장음표시 사용
431쪽
aisexH. sed ut AD ad AE, se FAD a rectangulum adrectangulum FAE; igitur ut qua dratum DB est ad quadratu EC,sic FAD rectangulum adrectangulum FAE, Arpermutando ut DB quadratum, ad rectangultim FAD, sic EC quadratum ad rectangulum FAE, sed BD quadrato aequale est rectangulum FAD, quia AP, BD, AD , proportionales sunt; igitur vi EC quadratum aequale est rectangulo F ΑΕ, ac proinde F A latus rectum diametri AD: exhibuimus igitur, &c. Quod
erat faciendum. sobolion. . T Vber hk vponere methodam, or confirrue nem qua t 'oston Stib. . Conicorum larus rectumparabola adinvenit: as breuiter octendere titus rectum pracedenti propositione ambu inuen-m dem e seram eo quod Apollonius astί eo ructione adinvenit. Sit, inquit, eoni vertex Α, basis, Hreutiui , B, C: secetur , plano per axem quod semonem faciat triangulam ABC; sce ν se altero plano secante basim eoni secundum retactam tineam D E qua ad B C sit perpendὶ-cutaris, e facias simonem insuperficie rari DFE lineam, diamerer aurem monis F Gavissistans sit uni tirerum trianguli per
axem: atque a pancto F linea F G ad rector angulos ducatur FH, or fiat ut quadrarum
B C ad rectangulum B Α C, ita linea H Pad F A , sumatur autem in semone punm quodlibet K, s per K ducatur Κ. L , ipsi
νολm Fimo se siblimi discursa demonstras; qui cum Oronibus difficii or sit, faciliori nos
latus rectum methodo praecedenti propositione conati sumus expedire, ostendimus enim
posita eadem gura fiant FL, KL, FH,
continua proportionales, FH latus rectum e. Nunc restat ut ostendam, illud idem es m eo quod Apolgoniis e Urinime antedicta adinvenit. Acta per L linea M N, aquaristan- si B C, erIt planum quod transit per Lm N, quidissam plano com basios, adeos err--ἰ- : es' I. K quadraram, id sex Hpothesi rectangulum H FL, quale rectanias Μ L Ni
432쪽
Sit ABC parabolae diameter Α D aequalis lateri recto, ex D ponatur ad diametrum A E ordinatim linea DB. Dico DB lineam aequari A D, & si AD , DB lineae aequentur, dico AD aequari lateri recto, quod inseruit diametro A D. Demonstratio.
Quoniam B D linea, ordinatim applicυur ad alametrum A D , erit B D quadratum aequale rectangulo su per AD & latere recto, sed AD linea aequalis ponitur lateri recto, igitur quadratum BD aequale est quadrato AD, adeoque B D, Α D lineae aequales lunt. Sintiam AD, BD lineae aeqtiales, Ae BD quidem ordL natim posita ad diametrum A D, dico AD lineam aequari Iateri recto. cum enim quadratum BD aequale ponatur quadrato AD, sit autem & BD quadratum aequale rectangulo h super AD & lasere recto, erit de quadratum AD aequale rectangulo 1iaper ΑD dc latere recto, ideoq; & ΑD linea Ialeti recto aequalis. Quod erat demonstrandum.
IIsdem positis ducantur ordinatim lineae CE, F G t & C E quidem
cadat infra B D, recta vero F G supra. Dico AG ad G F rationem minoris inaequalitatis esse, de A E ad E C
Quoniam AD linea aequalis ponitur lateri recto , erit FG quadratum aequale; rectangulo GAD, adeoque ΑG, GF, AD continuae proportionales ; est eZ et 3 autem
433쪽
366 PARABOLA. 'autem AD id est B D, maior quain FG, igitur de FG maior est quam AG. Quod
R visum cum D AE rectangulum aequale sit quadrato C Rproportionales erunt AD, CE, AElinee: Ied AD id est BD, minor est quam C E ex ante demonstratisi igitur Sc C E minor est recta A Et adeoque ratio A C ad C Κ est maioris inaequalitaris.Quod erat demonstrandum.
ΡROPOSITIO X l. ESxo parabolae ABC quae uis diameter A D,& ex
A ponatur A E, aequi distans ordinatim positis ad diametrum A D; ponatur quoque ex A linea AB, diuidens bifariam angulum E A P, occurrentque parabolae iterum in B puncto, ex quo ordinatim ad diametrum ponatur B D. Dico Α D lineam aequari lateri recto. Demonstram.
Quoniam AE, BD aequidistant, angulus EA Bha quatur angulo ABD i sed angulo EA B ex hypothesi aequatur angulus B AD, aequales igitur sunt anguli AB D, B ADt adeoque e Et lineae BD , Α D: unde A D, i lateri recto ςst aequalis. Quod erat demonstrandum.
rum occurrat in B puncto ex quo ad axem ordinatim ponatur B E. ducatur autem & B D normalis a LA B, occurrens axi in D. Dico D E lineam aequari lateri recto. . Demonstratio. Quoniam angulus AB d rectus est, & B A normalis agaxem A D, proportionales . sunt A E, E B, ED:&EB quadrato aequale tectansulum AED : sed& EB quadrato aequale est rectangulum super A E latere recto , tectan. gulum igitur AED aequale est rectangulo sub A E & latete recto. aequalis ergo ED est lateri recto. Quod erat demonstrandum.
434쪽
illiusque latus hectum B E. iit autem M alia quaevis diameter FG, cuius latus rectum ponatur FΗ : dico BE minus esse latere tecto F H i ponatur enim Α D Cordinatam ad axem , sumptaqueFG aequali BD, ducatur per Gordinatim ad diametrum F G, linea IK. maior igitur est,. IGquam AD, & I G quadratum maius quadrato AD: sed IG quadrato aequatur b rectangulum is per H F, FG, NE BD rectangulum aequale est quadrato A D, maius igitur est rectangulum HFG, rectangulo EBD: aequales autem intex constructione BD, FG, igctur FH latus rectum maius est latere recto B Ei igitur latus rectum a xeos minimum est, &c. Quod erat demonstrandum.
SIt A B C parabolat axis B D rnator latere rei ho : de per D ordinatim ad axiim posita A D C: factam D E aequali lateri tecto, ponatur E Faequidistans AC, iunganturque DF. Dico FD lineam aequari lineae DC. Demonstratio.
moniam E D lateri recto aequalis est,quadlatum FE aequatur rectangulo B H D I addito igitat quadrato DE, quadrata FE, D E simul sumpta , id eth quadratum F D,ob angulum FE D rectum aequale est . rectangulo BDE: sed & BDE rectangula aequale est quadratum DC: aequalia igitur sunt qua-urata FD, DC. Quod erat demonstrandum.
OMnis linea per apicem diametri acta, de ordinatim positae aequi di
stans, sectionem contingit et 8c contra quae contingenti aequidistat ordinatim posita est ad diametrum ex contactu demissam.
cIt ad ABC parabolae diametrum BD ordinatim posta ADC: cui
per B vertice diametri ponatur aequi-clinans B E, dico illam , contingere sectionem in a. si enim non contingit parabolam, secet illam in F diis Misique BF bifariam in Gi ponatur per G&D, linea GD; eum igitur . . a FB, AC aequid istantes bifariam diuidat G D, erit illa a diameter ad quam ordina. atim posita est A C; sed Ec AC quoque ordinatim applicata est ad diametrum B D.
435쪽
cu ab illa bifariam secetur; linea igitur AC ordinatim posita est ad duas diametros, quod fieri non potest: alias enim ipsi AC aequid istantes a diam tris BD , GD hi fariam in diuersis punctis diuiderentur. non igitur B Esecat, sed contingit sectionem in B. Sit iam EB contingens, illique aequidistet A C: dico illam ordinatim esse applicatam ad diametrum BD. si enim non, ponatur AL ordinatim ud BD, aequidistat igitur ΑL contingenti BE, de quia AC quoque contingenti parallela est, ipsa AL aequi distat A C, quod fieri non potest, cum in Apuncto sese decussent. non igitur AL ordinatim posita est ad BD, sed AC linea aequidistans contingenti BE. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XVI. I Er datum in parabolae perimetro punctum, contingentem ducere.
metro datum punctum B, oporteat per illud contingenteponere demissa sit ex B diameter BD, ad quam ordinatim ponatur AC, cui aequilistans
am esse contingentem: per datum igitur punctum, Scc Quod erat faciendum.
PArabolam contingens conueniat cum diametro: ad quam ex puncto contactus ordinatim quaedam posita sit. Dico diametrum interceptam, inter ordinatim applicatam bc punctum in quo contingens cum diametro concurrit, a parabola bifariam diuidi. Demonstratio.
It ABC conus quicumque, sectus triangum per axem A BC,idiameter autem baseos AGB, sit AB, in qua assumpto quovis puncto E quoa centrum non sit ponatur EH aequidistans AC: Ac EI normalis ad AB: tum per ΗΕ, EI fiat sectio, exhibens parabolam G Hli positoq; CD, axe coni, perficiatur parallelo ram mum CDB, cuius lateri ΒΜ occurrat ΕΗ producta in Fr iunctaque C Riametro AB protractae occurrat in Κ: ponatur dein per I contingens circulum AIB in I, conueniens cum ΑΒ in L, puncto quod idem est cum puncto Κ: camenim C Κ, sit ad . FK, ut CD ad FB . id est M B ad FB, id est DB ad EB. erit quoque DK ad B K, ut D B ad E B, de diuidendo B K ad D B, ut B E ad ED, dc componendo DR ad DB, ut D B ad DE : proportionales igitur sunt D Es
436쪽
D E, D B, D K: igitur contingens per I posita cum diametro conuenit in Kr idem ergo punctum est K N L: ulterius , iungantur puncta CE, CIi quoniam igitur 'CI Iinea in superficie est coni, triangula fiunt, C BI, CI K. dc planum C IK continget conum in linea CI ponatur tandem in plano C IK linea I F; continget illa parabolam in I: cum enim planum C IK conum contingat, linea autem FI in eodem plano sit, M simul in plano parabolat, cum puncta Κ de I, in eodem sint, patet FI contingentem esse parabolae in I. Vlterius cum CM linea aequidistans de parallela sit semidiametro D B, aequidi- stat quoque dc aequalis est ADt unde AC, D M parallelaei de quia FE aequi distat AC , aequidistabit EF ipsi DM, est autem Μ D diameter parallelogrammi DM, in N a diametro , C B bifariam diuisa, tecta igitur FE in H, quoque ab eadem dia- metro bissecta est aequales ergo sunt lineae E H, H F. igitur parabolam contingens, Me. Quod erat demonstrandum. Quod si pumstum assumptum ipsum eentrum sitipatet demonstratio. endem enim modo ostendetur Obi esse contingentem parabolae quae per lineas N D, DO, dc
PArabolam ABC cuius diameter B D, eontingant in Α & B, tectae A E, B E conuenientes in E: & E B quidem AF, aequidistanti B D
A a a coro Dissiligod by Corale Demonstratis.
DRoducta A E conueniat cum diametro in G, ponatur-- que ex A ordinatim linea AD. quoniam AD, AB aeri Didistant, ut G B ad GD, sic AB est ad AD, id est FB, sed G B dimidia ς est G D, igitur Sc EB dimidia quoque est FB. Quod erat demonstrandum. Corollarium primum. TMne patet, s iuncta AB quotuis HI ponantur aequI- istantes ipsi PB, illas bifariam a contingente A G diuidendas.
437쪽
Corollariumsecundtim. Equitur secundo rectas FA, G B, item AE, GE quales esse adeoque M AFROGAB triangula aequalia. patet, cum FE, EB aequales sint ostenta , & AFRGEB triangula simi Ita ob G B, F Α aequi distantes.
PROPOSITIO XIX. IN parabola diametri omnes aequidistant axi. Demonstratio.
cIt ABC parabolae axis AD, cui in E occurrat Oeontingens B E, positaque ΑC parallela contingenti B E, demittatur ex B, linea B G aequi distans axi, ponatur B F, C H D Ordinatim ad axem A D, & B G producta occurrat contingenti per A ductae in K: Quoniam B Ecotingens est & B Fordinatim ad axem AD applicata, aequaIes sunt lineae EA, FΑ. de quia BF communis altitudo est, triangulum E B R. parallelogrammo B A aequale est: rursum ut A F ad AD. sic ς FB quadratum ad quadratum CD. N ΗΚ parallelogramum ad parallelogrammum D K: ut quadratum igitur FB ad quadratum CD est,sic FK paralle. logrammum d ad parallelogrammum DK, sed veFB quadratum ad quadratum CD , sic EB A. triangulum ' ad trianguIum C A D; igitur ut F K parallelogrammum ad parallelogrammum DK, sic EBF triangulum est ad triangulum AC D. M permutando veFK parallelogrammum ad triangulum BFE, sic DK parallelogrammum est ad triangulum AC D: aequalia autem ostensii sunt, triangulum B FE & parallelogrammum FK; aequalia igitur sunt DK parallelogrammum Sc triangulum A C De& ablato communi AGH D, aequalia remanent triangula A GK, CH G. vndes cum similia quoque sint ob AK, CH aequidistantes, aequalia sunt latera sΚG, GH, suma. &CG, GΑ : diuisa igitur bifariam est A C. eodem modo si IΚ ponatur aequidi- stans C A, & ex K diameter posita sit L Κ occurrens B E contingenti in L, osten-sΤ detur IK in M, bissecari a linea BG i diameter g igitur sectionis est BG t quare cum EB contingens sit quaecunque, adeoque Ec ΒΗ qu quis aequi distans axi,patet diametros omnes axi aequi distare. Quod erat demonstrandum. Ex quo sequitur diametros omnes in parabola esse parallelas.
OMnis contingens per extremitatem ordinatim positae ducta, cum illius diametro con
Dosita sit diameter B D, de ad illam 3 ordinatim applicata AC: agatFrq; per A contingens, dico illam B D dia.
metro occurrere ducta enim diame-
his. min. tro A F h aequidistabit illa B D,unde eum A E secet A F aequid istantium unam, alte
438쪽
. corolgarium. T Inc pater, quascumque duas continpentes parabolam, conuenire in aliquo Pun- Lacto extra sectioncm: patet ex iam demonstratis.
Contingentes actae per extrema ordinatim applicatae cum eiusdem diametro, In uno eodemque conueniunt puncto. Demonstratio.
CIt ad ABC parabola: diametrum BD, ordina- Otim applicata A C,dico contingentes per A N Cductas, diametro B D occurrere in uno eodemque puncto D. demonstratio pater,cum pars diametria lectione de contingente intercepta aequalis sit portioni a sectione cic ordinatim applicata interceptae. igitur conlin uic ,&c.QAod erat dei nou- strandum.
PROPOSITIO XXII. I Erdatum punctum in perimetro parabolae diametrum ducere.
Constructis o demonstratio. SIt in ABC perimetro assignatum
punctum B, ex quo oporteat diametrum ponere I ducta qua uis secante B E, exhibeatur illius diameter. Η F, cui per B aequidistahs ponatur BD: patet illam , sectionis esse diametrum: a dato igitur puncto, dic. Quod erat ia. eiendum. Gratur . Udem omnino pravi utemur,si ex dato,extra vel intra stationem puncto D,diameatrum oporteat ponere. construct1o & demonstratio patet ex prima propositione.
axem exhibere. rumo in demon-EMIIo. BC parabola cuiusa oporteat exilibe. tantur duae quaevisis DE, AC quaruibeatur diameteri quam ex E & Cliter ducantur EG, alteraque illarum, A
439쪽
in H ponatur per H aequidistans diametro B F. dico illam axem esse. quoniam enim . : ... t. diametro B Faequidistat, erit illa quoq: diameter sectionis.&quia aequidistantium ei. - . EG, C M unam ad rectos bisecat angulos bisecabit 3e, alteram,ad rectos: axis sigi. - tur lectionis est K L; exhibuimus ergo, Ecc. Quod erat faciendum.
Mnis linea in parabola ari aequid istans, sectioni in uno tantum puncto occurrit.
Ponatur ABC parabolet axis BDi Se aliaquetuis es aeqvl- distans ΑC dico a AC in uno tantum puncto section in
curret sin vero, occurrat iterum in C r ω ponantur ordi
natim ad axem rectς Α RC D: erit igitul ut BE linea ad lineam BD, sic EA quadratum ad quadratum DC , quod fieri non potest , cum AE, CD quadrata aequalia sint inter se, ob Α D parallelogrammum & BE linea minor recta BD. igitur AC diameter, parabola: tantum se locis currit: Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XXV. Orois linea in parabola, quae non est diameter lectioni occurrit in
dis. duobus punctis.. Demonstratio.
Donatur ABC parabolae axis BD , de linea K D quae non sit diameter. dico illam lectio nibis occurreret Quoniam Κ D non est diameter adeoque axi non aequidistat producta necessario illi occurret in puncto quovis D t cum in eodem plano existat)quod si D punctum fuerit intra parabolam, ponatur ex D ordinatim DC. & per C diameter EF i occurret illa sectioni in uno tantum puncto i Δἴ quia eadem axi aequidi. stat producta quoque occurret Κ D productae in F puncto , quod extra sectionem est. unde ΚDF prius necessario occurrit in puncto quouis E. ducta igitur ex Eordinatim EG fiant pro- Irtionales BG, BD, B H positaque ad H o natim linea, occurrat ipsi K D in puncto qum uis A. quoniam B G, B D, B H ponuntur proportionales erit 1 D ad D G, vi HB ad BD, & H D quadratum ad quadratum D G, ut . - HB quadratum ad quadratum DB . id est ve. H B linea, ad lineam B Gised i H D qua dratum ad quadratum D G. sic HA quaAratum ad quadratum G Erigitur vi H Blinea ad lineam BG, sic ΗΑ quadratum ad quadratum GE, unde punctum Aest ad parabolam,& D K. linea ari non parallela utrimque sectioni occurrit. Si vero DK linea occurrat axi extra sectionem , patet antὸ parabolς occurrere in puncto quovis E : ex quo ducta ordinatim linea E G, fiam BG , BD, B Hproportionales, α ex H ducatur H A parallela E G, occurrens K D lineae in A.
440쪽
quoniam igitur est HB ad BD, ut BD ad BG, erit Componendo permutando H D ad D G, ut DB ad BG , est autem vi H D ad D G, se AH ad EG, ergo ut DB ad BG. id est per constru ctionem B H ad B D, sie Α Η ad EG. unde Ac ΗΑ quadratum ad quadratum G E est ut HB, quadratum ad quadra tum BD, id est cum H B, BD, BG, sint conti. nuae, vi H B linea est ad lineam B G, ac proinde Punctum A est ad parabolam, M A D linea sectioni bis occurrit. Quod fuit demonstrandum. Corolgarium.
T Ine pulchra educitur propositio: nimirum si B G, B D, B H ponantur continuae As&ex G ordinatim linea GEi agaturque per puncta E N D Iinea, occurrens rectae ex H ductae S ipsi G E parallelae in Α: quod punctum A sit ad parabolam. demonstratio habetur in priori' propositione. Sequitur lecundo nullam lineam parabolae in pIuribus quam duobus punctis omeuirere.Cum enim parabola; sectio sit coni, re ipsi cono nulla linea . in pluribus quam duobus punctas occurrar, patet nec ulli sectioni conicae , lineam in pluribus quam duobus punctis occurrere.
PArabolam ABC secent duae quae uis parallelae A D,B C quarum di
Dico iunctas A B, D C diametrum in eodem puncto G decusaret &c s L A D aequi distent iunctaeq; A B, C B conueniant in G. dico G punis ctum esse in diametro linearum B C, A D.
QVoniam EF diameter est rectarum B C, Α D, igitur diuisae sunt bifariam B C. A D in punctis F dc E. unde ut A Ead BF, se est AG ad BG: hoc est EG ad FG. sed ut A E ad BF, ita EDF C; igitur ut ED ad F C, ita est EG ad FG: hoc est D Gad CG. igitur punctu gG commune est tribus lineis A B, DE F. Quod fuit primum. Idem quoque ostenditur si G punctum eadat intra parabolam.si iam ponantur A D, BC parallelae,& iunctae AB, CD co ueniant in puncto quovis G, dico G punctum esse in diametro ad quam B C,Α D or.
Diuisa enim B C hi fariam in F demittatur ex G per F linea G Et quoniam igitur AD, BC aequidistant.erit A E ad ED, ut BE ad F C; sed BC in F bifariam ponitur diuiti, igitur de AD in E, quoque diuisa est bifariam unde GE diameterest linearum B C, A D; A c. Quod erat demonstrandum.