장음표시 사용
401쪽
E L L I P S I S. pROPOSITIO CLXXII. CIreulum ABC cuius diametri AC, BD se ad rectos decussent in D, contingat in B linea B E, ducta deinde per A & C ellipsis A E Rcontingens B E in Ε, occurrat circulo in F, dc posita ex cogi avii ad centrum recta E D ducantur A F, G F et de A F quidem secans BD diame. trum circuli in H, CF vero ellipseos diam utrum EDin G.
Dico iunctam G H aequi distare B E. Demonstratio.
Donatur per F , linea I K aequidistans EB. 3 iunctisque punctis F D, ex H recta ducatu. HG, parallela I K, occurrens FD lineae in LED in G. Quoniam ΙK aequi distat tangenta I EB, a IF, FK linea inter se aequales sunt; quares & HG, linea atquidistans I K in L, diuisa quoque est bifariam. si iam punctum G non sit commune lineis FC, ED, H G,occurrat H G ipsi FCin M: Quoniam ergo H M aequidistat E B adeo- . . que AC , ut AD ad DC , sic HL ad L M, quare ΜΗ in L diuisa est bifariam: sed S HG, in L bifariam est diuisa: puncta igitur G de M, unum idemqtie stant 1 unde G commune lineis FC, ED aequi distanti igitur H G, B E. Quod erat demonstrandum.
Circulum ABC cuius diametri A C, B D sese ad rectos decussant,contingat in B recta B E, ductaq; ex E recta linea E D,describatur ellipsis Α EC, contingens F Ε, in E: ponatur quoque F G contingens circulum in H, occurrens diametro A C, in Gr dein ex H ponatur H I. parallela B E occurrens ellipsi in I, iunganturque I G. Dico I G lineam contingere ellipsim in I. DemonEratis.
Ponatur IK aequid istans ED, erit illa otiadi υt imposita ad diametrum AC,cum AC DE diametri sint coniugatet: ex K vero erigatur ΚH. parallela BD , occurrens HI lineae in H. Quoniam tam H Κ, B D, quam I MED aequidistant , erit ut quadratum ED ad quadrarum IK, sic BD quadratum ad quadratum H Κ: sed ut quadratum ED ad quadratum ΙΚ , sic AD C rectangulium ad rectangulum A K C, ut igitur rectagulum A D Cad rectangulum A K C, sic B D quadratum ad quadratum H Κ. Quare punctum H in peripheria circuli est: igitur cum HK fit normalis & HG contingens, ut G Cad C R. se C K ad A K : est autem IK ad diametrum A C, ordinatim posita; et- .go G I b linea est tangens. Quod erat demonstrandum.
402쪽
CIrculum A B Ccuius diametri se decussant ad rectos in D, continmitin B linea B Ei dein per Α & C pancta ellipsis deseribatur contingens B E lineam in Ε, cuius una e diametris sit A C. iunctisque E D ducatur ex Asecans AF, & per Fagatur F H, parallela B E, occurrens ellipsi: T .pς UVςδtur mora Al. contingat autem circulum recta MN in M, parallela secanti AF, &ex M ducatur M O, parallela tangenti B E, occurrens ellipsi in P; ponaturq, per P, rectae B E aequi distans P R. secans FH lineam in R. β γ Dico P R lineam, contingere ellipsim in P. Demonstratio.
CEcantes A F, A I ipsis DR, DE occurrant in G de L. Deinde F H occurrat ipsi BG in T. Sce genti in N, derectae DE in K. similiter M O oecurrat ipsi A Fin V, & ΑΙ in S, de D E in χ
basim A D , suntque F T , Κ Ιa aequales, erunt triangula b AGD, ALD inree easdem parallelas. . t
Rursum cum Μ Ο qinea aequidistet FΚ, erunt V X, S Q lineae aequaIes: est vero A amfu' e ipsa P in aequalis; ergo & reliqua M v, reliquet PS aequalis esti e uim ted rectae M V aequatur linea N F,S ΡS, est aequalis RI, igitur & N F, R I linee - - sunt inter se aequales t est vero Ae FT ipsi K I aequalis , igitur NΤ,ΚR aequales sunt. Sed, quia MN tangetas eadit tota extra circulum , NT maior est quam FThoc est quam XI. ergo de KR maior est quam ΚI. ergo punctum R, cadit extra ellipum. eodem modo si tam supra quam infra Μ O. parallelv ducantur quotcuque. ostendentur omnia puncta rectae P R, cadere extra ellipsim Pr ter punctum Pite-eta igitur P R, tanget ellipsim. Quod erat demonstrandum. .
PROPOSITIO CLXX v. Esto ABC ellipsis axis AC utcunque productus in D, ducta lex D
linea D B,quae ellipsim contingat in B ponatur secans altera DF, o currens ellipsi in E & F: demissu deinde E. F ex E, B,F normalibus F G, B AEEt ad axem A C, iungantur F H, E H. Dieo F G H, EI H triangula esse similia. . AEDemonstratio.
C Vper AC diametro describatur circulus AK C, occurrens tectis p G, B H, EI in K LM, ducantur autem tectae M H, ΚΠ, EII, FH. cum igitur sit 4 ut FG ad EI, hoc est ut GD ad I Do fio RG ad MI, patet M K productam conuenire in D : est autem DL contingens , igitur H ΚG, HMI triangula si nulla sunt. Quare ut
Κ G ad MI , sic HG ad HI sed est ut RG ad MI, sic FG ad EI, igitur ut FG ad EI, se H Gest ad HI: sunt autem aniDiqitigod by Corale
403쪽
Auli lateribus proportionalibus contenti tecti;triangula igitur F G Η, EIU sunt si milia.Quod erat demonstrandum.
PROPOsITIO CLXXVI. Sit in ΑΒ C ellipsi diameter AC una coniugatarum aequalium et ad
quam Ordinatim ponantur quotcunque D E. Dico AEC rectangula aequari quadratis DE. Demonstratio.
Ponatue B C altera diametrorum coniugatarum aequalium et centrum autem sectionis sit Fr erit igitur AEC rectangulum ad quadratum ED , ut A F C tectangulum ad quadratum F B : sed A F Ctectangulum id est quadratum AF aequatur quadrato FB, cum diametri sint aequales, rectangulum igitur AEC aequale est quadrato DE: quod erat de
SEcet ABC ellipsim una ex diametris coniugatis aequalibus A C, quam in D secet ordinatim linea E in sumptaque H I linea quς sit aequalis AC,descripto-μ f que super Α1 circulo H L I, diuidatur H I in Κ, ut AC est diuisa in D, α ex K normalis erigatur Κ L. Dico E D, Κ L quadrata esse inter se aequalia. . . Demo irmio.
T Vcatur coniugataru aequalium altera FB: sectionis autem centrum sit G,rectan. a gulum ADC, est ad quadratum ED, ut AG C rectangulum hoc est quadra tum AG est ad quadratum G B i sed AG, GB quadrata sunt aequalia. igitur re ADC restingulum est aequale quadrato ED: rursum cum HI, AC Iineae por-tur aequales&proportionaliter in D & K diuist, erit ΑDC tectangulum hoe est quadratum ED,aequale rectangulo H ΚI, id est quadrato LΚ. Quod erat demonis
404쪽
Ecet ellipsim una ex diametris coniugatis aequalibus AB, ad quam ponatur recta C Dordinatim, iunganturq; AC, A D; tum super E Faequali rectet AB, &in H proportionalκer diuisae ipsi Α B describatur circulus E p Κ: actaque per H normali l iungantur E I, E C. Dico quadrata ΑC, AD simul sumpta, aequari quadratis I E, E K simul sumptis. Demonstratio.
Quadrata AC, AD simul sumpta aequalia sunt quadratis . c G, AG his sumptis, a
Se quadrata I E, ΕΚ b aequalia sunt quadratis IH, HE bis sumptis;sed per praecedentem CG, IH quadrata sunt aequalia,sumque item aequalia inter se quadrata ΑG, AH, quod AG, ΕΗ recti; aequales sint ex constractione, quadrata igitvr CG, AG his sumpta aequantur quadratis GH, EHbis sumptis; igitur Se quadrata duo C A. A D simul sumpta squalia sunt quadratis IE,E Κ simul sumptis .Quod erat de
SInt A B C ellipsis axes A B,C D: de super axe minore C D, circulus de seribatur CE D; positis FL ordinatim ad axem CD, quae circulo occurr*nt in E & M, axi autem in i, & ellipsi in L ; ducantur ex F per G, centrum, F H oecurrentes circulo in Κ & N, ellipsi autem in H. Dico esse ut quadratum FI ad quadratum Fl, sic FK H rectangulum ad rectangulum FΚH. Demonstratio.
Ex seliolio quartae huius libri patet has duas proportiones FE ad PE, &ELad E L eauem esse cum ratione EI , ad EI quare cum ratio rectanguli F E L ad rectangulu F E L, componatur ex rationibus FE ad FE, 8t EL ad E L , erit ratio rectaguli FE L ad tectangulu F E L, duplicata rationis EI ad EI. ac proinde eadem que ouadrati EI ad quadratum EIε sed rectangula FEL sunt tectangula v . MFE,
405쪽
c-M Π Γ laoc est rectangula αNFK, id est FKII. ergo rectangula F K. H sunt ad' iuuieepi qua I id quadrata F I. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CLXXX. Circulum A AC cuius diametri AC, B D sedςcussant ad rectos, contingat ii, B linea B Et descripta dein ellipsi pG A, C puncta quae
contingat B r. lineam in Ε, iungantur puncta A E, AB. iDico A F E, A H B segmenta esse aequalia. Demonstratio.
T. Vcta ΗΚ parallela ipsi AB quae cir- culum contingat in H ducatur ex Hlinea H G, parallela tangenti B E occuriarens ellipsi in F dc rectis AB, A E. ED, BD in M,N,I,O, ganturii; pucta AH, AH, EF, FA, deis per F ducatur linea FL aequi distans ipsi AE: Quoniam tam HK tangens aequi distat rectet AB quam EL ipsi A E ,sith aut ein de FL tangens, erunt . AH B, A FE triangulorum ma ima quς segmentis A H R, A F I inscribi possunt ι 4 ac proinde plus quὸm dimidia sitorum segmentorum. Rursum cum triangula ABD , AED sint super eadem basid intra easdem parallelas con-
oula BHA EF A sunt aequalia. eodem modo si residuis segmentis triangula in bantur, ostendemus mangula residuo circuli inscripta aequari triangulis residuo elli pseos inscripta , & vivaque maiora dimidiis esse suorum segmentorum. Quare cum dicta triant lorum inscriptio, utrimque semper aequalium A maiorum dimidiis segmentorum sine termino continuari possit,segmenta g AHB, AFE aequalia sunt. Quod erat demonstranἡum. Corollarium.
Isdem positis sequitur semicirculum ABD aequalem esse semiellipsi AEC , est lenim segmentum An B ostensum aequale segmento APE, sent autem reiano. I, A B D L ED super eadem basi & inter easdem parallelas costituta inter se ςqualia, igitur quadrans circuli ABD qualis est quadranti ellipsis AED. ergo semicirculus ABC qqualis est semiellipsi AEC. Quod erat ostendendum.
PROPOSITIO CLXXX I. HAberunt ABC semicirculus & A E C semiellipsiis communem dia
metrum AC dc tangentem BE, parallelam diametro AC : secet autem AEC ellipsis circulum A B C in F, ducanturq; lineae A F, C F. Dico legmenta AI F, C G F esse aequalia.
406쪽
circulum in G contingat, ducatur ex G linea GI parallela rectae AC, occurrens lineis CF, AF in K M L , ellipsi vero in I: actaque peti linea IM, quae AF lineae aequidistat, remisgantur pum a AI, FI, CG, FG: Quoniam 1 M liuea aequid stat secanti AF, erit 1Mrecta tangens, ideoque A IF triangulum b eorum maximum quae A IF segmento pollunt inscribi: quod autem C GP triangulum eorum sit maximum quae CGF segmento cir iaculi inscribuntur manifestum est, utrumque ergo triangulum φ plus est uuam dimi- , . dium sui segmeuti. Deinde, Fia IL, KG sunt aequales, ut facile ex r74. huius deducetur, fiuntque 1 G, A C parallelae, triangula' IAL, GCK sunt aequalia: sunt vero ' 'tob eandem causa in aequalia triangula IF L, G F Κ. tota igitur AI F, C G F aequajia sunt.Similiter demonstrabi inus suginentis reliquis ellipticis ac circularibus inscribi posic, siue termino triangula maiora dimidijs segmentorum & qqualia inter se;aequalia igitur sunt segmenta AIF, CGF. Quod erat demonstrandum.
Abeant ABC ellipsis 3 circulus ADC eundem axem AC, ducaturque recta quocuis EF normalis ad axem AC, occurrens ellipia
Dico esse ut E G ad E F, sic ABC ellipsim ad circulum A D C. Demonstratio.
EX cenero H normalis erigatur H BD: occurrens ellipsi in B & circulo in D. Ut HB ad HD , sic EGeth ad EF: sed vi H B ad FID, scd ABCellipsis est ad circulum ADC: igitur ut EG ad EF,sic ellipsis ABC est ad circulum AD C. Quod erat de
PROPOSITIO CLXXXIII, HAbe ni A B C ellipsis & circulus A D C eundem axem AC ad cpaem
ordinatim posita sit recta CF occurrens ellipsi in G & circulo in Dico segmentum A D F E esse. ad segmentum culus est ad ellipsim AB C. Demonstratio.
I ungantur AF, A G.ducaturque recta H aequidistans ipsi A F, contingens circulum in pu iacto D: ex quo ordinatim demittatur ad axem recta DI. occurrens
ellipsi in B & AP AG lineis in L & M, agaturque per B recta B K parallela ad AG, quae peris q. ellipsin tanget. dein lineae ducantur A D,D F, A B, R G,ut E Fad E G, sic I L est ad I M, sed est vi EFEG se ID ad I R. t L ad I M. ergo
407쪽
autem ut D L ad B M , se triangulum I AL, ad triangulum BAM, α quia parallelae sunt D l,FE, 'triangulum DFLad triangulum BGM, igitur triangulum D AL est ad triangulum BAM, vi ID ad I B, Sc triangulum D F L est ad triangulum B G L ut ID ad IB. ergo totum triangulum ADF est ad totum triangulum A B G , ut ID ad I B. quia autem D H,B Κ sunt tangen tes, triangula A D R. A B G maxima si int eorum quae inscribi segmentis possunt, ac proinde maiora b segmentorum dimidijs.similiter aemonstra- ιι-- bimus segmentis residuis tam circuli quam ellipseos inscribi posse triangula, quae sine maiora residuorum dimidijs. 3crationem habeant, quam ID ad I R. Quare cum φεη . M hoc fieri possit sine termino,segmentu e ADF est adstamentum A , ut I Dad I B: est vero de triangulum AF E ad triangulum AGE, ut EF ad EG, hoc est ut ID ad IB. ergo totum segmentum AD FE est ad totum segmentum ABGE, ut ID ad I B, hoc est ut circulus ad ellipsim. Quod erat demonstrandum.
EAdem manente figura ducatur ex centro N quaevis diameter N F, demissaque ex F normali FE qui ellipsim secet in G, iungantur NG: Dico AN F sectorem esse ad sectorem AN G , ut circulus ADC ad ellipsim AB C. Demonstratio.
dis .ct CEgmentum ADPE 4 est ad segmentum ABGE. vi PE ad G E rde triangulum F N E est ad triangulum G NE, ut FE ad GH Ergo te reliquum nempe sector. m. ι.. ANF est ad reliquum nempe sectorem AN G, ve PE ad G E, hoc est ut circu--. lus ad ellipsim. Quod erat demonstrandum,
ADC, habentes communCaxem A C: & per centrum commune E ducantur duae diametri circuli sese ad angulos rectos intersecantes, occurrentesque ci
culo in punctis D, F, G, H: d inde ex D & H, ordinatim ad AC applicentur lineae D I, HKOccurrentes ellipsi in B & L iiunganturq; EB, EL. Dico LEB quadrantem el
lipseos esse, sicut H E D est qua
408쪽
SEgmentum ABI ad segmentum 'ADI est veIB adi D, utque eadem ΙB,ia..1. ad ID, ita est triangulum I EB ad triangulum iED. ergo vi I Bad ID, ui. ita est sector AER ad sectore in AEI . simili modo ostendemus sectorem , . LEA adsectorem HEA, este ut KL ad KII, id est, b vi III ad ID : ergo ut ν ..uini. III 'ad ID, ita est totus sector BEL ad totum sectorem DEH, sed vi I Bad ID, lioc est minor axis ellipseos ad diametrum circuli, pers Archimedis de Spher. ita est ellipsis A BC ad circulum AD C; ergo sector BEL ad sectorem DEH , veellipsis ad circulum , de in uertendo ac permutando ut lector DEH ad circulum ADC, ita est sector BEL ad ellipsin ABC, sed sector DEH est quadrans circuli, eergo§or BEL quadrans et bimos erit, adeoque e crunt BE, EL diametri
coniugatae, ergo, &C. Quod erat is cmonstrandum.
Nota idem Ucmonstrari si ADC sit ellipsis cuius axis AC , sintque ΗΓ, DG ipsius coniugata clametri: si vero DE II non sit quadrans ellipseos ut sector DEHad circulum, ita erit sector BEL ad ellipsin,ut ex demonstratione constat.
PROPOSITro CLXXXVI. Esto circuli ABC quicunque sector A GC, de ellipsis D EF sector.
DHFisit autem lector adsectorem ut circulus ad ellipsim t ducaniaturque rectae A C, D F.
Dico segmentum ABC esse ad segmcntum D E F, ut circulus ABC est ad ellipsim DE & contra.
INuento ellipseos maiore axe I Κ, describatur se a dis his in
Aper IK diametro circulus,ductaq; a ad axem ordi- natim LM quae auferat segmentum LIM aequa- Ie segmento D E F, occurrat eirculo in N de Ο, i ducanturque rectar L H,MH, NH,OH. Quoniam i csegmentum M IL aequale est segmento D EF, es, erit e sector L H M aequalis sectori D H F. Rursum cum si ut ellipsis ad circulum No sic L HI se- ir M. ctot sad sectorem N HI, adeoque Se I, H M sector ad sectorem N H O, sitque L Η Μ triangulum ad titi Misa triangulum Nilo, ut LM ad No, hoe est ivt Uellipsis ad circulum N OK, erit ut ellipsis ad circulum N OK, sc LIM segmentum ad segmentum N IO, M permutando circulus N OK ad segmen tum NIO, ut ellipsis ad segmentum LI Μ. iam
vero circulus A C U est ad sectorem A G C, ex / hypothesi vi et Iipss ad sectorem H DF, hoe est Vi l l 'ostendi supraὶ ut ellipsis adsectotem LMM , hoe l l I lest ut circulus N O K ad sectorem N Η Ο. ergo I l l I l I hii, Metiam h circulus AC U ad segmentum ΑΒ C, . vi ii s
ante ostendi, ut ellipsis ad segmentum LIM, hoc est quoniam segmcnta LIM, DEF sunt ex construct.aequalia) ut ellipsis ad segmelatum D E migiatur permutando ut circulus AC U ad ellipsim, sesegmentum ABC ad segmentum QEF. Quod erat demonstrandum. Iam vero si fuerit segmentum ABC ad segmentum D si F, ut circulus ABC
409쪽
ad ellipsim I DF : dico & sectorem A GC esse ad sectorem DHF, ut est circu- . Ius ABC ad ellipsim ID F: inuento erum ut ante ellipseos DEF maiore axe IM. ii super IKvidiametro describatur circulus N OK r ductaque ordinatim LM quae . segmentum LIM auferat a quale segmento D EF, fiant reliqua vi prius. segmenta igitur NI P est ad segmentum LI P, ut a circulus N O K ad ellipsim ID F. Itaq- segmentum NIO ad segmentum LIM , ut circulus N OK ad ellipsim : de permutando, cu culus N O K ad segmentum NIO, ut ellipsis ad Egmentum LIM, hoc est ex hypothesi vicirculus ACU ad segmentum AB C. Cum ergo sit ut circulus N O K ad segnientum NIO, ita circulus A C v ad segmentum ABC, erit et-ram , ut circulus N O K ad sectorem N A O, ita circulus A C v ad nectore A GC. Atqui ut circulus N OK adsectorem NH O, sc ellipsis adsectorem 1 HM, hoc est quoniam segmenta LIM, DEF sunt aequalia. ad sectorem D H F. ergo ut cir-
ESto A D B circuli diameter AB diuisa utcunque in C, dc per Cnominalis posita DE, sit autem & FG , diameter quaecunque ellipseos diuisa in H , ut A B est in C , & per H ordinatim ducta I K. Dico segmentum D B E esse ad segmentum I G K ut est circulus A D Bad ellipsi in F LG,&contra. Demonstratio.
Nuento ellipseos axe maiore LM, desci ibatur super L M circulus L O M. diuisaq; LM in N, ut AB est diuisa in C, agatur per N normalis O P, secans ellipsim in R : ducanturque semidiametri OT,QT, R T, P T. Rectangulum B C A est ad quadratum DC, ut rectangulum LN M ad quadratum ON , Ae permutando rectangillum B C A est ad rectangulum LNM, ut quadratum DC ad quadratum ' sed ratio rectangilli BC A ad rectangulum LNM, componitur ex rationi-hus BC ad LN, Ae C A ad N M. ergo rationes BC ad LN, & C A ad NM, limul suinptae aequantur rationi quadratorii DC, ON, hoc est rationi ad DC, O Nbis sumpta . Atqui rationes BC ad LX, & CA ad M, sunt eaedem siue aequales, cum uni R A, LM ex hypothes proportionaliter diuisae: ergo earum una B C ad I N. eadem est rationi DC ad O N : sed, clim si ut BC ad LN, sic CA ad N M, erit
quoque ut B C ad L N, sic B A ad L M. Qum B A ad I. M, id est S D ad O T,
410쪽
ut DC stad ON: sunt autem anguli DCS ONΤ techi:igitur triangula DCS, . ONT sunt.similia, anguli que D SC, O TN aequales: quare.& anguli D SE, OT P illorum dupli simi aequales de D S E, O T P sectores sunt similes adeoque 5s segmenta DBE,O LP sunt similia .igitur ut segmentu O L P ad circulum L O M,sic segmentum DBE ad circulum DBA: sed etiam vi segmentum O LP ad circulum L OM, sic segmcntum δ Q LR ad ellipsim . quare ut segmentum DBE ad circulum ADB, sic Q LR segmentum est ad ellipsim FLG, hoc est ex constructione segmentum I GK ad ellipsim FLG ,&permutando est segmentum DBE ad segmentum I GK, ut circulus ADB ad ellipsim FL G.Quod erat primum. Sit iam segmentum DBE ad segmentum I G Κ , ut circulus ADB ad ellipsim F LRi dico B S,G Τ lineas in C ἐκ H , proportionaliter esse diuisas. ponantur cadem omnia quae prius : Quoniam est segmentum D BE ad segmentum I G Κ, id est Q LR ut circulus ADB ad ellipsim FLR, & permutando D BE segmentum ad circulum ADB, ut segmentum .LR ad ellipsim FLR; sit autem , & OLPs ML segmentum ad circulum OL M. ut Q LR segmentum ad ellipsim F LR, erit vi se .gmentum OL P ad circulum L OM, sic DBE segmentum ad circulum ADB. Quare desectores D SE, OT P lunt similes Ee anguli D SE, OΤP adeoque Millorum dimidis D SC, O TN aequales. sunt autem & anguli D C S , ON T recti sigitur triangula DCS, ON T similia i M ut D S ad O T, id est B S ad L T, sic SC ad N T. quare BS,LT in C de N proportionaliter sunt diuisae. sed cum per constructioncm segmenta .LR, I GK sint aequalia, erit vi I. Τ in N, sic ς GT est diuisa in H. igitur ut BC ad C S, sc GH ad H T. Quod erat demonstrandum.
PRO. POSITIO CLXXXVIII. Esto ABC ellipseos segmentum quodcunque ABCι sumatur
autem in circulo DEF segmentum D EF , quod ita se habeat ad suum circulum , ut ABC segmentum ad ellipsim suam di dein ABC, DEF segmentis triangula inscribantur maxima ABC, DEF, diuisisq;
A B. D E lineis bifariam in H & L, agantur per H de L , diametri Gl,