장음표시 사용
441쪽
Sit ad ABC parabolae diametrum BD ordinatim applicata AC,
ganturq; per A & C, contingentes AD, CD, conuenient illς cum diametro in D: tum punctum sumatur B, quodcunque in diametro Bor& ex B rectae ponantur B E, B F, aequi distantes contingentibus, parabo-lq vero occurrentes in E & F. Dico iunctam EF aequi distarc AC, adeoq; ordinatim esse positam ad diametrum BD. DemonAratio.
Corosi DEmittamur ex A Se C, diametri AK, CL occurrentes rectis B E. B F m L DK: productaeque EB, F B: contingentibus occurram in H dc G: erit igitur H D. GB parallelogrammum , Ac HG bii Iecta a diametro DB, aequi distant ergo H G, AC: Si quia A D, B E quoque parallelae fiunt, aequantur HG, AM: similiter cum aequentur H G,NC, rectae AM,NC aequales sunt: est autem AC in o bifariam diuisa, aequantur ergo & reliquae M O, O N : quare ut Α M ad M O , sie CN ad
igitur ut AK ad BO sic CL ad BO, aequales ergo sunt diametri Α Κ, CD quia vero E B FB contingentibus aequidistant, portiones illarum parabola interceptae, in a K Ae L bifariam sunt diuisis.vlterius ponatur per E aequidistans AC . linea E R occurrens parabolae in E dc F, rectae BF in P. quia igitur AC bissecta est a diametro B D, erit Ac E F ab eadem in R bifariam diuisa i de E R,RF aequa. Ies inter sei quia vero AC aequidistat H G , aequidi stabunt quoque E P. HG: Sr EPquo live HG, a diametro BD bisiecta est: aequantur igitur RP, R R de puncta FP unum idemq: sunt: estque F communis intersectio linearum EF, B F cum parabolat aequid istant igitur EF, AC, H G. Quod erat demonstrandum.
442쪽
Corollarium. Ex his sequitur primo: posita E F ordinatim ad diametrum B D quam in D seeent contingentes duae AD, C D: lineas ex E & F ductas ipsis AD, CD aequidi stantes diametrum quoquc B D, in uno eodemque punctoviccustare. parce demon. sttatio ex praecedenti, cuius conuersa est. Sequitur secundo: posita AC ordinatim ad diametrum BD demissisque ex Adt C aequalibus diametris AK CL, quod rectae per Κ dc L, ordinatim positae, DR diametro occurrant in Uno eodemque puncto. patet ex ante dictis demon stratio, cum tangentes per A dc C actae, ordinatim per Κ &L positis aequidistent, de BD diametro in uno eodemque Occurrant puncto. Sequitur tertio: lineam i QT in coniungentem puncta , in quibus rectae BE, BFὶ contingentibus aequidistantes, parabolet occurrunt, quidistare icctae EF) ex trema linearum B E, B F coniungenti , adeoque Iliae s QT, AC, EF esse parallelas. ex ante dictis de inonstratio manifesta est.
PROPOSITIO XX Ul II FSto ABC parabolae diameter BD, in qua assumpto puncto quouis
, D, demittatur D E secans parabolam in duobus punctis A & E & exE ordinatim ponatur E F, iunctaque FD occurrat parabolet in C. Dico EF, AC lineas aequi distare. Demonstratio.
Si enim non sint parallelet, ponatur A Gaiquidistans EF, Mex F per G, duca. tur F G,conueniet illa cum diametro B Da in D , est autem ex constructione DF linea recta occurrem sectioni in C:igitur recta F G D, eadem est cum F C D unde& punctum G idem cum C puncto, igitur aequi distant E F M AC. Quod fuit de
PROPOSITIO XXIX. AEquidistent in parabola quetuis lineae AC, E F, iunctium ΑΕ, CF
ponatur alia quaevis G H parallela Α C, occurrens iunctis Λ E, C Fin I de Κ. Dico GI, Κ H lineas esse inter se aequales. Demonstratio.
Ponatur L D diameter rectarum AC, GH. Quoniam ΗG squidistat AC ordinatim positae,etit H G in D ii bifariam diuisa: est autem ID aequalis DK cum hsit
443쪽
ειε. -- sit ID ad DK, ut A L ad LC quia EA, FC lineae in idem minctum diametri conueniunt igitur & reliquae I G, ΗΚ quoque sunt aequales. Quod erat demo strandum.
PROPOSITIO XXX. AEquidistet rursum in A B C
parabola, rectae AC, E F,ponanturque per A & C diametri A G, H C occurrentes EF lineae in G & H. Dieo EG, FH lineas esse inter se aequales. Demonstratio.
Ponatur ID diameter linearum AC, Ep. Quoniam EF, AC lineae ordinatim positae sunt ad diametrum ID, erunt ΑC, EF in D & I bifariam diuisae, sed N GH in D bifariam est diuisa , cum GH aequalis sit rectae A C, igitur reliquae E G, H F, sunt inter se aequales. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XXXI. DAio angulo ABC & puncto in illo D , o-
portet per B de D parabolam describere cuius diameter sit BC & Α Β eandem contingens. Construmo m demon atro.
444쪽
ipto quovis puncto D, edu-D C constituentes angulos
Linearum in parabola tam continuam, quam distratam contemplatur proportionem.
Sit A B C parabola: axis A D, in quo
cantur ex D ad peripheriam lineae DADB, CDF aequales. , tum rectae ponantur laxem A F.
Dico A E, AD, A F, in continua esse analogia Demonstratio.
Quoniam EB , CF ordinatim positae sunt ad axem, anguli BED, CFD recti sunt: aequales aritent po nuntur anguli B D E, C D F; smilia igitur sunt triangula BED, CP D: sc vi EB ad FC, sic ED ad FD:r tionis autem EB ad CF, duplicata est a ratio A E ad A F, ergo di duplicata est rationis ED ad DF. unde
AE, AD, A F, continuς simi proportionales. ut facile deducitur ex prima de progress . Geometricis. Sintiam proportionales AE, AD, AF, positisque ordinatim BE, C F: iungantur BD, CD : dico angulos BDE, CD F aequata.cum proportionales sint A E, A D,
AF, ratio AE ad AF duplicata est rationis AD ad fA F id est E D ad D F , sed etiam ratio A E ad Α F, duplicata est rationis BE ad CF, igitur ut ED ad DF, sic BE ad CF, & ut DE ad BE', se DF ad FG vnde cum anguli proportionalibus lateribus contenti recti sint, similia sunt triangula BED, CFD, M anguli BDE, CDF aequales. Quod erat demonstrandum.
SI: ABC paraboli diameter AD diuisa in H,DF,
vi A H, A D, A F cotinue sint proportio les:po nantur autem ordinatim lineς HG, D B, FC. Dico illas in continua esse analogia. DemonstratII.
PAtet; eum AN, AD, AF sint continuet proportionales& duplicatam rationem habeant linearum G H, B D, C F.
445쪽
E xo ABC paraboli axis AD aequalis lateri
recto, ductaque ordinatim linea quacunque EB, iungantur AB. Dico A E, A B, E D lineas esse proportionat . Demon Iratis. QVadratum AB aequale est quadratis AE,EB: se
-EB quadratum aequatur rectangulo E AD; igit ut quadratum AB aequale est rectangulo E AD una cum quadrato A E, id est rectangulori E D. quare A E, A RE D lineae sunt proportionales. Quod erat demonstran
D Arabolam ABC cuius diameter A D contingat in A linea A E, de-
missisti; ex A lineis AB, AC quae parabolae occurrant in B dc Cut anguli E AB, DA C aequales sint ductisque ordinatim B F, C D, inueniatur A G, media inter AF de A D. Dico A G aequari lateri recto; de si anguli E A B, D A C aequales fuerint, de A G linea aequalis lateri recto, dico A F, A G , A D ese propotationales de si A F, A G, A D fuerint continuae, de A G media aequalis lateri recto: dico angulos E A B, D A C esse inter se aequales.
veatur ex G ordinatim linea GH. Quoniam an gulus D AC ex Itypothesi qualis est angulo E A B, addito vel dempto communi angulo B A C, angulus B AD aequalis est angulo E A C, id est angulo AC D: ob A CD parallelast aequales autem sunt Δί an
guli BFA, C DA, triangula isit ut ARP, AC Dinter se s milia sunt de ut B F ad y A , ite AD aa DC, unde FAD rectangulo , aequale rectangulum B F. CD: est autem FAD rectangulo ex hypothesi ςqua te quadratum A G, de quadratum H G aequale rectangulo B F, C D, cum B FAEG,C D lineae proporum A
tionales sint per pennultimam; igitur quadratum A G, aequale est quadrato HG. de A G linea ςqualis lineae H G , adeoque dc lateri recto.Quod erit primum. Sitiam A G linea aequalis lateti recto , & anguli E A B, D A C ς quales, dico AE, A G, A D in continua elle analogiae Si etiam non sint proportionales,inueniatur inter A F de A D media A l: erit igitur pec' primam partem huius linea AI, aequalis lateri rςcto,b im . badeoque& AG lineae. quare AF, AG, AD in continua sunt analogia, nec quaevis alia media inter AF 6c AD, praeter AG. Quod erat secundum. Rursum sit AG aequalis lateri recto, dc A F, A G, A D proportionales, dico angulos E AB DAC esse inter se aequales. quoniam enim A P, A G, AD contin aesunt proportionales, F A D tectangulu aequale est quadrato AG id est quadrato HG:
446쪽
sed Ze H G quadrato aequale est rectangulum BF, C D; igitur Se rectangulo F Α D . εκ33μ. aequatur rectangulum B FCD: unde ut AF ad BF, sic CD ad AD : aequales autem sunt anguli AFB, ADC lateribus proportionalibus contenti, igitur triangula AF B , ADC inter s. similia sunt , de angulus B AF aequalis angulo ACD, id est angulo E AC: dem oergo communi angillo BAC, manet angulus E AB aequalis angulo CAD. Quod erat drmonstrandum.
Coroliarium; Isdem positis secuitur triangula .E AF, C AD esse inter se similia. patet per pri--mam partem praecellentis propolitionis.
PROPOSITIO XXXVI. SIt A B C parabolae diameter A D. diuisi in E & F ut Α E, A F, A D
sint proportionales, & A F media aequalis lateri rector positis autem ordinatim lineis EB, FG DC, ex A ad G, ducatur recta AG occurrens EB lineae in H. . - . . . Dico A in D C, FG, EB, E H lineas continue esse proportionales.' i : V iri tDemonstratio.
Quoniam AF aequalis est lateri reino, GF, F Ab lineae aequales sunt: ratio isitur AF ς ρd AD. id est GF ad AD , duplicata est' hation Ic GPud CD t proportionales igitur sunt A D, CD, GR.quia vero AD ARAE iunt continuae , etiam . CD, G F, B F proportionales sunt; continuant igitur ean dem rationem AD, C D,G F. BE. deinde cum ratio A P ad A E, id est GF ad HE. duplicata sit rationis GF ad BE, proportionales quoquo e GRBE, HE; continuae igitur sunt in eademiratiotae AD, CD, G F, B RH E:quod erat demanstrandum.
Wr Ine sequitur AE,FB, FG, CD quoque in con- lλAAtiua esse analogia r ratio enim AP --AE, id est GF ad B E, duplicata est rationis GP ad BE, proportionales igitur sunt AE, BE, GFi sed ut BE ad GF, sic GF est ad CD, eum AE, AF, AD sint contunuae t proportionales igitur sunt Α E, E B, G R C D.
PROPOSITIO XXXVII. E xo ABC parabolae diameter AD diuisa in E N F, ut Λ E, A F, A D lineae sint propor- r
tionales, & A D extrema aequalis lateri recto; du- Zcantur autem ordinatim lineς EB, FG, DC. ηDico Λ E ad EB, duplicatam habere ratio- --- Enem eius, quam habet Ap ad FG.
447쪽
. Z recto , adeoque ipsi DC primae seriei E B, F G, D C, - igitur b Aminea ad lineam EB tertia ad tertiam du- g id plicatam habet rationem eius quam habet AP ad FG. secunda ad secundam. Quod erat demonstraumo.
-I . . corollarium. I T Ine sequitur rectansulum E AF ad rectangulum EBFG mi, mem habere triplicatam eius quam h Me A F linea ιὰ lineam FG. est enua ratio mctanguli E A F ad rectangul-EBFG pol positaqxi A E in Ed, M AF ad Fa ted ratio AE ad EB, dupliis. cata est rationis A F ad FG, igitur rectangulum E A F ad rectansulum E d F G. triplicatam habet rationern eius quam habet A F linea ad lineam P G.
PROPOSITIO XXXVIII. Sit ABC parabolae diameter Ao diuisa in ξ de F, ut A E, AL AD
lineae sint proportionales, M A P media aequalis lateri recto , p Mantur autem ordinatim line Ed, DC: Iunga Hurque Α Β, Λ C. Dieo A B ad AC, rationem habere triplicatam eius, cuius EB ad
veatur ordinatim linea FG. Quoniam et M A E, A RAD Iineae proportiondes sim
de AF media aequalis lateri recto, triangula Z ΑΕΒ, ADC φ similia simi, adeoque ut AB α - δ d AE, sic AC ad CD: de in uertendo peria
AXis parabolae ABC diuisus sit in continue proportionales ι & A Dquidem media existat inter AE, AF, AG, AH. ductis, ordinatim ad axem rectis El, F Κ, DB, GI, HC , ponantur quoque DI, DK. D L, D C. Dico rationem DI ad o C duplicatam eius esse quam habet KD ad
448쪽
pARABOLA. Demonstratio.QVoniam eandem continuant rationem AE AF, AD, AG, AH, proportionales quoque s unt E I, F K, DB, GL, A C. quia veto ratio A E ad A H, plicata est tam i tionis EI ad CH,quam rationis AD ad ΑΗ,
proportionales sint, ratio ED ad DH,eadem est eum ratione EI ad CH: similia igitur sunt 'triangula IED, CH D : quare ID ad Davi E D ad D H, id est A E ad Α D, hoe est in duplicata rationis IE ad BD. similiter ostenis dentur triangula FK D, G L D similia, & R Desse ad LD, ut FD ad GD, id est vi AF ad AD, id est in duplicata rationis KF ad BD: sed ratio IE ad BD, duplicata est rationis K F ad BD, cum I Ε, Κ F, B D proportio istes sint, ratio igitur ID ad CD, duplicata est eius quam habet KD ad L D. Quod
erat demonstrandum. Creotarium. I iam AD fuerit media inter septem continue proportionales quarum extrema: AE, AH. similiter ostendetur ID ad DC, nimirum duas extremas triplicatam habere rationem eius quam habent Κ D ad D L. duae quoque extremae: de sicdereliquis accrescit semper Propo eis. . . 1 u
Α Κ sint continuae proportionales, de Α D media totius seriei ςqu Iis lateri recto. ductist, ordinatim lineis EL, F M, GN, DB, HO, iri KC, iungantur AL,ΑM, Λ N, AB, AO, AP, A C. Dico rationem A M ad Α P duplicatam eta rationis A Nad ΑΟ&ΑLad AC rationem tripli eatam eius quam habet AN ad Ao, atque ita de
449쪽
Quoniam ΑΕ, AF, AG, AD . See. sunt continuae proportionales & totius seriei media ponitur A D: erunt quoque Α F, AD, AI continuae proportionales, nimirum secunda, quarta, d sexta. unde cum A D media aequalis ponatur lateri recto, ε 3 με. erit ratio AM ad AP, triplicata eius euius duplicatam habet MF ad PIr est au tem ratio MF ad P I. duplicata rationis MF ad BD, cum ΜF, BD. PI sint pro portionales; igitur ratio AM ad AP, triplicata est rationis MFad B D, id est sext. pbeata eius quam habet N G ad BD, quia MF, NG, BD sunt continuae. eodem modo cum Λ G, AD, ΑΗ sint proportionales,ostenditur rationem A N ad A triplicatam esse eius euius duplicatam habet NG ad O Η, id est triplicatam eiusquam habet NG ad BD. unde eum ΑΜ ad ΑP. ostensa sit rationem habere sex. replicatam ipsus N G ad BD, patet rationem A M ad AP, duplicatam esse rationis A N ad Α Ο. eadem prorsus methodo ostenditur, rationem A L ad A C. triplicatam esse rationis ΑN ad ΑΟ,ες sic de cetieris. Quod suit demonstrandum.
PRO Pos ITIO XLI. Sit. ABC parabolae diameter BD, diuisa in E N F, ut B E, B D. BF
sint proportionales, & B D media aequalis lateri recto, ponanturque per E & F ordinatim lineae AC. ΗΚ:Dico iunctas AB, HB ipsis CB, ΚΒ esse proportionales.
Demonstratio.QVoniam BE, BD, BF continuae
sunt proportionales, & B D meiadia aequalis lateri recto, ratio b AB adH B triplicata est eius, cui us duplicatam habet AE ad HF: sed eadem de causa quoque ratio BC ad ΒΚ, triplicata est eius cuius duplicatam habet
E C ad ΓΚ,id est A E, ad H Fligitur ut AB ad HB, sic CB ad KB r quod
450쪽
PROPOSITIO XLII. SEcent A BC parabolam diametri duae quaevis A F, B D, iunctisq; A,
B diametrorum terminis, ponatur ad diametrum BD ordinatim linea CD, occurrens AB, A F lineis in E &F. Dico F D, C D, E D in continua esse analogia. Demon natio. Pona rex A ordinatim A G: ut B D ad BG, sic DE est
ad AG,id est ad DF: sed BD ad B G. duplicatam habet a rationem cius quam habet DC ad AG, id est DF, ratio igitur DE ad DF, quoque duplicata est rationis D C ad DFiquare DE, DC, DF lineae sunt in continua analogia. Quod erat demonstrandum. Coro arium. IIsdem positis : sequitur rectangulum FC D aequale esse rectangulo PD, CE, cum enim FD, CD, ED propor Stionales sint,vi FD ad CD, sic FCest ad C Ei tectangulum igitur F D C E , aequale est rectangulo F C D. Quod erat propolitum.
PROPOSITIO XLIII. Isdem positis quae supra:
Dico C FG rectangulum aequari rectangulo D F E. Demon ratio.
ΡRimo radat F purustum extra parabolam. Quoniam igiturr ista GC in D billecta est de ei in directum adiecta quaedam GF; ctangulum G, FC una cum quadradrato G D, aequale est ς quadrato 1 D: sed FD quadrato aequale est rectangulum EF D, una cum d re ctagulo dEDF, id est una cum qua drato G D per praecedentc propos.igitur de rectangulo G PC una cu quadrato GD, aequale est tectangulum EF D viil cum quadrato GD: dempto igitur communi quadrato GD, manet GF C rinangulo, aequale rectangulum EFD. Secundo cagat F punctum intra parabolam. Quoniam G C linea in D secta est bifariam & non bifariam in P, tectangulum GFC una cum ς quadrato F D, aequa-es AEle est quadrato G D: sed GD quadrato aequale quoque est rectangulum FDE, id est rectangulum E PD una cum quadrato FD: rectanguliun igitur GF Cuna cum quadrato F D aequale est rectangulo EFD, una cum quadrato FD: quate dem. yto communi quadrato FD, manet GP C rectangulum aequale rectangulo EFDQuod erat demonstrandum.