장음표시 사용
461쪽
Quoniam GF, HRCF proportionales sunt, H F est ad C F, ut CF ad Ap. hoc est vi A E ad H F, hoc est ut A B ad H B i igitur diuidendo H C eli ad , CF, ut A H ad HB. Quod erat demonitrandum.
PArabolam ABC cuius diameter A & oesinatim ad illam posita CD, contingat in Α linea A E, quam in E secet diameter C E. iunctisq; punctis A C, ducatur diameter quaecumque F G, Occurrens parabolae in B. deinde acta per B ordinatim linea H l, quae EC rectae occurrat in I, de A D diametro in H, ducatur ex G linea G Κ parallela D C. Dico parallelogrammum E B aequari parallelogrammo Κ B.
Demonstratio. IT AG ad G C, sic AF ad PE, id est AB ad' BI : sed vi A G ad G C, sic F B ad B G i igi
tur vi HB ad BI, sic FB ad BG ; lunt autem anguli ad B oppositi aequales. igitur parallelograminmum EB aequale b est parallelogrammo ΚB. Quod erat demonstrandum.
PROpOSITIO LXX.ςlt AB C, parabolae diameter A D diuisa
in E & F; ut A E, A F, A D sint proportionales, positisque ordinatim E G, F B, DC, iuncta AC occurrat FB in HIDicoHG atquidi stare diametro AD, & contra si H G aequi distet di metro AD, Sc per H ordinatim ponatur FB, dico AE, AF, ΑD esse pro
Vm Α E, A F, AD proportionales sint, recta: - quoque e CD, B F, G E in continua sunt analogia. sed & D C, FB, FH 4 quoque sunt proportionales; aequales igitur sunt H F, GE lineae qua re HG aequi distatς diametro AD, quod fuit
Sitiam H G parallela AD,&per Hordinatim applieetur H Fi dico A E, AF, AD quoq; in Con- ι.εuias. tinua esse analogia, cum enim C D, B F, H F, lineae proportionales tat,& GE aequetur H F, erunt& CD, B F, G E continuae proportionales. unde AD, ARAE
gin continua quoque sunt analogia. Quod erat demonstMndunt.
Sto A B Cparabolet diameter Α D, quam in D secet ordinatim linea DC, actaque per C diametro C E, ducatur ex A linea AF secans parabo Diuitiam by Corale
462쪽
pARABOLA. parabolam in B, & E C diametrum in Ε, occurrens vero D C lineae in F. Dico A B, A E, Λ F lineas esse in continua ana logia. Demoestratio.
ponantur ex B Ee E ordinatim lineae ΒΗ. EI. Ratio AH ad AD. Molicata est rationis HB ad DC i id est HB ιδ IEt ibu vi HB ad IE, sie AH est ad AL igitur ratio AH ad AD, duplicata est rationis AH ad AIr quare AH, AI, A DIineae, id est AB, A E. AF sunt
proportionales. Quod erat demonstrandum.
rallela diametro A D, ponatur per G ordinatim HG, occurrens diam tris I B, KC in t & Κ. rectae autem A B in LiDico H L, HG, Hl, HK lineas in continua esse analogia.
Demonstratio.QVoniam HG, EB, DC, ordinatim politς sunt, Si FG parallela diametro AD, rectae H G, HI, HK in continua sunt analogia. led & H L, HG, Hl , proportionales sunt. igitur H L . H G, HI, H in continua sunt analogia. Quod erat demon
dinatim ad illam posita CD. ducatur au-. . tem ex Λ linea A E, sectioni oecurrens in Etactaque per E ordinatim F G , erigatur ex Cdiameter CF, occurrens FG in F, iunganturque A p, quae CD lineae o currat in H, sectioni vero in B puncto ex quo diameter demittatur B Κ, setans F G lineam in L, de C D in K. Dico H C ad C Κ duplieatam habere rationem eius qua habet F E ad E L. Demonstratio.
ponatur ex B ordinatim linea B M. Quoniam FC diameter est M HCD ordinatim posita ad clametrum A D , rectae A B, A FOA H proportionales suntligitur Ae A M. A G, A D, item B M,E G, 4 C D lineae id est KD, C D, H D, in continua sunt analogia. Quare cum utriusque seriei primae B Μ, Κ D. aequales sint, ratio H D ad CD, peruar ad
463쪽
a D. tertiam . duplicata est rationis CD ad EG, id est F G, ad EG: est autem vi b H Dad CD, sic HC ad CR,S: ut FG ad EH. si e FE ad EL, ratio igitur H C ad h D.ν,.. CK, duplicata est rationis FE ad EL. Qisederat demonstrandum.
ex C diametro C F, iungatur C A, ponaturque ordinatim quaevis F Eoccurrens parabolae in B, & Α C iunctae in G. tum ex B Omisi .diametro. quae AC lineae occurrat in H, ponatur per H ordinatim linea lL occurrens diametro FCin L, de sectioni in Κ:Dico lineam G B ad B F, duplicatam habere rationem eius quam h bet ΗΚ ad ΚL. ι
Quoniam tam FE, RE, e GE lineae , quam LI, KI, HI sunt proportionales habentes.aequales primos terminos F E, LI, ratio GE, ad HI, tertiet ad tertiam, id est ratio G E ad B E, id est 4 GBaa BF, duplicata est . rationis EB ad IK, seeundae ad secundam , id est rationis IH ad IK, id est ΗΚ ad KL. Quod erat emonstrandum.
PROPOSITIO LXXV. EAdem figura manenter
i Dico rectangulum EG Badrectangulum E F B, triplicatam habere rationem eius
quam habet linea GBad lineam BR-onstratio.
en. A. D Ectangulum FGB ad rectangulum E FB, rationem habet compositam exta tiones EG ad EF, id est ex duplieata ratione EG ad EB, id est G Bad BRi qui EG,b EB, EF sunt oportionales in de ex GB ad BFι igitur rectangulum EG B ad rectangulum EF B triplieatam habet rationem eius quam habet linea GB ad BF. Quod erat demonstrandum. A
pheria puncto quovis A, ducantur rectae AB, AC occurrentes iterum parabolae: diuisis autem A B, A C lineis proportionaliter in D &E, erigantur diametri E G, D I, Occurrentes p rabolet in F & H , de actae per Α contingenti in G & I. Dieo G E, DI lineas in F & Η, proportionaliter esse diuisas.
464쪽
PARABOLA. 39 Demonstratu. TRigantur ex C & B, diametri C Κ, B L. Qu oniam AC, A B proportiona iere n E & D ponuntur diuisae, ut B A ad DA, id est BL ad DI sic C A est ad E A. id est x C ad GE; sed ut BI. ad DI, sic DI est ad . HI, & ut KCad GE, sic a pis m. GE est ad GF: igitur ut DI ad HI, sic GA ad GF. Quod fini demonstrandum.
PROPOSITIO LXXVl I. Iisdem positis, dividantur rursum proportionaliter lineς A B, Α C in M dc O, eriganturq; diametri M N, O P. Dico F E esse ad M N, ut D H est ad O P. . .
. - Demonstratio. Est enim vi CE Arectangulu, ad rectangulum C MAsie FEMNM. Mut BD Arectangulum ad rectangulum BoΑ , sic DH ad Pta sed BD A ad B Ο Α, tectansulum est vi CE A ad C M A, rectanguium,quia C A, B A proportionaliterponunt ut diuita: igitul ut F Ead N M , sic D H ad PO.Quod erat demonstrandum.
P RO PQ SITIO LXXVIII. Ilidem positis agantur per D Sc E ordinatim
adi diametrum' ex A demissam linea: H DI, FE G. Dico HI, FG lineas in D 3c E proportionaliter esse diuisas. Demonstratio.
Donantur ordinatim lineae B L, C K. Quoniam igiturA AB, A C lineae in D de E proportionaliter sunt diuisae , ut CK ad E G , sie B L est ad D I. sed C x ad BG, dupiscatam i, habet rationem FG ad E G. 3c BL ad DI, duplicatam habet rationem III ad DI, igiturve F G ad E G, sic HI ad D I,de diuidendo ut FE ad G, sic H D ad D I. Quod suit demonstrandum.
Iisdem positis, dividantur rursum AB, C A lineς proportionaliter in M dc N, de rectae ducantur M O NP Raequi dinates ipsis HI, FG. Dico vi H D ad O M, se FE esse ad PN. Demonseratio.
CVm enim lineae AB, AC proportionaliter in M, D,N, E punctis sint diuisae erit id D I, ut NR ad EG, ω permutando M ad N R , ut DI ad EGi sed per praecedentem est vi MQ ad N R , sie OMad PN, de ut DI ad EG, sic H D ad PE igitur ut O M ad PN . sie H D ad PE, de permutando vi OMad ΗD, sie PN ad FE. Quod erat demonstrandum
465쪽
PROPOSITIO LXXX. Cit ad AB Cparabolae diamettum Α o ordinatim posita linea C Bisa-Α E aequali ipsi A o ponatur per Elinea E F parallela rectet B C.
dein ex C ducatur linea CF, occurrens parabo is in G puncto, per quod ex B agatur linea occurrens axi AD in H, & EF lineae in I. Dico F E, B D, Et lineas in continua esse analogia. DemonstratIO.
LInea CF occurrat diametro in K. Quoniam A E linea aequalis ponitur lineς A D, de H Α, Α Κ lineae quoque
inter se a aequantur, erit EH reliqua a,
qualis reliquς Κ D. Ruestim triangulum PK E ad triangulum D KC duplicatam habet rationem ΕΚ lineae ad lineam x D, id est H D ad EH. est autem de triangulum ΒΗΤ , ad triangsiluin EFII in dupIicata ratione H D ad HEi igitur ut trianguIum FK si ad triangulum D K C, sic BH D triangulum, ad triangulum E HI adeoq; rationes ex iisdem habent copositas, d ratio trianguli FK E ad triangulum D KC, est composta ex ratione F E ad DC, id est B Di&ex ΕΚ ad ΚD, id est D H ad H E idc ratio trianguli BIID, ad triangulum EHI est composita ex Η DadHE,&ex BD ad EI, ablata igitur communi ratioth H D ms HS m net ratio PE ad BD, eadem cum ratione BD ad EI. quare P E,BD, EI lineae tantcontinuae proportionales. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO LXXXI. PArabolam ABC euius diameter B D contingat in B linea B E ι de
mill aq; ex E linea E A occurrat parabolae in C & A, diametro vero B D in F. . . Dico E C, EF, E A lineas in continua esse analogia, & contra si EREF, E A fuerint proportionales, dico E B, sectionem contingere. Demonstratio.
Ponantur ex Α Sc Cordinatim 1I- neae A D, C G ad B D,diametruma quoniam igitur B E, GC lineae squi- distant, erat ut G B ad Fβ , sic CEad F E: & ut F B ad D B . sic F Rad AE. sed BG, BF, BD lineς mne proportionales; igitur δύ EC , ERE A lineς in continua sunt analogia. Quod erat primum.
Sint iam EC,ERE A proportionales, iunganturque E Bi dico E B lineam, sectionem in B contingere. Sin vero,agatur per B tangens, quae A E lineae occurrat in Hiserunt igitur H C, H F, H A continuae proportionales, M C F ad F A, ut HC ad H Fesed 3t CF est ad F A, ut EC ad EF icum EC. EF, EA sine proportionalest igitur vi HC ad H F, se EC ad EF: dc diuidendo vi HC ad CH sic EC ad CF. quod a siIrdum,cum H C ex hypothes,maior sit vel minor recta EC.quare HB non est tangens, nec quaevis alia praeter E B. Quod erat demonstrandum. - PRO.
466쪽
39'EAdem manente figura propositum sit a dato puncto extra semouem contingentem ducere. C in io-demonstratio.
CIt datam punctum Et ex quo ducatur quae uis secans parabolam in C A t erit E Coprima trium continuarum & ΑC excelsus reliquarum r inueniantur igitur inter C E,E A media EF per F, diameter agatur B D iunganturque EB. paret per prς dentem, lineam E B lectionem contingere in R. a dato igitur extra parabolam puncto tangentem duximus, Acc. Quod erat quaesitum.
pROPOSITIO LXXXIII. . 'PAtabolam A BC euius diameter AD, contingat in AEnea A E, in qua sumptis duobus punctis E, F,dueantur ex E & F, duae parallelae EC, FG occurrentes parabolqin B,C,H, G,& AD diametro in D dc I. Dico B EC rectangulum ad rectangullam H F G duplicatam habere rationein line; eius quam habet E A linea ad lineam F A.
DemonstratIo, inoniam eam EB, ED, EC li neae, quam F H, FI, F G sitne
proportionales, erit BE C rectan gulum aequale quadrato ED , ω H FG rectangulum aequale quadrato FI. igitur ut quadratum E Dad quadratum FI, sic BE C. rectaniagulum est ad rechagulum H F Gued Ε D quadratum est ad qu dratum . n. . FI, ut AE quadratum est ad quadratum AP: igitur & BEC rectangulum est acirectangulum H FG ut AE qua4ratum ad quadratum AT hoc est duplicatam hahent rationem, E A ad FA. Quod erat demonstrandum.
PROPO si ΤΙΟ LXXXIV. PArabolas duas ABC, DB L habentes communem diametrum B F
contingat in eodem puncto, linea B G, dc ex Gququis ducatur linea, occurrens parabolis in I, A,e, , diametro vero B F in F. Dico D G E rectangulum aequari rectangulo A G C. Demonstratio. Est enim per defvage L primam huius tam
DGE rectangulum, quam rectangulum A GC aequale quadrato FG:igit ut de A G C, D GErectangula inter se squalia sunt.Quod fuit demonstrandum.
467쪽
PArabolam ABC cuius diameter BD contingat in B linea EB: expuncto E duae quae uis ducantur lineae E F, EC, secantes parabolam in F, G, A, C punctis & B D diametrum in D & H, demissaeque ex F &G diametri F Κ, G I, occurrant A C linea: in Κ & l. Dico G I ad F Κ, duplicatam habere rationem eius quam habet G Had H F. Demonstratio. UT GI ad FK, sie EG est ad EF, sed
EG ad EF, duplicatam habet ratione. EG ad ΕΗ, sdest v GH ad HFi igitur& GI ad FK, duplicatam habet rationem pius quam habet GH linea ad liueam H F. Quod erat demonstrandum.
PArabolam ABC contingant in A & B lineae A D, B D conuenientes in D, assumptoque puncto E in sectionis peripheria, agatur per Elinea FC, parallela rectat B Doccurrens AD lineae in F. Dico ut quadratum B D ad quadratum A D , sic EF C rectangulum esse ad quadratum A F.
7 haec ab Apostonio lib. 3 prop. 6. eodem ne modoproposita: nos μι- banes unouenda ulterius inferimus,si Α, Β puncta contactuum coniungantur, rectas FE, FG, FCia continua esse analogia. uti de H E, HI, MK lineas.
Demonstratio. Est enim ex supposito ut AD qua
dratu ad quadratu D B, sie AF quadratum ad rectangulum EF Crdc permutando ut A D quadratum ad quadratum A F, sic DB qua- dratum ad rectangulum E FC.sed est quoque ut AD quadratum adaquadratum AF, sic DB quadratuΣ ρ ' ad quadratum FG; igitur ut DBquadratum ad rectangulum EF C , sic idem quadratum DB ad quadratum FG. unde F G quadratum aequale est rectangulo EF C, de F E, F G, F C lineae su ut in
p RUPOsITIO LXXXVII. . Iisdem positis ducatur & altera G H parallela F C, secans parabolam ia
468쪽
CV m enim tam rectangulum EF C ad quadratum F A, qua rectangulum I GH ad quadratum GA habeant rationem quadrati DB ad quadratum D A, constat ita esse EF C rectangulum ad I GH ut quadratum FA ad G Α. uod demonstrandam fuit. serosiarium. Iex A ducatur diameter Α Κ, occurrens ordinatim applicatis in K Sc L, rectan- guluin C FE ad HGI, duplicatam habebit rationem eius quam CKE habet ad rectangulum N LI. ratio enim rectanguli C ΚΕ ad HLI, est ratio lineae KA. ad LA, hoc est FA ad G A. sed ratio rectanguli CFE ad HGI, est rario quadrati FA ad GA: igitur ratio rectanguli CFE ad HGI, duplicata est eius quam habet CKE ad HLI, rectangulum.
PROPOSITIO LXXXVIII. PArabolam ABC cuius diameter BD, & ordinatim ad illam posita
ADC , contingat in A linea A E, conueniens cum diamctro in Ε, . eiectisque ex Α & C diametris AF, CG ducatur quaecunque HI, parallela AC,occurrens A E contingenti in Κ, lineae AF in F, diametro B Din M, iunctae AB in N, &rectae CG in G. Di eo KFG rectangulum aequari rectangulo H FI. Demonseratio.
F G in bl bifariam diuisa est, erit PK ad FN, ut Fb1 ad FG. unde rectangulo F FG, aequatur FNFM rectangulum : sed rectangulo NFMostensum ς est aequari rectangulum H FΙ. igitur etiam rectangulo II FI aequale est RFG rectangulum. Quod erat d monstrandum. .
Dico H Κ, H F, FG lineas esse continue proportionales. Demonseratio.QVoniam rectangitium K FG aequaleest rectangulo H FI, ut FH, ad FK, sic dra is,. FG est ad FI: At conuertendo ut FH ad η ΗΚ, sic FG est ad GI, id est ad F in quadratum igitur F H aequale est rectangulo HKFG;&ΗΚ, H F, FG propor- 'tionales sunt. Quod fuit demonstrandum.
469쪽
SIt A B diameter parabolae ADC & ordinatim posita BC & contingens A E. diametro insuper A B aequi dister EC ductaque AH qua eunque occurrente parabolae in D ponatur A C, & F D G aequi dissati, A B, occurrens A C in G. Dico F G aequalem esse redita E H. Demonstratis.
Donantur per D & G puncta rectae I KN R parallelae B Ei erunt itaque tres in continua analogia a I L, ID, IK& MG,M N R. Igitur quadrarrem ID ad MN , quadratum eam habet rationem quam IL ad MG. hoc est A ad MA, hoc est D A ad HAi hoe est D F ad H E, est autem p G aequalis M A. igitur H E eidem F G, aequalis est Quod fuit
PROPOSITIO XCI. Iisdem positis, per N ducatur ANO.
Dico ID ad M N eandem habere rationem quam habet E H ad E O. Demo ratio.
Donatur PN Q qui distans A B, erit haec PQ, aequalis Eo per prccedentem. - Similiter per eandem erit FG aequalis E H: en autem FG ad PQ. ut ΑFad A P, hoc est ID ad ΜΝ, igitur EH ad Eo, eandem obtinet rationem quam ID ad MN. Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XCII. PArabolam ABC sustendat linea
AC, actaque per C contingente, Ῥυς diametro per A positae occurrat in D, perficiatur parallelogrammum A DEC: dein sumpto in sectione puncto quouis B, agatur per B diameter F G secans A Clineam in F, tangentem C D in H puncto, per quod ducta IK parallela AC, ponatur IC quae FG lineae occurrat in L. Dico G F, H F, L F lineas in continua
Demonstratio. VT GF adHF, site D A est ad IA: sed re
D A ad I A,sie H F est ad LF: igitur ut GF ad ΗΓ sic H F ad L F, proportionales igitur sunt GF,HRLRQuod erat demonstrandum.
470쪽
iisdem positis ducatur linea D st occurrens GF in M. Dico G M, G H, G F lineas in continua esse analogia. Demon ratio.
ariangilla eandem habent basim ID, lineae aequales sunt. sunt au-atem continue proportionales GF H F, L F, igitur &GM, vG H, GF lineae in eontinua sunt analogia. uod erat ilemonstrandum.
isdem positis: Dico esse ut CF ad F Α, si e H B ad B F. Demonstratιλ tDvcatur ex C per B linea CN occurrens AD linea in Ni 3e ex Α recta AOparallela DC, secans EC prodiictam in G,&FB lineam in P. Quoniam DC . est contingens & A O eidem parallela, rectae ΗΒ, H F, H P ς proportionales diunt. Sunt autem etiam si continuit L F, H F, GF, & GF linea aequalis lineae H P ob A E, AC parallelogramma super eadem basi A D, M inter easdem parallelas constituta. igitur de HB , aequalis est rectae L Fr unde dempta communi LB, manet H Lrectae BF, de NA ipsi ID aequalis 1 adeoque de N C parallela D Κ.Quare vi DNest ad NA, id est CK ad DI, sie HB est ad BF. sed ut CK ad DI, se H est ad IID, id est CF ad FA; igitur ut CF ad F Α, se H B est ad BF. Quod erat dein
monstrandum. I / iEst heto A rchimedis aliter demonstrata.
nantur quo tuis diametri FE secantes p. I .rabolam in G, & per G ex A, ductavineae AH,occurrant diametro CD in H. . Dico AC, CD linear proportionaliter in L & H e liti diutum. l γι, iii Demonstratis.
DEmonstratio manifesta est per prςcedentem. . A
nam semper est ut A E ad Ec , scssi G ad Z O E id est D H ad hi C. - Σ σ