장음표시 사용
471쪽
Arabolam ABC contingat in A Iinea A D. in qua sumptis quibusvis punctia D dc E, demittantur diametri P B, EG :& ex A per Brecta ducatur AF occurrens h G diametro in F. Dico esse EC ad CF, ut in F ad FB Demonstratio.
dicatur recta AC occurrens DB lineae in G erit igitur AG ad GC. ut D B ad BG , id est EF ad FC. sed est ut AG ad G C, sic AB ad DF , igitur ut A B ad BF, sic EF ad FG: ω componendo ut AF ad FB, sie EC ad CR Quod fuit demonstrandum.
PROPOSITIO XCVII PArabolam A BC subtendatreeta A erect
que ex C diametro C E, ponatur quaecunque AG occurrens C E lineae in G, parabolae in B puri sto, per quod diameter ponatur B D. Dico iunctam Do aequidi stare' contingenti
DVcta enim per A contingens oceurrat BD, CE di metris in F de E. erit igitur . FB ad BD, ut AD ad DC, id est AB ad BG: quare ARDG lineae sunt parallelae. quoa erat demonstrandum.
que per A N C, contingentibus quae Conue-1 niant in D, ducatur diameter quaecunque F E, secans Α D lineam in rita DC in GIde parabolam in H. Dico GH, H F,HE, lineas in conis
F , sed etiam vi AF ad FC.' se PH ad HG, igitur ut ΕΗ ad Np, sie H Fest ad HG i proportionales igitur sunt GH, H F, HE. Quod erat demonstrandum.
472쪽
1 qu sumpto quovis puncto D demutatur diameter D E occurrens parabolae in B. per B autem ex C recta ponatui CF, occurrens erectaecli metro in F. Dieo F Α, DE lineas esse inter . D Η
Dico elle BG ad GR ut pB ad F C. Demonstratio.QVoniam F A, DE lin per praee eatem aequales sunt, DE est ad BA, ut vΑad BE, id est ut AC ad EC; Minuertendo ΑΕ ad AC, id est PB ad FC, ut D B ag D E, dest ad F R. sed ut BD ad F A, sic B Gad GF, ititur B Gad GF, ve FB est ad FC. Quod erat demonstrandum.
Dico D H,D F, EC lineas in continua esse analogia. -- Latio. Est enim D H ad Α Ε, id est ad FD, ut D B ad B B, sed ut DB ad B R. ste Fi, est
ad BC, igitur D H est ad F DueFD ad BC. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CII. PAribolam ABC cuius diameter BD, contingat in B linea B E, demissique
diametro E A ducatur ad BD, ordinaturi ADC, ponaturdue E C occurrens para-
o C, quia AD, DC lineae aequales sunt, igi ur met&EF, FGreetie inter se aequantur. Quod erae r o
473쪽
PArabolam A BC cuius diameter B D, & ordinatim ad illam posita
A C, contingat in A linea A E , erectaque ex C diametro C E quae contingenti A E occurrat in .E, perficiatur parallelogrammum ACE, ducaturq; diameter quaevis H G occurrens parabolae in I, dc A E rectae in X. Dico H GI rectangulum aequari rectangulo HΚ G. Demonstratio.
PRoducta diameter BD, secet EF, AE tin as E I' in L Ec M. Quoniam AC linea aequidistae EF, eidemque est aequalis, erit Α D , dimidia j tectae AC, aequalis L E, dimidiae ipsius EF;q- A te 5e LM aequalis est MD, adeoque L D in M
bifariam divisar unde cum de L D in B, diuisa sit non bifariam, rectangulum LMD, id est quain. Z l diatum MD aeuuale est rectangulo LBD, una Z neum quadrato M B , id est 3 quadrato B D , id esti I aequale erit rectangulo L DB. Rursum cum BD ad I G, sie L DB rectangulum sit ad rectas u. - - - si gulum HGI, item AD Cb rectangulum ad te-Z si Etangulum AG C, id est rectangulum ςΑΜ Eadrectangulum ΑΚ Rigitur ve L DB rectangulu. ad rectanguIu HG I, sic AMExectangulum est ad rectangulum ΑΚΕ: est aute veA M Fb rectangulum ad rectangulu Α Κ E,sic LM D rectangulum adiectangusum HK G quia ex iisdem rationem habent compositam) igitur ut L D B rectangulum ad rectangulum HGI, sic LM D rectangulum est ad rectangulum H ΚG. M permutando ut L DB rectangulum est ad rectangulum LMD, sic HGI rectangulum adrectangulum HKG. sed L DB. LM D rectangula ostensa sunt aequalia, igitur& rectangulum HGI aequata est rectangulo HKG. Quod erat demon
PROPOSITIO C I RPArabolam ABC cuius diameter A D & ordinatim ad illam posita
C D contingantia A & C lineae AE, CE conuenientes in B. dactique A ponatur ordinatim B G quq E G,AC lineis occurrat in F, dc H. Dico H B quadrati dimidio aequale esse rectangulam FB, H G. D A Demons Ito. ,
ιγ ta n les star, adeoque B H quadrato aequat rectangulum L B, HG. Rursum scit m Ar. - . in E ac propterea HK in F diuisa sit bifariam,&HB lineae aequalis ponatur KL, erit 6c LB reliqua in F diuisa bifariam; quare FB, H G rectangulum dimidium est tectanguli LB. H G , adeo die de aequale dimidio quadrati H B. Quod erat demonstxandum.
474쪽
p rabolam ABC cuius diameter A D contingat in B linea B E, conia ueniens cum diametro in hι demissaque ex E linea EC , quς parabolim secet in F & C, ducantur ordinatim linea: F G, B H, C D. ' Dieo FG, B H, CD lineas in continua
esse analogia. Demonstratio. D Emittatur ex B diameter B I sicans EC li
neam in K: ponaturque KL parallela HB. Quoniam B E linea sectionem contingit, erunt AEF, E K,. EC line , adeoque dc F G, v K L, C Dcontinuae proportionales et sed HB linea aequalis est KL, igitur FG, B H , C D lineae in continua sunt analogia. Quod erat demonstrandum. corollarium. EAdem manente figura sumatur in AD diameis Miro quodcunque punctum E, extra parabolam, ex quo in parabolam secans demittatur E FC,du ctisAue ordinatim F G, CD,fiat A E linea: aequalis H, ordinatim ponatur H B: dieo F G. BH, CD lineas esse proportionales, runcta enim
B E ς erit contingens. unde per pricedentem constat vetitas assertionis.
sumpto extra sectionem puncto quouis E, demittantur ex E duae qu vis E C,E F secantes par bolam in G, K,C, F et ponanturque ordinatim G I, K H, F Lι CD.
Dico esse ut G I ad K H, sic F L ad CD. Demonstratio.
D Emittatur ex Ecotingens EB,&ex B ordinatim ducatur linea BM erunt igitur tam G I, BM, CD lineae, a quim HK, BM, FLProportionales. quare cum B M linea sit utrique seriei communis Semedia proportionalis inter easdem lineas, GI CD rectangulum aequale est rectangulo HKFL igi- .
rvt GI ad Κ Η, sic FLad C D. Quod erat demonstrandum. Diuiti sic by Cooste
475쪽
Esto ABC parabolet diameter A D, in qua assumpto extra sectionem
puncto quovis E, demittatur ex Esecans E F C positisque ordinatim F G, C D, fiat A E lineae aequalis AH, N ex H ordinatim ponatur H BOccurrens AC, FC, lineis in I & K. Dico E C lineam e trem a & media r tione proportionali in F& Κ esse diuisam
id est C E esse ad E F ut C Κ ad Κ F. Demonstratio.
ungantur FI i Quoniam AH linea aequalia ponitur A E, rectat FG, ΒΗ, CD proportionales sunt, &FG, IH blineae aequales,adeoque de FI parallela ΑΕ. quare ut EC ad EF, sic AC ad AI, id est AD ad AH, id est AH ad AG, scum AD, AH, AG proportionales sint. id est D H ad eΗG. id est CK ad KR Quod erat demonstrandum.
PArabolam ABC cuius diameter AD, contingat in B linea B E, conueniens cum diametro in E, ex quo recta ducatur E C, occurrens parabolet in F& C, positam ordinatim BD, ducatur AC occurrens BD lineae in G, &recta F D secans A C in H. Dico rectam A C divisam esse in H, ει G, extrema& media ratione proportionali: id est AC, CG &A H, H G esse proportionales. Demonstratis. εIVngantur F G: Quoniam ostensium est in praecedenti propoItione FG lineam aequidistare A E , ut AC ad CG, se A E est ad F G: sed AE est aequalis'A D, igitur ut AC ad CG, sie AD est ad FG, id est ΑΗ ad HaQuod erat
PROPOSITIO CIX. Sit ad ABC parabolae diametru B D,
ordinatim posita ACriunctisque ΑΒ, CB ducatur quaevis diameter EF. Dico esse ut A D ad D H, se H E ad
Iametet EF, primo ΑΒ lineae occurrat in extra sectionem. ponatur per B contingens ΙBtvt AD ad AH, sic D B id est 1 Had DiuitiZ
476쪽
ad Η Ε, quia vero. I G, IF id est IEJ δι IH proportionales sunt, ut HI ad I E siue I F, prima ad secundam se ΗI cum qF vel I Ε, id est HE, prima cum seeunda, ad 1E una cum I G id est EG, secundam cum tertia, igitur ut AD ad DH, Q H E ad Eo. Quod erit destronstrandum. Occurrat m diameter FI G TAM A B in E intra parabola, erit igitur ut A H ad AD, sic HE ad BD, id est ad HI, 6c ut A D ad H D, sic HI ad IE, sed ut HI ads ih. IE prima ad secundam quia HI, IE, IG. proportionales sunt sic H E est ad EG, e 1.11 nox ut A IF ad D Η, se H E est ad E G. aresi in lineia chimedis prop. .ae quadratura Parabolae aliter demonstrata.
i Cσrasianum. HInc sequitur lineam HI ad I G, rationem habere duplicatam eius quam ha bet H F ad FG cum enim sint continuae proportionales 4 HI, FI, GI, erit dri ,tratio HI ad I G, duplicata rationis HI ad FI, id est H P ad FG.
tionales, demittantuructaq; ex A ad A n ordinatim linea A C, quae licet in Κ & M agatur per B ex C, linea C Moccurre γE HAEC I diametris tu M &li '. . Dico rationem LM ad M H duplicatam esse rationis Κ N ad N I.
inoniam B E B G, B E lineae continuat proportionales sunt, diametri quoque FH, GI, EA in continua sunt analogia. Quare ratio ΑΕ ad FH, id est L p adpri,i. FH, duplicata est rationis AE ad GI, id est RG ad GI; sed LP ad FH, dupli eatam habet rationem . LO ad OH, t cum LRFo, FH g proportionales unil . ., id est per praecedentem LM ad ΜΗ, similiter ω ΚGad GI, duplicitam habet eius quam habet ΚN ad NI, igitur& ratio LM ad ΜΗ, duplicata est rationis κ N ad NI. Quod erat demonstrandum. a
Iisdem positis ducatur linea AB secans FL lineam in O. Dico M H L F rectangulum esse aequale rectangulo MLFO.
-onstrario. VMiam ratio LF ad FH tam duplicata est rationis LM ad MΗ, quam FL ad FO,etit vi I. M ad MH, sic FLad For quare rectangulum ΜHLF aequalocst rectangulo MLFO. Quod erat demonstrandum
477쪽
Sit ad A B C parabolae diameia
trum BD ordinatim posita linea AC. iunctisque punctis A B,CB, ducatur diameter quς-Cunque E F occurrens Λ B, C Alineis in G&H. Dico esse vi H F ad FG, sieHE ad EG.
VT AD ad. DF, id est DC ad DF, FH. est ad HE. sed etiam ut AD ad DF, sic , FG est ad GR igitur ut FH ad HE. cc FG est ad GE, & peti
cti sque punctis B C ducantur ordinatim lineae EF occurrentesG G, BD diametris in G de I, & CB rectae in Id. 'Dico rectangulum GIE H aequati rectangulo G EI F. Demonstratis. AGantur per E diametri
KL. ut AD . ad DL , sia K est ad KE, sed ut AD ad DL, sie CD est ad D L, id est GI ad Ita igitur GIest ad Itavi Lx ad KE. est autem veLΚ ad KRsie L C ad EII, id est GE ad EH, igitur ut G I. ad IE, M GE ad Ere unde GLEH rectangulum aequale est rectangulo GRI E id est GE. IS. Quod erat d
478쪽
Sectionu focum s mutum parabolarum truersissimus geometrice designat. , ὶ ' lPROPOSITIO CXIV. PArabolam ABC cuius axis A I, contingat in B quaeui 3 E, o
currens axi in E: positaque ordinatim B D, ponatur B p normalis ad B E, occurrens axi in F. iDico DF lineam aquari diis dio lateris recti quod ali inseruit. i . v
Cumatur AG MuaIis lateri recto. quoniam B D ordina- i folim ponitur ad arcem, quadratum BD aequale est rectan- νtulo.DA Gr quia vero angulus EBF rectus est, erit de qua- α I
479쪽
TIArabolam Aid Gentius axis AD;contingat tectaqi uis B R& angu- 1 lo BEA aequalis fiat angatus B F. Dico F A lineam aequalem esse quartae parti lateris recti , & si FA sit
quarta pars lateris recti, dico lineas FB, FE, de consequenter angulos BEF, EBF esse inter se aequales.' D , . t T. Demonseratio.
, ἐφ I. II. timentem F. B. Quoniam anguli EB F, B EF ex hypothesi aequales sunt, erunt & FB, FE lineae quoque aequa les, unde cum de angulus E B D rectus sit, si centro F, in- - teruallos Ecirculus describatur, transibit n per B M D. P Quare M EF, FD lineς aequales, adeoque FA aeMalis, quartae parti lateris tecti. Quod erat primum. Rursum cum angulus E B D ponatur retius,& B G ordi- , naim applicata ad axem AD,erit D Gςqualis dimidio e lac, tetis ecti, adeoque dupla A F: quue EA ad EG, vi ΑFad GD, di componendo ut EF ad ED, sie AF ad GDr P Q quate ED dupla es bipsius BD, ω eirculus centro Finteruallo Fh deseriptus, transibit per B Sc Di e untqν eae FB, P Ede anguli FBE, F E B inter se m lest Quod erat demonstrandum. C
cra b AE aequali AD, ducatur ex D linea D c occurrens parabolae in Ci& ex C erigatur diameter CF, ochurrens h p quae normalis sit iaaxem ADὶ in F. Dico D C, F C lineas esse inter se aequales.
IArabolam AUT cuius axis AD produ- I crus extra sectionem, sit aequalis lateri re-eto , eontingat in Α linea ΑΕ, demissaq; ex Δ secante AC, erigatur ex diameter CF, occurrena AE contiosanti in E , & DF quae parallela fit AE in F, saetoque super E F ut diametro, semicirculo RG E, ducatur ex linea CG quaesemicirculum contingat tu G. Dico A C, C G lineas esse inter se aequ les.
480쪽
R est quadratis A H, H Ci sed H C quadratum quale est sectansulo HAD quia A D per typothessim est αqualis Ia-iteri tecto quadratum igitur AC aequale est quadrato AH una cum rectangulo H λ D, id est rectangulρ Α Η D, id est 'angulo ECF: est autem x ECF rectangulo aequale quadratum C a quadrata igitur AC, C G adeoque ec h-neae inter se aequautu Quod erat demonstrandum.
inseruallo qqouia E s circulus describatur occurrens axi in F & D, parabolae vero in B: iunganet iturque FB. I . O l . 9 κUico FB rectam contingere parasolam in
Sto ABC parabolat axis A D, de A E
lineaequarta pars lateris recti: centro Einteruallo quovis E F esiculiis desci'attit, occurrens axi in F& D, parabolae autem in B: & ex B recta ducatur B G ordinatim ad
Dieo D G lineam, dimidium esse lateris recti. Demonstratio.
Iungantur punctii Fg, BD. erit igitur angulus μFBD in si scire o tectust est autem per prae cedentem FBe tingens , D G igitur dimidium . est lateris rectL ouod erat detnonstrandum