장음표시 사용
451쪽
Sint iterum in parabola ABC diametri duae quaevis AF, BD : N ad BD quidem ordinatim ponantur lineae GC, Κ I occurrentes di metro F A in F & H. Dico esse ut AH ad AF, sic I HK rectangulum ad rectanguluCFG. Demon ratio.
D de A lineae DL, AK parallelae FG; it AK quidem occurrat I, Et DL.demissae ex K diametro in Ni recta vero AE pro- L in M, ut DF ad D I, sic H FG ς rectangulum est ad rectangulum AIK, dc ut A E ad Abi, sic BEC est ad rectangulum D M L: igitur cum E A, DF,oc I vG A B linea secet F C, HI re-LIctas in E de L, erit igitur L HM
tectangulum aequale rectangulo K HI, 5c EFD rectangulum aequa
le rectangulo GF C. unde KHI rectangulum est ad rectangulum GF C, ut L HM rectangulum ad rectangulum EF D i sed LHM rectangulum est ad rectangulum EFD , ut L H b linea ad lineam AP, id est vi AH ad A P, igitur de RH i rectangulum ad rectangulum GF C est , t AH linea ad lineam AP. Quod erat demonstrandum. Foliarium. TTInc sequitur, quoque esse ut AH ad AH: sic IH K rectangulum adrectangu- Laium III K, est enim ut AH ad ΑΗ, sic HL ad HL, id est L HM tecta gulum ad rectangulu LHM. sed rectangulis LP Maequalia ostensa sunt rectangula IH Κ i igitur ut AH ad AH, sic I HK rectangulum est ad rectangulum III K.
PROPOSITIO XLV. PArabolam At C secent in A & D, diametri duae aequales AE, DFi& ex E & F quae uis ponantur parallelet E C,FG occurrentes parabolae in B,C,H,G punctis. Dico rectangula B E C,H F G esse inter se aequalia. Demonstrario.
452쪽
DR&DI, MA lineae aequales sint, rectangulum H FG ad IA K, rectangulum est ut BE C rectangulum ad rectangulum DΜLI & permutando H FG rectangulum ad rectangulum BEC, ut D ML rectangulum est ad rectangulum I A sed D ML rectangulum, id est MDN, oh DM, NLa aequales lineas, aequatura o. hvim. rectangulo I AK; rectangulum igitur H FG, rectangulo B EC aequale est. Quod erat demonstrandum. .
PROPOSi TlO XLVI. DArabolam ABC secent duae quaevis diametri B D, E F, quas in D & FI secent quaecunque parallelae AC, GH. Dico esse ut B D ad E F, sic Λ D C rectangulum ad rectangulii G F H. Demonstratio. NCEcetur EF linea vel producatur in ta vi ER sit 'C P
aequalis BD, S per Κ ponatur L M parallela Ax GH, erit igitur , ut EN ad EF , sic LΚM te- 7 P . I s.. --ctangulum ad rectangulum GF H. quia vero E K LY-- I iequatur ipsi B D, erit L ΚΜ ς rectangulum ae- f . I e 1. βα-ν. quale re tangulo ADC, igitur ut BD ad E F, sic I AD C rectangulum ad rectangulum G FH.Quod / . R ierat demonstrandum. I I
PROPOSITIO XLVII. Sint iterum in ABC parabola duae quaevis diametri BD, EF,quas iaF & D secet recta quaevis A C. Dico A DC rectangesum esse ad rectangulum AF C, ut B D ad E F. Demonstratio.
Fiat EF aequalis BG:&per G ponatur IH aequi- Udistans AC, erit igitur ut d B G ad BD , sie ΙGH rectangulum ad rectangulum ADC : sed IGFI te- ctangulum aequale est rεctangulo AF C, cum BG, 1ή a EF lineae sint squales, igitur ut EF ad BD, se AF C f rectangulum ad rectangulum AD C. Quod erat de- ' P D Smonstrandum. I
PROPOSITIO XLVIII. PArabolam ABC subtendant duae quetuis parallel AC,DE, quibus
proportionaliter in F εc G, diuisis ponantur diametri BF,HG. Dico BF ad HG duplicatam habere rationem eius quam habet AC ad D E. a Demonstratio. Uoniam AC, DE lineae in F , re G Z l
' cproportionaliter ne diuisς,erit AF C. Ag - - .
rectangulum ad DG E rectangulum in I De duplicata ratione AF ad D G, id est A C I Ict rad D E, sed B F est ad H G g ut A FCre- I ctangulum ad rectangulum D G Ei igitur. I BF ad H G, duplieatam habet ratione eius quam habet AC ad DE. Quod erat de- , monstrandum. C e e P R Ο- Duilired by Cooste
453쪽
SEcent ABC parabolam duae quae uis parallelae AB,CD, quas Vtcunque in G & H, diuidat linea E F. Dico esse ut AGB rectangulum adrectangulum D H C sic FGEre. elangulum ad rectangulum FH E. Demonstratis.
CRigantur ex FI & G diametri JIK,GI. erit - gitur vi GL ad ΗΚ, ' sic AGB rectangulum ad rectangulum D H C: sed ut G Iad ΗΚ.se F GE rectangulum quoque ad , rectangulum FHEi igitur ut AGB rectangulum , ad rectangulum D H C. sic FGE rectangulum est ad rectangulum FHE. Quinterat demonstrandum.
. PROPOSITIO L. FSto ABC parab.ae inscriptum triangulum ABC cuius duo lateta
AB, CB, duae quςuis secent FG aequi distantes AC in H & I. Dico esse ut FH G rectangulum ad rectangulum FH G sie FI G re- changulum ad rectangulum FIG. Demonstratis.
D Ectangulum FH G est adς rectangulum FHG, ut AH B rectangulum est ad φεν - - 1 rectangulum ΑΗΒ 8e FIG rectangulum est ad rectangulum FIG, vi CIBrectangulum est ad rectangulum CIB : est autem ut ΑΗΒ rectangulum ad rectangulum AH B, sic CIB rectangulum ad rectangulum CIB quia ex ijsdem rationem habeant compolitam, igitur ut FH G rectangulum ad rectangulum FH sic FIG rectangulum est ad rectangulum FIG. Quod erat demonstrandum.
454쪽
PARABOLA. PROPOSITIO LI. SEcet A B parabolam recta quaevis A B in A & B, qua diuisa utcunque in C& D, diuidatur in E dc F, ut AC, AD lineis sint aequales BRBE singulae singulis, dein per C D, EF puncta parallelς ducantur GH, IK, L M, NO. Dico esse ut G C, I ad I DK, rectangulum sic o FN ad MEL rectan
ctangulum, eandem obtinet rationem qua NFΟrectangulum ad I EM r quod tuu ὰemonstrandum. nec mirum, cum GCH rectangulum ipsi N FO,&rectangulo I DK aequetur LEM rectangulum.
. . PROPOSITIO L II. SEcent ABC parabolam duae quaeui, diametri B D, C p, quas in D
& E, dividant utcunque parallelae duae AF: dein ex B, linea ducatur quae uis B G secans A F lineas in G G. Dico esse GDE rectangulum ad rectangulum GDE, ut ADF rectangulum est ad rectangulum ADF. Demonstratio.QVoniam DE Iineae per hypothesim aequi
distant, de BD, CE sunt diametri, rectae RD E inter se aequales sust ob ED parallelo-A agrammum quare GDE rectangulum ad re
elangulum GDE est ut GD ad GD , id est BD ad BD. sed ut BD ad BD , se ADF. rectangulum est ad rectangulum ADF: igitur de GDE rectangulum, est ad rectangulum GDE, ut ADF rectangulum est ad rectangulum ADF. Qgoderat demonstrandum.
PROPOSITIO LIII. Esto ABC parabolae diameter Α quam in E & D, secent ordina
tim linet B E, F D, dueaturque ex Α linea A C, secans BE, FD ordinatim positas utcunque in G & H. ' i. Dico BEG rectangulum ad rectangulum FDH triplicatam haberexationem eius, quam habet B E ad F D. .
455쪽
D Eetangulum BEG ad rectangulum FDII. ratio. nem habet eompositam ex BE ad F D , G E adH D, id est AE ad ADised ratio Α E ad AD duplicatacst rationis BE ad FD: rectangulum igitur B E G ad rectangullim FDH triplicatam habet rationem eius quam habet BE ad FD. Quod erat demonstrandam.
PROPOSITIO LIV. PArabolam ABC cuius se meter AD con
tingat in A linea AEi ductaque quavis AC quq parabolς iterum occurrat in C, sumantur in AC linea puncta quaecunque F, H. ex quibus erigantur diametri F E, 'HG, occurrentes Λ Ε, contingenti in E & G, palabolet vero in B, dc I. Dico B G H rectangulum a. rectangulum IEF rationem habere tri
plicatam eius quam habet G H ad E F. Demonstratio.
Dctangulum BGH ad rectangulum in F, rationem habet compolitam ex B G ad Ι E, de ex G H ad E F, id est AG ad AE ed ratio BGi, ad I E duplicata est rationis AG ad A E, igitur rectangulum BGH ad rectangulum IEF rationem habet triplicatam eius quam habet GH ad EF. Quod erat demonstrandum.
Eixo ABC parabolae diameter A D, quam in
D secet ordinatim linea CD i diuisam AD in E & F, ut Α E, D F sint 'aequales, ponantur ordinatim EB, FG. Dico E B, F G quadrat simul sumpta, aequari quadrato CD. Demonstratio.
DVcta A C oecurrae E B lineat in Η, bc F G in I, et, gaturque ex C diameter CK , secans H G iv K. Quoniam Α E per hypothesim aequalis est FD , id est C Κ, angulus A H E aequalis angulo AIF id est anis gulo KIC ob HE, GF aequi distantesὶ ω angulus ΑΕ HI angulo aequalis C KI, erit A HE e triangulum aequale triangulo C K L M H E lineae aequalis ΚI. Rursum cum tam CD, GF,4 IF aquam CD, RE, HE lineς propor- ' tionales sint, quadrata FG. B E mediarum, aequalia timirectangulis CDIF, CDUE: hoc est rectangulis IF Κ, IK F, quia ΙΙ Ε, Κ I linea, moriales sunt. sed FK quadratum aequale est rectangulis ΙFΚ , IK F, α quadrata F G, BE smul siumpta aequalia sunt quadrato F Κ, id est quadrato CD. Quod erat demonstrandum.
456쪽
Corollarium. HI ne sequitur: si rursum AD diuidatur in L & M, ut AL, D M lineae aequales sine & o natina PAEnantur I. N , Mo , quadrata LN, Mo simul sumpta aequari quadratis EB, FG simul sumptis: pater ex demonstratis, quia tam EB,FG quadrata, quam LN, MOsimul sim pia aequalia sint quadrato CD.
PROPOSITIO LUI.PArabolam ABC cuius diameter A D & ordinatim ad illam posita
CD, contingat in A linea A E, quam in E secet diameter C E: aD sumptoq; in sectione puncto quovis B, ponatur per Bordinatim linea FG. oecurrens A D lineae in F, & EC in G r dein per B ducatur diameter HI secans A C D ordinatim positam in I. Dico parallelogramma A B, A G, AI, A C in continua esse analogia. Demonstratio.
Quoniam AE, FG linea: aequid istant, paral- π H Aselograminum A B ad parallelograminiun i ' . A G. est vi FB linea, ad lineam FG, id est CD: ripest autem parallelogrammum A B ad parallelogrammum AI, ve AF linea ad lineam AD, hoc est in duplicata di ratione F B ad D C: igitur pa- Z .rallelogrammum Α Η , ad parallelogrammum IAI, duplicatam habet rationem eius, quam ha- bet AB parallelogrammum ad parallelogram irmum AG t parallelogramma igitur Α Η, A G, i MAI in continua sunt analogia: Rursum parallelogrammum A I est ad parallelogramum AC, ut DI linea ad linea in DC, hoc est ut AB parallelogrammum ad parallelogrammum AG. Parallelogramma igitur AB, AG, ΑΙ, AC sunt in continua proportione. Quod erat demonstrandum.
PArabolam ABC, cuius diameter A D , contingat in Α linea A E, ductisque ordinatim FB, PC, erigantur ex C & B, diametri EC, BG
occurrentes contingenti in G N E.
Dico AGB parallelogrammum ad parallelogrammum A E C triplis
catam habere rationem eius quam habet A G linea ad lineam A E. Demonseratio. R Atio parallelogrammi AGB ad AEC pa
rallelogrammum ς composita est, ex ratione c
AG ad ΑΕ, & GBad EC, sed ratio G B ad BC, id est AF ad AD, duplicata est rationis A G ad AE: id est FB ad DC, paralles gram-mum igitur AGB ad parallelogrammii AEC
triplicatam habet rationem eius quam habet AG linea ad lineam Α E. Quod erat demonstrandum.
457쪽
PROPOSITIO LVIII. PArabolam ABC cuius diameter AD, & ordinatim ad uam posita
C D, contingat in A linea AE, quam in E secet diameter C E, faetisq; AD, A F, AG continue propolitionalibus, ducatur ordinatim lineae F H, GR: & per B& H, diametri agantur ΙΚ, L Hoccurrentes F H, II Clineis in K & Mi secet autem G B linea diametrum L H in N,& F H linea dia metrum E C in o. Dico H D parallelogrammum esse ad parallelogrammum F R,vi H Eparallelogrammum est ad parallelograminum B L. . Demonstratio.
RArio parallelogrammi H D ad parallelogrammum FB, con posita est ex ratione FH ad GH, & FD ad PG: est autem ut FH ad G B, sic DC ad FH id est EA ad L At id est EL ad LI scum ΑG, AF, AD, - adeoque GB, FH, D C, id est ΕΑ, L A IA sint conti-φ nue propqrtionalesὶ Ee ut FD ad F G, sic D A ad FA, id est F A ad GA, id est HL ad BI: ratio igitur parallelogrammi H D ad parallelogrammum FB, cominposita est ex ratione EI, ad Ι. I, bc ex ratione L H ad IB . sed ex iisdem quoque composita est ratio parallelo- P grammi HE, ad parallelograminum B L; igitur vi H Dparallelogrammum. ad parallelogrammum F B, se H Eparallelogrammum est ad parali clogrammum L B. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO LIX. Esto AB C parabolae diameter BD, quam in E secet utcunque tecta
FC ciccurrens utrimque parabolae in C & F, ducantur autem ex C& F, ordinatim lineae EG, F D. Dico B G, B E, B D lineas esse proportionales.
diametrum BD, ratio BG ad BD, duplicata est eius quam habet GC ad F D, id est GEad E D; igitur BG, BE, BD lineae sunt proportionales , posita enim media B E inter BG, B Derit ut BG ad BE, ita GE ad ED,&ratio BGad B D dupli cata rationis G E ad E D. igitur, dcc. Quod filii demonstran dum.
T laesequitur esse vi CE ad EF, sic BE ad BD. nam vi CE ad EF, sic GE
458쪽
PROPOSITIO LX. Esto ABC parabolae diameter B p, in qua sumpto quovis puncto H,
ponantur continuae proportionales B H, B G, B F r ductaque ordinatim H E, agatur per F linea ipsi HL aequi distans, occurrens GE lineae in Α & parabolaem C: ducaturque E C occurtens diunetro in D. Dico D B, B G lineas esse inter se aequales. Demonstratio.
Quoniam B Η, B G, BP ponuntur continuae proportionales,&CF ordinatim agkliamettum G B applicata erit A punctu ad parabolam AB C per Corr.1s .huius sunt autem per praeceaentem proportionales quoque ΒΗ, B D , BFI media igitur D H qualis est a media: D F. κ'
ΙIsdem positis ducatur ex C alia quaeuis Cl occurrens diametro BD in K s, parabolae vero in I; tum ex A per I ducta linea conueniat cum .diametro in L, ponaturque ex l ordinatim linea I M. ' . Dico esse G B ad L B, ut E H ad I M.
Demonstratio. . Cl inter B M 3e BF, media fiat B Lostendetur ut prias L B aequale es. ipsi BK, se
' iunctam LI occurrere parabolet Ac Ac rectet in Α puncto, unde cum tam BR BD, B H lineae, quam BF, ΗΚ, ΒΜ habentes communem primam BF continuae sint proportionales, ratio B H ad B M, tertiet ad boertiam duplicata est rationis A Db ir. mad B Κ , id est BG e ad B L secundae ad secundam: sed de ratio B H ad B M, quoque duplicata est rationis EH ad I Mi igitur ut E H ad I M, sic G B ad L B.ui foderat demonstrandum.
Sit ABC parabolae diameter CD, ponatur autem Ag in ea occurreni parabolae in duobus punctis AB, diametro vero extra sectionem, in D, ponanturque ordinatim BE, AF. Dico C E, C D, C F lineas continue esse proportionales.
459쪽
In vero: ponantur continuet proportionales CE, CD, CH & ex H ordinatim ducatur H G, o currens AB lineae in G: erit igitur punctum Gad parabolam ΑΒ C: adeoque linea AB parabolae in tribus punctis occurrit. Quod fieri , non potest. unde CE, CD, CF continuae sunt proportionales.
PROPOSITIO LXIlI. Esto parabola: ABC diameter quaecum
que B D aequalis lateri re sto, actaque per D ordinatim AC, quq parabolae occurrat in A & C, iungantur A B, B C. Dico angulum AB Cesse rectum. DemonstratIO.
QVoniam BD diameter Iateri recto aequalis est,& ΑC ordinatim posita lineae DB, EDA. D C, aequales sunt. adeoque fic puncta A B C , ad circulum cuius AC diameter est: angulus igitur ABC rectus est. Quod erat demonstrandum.
uis A C, quae parabolae occurrat In Α & C, iungantur AB, BC: Dico angulum ABC esse rectum. ΣDemonstratio.
Donantur ex Α & C ordinatim lineae A E,CGF. erunt igitur B E, a B D, B G lineae proportionales; quia vero BD media aequalis lateri recto est, erunt ΑΒΕ, e FBG triangula smiliai angulus B AEa qualis angulo FBG, id est C BG t sed angulus BAE una cum angulo ABE, recto est aequalis,quia angulus A EB ad axem rectus est: igitur At angulus CBD una cum angulo ABE, uni recto strat aequales. rectus igitur angulus ΑΒ C. Quod erat demonstrandum.
Dico A B ad B C, triplicatam habere rationem eius, cuius A D ad D C duplicata est.. Demonstratio.
Quoniam in triangulis G BR CBG anguli ad G recti sunt, lineaetiue pG, GC aequales ex hypothesi, triangula FB G, C B G inter se aequalia sunt, M FB, CB Iineae quoque aequalest unde cum ratio A B ad F B, triplicata sit eius, cuius dupli
460쪽
PARABOLA. 39 catam habet AE ad FG , erit M AB ad BC , ratio triblicata rationis Α E ad F G, id est AE ad C G, id est AD ad DC. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO L X V l. IIsdem positis ducatur ex Dordinatim linea D H, iungaturq; H Bet Dico angulum A B F, linea H B diuisum esse bifariam. Demons ID.
Quoniam anguli AE B, H D B , recti sunt, reliqui duo anguli ABE , BAE reliquis HBD, D HB aequales sunt. sed B A E angulo aequatur angulus FH G . duo igitur an .guli F B G A B E aeq uales sunt duobus H B D, B H D: id est angulo HBD bis sumpto, ob
H D, DB h lineas aequales : dempto igitur communi angulo FBG, manent anguli duo H B D. H B F aequales angulo A B Er a quibus rursum si communem demas angulum II B D: reliqui A B H, H B F aequales manent. Quod erat demonstrandum.
PArabolam AB C, cuius diameter B D, contingat in B linea BE; ex quo uis autem puncto A in perimetro assumpto ducta ordinatim Α D iunctisq; AB punctis sumatur in contingente punctum quodcumque F, ex quo linea demittatur FG, parallela diametro B in Occurrens parabolae in C, ΑΒ iunctie in H,& ordinatim positae in G. Dico F C, F H, F G lineas in continua esse analogia. Demonstratio.
currat contingenti in E , de per C ordinatim ponatur IK 2-χans A B , A E lineas in L & I,& BD diametrum in K. vi KL
ad Κ C, sic B L est ad B FI , id est PC ad FIli&ut CK ad I K, id est F R. ad EB, sic FH est ad rEA id est ad F G: sed L Κ . C Κ,
I K, lineae sunt continuae ς proportionales; igitur M V.C , Uri, vnua sunt analogia.Quod erat demonstrandum.
Iisdem datis sumatur in contingente quod uis punctum F ex quo ducatur F H parallela B D, occurrens lineae A B in H. DicoHCesse ad CF ut AH ad H B.