장음표시 사용
411쪽
EX B 8c E ducantur diametti BG, ER, iunganturque DK, KF, G A. GC, de quoniam e verticibus maximorum triangulorum ductae sunt diametri, in eliculo quidem patet DF bisecati,n C, in ellipsi autem bisecari quoq; AC colliges ex 41. huius.Quare ta ineIlipsi quam in circulo sectores AG C, D KF mecantur. ergo se ctor AGB est adsectorem DKE, ut sector AG C ad sectorem DKF. Iam ve . rocum permutando hypothesim, segmentum ABC sit ad segmentum D EF, ut a t r. εο- ellipsis ad circulum, etiam sector A GC erit ad sectorem DK F, hoc est tue iam μ' ostendit sector A G ad sectorem D ΚΕ, ut ellipsis ad circulum. Et quoniam est sector AGB ad sectorem D ΚΕ, ut ellipsis ad eirculum, erit quoque segmentum AI B ad segmentum A ME, ut ellipsis ad cireulum. Ergo diametri 1 G, MK pr portionaliter in H 3e L sunt diuisit.Quod erat demonstrandui
PROPOSITIO CLXXXIX. E Adem manente figura i si suerit segmentum ABC ad segmentum
D E F, ut Α Β C ellipsis ad circulum D E F. Dico esse & triangulum maximum ABC ad triangulum maximum D EF ut ABC ellipsis est ad cireulum D E F. Demonstrauω.
IT ABC ellipsis est ad cireulum D EF, sic ostendimus in priori segmenta AIR, BC esse ad segmenta D ME , EF. Quare cum etiam ex hypothesi sit, ut ellipsis is eirculum se totum segmentum ABC ad totum segmentum D E Rigitur de reliquum triangulum A BN est ad reliquism triangulum DEO ut ABC, ellipsis ad cireulum DEO. Quod erat demonstraodum.
Esto ABC semicirculo inscriptum triangulum maximum ABC, sit autem de A E C semiellipsi quet communem Α C habeat diametrum, triangulum inscriptum maximum A E C: si fuerint A BC, A E C trian la aequaliac Dico de semicirculum ABC aequalem
Tungantur puncta B Ee E. Quoniam triangula AEC super eadem basi descripta pethypothesim sunt aequalia, erit iuncta BE parallela rectae AC, adeoque cum tam AB C,quam AEC sic
412쪽
ELLIPSIS. ssit triangulum maximum, continget recta BE Ae circulum&ellipsim; igitur a se- 2 3 --micirculus ABC aequatur semiellipsi AEC. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CXCI. FLlipsis est ad circulum vel ellipsim ut triangulum maximum inscriptum semiellipsi ad triangulum maximum inscriptum semicirculo aut semiellipsi. Demonstratio.
Cum enim si ut semiellipsis ad semicirculum aut semiellipsim , ita tota ellipsis ad totum circillum aut ellipsim: erit but triangulum maximum AEC semiellipsibi νosu inscriptum ad triangulum maximum D EF semicirculo aut semiellipsi inscriptum, ita ellipsis ad circulum ad ellipsim. Quod erat demonstrandum.
PROPOS FTIO CXCII. DAto circulo vel ellipsi DEF ellipsim aequalem exhibere. Et datae
ellipsi circulum aequalem. o nustio in demon Iratιo.
CEmicireulci vel semiellipsi DEF inscribatur triangulum maximum D EF, cui fiat aequale aliud quodcumque triangulum ABC, diuisaque A C bifariam in G, ducatur B G, M protrahatur B G in H, ut BG, G H sint aequales, de si A C, B Hsese ad rectos intersiecent, describatur ellipsis ABCH cuius axes sint ACBH, si autem non ad rectos sese intersecent, datis A C RH coniugatis diametris axes in- . . uenianturς circa quos describatur ellipsis AB C H. Dico ellipsin AB CH eitcu- lo Qel ellipsi DEF aequari: est enim triangulum ABC maximum eorum quae sc- . , ellipsi inscribi possunt a quia ACBH ponuntur diametri coniugatae. quare tam ' triangulum maximum semiellipsi inscriptum aequale sit trianguIo maximo cir- eulo vel ellipsi inscripto, erit . ellipsis ABC circulo vel ellipsi DEF aequalis. ergo quod petebatur. Ex his secundae partis constructio de demonstratio est manifesta. Corollarium. TTInc patet infinitas dari ellipses circulo vel ellipsi ABC aequales, quia triangulo A B C dantur infinita triangula aequalia.
413쪽
semiellipsi ABC aequalis ponatur . inscribantur deinde semiellipsi Be semicirculo triangula ABC, D EF inter se aequalia: & ex B & E, normales ad basim demittantur BG,EH. Dico lineas AC, ADF in G & H, similiter diuisas esse. Lumonstratio.
E centris I 3e Κ, ad diametros AC, DF normales erigantur IL, K M iunganturq, AL,LC, de DM, MF: quoniam semiellipsis ABC semicirculo DM F. aqualis est, erunt de maxima triangula illis inseripta nempe A L C. D M F inter se 'aequalia 3 a erit igitur ut triangulum ALE , ad triangulum ABC id est ut '' LI ad BG, ita triangulum DΜF ad relangulum D E P. id est ita linea ΜΚ ad E H, adeoque ut quadratum LI ad BG quadratum, ita erit quadratum M K ad ipsinn EH: sed ut quadratum LI ad quadratum BG, ita est rectangulum AIC ad rectangulum A GC : & ut quadratum MN ad AH , quadratum. ira est D KF rectangulum ad rectangulum D H F, ergo vi AI quadratum ad rectangulum AG C, ita est quadratum DK ad tectangulum D HFr de permutando ut qua- . dratum AI ad ipsum DK quadratum, siue ut quadratum AC ad DF ita est rectangitum A GC ad rectangulum D H F, constat igitur ex Sereni l.I. prop. Ira lineas AC, DF in G dc H, proportionaliter esse diuisas. Quod erat demonstrandum.
punctis A B, C B, dividantur Α Β , C Blineae bifariam in F & G : d canturq; ex E centro lineae EF, E G: dein tam per puncta A E B, quam C E B ellipses describantur quaru coniugatae sint diametri A B, E F,C B, E GiDico ABC ellipsim aequalem esse duabus el
lipssibus A E B, C EB. Demonstratio.
QVoniam tam AB EF, CHEG, AC B E diametri
sunt coniugatae,erunt. ABC, AER, CEB triangula maxama quς suis semiellipsi hus inseribi possunt di est autem ΑΒ C triangulum duplum trianguli CE B, igit ut & ellipss ABC ς dupla est ellipsis CEB. similitei inendam ellipsim ABC duplam esse ellipss B EA. ae
414쪽
ELLI PII S. 34 quantur; igitur ellipses B EA, CEB ae proinde ellipsis ABC singularum dupla
aequatur etrique simul sumptae. Quod erat demonstrandum.
PROPOsITIO CXCV. Circulum ABC secet recta quivis AC auferens segmentum ABCroportet in data ellipsi EFG, ad datam diametrum EF ordinatim ducere H G, quae segmentum auferat H F G, quod ad ellipsim eam habeat rationem quam ΑΒ C segmentum ad circulum AB C. Constructio-demonstrasIo.
D . Diuisi in ei reulo ABC tecta AC bifariam in F,agatur per Inormaliter diame et B D:dein in ellipsi E F G,dividatur E F diameter an K,ut diuisia est B D in I, agaturque per K ordinatim linea Η G ad F E. diametrum, patet a H F G segmentum iis, amesse ad ellipsim E F G, ut A B C segmentum est ad circulum AB C. dato igitur iis circulo segmento, de . Quod erat faciendum.
PROPOSITIO CXCU I. Esto ABC semicirculo inscriptum triangulam quodcunque ABC,
Ophrteat super B G line a segmentum describere ellipticum, aequale segmento circulari AD B. cinstructio re demonstratio. DVeatur recta FG parallela dia.
in F, dein per B recta agatur DE parallela diametro A C, fiatque B E P.
neae in G : tum per A, G, C puncta is elliosis describatur: cuius diametri eoni atae sint AC, I G,& quoniam FG est iesi AC per extremitatem diametri I Gnarallela , continget ellipsim m G. quare ellipsis circulo aequalis est. Deande non iam FG,M H lunt parallelae, faciIe ostendemus ex elementis rectangulum sub GH, de reliqua parte diametri, esse ag rectanguIum sub GI, & reliqua parte diametri ut rectangulum sub FM, & reliqua parte diametri ad rectangulum sub FIN reliqua parte diametri. Atqui rectangulum sub FM,& reliqua parte diametri est s- Diuitig by Gorale
415쪽
3 sELLIPSIS. ad reclangillum sub FI ar reliqua
parte diametri ut quadratula D M ad quadratum AI, hoc est, ut quadratu B H ad quadratum AI. ergo cliam tectangulum sit, GH & reliqua parte diametri est ad rectangulum sub GI,& reliqua parte diamem,ut qua ratum B II ad quadratum A l. etialipiis ergo trai,sit per punctum B. Iam quia ellipss circulo aequalis est ve. , ai. - ostendi supra, ablato communi segmcnto curvilineo AN B PC, aequalia remanent..is. segmenta BPCE, AN BD. quibus si addas segmenta B P C, A N B, quae η ςqualia sunt, segmentum ellepticum BC Ebas m habens rectam B C aequabitur segmento citculata ADB, basim habenti rectam AR Factum igitur est quod petebatur
FSto ABC segmentum quodcunque circulare, oportet super AC 'o subtensa segmentum constituere ellipticum, dato ABC segmento aequale,cuius una e diametris coniugatis sit data quae sit maior diametro F G circuli ABq. B Do,nstructis j dem ratio.
IN uento E centro circuli ABC ducatur per E diameter FG aequi distans rectae A C. erectaque ex si normali EB , quae AC Iineam bifariam diuidet in H , agatur per B tangens BD, dein per II recta clucatur ID. aequalis datae occurrens tangenti in D&FG diametro in I: fiatque I K aequalis rectae PE,& IL aequalis EG, tum pur KDL puncta ellipsis describatur, occurrens AC Iineae viculique in M. dico factum ei se quod petitur. Quoniam enim L Κ, DI diametri sinteoniugatae 3c BD parallela ipsi L Κ, patet ED contingere ellipsim KDI., ade --r que , rectam MN aequalem ipsi A H: ellipsis igitur transibit pcr punctum A. eodem modo ostenditur transire per Ct igitur egmentum ellipticum ADC aequa- Ie est segmento circulari A B C; super data igitur linta AC,&c. Quod era acien-
PROPOSITIO C XCVIII ELlipsim a dato in peripheis
ria puncto, in datos num m sectores aequales diuidcre. Coniuetio,demonsDauio.
B, oporteat ab hoe ellipsin secare sectores tot aequales quot volueriv.g. in sex. Diametro A C describe semieitculti cui inseribe AE,latus poligoni tot
416쪽
haberitis latera quot .aequales petebantur sectores quoniam aute petebantur sectores aequales lex ,erit AE latus hexagoni. ponatur ergo E. FG normalis ad AOiunganturque EID, GD, B I ,G R. &GB aequidis et A H: dico factu esse quod petitur. vi circulus ad Eltiplin ita est legimentu EF A ad segmentu GF A id est ut F G ad F E:estq; ite ut FE ad FG, ita triangulu E D Fad triangulsi G D F. ergo ut circulus ad ellipsin, ita est sector ED A, ad lectorem GD A , sed lector ED A est pars tertia semicir- .culi, cum linea A E sit latus hexagoni: ergo & sector G D A tertia pars semicllip- . seos erit. Cum autem G B ipsi AH aequi distet, erunt legmenta AG, B H : adeoq; delectores GD A, B DIJ aquales inter se: hoc elisexta pars ellipleos totius. fiant, i . modo segmento B H aequalia legmenta HI, IK iunganturque D H, DI, DK- sectores igitur DB H. D HI, DI K aequantur adeoque linguli sunt sexta pars ellipseos. de simul si impii semiellipsim constituunt BCR, reliquam igitur semiellipti inli AK seca ut diuisa est BCK, eritque tota ellipsis in sex aequales secto res divisa. Quod facere oportebat.
PROPO si TIO CXC IX. ESto circulo ABC cuius centrum E inscriptum polygonum quod-
uis regulare A B C D t ductaque diameter FG lec et latus quo auis AD bifariam in Hi sit autem & I KL ellipseos diameter quaecunque I Ldiuisa in M sicut FG est diuisa in H, agaturq; per M ordinatim linea N O ad diametrum I L. Dico rectam N O, elle unum e lateribus polygoni regularis inscribendi ellipsi tot laterum , quot est polygonum circulo ABC inscriptum. Polygonum autem ellipticum regulare voco, cuius sinsula latera abscita dunt elliptica segmenta aequalia. Demonstratio.
Ducatur ex O linea OP auferens segmentum aequale segmento NLO , Ac ex P recta P Κ quς segmentum auserat aequale segmento NLO, dein ex K Iirica KQ auferens segmentum squale segmento NLO, erit Q punctum idem Cum puncto N. Iunctis enim in circulo ABC punctis F. A, h B, E C,E D ducantur in ellipsi semidiametri. RR RN,RO, R P. Quoniam diametri FG, IL sunt in HM M, proportionaliter diuisa , 5e AD, NO lineae per H & Μ. actς ordinatim ad 'diametros FG:I L. erit but sector AED ad circulum ABC, sic NR O sector ad bito. ellipsim IKL: sunt autem tam AED, DEC, C E B,BE A sectores, quam cNR O,
ta sunt aequalia, igitur ut sectores quatuor circulares ad suum circulum sic elliptici sectores quatuor ad litam ellipsimi sed toti circulo aequantur sectores circulares, igitur & ellipsi sunt aequales sectores elliptici. quare punctum Q idem est cum puncto Ni x KN O P polygonum est regulare tot laterum quot est polygonum circulo inscriptum.Quod erat dentonstrantium.
417쪽
PROPOSITIO CC. Esto circulo ABC inscriptum polygonum quodcunque regulare
A, B, C, D, E, F et sit autem 5e ellipsi GHl inseriptum polygonum regulare G, H, I, K, L, M, totidem laterum, quot est polygonum circulo inscriptum. Dico segmentum circulare ab aliquo laterum polygoni ablatum , esse ad segmentum ellipticum,ab aliquo laterum polygoni elliptici ablatum, ut est circulus A B C ad ellipsim G HI. Demo tratio.
SIt O centrum circuli & N centrum ellipsis: ducanturque ex Ο & N, semidiametri ad angulos sui polygoni: Quoniam G H, H P, I Κ, &c. segmenta in ellipsi εο ε ' per constructionem sunt aequalia, erunt dc sectores GN H, IN I i N Κ,ωc.aequales: sunt autem Ac sectores circuli AOR, BOC, COD, Bec. aequales de pares numero ellipticis, igitur est sector AOB adsectorem G NH, ut omnes sectores circulares, id est circulus ABC ad omnes sectores ellipticos, id est ellipsim G H Lquare& segmentum AB est ad segmentum G H, ut circulus ad ellipsim. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCI. CIrculo A inscriptum sit quodcunque polygonum, oportet datae el
lipsi BCD polygonum pari numero laterum proportionale inscribere, hoc est quod & eandem ad ellipsim proportionem habeat quam circulare ad circulum; & cuius singula latera, Legmenta auferant quae ad ellipsim suam talem habeant rationem quam habent segmenta circularia, singulis lateribus polygoni cireularis ablata ad suum circulum.
418쪽
i fluento Elnpsis maiore axe BD, describatur diametro BD circulus BEF, cui Apolygonum ininibatur BEFGH, simile illi, quod Α circulo inscriptum est polygonoi secetque FG latus , axem BD in in dein ductis ex E. F,G, H ad axem Bb normalibu, EI, F K,GI,,HM, quae ellipsim secent in C, N, O, P. ducatur rectae BC, CN, Naio O, OP, PBI dico factum esse quod petitur. Quoniam GL, .FK sint p ralbelae,erunt triangula GLQ1KFc milia, adeoque vi GL ad KRhoe est ut o L ad K N, sic L ad QK sunt vero de anguli Ο L QIS K Q,rectinergo triangula o I. Q K F Q lunt similia. erso O Q. Q F sunt in directum ligura itur BC, NO, PB est polygonum ellipsi micrmium. vita linea est ad lineam I Q. g. ., GIBE triangulii est ad triangulum IB C sed est ut IE ad Ι C,sie IE F QIrapeziuin ad trapezium I CNo; igitur tota figura BEF. est ad figura B CN Q HIElinea ad lineam a C id est Megmentum I Bd ad segmentu I BC, id est ut circulus BEFad ellipsim BCD. eodem modo ostenditur figura B HGQ. esse ad figuram ΤBPo in ut circulus B EC ad ellipsim BCD. Quare crit 'totum polygonum BEFGH ad polygonum BCNOP,νt circulus BEF ad ellipsim B C D, & pe mutando, ut B EFGH polygonum ad circulum B E F hoe est ex const.ut polygonum circulo Α inscriptum ad suum circulum, sic BCNOP polygonum ad ellipsunB CD: Quod erat primum. Rursu ncum tam segmentum IBE sit ad segmentum I BC, quam IBEati angu-
Ium ad triangulum I BC, ut est circulus BED ad euipsim BCD, erit de segmen-rum BE ad legmentum BC ut BED circulus ad ellipsim BCD: & permutando ut segmentum BE ad circulum BED, sie BC segmentum est ad ellipsim BCDiidem similiter de reliquis segmentis ostenditur i igitur datae ellipsi BCD polygonum inscripsimus, di c. Quod erat faciendum.
PROPOsITIO CCII. Esto ABC ellipsi inscriptum quadrilaterum regulare ABCD, du
ctaeq; per G centrum uni e diametras coniugatis aequalibus EF ι, ae qualis sumatur recta H I : qua diametro circulus describatur Hi Κ, cui
inscribatur quadratum KLbi N. Dico quadrata KL, L N M, M K simul sumpta aequari quadratis A B,B C CD, D A simul sumptis.
419쪽
r L 1 I P S I S. Demonstratio.
DIuisa KL bifariam in O ducatur per o diametet HI t dein applicetur ad FE diametrum ordinatim linea P Q segmentum auferens aequale segmento ABi diuisisque A B, AD bifariam ii II de S. ducantur semidiametri GR T, G S Vilinganturque puncta AG BG, CG,DG. Quoniam segmenta AB, BC, CD, DAPer constructionem sunt aequalia, erunt de sectores AGB, BG C, C GD, AGD ae- ... h.is,. quales, adeoque A BG a diametri coniugatae.praeterea cum ex const. GT, GVbs --. bisecente cenero rectas AB, ADF sectores A GT. AG U, dimidia pars sunt secto. . rum AGB, AGD, hoc est semiellipsis sector igitur TGU quarta pars est ellipseos c46.ε-M. ergoς GT, G V sunt coniugatae N A B, A D tineς ordinatim ad illas positae: igitur cum per constructione segm Entum P EQ aequale sit segmento ΑΤΒ, siue AF D: . erit PQquadratum bis sumptum, aequale quadratis A B, AD simul sumptis, adeoq; PQ quadratum quarto sumptum aequale quadratis AB, BC, CD, D A. Rursum: 7 cum segmentum P Q. sit ad segmentum KL, ut d ABC cllipsis ad circulum KLM, eis a M. ET HI diametri sunt e in X & O, proportionaliter diuisae, adeoque s P inea aequalis lineae KL. isittat & quadratum K L quater sumptum aequale est quadratis ...' ' AB, BC, CD, A D. Quod erat dcmonstrandum.
Esto ABC ellipsi inscriptum Quodcunque polygonum regulare
ABCD, EFGH iductaq; IK una ex diametris coniugatis aequalibus; describatur circulus L MN habens diametrum aequalem diametro I K: dein circulo inscribatur polygonum regulare tot laterum quot est polygonum ellipsi inscriptum. Dico omnia quadrata laterum polygoni ellipsi inscripti, simul sumpta aequari quadratis laterum polygoni circularis simul sumptis Demonstratio.
STatuamus E, G. ellipsi & circulo inscripta esse octogona regularia, eadem quip. pe demsistratio polygonis omnibus conueniet. in circulo LMN ducatur diameter No secans LM , lineam bifariam in Si diametrum vero IK secet ordinatim linea P Q segmentum austrens aequale segmento A B, tum ducantur semidiame-h ι,. h. tri HX, A X, B X, C X,item TX, V X quς lineas AH, CB dividant bifariam. m. Quoniam lcgmenta A B, B C. C D, &c. sunt ex constructione aequalia, erunt g dc secto-
420쪽
sectores A X B, B X C. 8ce. aequales : sunt autem illi simul sumpti aequales toti ellipsi, igitur sectores duo AX B, B XC hoc est quarta pars sectorum , erunt
. quadrans ellipsis AB . lam quia XT , XV ex centro ductae hiseeant BC, a io. AH,a erunt lectores CYT,χΑv dimidi j sectorum aequalium B XC, A XH, ae proinde inter se aequales. addito igitur communi lectore Α Y T, toto sector V X T. sectori toti A XC aequatur, quare cum A XC si uadrans ellipseos, erit Ae V X T. Ergo h v X, Τκ diametri sunt coniugatae, ad quas AH CB sunt ordinatim po. Φε - - stet auferentes segmenta aequalia;igitur ς quadratum PQ ssumptum, eli aequa- Σφε le quadratis AH, CB simul sumptis r eodem modo ostenditur idem quadratum
PQ bis sumptum a quari quadratis AB, GH simul sumptis: adeoque P inquadratam quarto sumptum aequati quadratis CB, BA, AH, H G, id est quadratis GF, FRED, DC. quare ae quadraeum P QS eum octies quot laterum est polygonum i aequale est quadratis laterum totius polygoni ellipsi inscripti.Iterum cum a sit ut ellipsis ABC ad circulum LMN, ita segmentum AB id est P . ad segmentum I,M, erunt I K, N O diametri ς in R M S, p portionaliter diuisae, &. quadratum PQ s aequale quadrato LM. ergo quadratum ΡQ octies sumptum in aequatur quatiatis laterum polygoni cireularis. sed quadratum P Q octies sumptum datur etiam, ut supra ostendi, quadratis laterum polygoni elliptici: ergo quadrata laterum Polygoni elliptici simul iumpta aequantur quadratis latorum polygoni cit- eularis simul sit tis.Quod eraζ demonstrandum corollarium. FTInc patet: si eidem ellips duo inseribantur polygona parium numero laterum. Aquadrata laterum unius polygoni simul sumpta, aequalia esse quadratis laterum alterius polygoni simul sumptis.