum K Z: deinde cum I G hoc est X D sit aequalis E D, de D C aequalis D N, erit X C aequalis L N. est vero & tota A Caequalis toti LM ergo reliqua A X reliqua: L E aequalis est : adeoque A XCr 'vanguium aequale rectangulo L E Nr eodem modo ostenditur rectangulum AZ C. ,.. . AEquari rectangulo M F o. erit igitur ut A X C rectangulum ad rectangulum AZ C, in.
sic quadratum i X ad quadratum ΚZ. Quare AINC, puncta ad ellipsim. Quod
399쪽
Circulum cum ei se comparat. . PROPOSIT lo CLXVIII. HAbeant ABC ellipsis, & circulus AD C communem axem A C,
ductaque ordinatim EF, occurrat circulo in F &ellipsi in G: iunganturque Α F, A G. dein ducta D H parallela A F quae circulum contingat in D, occurratq; axi in H; demittatur ex D ordinatim linea D I ad diametrum AC secans ellipsim in B se Α F, A G, in K & L: iunganturque H B. Dico AG lineam aequidistare rectae HB. Demonstratio. v TEG ad EF, sic. ILest ad I K. sed aut EGad E F. sic IB est ad I D, igitur ut IL ad IK, sic In ad ΙD , 8c permutando ut1K ad ID, sic IL ad Ι est autem ut IK ad ID,sic I A ad IH quia AF, HI ex hypothesi aequidistant igitur ut IL ad I B, si e IAad I H. quare ΑG, HB lineae sunt parallelae.Quod erat demonstraadum.
PROPOSITIO C L X I x. SInt A B C, D EF ellipses similes, similiterque ad idem centrum I convistitutae r & super AC, DF diametris , circuli describantur AG C, DHF: ponatur autem ex centro quaedam IK occurrens circulis in L MK, punctis , e quibus normales demissiae LM, KN, secent ellipses in o& i': ducanturque lineς IO, OP. Dico esse ut IL ad L K, sie IO ad O P. Demonstrat se.
CRigatur ex I centro normalis IG-- currens ellipflbus in E. B, circulis vCro in H & G. Quoniam tam circuli
similes sunt similiterque ad idem centrsi Constitutae. vi I G ad I B, se IH est ad
400쪽
permutando vi K N ad L M, hoc est IN ad IM , sic PN ad OM. in directum igitur sum I, O, P. Quare cum KN, LM ad AC, sint perpendiculares, ac proinde inter se parallelae, erit ut IL ad LK, sic Ioad OP. Quod erat demonstrandu.
C:rcolum ABC secent diametri duae A B,C D ad rectos sese angulos decussantes, actaeque per C & D lineς quς circulum contingant in C&D, contingant etiam ellipsim A EB cuius aliqua sit diameter A B. dein quae uis ducatur GH parallela GE, occurrens circulo in G de l, ellipsi vero in Κ & H, & C D lineς in M. Dico lineas G I, H Κ esse aequalis. Demonstratio.
E contactu ponatur ad centrum EN , quae a producta incidet in . punctum Contactus v ad hanc di/- M I imetrum, ut patet ex alibi hoc in libro H γ' ἰdem nitratis, erunt ordinatim posi- ' Z
parallelae , rectangulorum illorum Drationes ex ijsdem rationibus camia
ponuntur, de rectangulum C MD, est ad rectangulum C ND . ut quadratum M Iad quadratum N B, quadratum igitur M I est ad quadratum N B , ut quadratum L H ad quadratum N B; aequantur ergo quadrata is I, L H, adeoque & rectae MI, L H earumque duplae GI, RH aequales sunt. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXXI. SEmicirculum AB C cuius diameter AB & centrum Ε, contingat recta CD, aequi distans AB, dc per A & B, puncta ellipsis describatur quς diametrum habeat ΑΗ, dc rei tam CD contingat in puri stoquovis D: ex D vero ponatur DE occurrcns circuli peripheriae in F gaturq; per F parallela G H, secans ellipsim in Id & l, circulum vero in G& F. Dico lineam G H in I N F, trifariam esse diuisam.
Quoniam HI per praecedentem est aequa- lis GF, ablata communi I F, manet FH, Z Z laequalis c Ii sed ipsi FH aequatur IF quia I Z Z HI ordinatim posita est ad diametrum DKὶ l aequantur igitur GI, IE, FH lineae. Quod ,