장음표시 사용
421쪽
3 ELLIPSI s. PROPOsITIO CCIV.FLlipsi inscriptum sit polygonum regulare, una autem coniugatarum aequalium sit QP, ad quam sit ordinatim RS. Dico quadrata laterum polygoni simul sumpta esse ad totum polygonum ut linea RS ad dimidium rech e TDemonstratis. ADVcantur ex Α, Β, C, D, E, F, Η, R, S punctis semidiametri. Quoniam RS segmentum per constructionem est aequale segmento AB, erit. Ee triangulum R QI aequale triangulo A QB: similiter ostendam triangula singuIaB Q C,C QD.&e. aequari triangulo RQS: adeoque R QS triangulum octies sumptum arquata b 1 σε. s.. toti polygono: est autem v R S quadratum octies sumptum aequale quadratis omnium laterum polygoni, igitur ve R S quadratum octies sumptum est ad triangulum RQS octies sumptum hoc est ut RS quadratum semel sumptum ad R, Q.S. triangulum semel sumptum, ita omnia quadrata laterum polygoni ad totum poIDgonum. sed eum RS quadratum sit ad rectangulum super RS, T Q, o RS linea ad lineam T Q, erit R S quadratum ad triangulum RQ S, dimidium rectanguli RS, T vi RS linea ad dimidium rectae T Q, igitur, re omnia quadrata laterum polygoni sunt ad totum polygonum vi RS linea ad dimidium lineae T Q. Quod
PROPOSITIO CC v. DAtis axibus & diametro ellipseos inuenire illius coniugatam & posi
422쪽
CIt A diameter data, & axes dati B C,DE, Oportet inuenire diametrum coniugatam ipsi Α, quam eum datis arcibus oportet in eadem collocare ellipsi. axes ED, BC ad angulum ponantur rectum ECB, tun laque BE , super ea semicirculus describatur ECB, in qMo datae, A aequalis aptetur E F,ducaturq; FB: quoniam igitur E C, CB artium quadrata aequalia sunt quadratis cuiusuis coniugationis in ellipsi,eademque axium quadrata atquentur quadratis E F,FB & EF aequalis A una sit ex diametris, recta FB diameter est coniugata FE: exhibuimus igitur diametro A, coniugatam, quod primo faciendum fuit. . Iurisantur deinde a tum extrema DBEC quae paralIelogrammum exhibeant D BEC: cui aequale fili parallelogrammum . IH ΚG, quod I Κ, GH diametros a Pre habeat tectis EF, FB aequales. data igitur diametrorum IK ΗG coniugatione, exhibeantur positione axes h LM,NO adeoque & ellipsis LMN. erit illa aequa-bs -- lis ellipsi BEC euius axes dati sunt BC, ED: cum enim per extrema coniugationis positione datae, unica tantum e ellipsis transeat, & IM GH coniugatio positio- - Rne sit in elIipsi L MN, eademq; pertineat ad ellipsin BEC, ellipses LMN, BECadeoque & a xes aequales fiunt: ellipsis igitur LAIN, illa est in qua coniugatas E TF B, iis est I Κ, G H positione cum datis axibus B C, DE id est L M, No collo .catsoportebat.
PROPOSITIO C C V I. DAta ellipsi & circulo illam
intersecante puncta intersectionis geometrice exhibere. oportet autem circulum de ellipsim idem habere centium. constructio o demonstratio. ΕLlipsim ABC euius centrum D,
intersecet eirculus ΑΒ , CE , Oportet intersectionis puncta exhibere. quoniam ultur circulus & ellipsis Commuue tiabent centrum D , si ex
tilo ad interiectionis aliquod punctum
423쪽
recta intelligatur duci, erit illa semidiameter circuli & ellipsis, diametrus igitur aliqua, circulo Ecellipsi communis , sit illa AC. deinde cum odi psis data sit, dati quoque sunt axes FG, ΗΙ. datis igitur axibus & diametro AC, inueniatur illius coniugata de per praecedentem coniugatio illa cum datis axibus in eadem positione collocetur ellipsi, illarum una, puncta assignabit intersectionum. Quod erat praestandum.
424쪽
Ectionem hoc libro explanadam aggredimur ab antiquis conirectanguli sectionem dictam , ab Apollonio Sc recentioribus parabolana nominatam,atque in eiulidem explicatione nonni hil morositores erimus;quoniam plane scistio illa ad circuli quadraturam & alias aequationes cum circularibus perficiendas neeessaria est, ob admirandas eius proprietates quae cum circularibus 5c ellipticis plane
Datur liber Lein partes omnino octo. Prima fictionem ὸ cono educit,passionesque illius essentiales cir reliquis fundamentales exhibet. . Secunda linearumn parabola oportionemtam continuamquam disi
Tertia Bonis seu in mutuas parabolarum intersimones siremetrisὸdesignat. duarta parabolarum, Asi mutuo, mel circulum ister sensium contemplatur afise ines. I inta paruolam tam conueram quam concaaam quadrar.
Sexta, parabolo σfigmenta inter stransire , dein maximassictioni Uribit fi
Septima marias exhibet parabolagenesis quae tum ex b is, circulis, essi bus,tum ex Ese oriuntur parasoti. Octaua miram exhibet parabolarum parallilarum cum εχ rbola inter asi totos posita, tam in ortu, quam reliquis proprietatibur dymbolsationem.
Diameter parabolae est recta linea intra parabolam ducta, quς omnes lineas cuidam aequi distantes bifariam diuidit, ει siquidem ad remos illas secet angulos,axis dicetur.
425쪽
In omni vero parabola diametros axi aequidi stare ; Sc sectioni in uno tantum puta. cto occurrere, tuo loco demonstrabitur.
Verticem diametri voeo punctum in quo diameter sectionis perim tro occurrit et punctum autem quod axi& sectionis perimetro commune est , vertex dicitur parabolae.
Ordinatim ad diametrum applicari Uicitur unaquaeque linearum aequidistanctum, ac bifariam diuisatum. IV Latus rectum voco lineam iuxta quam possunt ordinptim ad diametrum applieatae et siue latus rectum mensura est iuxta quam comparantur potentiae linearum ordinatim ad diametrum positarum.
Porro illud prae reliquis sectionibus peculiare in parabola sibi vindicat Iatus te quod rectangulum latere recto Ac parte diametri ab eiusdem vertice, de puniacto quo ab ordinatim posita diuiditur, intercepta contentum, aequale semper con stituat quadrato lineae quς ordinatim poni dicitur. . Sit exempli causia in ABC parabola diameter AD, illiusque Iatus rectum AF ordiiistim vero positae sint B D, C Et erit igitur ex mente Apollonij . quod ει nos quoque demonstrabimus, quadratum BD aequale rectangulo D AF: εc EAF rectanguIO aequale quadratum CD de sic de ceteris ordinatim positis idem ostendetur. Illud quoque hie obseruandum est . quod At in ellipsi ostendi, diuersa diametris singulis assignari latera recta,eum linearum quae ad illas ordinatim poni dicuntur,diῶuersae quoque existant potentiae. Deinde necessarium non esse latera recta ad extremi ates diametrorum sirarum, normaliter poni, sed ijsdem eo posse applicari angulo quo diametri ab ordinatim positis intersccantur. v
Focum parabolae appello, punctum in axe positum, a vertice interual. lo dissitum, quod aequale est quartae parti uteris recti.
VI. Parabolas parallelas voco quet ad eundem axem constitutae diuersos quidem habent apices, sed latera recta aequalia , & concauas perimetros
Parabolae aequales sunt, quarum latera recta axibus inservientia sunt aequalia. PARA, Dihili od by Corale
426쪽
Parabolam e cono educit, pasilanssi sigiis esentiales ac fundamentales exponit : sprimo quidem diametros , oriunatim ad ilias pos ta graecipvsi iliarum proprietates exhibet: Iecundo latin recyum ibbuis naturam, dem Aecantium ac contingentium primarias designatafectiones. PROPOSITIO PRIMA.Sto conus ΑΒ C lectus triangulo per axem ABC, ducta tua ED parallela lateri BC, fiat per Eo sectio D F G, secundum
rectam EG normalem ad lineam A C; ponatur autem per Hpunctum quod uis in E D linea assumptum, recta IKat quidl- stans AC diametro basis coni: Se per IK planum ducatur IF Κ atqui distans plano baseos A GC occurrens plano DFG secundum comm nem intersectionem F H. Dico H F quadratum esse ad quadratum FG, ut H D linea est ad lineam E D. Demonstratio. moniam planum I FK aequidia
stat plano baseos A G C ν circulus erit Is Κ,&FH, EG communes intersectiones b parallelae. quia vero AC, IK aequi distant , MEG normalis est ad AC,recta quoque ΗF normalis o est ad I Κ t ac proinde F H quadratum rectanguisio I ΗΚ 4 aequale : sed N EG quadratum, rectangulo AEC aequale et i quadratum igitur EG est ad quadratum FΗ, Ut AEC rectangulum adrectangulum IH Κ: quia vero ΕΗ aequidistat ΚC adeoque HK, CE lineat in parallelogrammo aequales sunt,rectangulum I ΗΚ est ad rectangulum AEC, ut III
dratum igitur FH ad EG , quadratum est ut recta B H ad rectam T. Quod erat demonstrandum. Vocetur autem sectio huiusmodi parabola cuius diameter DE, Se ordinatim ad illam posita: F H, G E. scho.
428쪽
PARABOLA. Demonstratio. posta per I punctum , LM parallela
AC ducatur sectindun LM , planum L ΚΜ aequidistans plano baseos AGGcirculus igitiir a est LΚM , & ΗΚ . FG communes intersectiones b parallelae. Aequia FE G ex hypothesi normalis ad diametrum A C, ab eadem in E bifariam est diuisa, ΗΚ quoque ς normalis est ad L M,& 4 in I bifariam diuisa. Quod erat demonstrandum. Corosianum. EX hac propositione patet, in parabola, si diameter rectam quandam bifariam secet, omnes quoque eidem bissectae aequidi stantes bifariam secari. patet, cum EDdiameter sit quaecunque, Sc HIΚ quς uis aequi distantum rectet FG in E bifariam diuisae.
Ata linea, parabolam in duobus punctis secante illius exhibere dia
Constructio σ demonstratio. DIuiis A C bifariam in D ponatur E F aequi-
distans,qua similiter bisiecta in G, ducatur per G & D, linea BGD: dico illam diametrum esse quaesitam , si non, sit L D diameter, quae producta secet EF in M : quoniam igitur L D diameter bifariam secat AC, bissecabit equoque in M, FEipsi AC aequidistantem, sed FE bissecta ponitur in erit igitur in M , bissecta linea FE.Quod fieri non potest. non igitur L D diametet est sed B D. exhibuimus igitur, de . Quod erat faciendum.
PROPOSITIO IV. Dato in perimetro parabolae puncto, ad da
tam diametrum perimetro Patnetrum ordinatim ponere.
C It in perimetro parabolae ABC. datum punctum A, & diameter data sit BED ad quam ex A ordinatim o- Portet ponere lineam A EC, iuncta ΑΒ producatur in F , M A B, B F aequales sint, de ex F demissa F C parallela BE , occurrae parabolae in C. iungaturque AC: patet AC i in E bifariam esse diuisam, cum AF, hisiecta sit in B, Se FC, BE aequidistenti a dato igitur in perimetro parabolet punino,&c. Quod erat faciendum.
429쪽
362 corollarium. Iunc facitis praxis oririir, per datum in diametro punctum ordinatim ducendi lineam: ex assumpto enim in perimetro quovis puncto. ponatur indinatim quet cunque, cui per datum in diametro punctum aequidistans ducatur. patet illam ordi natim ad diametrum esse positam: i
l Atam lineam ad datam in parabola diametrum ordinati in ponere. Constructio-demonstrauis. o Ata sit parabola A B C; & in ea diameter Α D, ad quam. oporteat datam rectam F ordinatim applicare , assumpto quovis puncto B in sectionis perimetro ponatur ex Ba linea BE Ordinatim ad diametrum AD, fiatqι ut BE qua dratum ad quadratum Filia AE ad AD lineam, εe per D punctum constituatur DC parallela EB. Dico factuin esse quod requiritur: est enim ita pars diametri AE ad A D diametri partem , sicuth quadratiam ordinatim positi BE . ad uadratum positet CD, sed ex constructione est BE quais ratum ad quadratum F, ut A E linea ad lineam A D. igitur C D ς est aequalis ipsi F re est parallela ad E B : datamisitur lineam ordinatim posuimus, Sec. Quod erat facien
ORdinatim applicatarum ad duas diametros quarum altera est axis, illa minor est quae ad axem applicatur, modo distantiae a puncto verticis aequales fuerint. Demonmatio. It parabolae AB Oaxis hD Ae ordia
natim ad illum poma AC a ducta deis inde A E parallela B D. fiat BF quadrupla BD. ponaturque FG paralle-Ia D A dein F G, bissecta in H ponat ut H A aequidistans B F, rungaturque B G: quoniam B D ad B F. eam rati nem habet quam unum ad quatuor ex constructione , igitur quadratum AD ad GF, est ut unum ad quatuor ; igitur GF linea dupla est AD , hoe est HS & BF dupla est EN ι ae proinde BG dupla GE: iten AE aequalis ipsi BD, Ac Z 4n . ., . AC ipsi GF. unde BG ordinatim 4 posita est ad diametrum A E: est autem G B - . . maior GF hoc est AC, igitur GB ordinatim posita ad A E aequalem AD, maior
te, M n est recta AC quae ad axem ordinatim collocata est : & quia eandem rationem seris o F i . - uant quadrata applicatarum, quam spartes diametrorum inter verticem de ordinara tim applicatas constitutae, hinc uniuersalitet de omnibus applicatis constat veritas
430쪽
Anter. de BD quidem axis:ponanturque per D & F,ordinatim lineae A C, G H. ' Dico AC minorem esse recta Gu , iungantur enim ABC, GEM : & ex E recta demittatur EI normalis ad G H. cum igitur aequales sint distantiae EF, BD, aequalia sunt triangula, GEH, ABC per Archimedem . quare ut EI ad BD, sie AC ad GH: est autem B D id est E F maior EI eum angulus I in triangulo EIF rectus sit) maior igitur erit G H quam A C. Quod erat demonstrandum.
datum punctum in diametro parabolae ordinatim ponere. senstructio . demoninum. C It data parabola ABC, cuius dia
meter aliqua BD,&in ea punctum assignatum D per quod oporteat rectam collocare ordinatim ad B Ddia metrum : aslumpto in perimetro qumuis puncto A ducta sit quaevis A C, ordinatim ad diametrum BD cui parallela ponatur per punctum De patetv D G ordinatim esse η positam Sc in D bifariam diuisam. Fecimus igitur quod perebatur.
Atae diametri in paraboli latus rectum exhibete. consimctio re demonstrario.
SIt A B C parabola,& in illa diameterm cuius latus rectum oporteat exhibere. posita sit quaevis B D Adinatim ad diametrum A D, fiantque continu e proportionales AD, D B, AF. Dico A F latisfacere petitioni: applicetur enim quaevis alia E C parallela DBb erit igitur ut AD ad Λ Ε, sic DBquadratum ad quadratu EC. Fia - .