장음표시 사용
481쪽
ΡArabolam ABC cuius axis Α D contingat in. C
linea quaevis CE, eonueniens cum axe in E. di.
visique bitariam C E in F, ducatur FD normalis ad E C contingentem occurrens axi in D. dico A D line m, quarti esse partem lateris rini,
Demonstratio. O . . a . Vngantur puncta CD. Quoni/m FD normalis est ad tan Agentem EC, anguli E F D, CF D aequales sunt:sunt autem dcreas EF, FC ex hypothesi aequales, & FD communis, triangula igitur EDF, CDE, MED, CD latera aesita sunt: quare & anguli CED, ECD aequantur; & AD . linea est aequalis quartet parti lateris recti. Quod erat demonstran
PROPOSITIO CXXIII. PArabolam ABC cuius axis AD, contingat .in B recta quaeuis 3 Econueniens cum axe in E, demissaq; eg B linea B F parallela axi, fiat angulo F BG, aequ2lis angulus EB H. Dieo AH lineam aequalem esse quartae par lateria lectit de si AH fuerit quarta pars lateris recti, α B F, parallela axi, dico angulos EDAEF B G esse aequales. i ' -
inoniam F B aequidistat E D , angulus ΑΕΒ aequa. lis,est angulo FB G hoc est angulo HB Et unde A HIinea ν aequalis est quartae partPlueris rem. Quod erat
Rursum cum Α Η lineast quarta p*rs latetis recti, an gulus HBE aequalisest angulo e AEB, hoe est FBG.
cum FB AD aequidi sient. vocetur autem Punctum Hlacus parabolae.
Atae parabolae secum exhibere. constructio in demonstratio.
r praecedentem p 'LD, esse focum parabolae,adeoque B D quartam esse partem lateri, recti. de quoniam CF linea est quaecunque parallela axi, si in reliquis quoquσangulo incidentiae ae qualis fiat angulus reflexionis, radis reflexi omnes conuenient in D puncto quod Partam lateris recti partem designari datae igitur parabolae focum exhibuimus. Porro focum indigita in punctum D, quod muro at combustio, O dij refieri praeciis
482쪽
qutantumuis minimo angati ad in utrem inelisos, rana tona ilia mulio anu, quam iasiarem
a ' p Ropos ITIO CXXV. PArabolam ABC cuius axis A D contingat in
B recta quaevis B E conueniens cum axe in E: ductaque ex B linea B D normali ad contingentem, quς axi occurrat in D: s A D linea fuerit m ior dimidio lateris recti. Dico rectam BD minorem esse A D.
I Vcatur ex A per B, linea ABF: Meru D recta Do
normalis ad A F. quoniam angulus L BD rectus ponitur, angulus ABD recto minor est, adeoque P BD gulus obtusiis: quate D G cadet inter A Z B. fiat ergo B G aequalis GH, iungaἡt utque H D: tuiti AH linea diuisa bifariam in I, ponatur DI. cum igitur .H G, GD lineae aequales sint rectis BG, G Iγ, fle anguli ilii contenti recti: linea D H aequalis est BD, & angulus GH Drecto minor. Rursiim cium AI, ID lineae aequentur
483쪽
tur lineis N I,3 D triangula ΑID, H ID aequalia sunt. quare ADt frendens angulum obtusum AID, maior est recta H D hoc eth B D. Quod erat demonstrandum.
dimidio lateris recti, centro E interuallo A E circulus describat ut
Dico circulum AH F contingere intus parabolam in A. Demonstratio.
viii A D linea aequalis lateri recto, I&oidin*tim ducatur quaevis G Boccurrens circulo in H. Quoniam AE supponitur non mau,r dimidio lateris recti, cadet F punctum supra, vel in ipsum I ,δdeos uς AGF --ctangulum mih rectangulo G AD , igitur κHG quadrazum, minus est quadaato BG. puncta migitur H cadet intra parabolam eodem modo demonstrantiar reliqua oauua circuinii puncta , praeter A cadere intra parabolam i circulas igitur AH F, paramum A BC interius in Α contingit. Quod erat demonstrandum.
D,finietvallo Α o circulus describatur A F Gi Diso circulum illum intersecare parabolam, Dinonstratio. . Vae AE linea aequalis dimidio late in
Trecti & pet E recta ponatur ordinaistim EB: ducaturque ex D per B, linea DBF occurres circulo in F & parabo lateris recti, a recta D D minor est Aghoc est D F. punctum igitur F cadet exinixa parabolam. quare circulus A FG parabolam secat. Quod erat dein m
ESto A BC parabolae axis B D maior dimidio lateris recti, centros Dinteruallo DB circulu, deseribatur AEB occurrens parabolae in A; ductaque ex A ordinatim linea AF, ducantur qqotuis E G parallelae A F, occurrentes circulo in E & G, parabolae in H& I, axi in K. Dico E H G rectangulum esse ad rectangulum EH G, vi F ΚΒ r ctangulum, est ad rectangulum FKB.
484쪽
Iuncta AR occurrat EG lineis in L. Quoniam FG lineam circulo AEB, mi angulos rectos in K secat diametrum is D, recta E, G in Κ, diuisii est hi fariam. sed & HI in parabola ABC, quoque in K diuisa est bifariam: rectae igitur EH, I G inter se aequales sunt. R ursum ut A LBrectangulum ad a rectangulum AI. B, licE L G tectangulum ad rectangulu E LG, item H LI rectangulum ad . rectanga tum H LI: sed ΕLG rectangulum aequa te est rectangulis HL I, E HG, igitur NEHG rectangulum est acl rectangulum E HG, ut ALB rectangulum ad rectangulum ALB: id est F ΚΒ rectangulum, ad rectangulum F ΚΒ Quod erat demon
PROPOSITIO CXXIX. Esto ABC paxabolae axis AD maior dimidio lateris recti r centroque
D interuallo A D, circulus describatur A B E : occurrat is parabolae in B Scax Dan E. ducaturque ex B, linea BF ordinatim ad axem. Dico lineam F E aequalem esse lateri recto. DemonstratIO.
Quoniam BFordinatim ducta est ri axem,quadratum F Baequale est rectangulo super F A N Iatere recto : sed MF B quadratum quoque aequale est rectangulo AFE: rectangulum igitur AFE aequale est ei quod fit ui per A F&latere. recto. quale FE Iinea lateri recto est aequalis. Quod erat demonstrandum.
PArabolam ABCeuius axis A E contingat in B linea B D, occurrensaxi in D, ponatur autem ex B linea B H normalis ad contin-' gentem, occurrensaxi in H:ccntroque & interuallo H B circuculus describatur B QC: ponaturque ad axem normales quotcunque I Κ, occurrentes parabolarin GL, contingenti BD in F Fi & circulo intra parabolam intercepto in I & Κ. Dico GK I rectangulum esse ad rectangulum GKl, ut quadratum FB ad quadratum
Donatur BC aequid istans FI,occurrens parabolς in C; iunctaque
485쪽
De oecurrativi rectis in M. Quoniam BC ordinatim ponitur ad axem DE; recta BC in E bissecta est, & B E, E C lineae aequales t unt. unde DC parabolam in C contingit. quia vero B punctum in peii metro circuli est , punctum quoque C bin circuli est pcrimetro ι Equia DBH anguIus rectus est, angulus quoque D C H rectus est e & D C lian ea circulum contingit. igitur ut FB quadratum ad quadratum FB, si e P K M rectangillum ad rectangulum F K Mi sed cu F B, C Μ lineae parabolam quoque contingant , ut PB quadratum ad quadratum d FB sie GF L rectagulum est ad rectangulum GF L, residuum igitur rectanis
gulum G KI ad G ΚI rectangulum, est vi quadratum FB ad quadratum FB. Quod erri demonstrandum
o CXXXI. EAdem manente figura si AH linea maior sit dimidio lateris recti. Dico circulum B QC parabolam intus in duobus punctis con
Donatur per inlinςa OPR aequidistans BC , Ic altera qua uis ST VXY eIdem Parallela. quia ΑΗ maior est dimidio lateris recti . e AH linea maior est B Hi& circulus B QC cadit infra A.deinde ut OB quadratum ad quadratum S B, sic P RR tectangulum ad rectangulum TS X: sed est quoq: ut quadratum OB ad quadratum S B, sic quadratum OQ ad rectangulum VS X, igitur POR r
C tangulum ad rectangulum T SY, ut quadratum OQ ad rectangulum Vs X, 8c permutando conuertendo ut quadratum O . ad rectangulum POR, sic us x rectangulum ad rectangulum T SYr seM Oing quadratum maius est rectangulo POR, igitur&vSx tectangulum maius est rectangulo TSY. vlterius, rectan-gillum T SY una cum b quadrato TZ aequale est quadrato S Z, est autem & qqa drato S Z aequale rectangulum V S Z una cum quadrato V Z , quadratum igitur V Z una cum rectangulo vS X aequale est quadrato T Z, una cum rectangulo TSY: ostensum autem est V S X rectangulum maius esse rectangulo TST quadratum igitur U Z minus est quadrato TZ : quia punctum V cadie intra parabolam i similiter ostendentur reliqua omnia puncta perimetri circularis B QCcadere intra parabolam, praeter B, & C i circulus igitur B QS parabolam intus iuduobus contingit punctis.
PROPOSITIO CXXXII. α ὶ Amto in axe puncto circulum describere qui parabolam intus in
486쪽
tactum datum D, oportex centro D ciε - tum describere, qui par bolam mi rius con-t ungat in duobus punctis: oportet autem BD lineam maiorem esse dimidio lateris rectidiatus aequalis dimidio lateris rectit & per Fre dia agatur FA C, ordinatim ad axem : iunganturque punista D, At tum centro D interuallo DA, circulus deserabatur. dico illum contingere interius parabolam in duobus Punctis. agatur enim per A contingens AECOI ueniens. Cum a et in Quoniam Iii ea
A W paeabollan contingit in A, & F D aequalis est dimidio lateris recti, angulus . EADtectus est: est autem ex hypothesi B D maior dimidio lateris recti: ergo per pr*cedentCm circulus Em rci' D, interirallo A descriptus parabesam eoninmet interius in duobus putietis': dato igitue in axe puncto D eirhidum des ipsim is, dici Quod erat faeiendutii: '
quae axi occurrat in F, ducatur ex F, linea FH , secans circulum in G&H, dein per G&H, normales ducantur KGI, NHL occurrentes p rabolae in K & N, axi vero in I & L.
5 Dico esse vi , L ad Gl, sic N Lad K LDemonstratio.
Quoniam circulus B GC parabolam imus conia tingit in B & C, de FB linea per B ducta paraboIam in B contingit, eadem BF circulum quoque eontingit in B; igitur vi H F ad FG, sic bH Pest ad PG: Ec ut LP ad Fi, se L D ad DI sed ut L Fad FI, se L H ad I Gι igitur L Dest ad DI, OLFI ad 1 G. quia veto I. F in D Ze I, extrema de media ratione proportionali diuisa est, & FDe hissecta in A,proportionales sunt 4 AI, A D, A L v de L A ad AI, duplicata habet rationem LA ad DA, id est L D ad D I i sed ratio quoque L A ad AI, duplicata est rationis LN ad K I, intur NLest ad K I, ut L D ad DI, id est L H ad GI. Quod erat demonstrandum.
isdem positis tDico rectas ΚI, GD; item N L, Mo esse inter se aequales.
487쪽
O Stensum est rectas A L, A D, AI in continua esse analogia, vi deqnoque proportionales erue IK,B D L N sed etiam stini eotinuς GD, BD,H Di igitur GD, NI lineae, &Ν L, D H fiant inter lex quales. nam rectiangulu G DH rectangulo Κ INLest aequale, de ostensum insuper est GD ad D H. eandem habere rationem quam ID ad DL, hoe est Κ Iad N
Dico quadratum D L aequari rectangulo NHO. Demonstratio.
Vadratum H D est aequale quadratis HL, LD: est autem quadraxo aequale 'equadratum N L, igitur NL quadr tum est aequale quadr/tis HL,LD. sed etiam quadratum N L aequale est quadrato HL de rectangulo NH O, dempto ergo Communi quadrato HL. erit NHO rechingulum aequale quadrat0 D L. Quod erat demonstrand um.
IN datae parabolae axe punctum assignare quo centro circulus describa tur maximus illorum, qui parabolam intus in uno tantum contingunt
: construmo m demonstratis. LSto ABC parabolae axis BD,
portet in illo punistunt assignare D, quo centro circulus describatur maximus eorum qui parabolam in uno tantum puncto contingunt. fiat DB linea aequalis dimidio lateris re Eli : centroque D , interuallo BDeirculus describaturidico illum satis facere proportioni. quoniam D B aria qualis ponitur dimidio lateris recti. cireultis radio DB deseriptus, intus . parabolam in B contingit.quod vero contino gentium circulorum maximus sit, ex illo patet quod circuli omnes qui centrum ha hent ultra D, parabolam bintersecent; quorum vero centrum inter D α B. cadit, semidiametrum semper minorem habeant semidiametro D B, ac proinde illi circuli minores sunt: circulus igitur radio DB deIcriptus , contingentium circulorum maximus est,exhibuimus igitur, dcc. Quod erat faciendum.
p Ropos IT o CXXXV H. EX dato in axe parabolae puncto , lineam ad peripheriam ducere,
breuissimam illarum quae ex eodem puncto duci possunt. onstrumo-demonstratio.
FSto ABC parabolae axis BD,&in eo punctum datum Dr Oportet ex D puncto ineam ducere breuissimam illarum, quet ex eodem puncto ad parabolae perimetrum educi possunt.
488쪽
Primo recta B Dinon sit maior dimidio lateris recti. dico BD lineam .inv quaesitam e describatur enim centro D in. teruallo DB cireus .s i continget Iche e M praecedentem parabolam interias in punis cto solo B: igitur reliquae o res lineae ex ,
duci poterunt ad perietieriam parabolae: Hadam tigit in Dicto D, si heam duximus, &e. Quod erat ficteo una.
ror Iatere re o/ ductique ex Dordinatim linea n B, centro D, interuasso D B circulus de Ieribatur B H . Dico illum intersecare parabolam in quatuor punctis.
C Viriatur E D aequalis dimidio Iateris recti, ici positaque ordinatim EF,agatur per Fconrtingens F G, conueniens eum axe iis G.Ques Cy i niam F G est contingens,& ED aequalis dimidio latetis tecta, gulus b D F ct rectus eis. quia vero AD linea maior est dimidio lateris recti , FD minima est earum e quae ςx D ad peri pheriam duci possunt: adeoque & minor BD ordinatim positas circulus isitur centro D interuallo D B , descriptus cadet ultra R& secundum ali quam sui partem extra para-holam. Rursum eum DB, minor i sit recta A D, teli D A malor sit latere recto, cadet circulus BHC Infra punctum Ar & secundum aliquam sui partem in tra parabolam: Quare Ee in alio puncto quam A parabolam interseiaeabit. SimiIiter ostenditur circulu BHC, versus partem A C occurrere parabolae in alio puncto quam in C; cireulus igitur centro D, interuallo D R descriptus, parabola insecat inquatuor punctis. Quod erat de
PROPOSIT 1Ο CXXX lx SIt ABC parabolae axis Α D maior latere
recto i positaq; ad illum ordinatim, D G,
centro D interuallo DC circulus describatui CB F; occurret ille parabolae in quatuor punctis C, B, F, G, 8c ex B puncto intellecticinis ducatur B E ordinatim ad axem': Die o E D lineam aequale esse lateri recto. - . ta
489쪽
TVngantur BD. Uumam BD est aequalis DC- EB, CD, ordinatim ponum Atur ad axem,ED linea Aqualis lateri recto est. voci erat demonstrandumo
SI parabolam ABC cuius axis B insecuerint quotcunque semirascu li AEC , FE H quorum singuli oecureunt parabolae in quatuor punctis dearissaeautem ex E& G, intersectionum punctis rectae fuerint EI GK normal eradclineas Λ C, FH.quae ordinatim positae sunt ad
Esto ABC tabolae axis AP maior dimidio lateris redhir centro*
D i eruasto D Α, circulus deseribatur ABC, oecurrens mi ita Ea opors exhibere puncta intersectionum B & C. . l . i. constructio. ---io. B . CYAatur EF linea aequalis lateri M. l- Qxper F tecta uatur F B C orditustim
ad axesti: dico circulum ABC occurrer II para listae in B C. cum F C ordinatim m. Η I posita 'sit ad axent i quadratum illius Ei aequatur Α F E rectangulo, quia F E la. V. F R teri ieeto assumitur aequalis: sed tectan
I x ' gulo AFE in circulo ABE, aequale quo
i st ' i'I' que est quadratum FB: igitur B punctum pertinet & ad parabolam ABC,&ad cir culum A B Ridem discursus aptetar puncto C. praestiumus ergo quod imperatum suit. 1 1' i
Sto A BC parabolae axis A D maior latereTecto : ariaq; per o ordia natim linea CDP , centro D interuallo CD, circulus describatur C B E,raecurret is parabolae in quatuor punctis: oportet illa exhibere.
490쪽
PARABO L A. f. rutiis oe demonstratio.
CV matur DG aequaIis lateri recto , potiaturque ordinatim G B: dico B punctum unum elle m- tersectionis. iungatur B D. Quoniam BG, CD v c , ordinatim ponuntur ad axem, Ac G D aequalis late- . ari recto est, linea CD, aequalis est BD r circulu, igitur centro D, interuallo DC descriptus, tran- II sibi e pςr B. eodem modo ostonditur, eundem Ucirculum transire per E : quod vero per C de I D F, transeat, mani festum est i exhibuimus imur puncta quatuor Interfectioni . Quod erat facien
PROPOSITIO CXLIII. F Sto A BC parabolae apex A centroque Α, interuallo quovis A E eio
cuius describatur E G B: oportet exhibere B punctum intersectioni, cum parabola. - . Coustructio es rimonstratio.
Posito axe A D sumatur AH aequalis lateri recto, posita- que per A contingente AG quae circulo occurrat in G, es quadrato AG fiat aequale rectangulum HI SI & per I dinatim ducatur I B: dico punctum B, este id quod quaerituri iungatur AB. Quoniam IB ordinatim applicata est ad faxem & AH Iinea aequalis lateri recto, quadrato AB, b ae- quale est rectangulum HI Α, sed HI A rectangulum quo- 'i Aque aequale est quadrato AG per constructionem , igitus , ZAG, AB quadrata aequalia sunt. igitur circulus centro A et liinteruallo AG descriptus, transit per B. exhibuimus igi- IN tur punctum inter lectionis B. Quod erat postulatum. I --'D
Esio ABC parabolae diameter B D quam secet f
u te unque recta quaeuis Α E,occurrens parabolae in A : oportet exhibere C, punctum aliud intersectionis: construetio demonstrictio. DVcatur ex A linea AF oldinatim ad dia- γmetrum; fiantque proportionales B F,B E, B D: M per D, ordinaxim ducatur D C. Occul- . Irens A E lineae in C puncto. quoniam igitur fB F, B E, BD proportionales sunt, de Α F,D C fordinatim positae, punctum ς C est ad parabo- Iam rest autem & C punctum in tecta ADigi- Itur C communis intersectio est ΑΕ lines eum lparabola. exiuihuimus igitur, dec. Quod erat faciendum.