장음표시 사용
491쪽
PROPOSITIO C X L V. Esto ABC parabolae diameter AD :& ordinatim ad illam posita
BG, ducatur autem ex A quaevis AF, secans BC lineam in F; quae producta occurret parabolae in puncto quouis G. oportet illud exhibere. Constructio oe demonstratio.
T Actum sit: positaque ordinatim G D, erigatur GH paralleIa diametro A D, occurrens B Cin H. sit autem A blatus rectum. Quoniam GH aequidistat A D diametro, F E H rectangulum, hoc est rectangulum FE GD, aequale est quadrato , CE , hoc est BE. sed & quadrato BEaequale b eli rectangulum IA E;rectangula igitur EL AI, F E G D aequalia sunt. quare ut F E ad A E, se ΑΙ est ad G D: & G D quidem fiat aequalis recta Κ. erit igitur K linea data. Rursiim cum G D ordinatim posita sit ad diam e nia trum A D, ut AI ad GD , hoc est η ad Κ, sie K est ad AD i igitur N AD Iinea positione data est. quare componendo fiat ut FE ad AE, lio AI ad K, Scut AI ad K, sie K ad AD, ducaturque ex Dordinatim linea D G, constat factum este quod petebatur.
PROPOSITIO CXLVI. HAbeant ABC, DEF parabolae ad eundem axem A Geonstitutae
apices diuersos A, Dι& ABC quidem superior, habeat Α Hlatus rectum maius latere recto lD parabolae DEF. Dico sectiones illas in infinitum
Ponatur ordinatim ad axem AG, quaecunque linea CG , occurrens ABC parabolae in C, dc DEF in F. erit igitur F G quadratum aequale rectangulo ΙDG,& CG quadratum aequale rectangulo H A G: sed ID G rectangulum minus est rectangulo HAG, quia LD Iatus remimminus ponitur ipso H Α & D G minor ipsa AG igitur M quadratum FG minus est quadrato C G di d. F punctum cadit inter C & G. &quia idem de quouis puncto parabolae DEF ostenditur, patet se- nusquam conuenire. Quod erat demonstran
492쪽
Q Int duae parabolae A s C, DC E ail tundem axem constitutae,& AB Coparabolae latus rectum, minus sit latere recto parabolae DCE, nec
vertex A communis sit. Dico parabolas illas concurrere. oportet autem punctum concursu assignare constructio stimoninatio. CIt A G latus rectum parabolae ABC, & DH la- tus rectum parabolet DCE , lineae AD adijciatur quςdam DF, ut AF sit ad F D, sicut H D est ad A G.& ex F ordinatim ponatur F C occurrens parabola: DCE .in Ct dico illud esse punctum interlectionis. Quoniam est vi H D ad AG , se AF ad FD , erit H DF rectangulo, aequale rectangulum GA F. sed H DF rectangulo aequale est . quadratum FC:gitutdi G AF rei'aligulo aequale quoque est quadratum Fc unde punctum C est ad parabolas ABC,DCta exhibuimus ergo punctum concursus.
HAbeant parabolat AB C, D B F communem axem A D, & vertices oppostos A, D.
Oporteat autem earum intersectionum puncta exhibere. Constrassitio in demoninatis.
Cti ABC parabolet latus rectum ΑΗ, de DBpa- orabolae latus rectum ED i se totque AD in F, vi H AF rectangulo aequale sit rectangulum F DUM per F ordinatim ponatur F B, occurrens parabolae ABC in B. dico B punctum esse intersectionis. cum enim FB in Amo parabola oldinatim ducta fit ad axem AD, FAH rectangulum aequale est quadrato FB. sed F AH rectanguIumetqua- Ie ponitur rectangulo F D E; quadratum igitur FB aequale quoque est rectangulo FDE, quare FB ordirratim applicata est ad FD axem, in parabola DB r adeoque punctumque parabolς est commune. exhibuimus igitur, &c. Quod erat faciendum. l i
CInt duae parabolae ABC, BDC inaequalex, babentes communem rectam A E, quae quidqm axis sit parabolae ABC, diameter vero parabola: B D Gi l. centque se in B & G punctis, oportet illa exhibere.
493쪽
PARABOLA. Constructio γ demonstratio. GActum sit quod petitor : actii per A contingente AF, ducatur linea per B M C,
L conueniet illa Cum AF in puncto quovis F: si enim uon conueniat, aequidistet AFierit situr CB, ordinatim posita ad axem A E in parabola ABC, & quia in Ebissecta est, in B DC parabola quoq; ordinatim erit ducta, ipsique D E diametro ad angulos rectos. igitur D E axis est parabolet BDC : quod eth contra hypothesim: Concurret ergo CB, cum AF in puncto quovis F. ponatur ergo ex F linea Fucontingens parabolam BDC in puncto quovis D. Quoniam A F est contingens, in parabola ABC, lineae FB, FE,FC proportionales sunt, sed dc in parabola BDC eaedem sunt proportionalesipunctum igitu2 D contingentis DF, hin diametto est D E. Rursum ducatur diameter ququis alia G H occurrens parabolis in G& H, de B C lineς in I, actaque per G contingente GK, quae cum BF conueniat in K, ducatur ex K linea K H, contingens parabolam BDC in puncto quovis H. Quoniam igitur G K linea contingit parabola A B C,rectae K B,Κ Ι,Κ Cς continuae proportionalςssunt: sed& eaedem quoque sunt proportionales in parabola BD C. igitur H punctum contingentis ΗΚ, in d diametro est HI. igitur componendo cum A, D puncta data sint,agantur per A Ze D. contingentes, quae conuenient in puncto quodam F. ductaque diametro quavis GH; agantur per G & Η, continia gentes quς etiam conuenient in K. igitur data simi puncta F, Κ , E, Ir quare redata erum puncta B, C: quae in F K. linea esse per resolutionem Ostendimus. igitur exhibuimus duarum parabolarum C BC, BD C intersectionea. Quod erat prae
INtersecent sese parabolae duae ABC, EDF in uerse positae, habentea
Laes parallelos: oportet G Sc H, puncta intersectionum exhibere construem . demonstratio. Ie EDF parabolet axis DB, Ac factum sit quod petitur:actaque per D linea AC
quς EDF parabolam contingat in D , ponatur per G dc H, puncta intersectionum recta GH, quae conueniet cum A C in puncto quovis I. si enim non conueniat , aequid istet AC. recta igitur GH m parabola EDF, ordinatim κα- ta est ad axom DB, adeoque de diametrum BD in parabola ABC ad angat secat rectos; de quia G H a BD, linea bissecta est , recta BD axis est parabolae AB C. quod est contra hypothesim. igitu HG non aequid istat AC, sed producta cum illa conuenit in puncto quovis I. ducatur ergo ex I recta I B, contingens parabolam ABC in puncto quo dam B quoniam ID recta est contingens, lineae 1 G, i I P, IH continuae sunt proportionales in parabola EDF : sed Zc eaedem quoquc sunt proportionalqs in parabola ABC, punctum igitur contactus B lineae
494쪽
F neae I B est in diametro . BD. Rursum erigatur ex A diameter AE occurrensa rara EDF parabolae in E: Sc IG rectae in R. ducaturque per E ex I, linea IF, occurrens parabolae E D F in V, & iungantur puncta C F. Quoniam A K D, rectae pa-ι --rallelae sunt, ut AI ad DI, sic EI est ad K I t sed ut AI ad DI, M AD est ad se. DC fouia I MID,IC proportionales sunt &vt EI ad K I, sic E K est ad K F. quia RI RI FI proportionales sunt; igitur Vr AD est ad DC, sia ΕΚ est ad KF, a.deo ue FC linea aequi distat KD: Vlterius per G & H , positis diametris LM,N O. producatur GH linea donec FC Occurrae in Q. Crit igitur o ADC r .., iactangulum adrectangulum ANC, ς sic BD linea ad liueam 1 Ni sed ut ADCtectangulum adrectangulum ANC, hoc est ut E KF rectangulum aὸ rectangulum EOI .l sic KD linea quoque est ad lineam Η Ο : igitur ut BD ad HN, sie KDest ad Oh idc permutando inuertendo Ut Κ D ad B D , se o H est ad II N, hoe est F G ad QC, hoc est MG ad GL, hoc est ER ad R A.
Componendo igitur, inuento axe D B parabola: EDF , cum data sint puncta D Z B. alia per B contingente BI , agatur Per D quoque contingens parabolam N DF in puncto D, secans ABC, in Α de C et con ueniet illa cum B I ut ostendi in puncto quouis Ir data igitur sunt puncta I, A, C. erigantur ergo ex Α & C, diametti AE, OF occurrentes parabolae E D F, in punctis E N F: ductaque ex I per E linea occurret illa rectet CF in F, tutostensum est & BD Iineae mi unde re S punctum quoque datum est. fiat igitur ut KD ad B D, sic E R ad R A, vel Finad OC dueaturque recta IR vel I patet per resolutiossem, in illa esse puncta interlectionum B M C. igitur exhibuimus, &c. Quod erat faciendum.
sto ABC parabolae axis BD,& ordinatim ad illum posita Λ per l, A vero dei cribatur parabola A E F cuius vertex sit A, & A C linea contingens; occurrat quoque AEF parabola, parabolae ABC in Ε, o portet E punctum intersectionis exhibere. . senstrumo in demonEratio.
Aetum sit quod petituri erectavae ex C diametera CH occurrat parabolae AEF in F , ducaturque F A, occurrens B D lineae in M: dein per E tectae ponantur AE H, I ΕΚ: 3c AE quidem occurrat FG in H, IK vero aequidistct axi B D. erit igitur ut AD Umectangulum ad rectangulum AK C, sie BD linea ad Iineam E K: sed ut A D C rectangulum ad rectangulum ΑΚ C, hoc est ut A MF rectangulum adrectangulum AI F,sic MG linea ad lineam I E. igitur ut B Dad ΕΚ. si e MG est ad IE, & permutando ut BD
ad M G, sic EK est ad IE, hoc est C Η est ad F H. Igitur per compositionem cum A C) 3 P i puneta.
495쪽
puncta BD, CG data sint, erigatur ex C diameter CF, occurrens AEuparabolae in F,erit Fquoque punςtum datum: ducatur dein recta FA occurrens BG lineae in M.erit de M punctum datum. ae proinde si fiat ur BD, ad MG, sic CΗ ad Hs, ducaturque recta ΑΗ , patet per resblutionem E punctum esse in linea AEI. exhibuimus ergo, &c. Rupil erat faciendum.
PROPOSITIO CL II. I tersecent se duaeparabolae A B C, A D C inversu positae, habentes
communes diametros B D , in punctis A & C: datumq; sit unum
punctorum C: oportet alterum ex bere. . ConLDuetioisilemon nratio. AGantur per B dc D puncta contingentes BR DRquae primo equidistenti duincaturque ipsi BE parallela CA, occurrens ABC parabolae in Α,&BD rectet in G: erit igitur AC linea in parabola A B C, ordinatim posita ad diametrum BD. adeoque in G diuisa bifariam. sed etiam AC aequidistat DF contingenti; igitur MAC in parabola ADC ad BD, ordinatim ducta est,& in G diuisa bifariam: igitur A punctum utrique parabolae est commune. Secundo concurrant in E contingentes per B & D actae: ducaturque recta E C. Occurrens BD diametro in H. Et ABC parabolae in A. erunt igitur proporti ' nales BA, E H, ECo sed eaedem quoque lineae sunt proportionales in parabola ADC, M H, G , C puncta data sunt i igitur & A punctum datum est, estque illud ADC parabolae commune. exhibuimus ergo alterum punctum occursus A. quoa fieri postulabatur.
496쪽
IIsdem positis, teme AL, A E secent - χ D H lineam in O de P. . QDico rectas E F, L M, GI, D H, B H, I
o H, P H in continua esse proportione. mmmatio. Quoniam NM aequalis est ostensa GI, at EF LM,Nu proportionales sunt,
erunt de EF, L M, GI lineae in dyatinua analogia r Se quia L M, GI, KI ξτο- Portionales siunt, & KIlineae aequalis linea DAEcontinuabui quoq; L M, GI; Dinrationem cum EF, I, M, GI: est autem praeterea ut G I ad DH,scDH ad BH. Proportionales igitur fune EF, L M, GI, D H BH. vlterius currisit ut G I ad KL sic VH ad O Η, sit autem ut G I ad K I, se Gi ad DH. x D u ad n Η, rea GI.DΗ, ΒΗ, O H continuaeproportionales sunt. terum eum OH sit aa pH, ut Lisaci NM, id est ex demonstratis LM ad GI,id est GI ad DH. e est D Had B H. boc est B H ad GH; erunt GI,DH, B H, GH, PH lineae, adeoque Omnes Eri L M, GI,D Η, B H, OH, PH in continua analogia. Quod erat demonstrandum.
497쪽
PROPOSITIO CL RHAbe ni ABC, AD E parabolae communem axem AF, positisque
ad illum ordinatim lineis F B D, G C E, iungantur A B, A D, B C, . DE ducanturq; HI,N O parallel FD,&Hi quidem secet parabolas in I & L, lineas AD, AB in Κ de M, recta vero No, occurrat DE, BC, lineis in P de R, paraboliι in Q de o. A Dico esse ut LM ad RQ, se IK
B F, id est ex dem stratis ΙΚ ad L M, Ac permutando vi IK ad. OΡ ,.sic LM ad R Quod erat demonstrandum.
s Arabola duae ad eundem axem Λ C constitutς communem habeant apicem At posita, ad axem ordinatim C DE, i ungantur AD, A E, de recta ducatur FK parallela CE, secans parabolas in I & Κ , rectas vero AD, Α Ε, in G & H. Dieo G F H rectangulum ad rectangulum IF K eam habere rationem, quam habet F G linea ad lineam CD. J Demonstratio.
o Atio rectanguli G F H ad IF K. re-m ctangulum composita est ex ration: FG ad FI, 8eexHFad FK: est autem ut F G ad FI, sic FI ad C D: & ut F Had FK, se FK ad CE; ratio igitur rectanguli GFH ad rectangulum I FK. . Composita est ex ratione FI ad C D, Mex F Κ ad CE: sed FK est ad CE, vesIest ad CDirectanguIum igitur GFH ad IF Κ rectanguIum duplicatam habet rationem eius quam habet linea F L
498쪽
. PROPOSITIO CLUII. Contingant se exterius in vertice, parabolae duae ABC, A DE, posi
tisque ex A secantibus Α E , AC, 82 contingente Areducantur quotcunque I K parallelae axi communi FAG. Dico IH rectangulum,esse ad rectangulum IH D, ut ΚHB rectangulum ad rectangulum K HB. Demonseratio. 7 Ectangulum IH D ad rectangulum
eius quam habet IH ad I H, id est A Had AH. sed & B HK rcctangulum ad rectangulum B ΗΚ, triplicatam habet rationem eius quam habet ΗΚ ad ΗΚ, id est AH ad AH r igitur ut B HK re ctannulum est ad rectangulum B H Κ, sic IH D rectangulum est ad rectangulum IH D. Quod erat demonstrandum.
Contingant se rursum exterius in vertice parabolae duae ΑΒ c, A ERad eundem axem G H constitutae, sumptoque in ABC perimetro tuncto quovis C ducantur ex C lineae C G, Cl secantes ABC para olam in B de Κ, te axem GH in G deI: dein ordinatim ponantur BreΚ M, I E, G F. Dico H B lineam ad lineam M K, duplicatam habere rationem eiusquam habet G F linea ad lineam I E. Demonstratio.
DVcatur ex Cordinatim linea CN. Quoniam tam N A, AI, AM Iineae quam NA, AG, ΑΗ ιι Minuae proportionales sunt & N A poma virique seriei communis, ratio AH ad A M, tertiae ad e tertiam , duplicata est ςius quam habet AG ad AI , secunda ad secundam: sed AH ad A M. duplicata quoque rationem habet B Had ΚΜι igitur B Hest ad ΚM, ut AG est ad AI: Ac HBad MK duplicatam habet rationem eius quam habet GP ad I E. Quod erat demonstrandum.
aequalis lateri recto; & per D parabola deserieta D E F aequalis
499쪽
43α PARABOLA. parabolae ABC apicem habeat D, obuetium apici parabolet ABC Maxem communem ἐν dein qua uis ducantur diametri EB, FG occurrentes parabolis in B,C,E,F punctis actae vero per Α & D, contingentes, diametros E B, FC secent in G, H, I, K. Dico EGB rectangulum esse ad rechannulum FI C, ut eth quadratum ED ad quadratum F D. Dexnonseratio.
Ponantur ordinatim lineae FL, EM. Quoniam AD linea, aequalis ponitur lateri recto. M EM, FLOrdinatim applicatae sunt, quadratum ED hoc est quadrata EM MD aequale in rectangulo DM A: & quadratum FD hoc est quadrata FL,LDὶ aequaIe rectangulo D L Aligitur ut ED quadratum ad quadratuvD, sic D MA rectangulum ad rectangulu D L A: sed D MA id est GEH, rectangulo aequale est rectangulum EG Ri x D LΑ aequatur F IC ; rectangulum igitur EG B ad FI C. tectangolum est ut quadratum EDad quadratum FD.
A D inuerse positae; ductisque ex Α & inor natim lineis A F, DC, iungantur puncta AC, F D , ducantur praeterea quo tuis B E parallelae A F occurrentes parabolis in B & E, rectis AC, F D in H & I, de axi A n in G. Dico quadratum B Rrectangulum B G E 6c quadratum C E in continua esse analogia. Demonstrat s. UT BG linea ad lineam GE.
sic quadratum B G est ad rectangulum BGE: sed etiam vel G ad G E. lic is G E rectangulum eth aa quadratum GE; igitur ut quadratum BG ad rectangulum BGE, sic BGE rectansulum est ad quadratum GE.Quod
Isidem positis: ἰDico A G D rectangulum ad rectangulum A G D, duplicatam ha- ationem eius quam habet BGE rectangulum ad rectangulu BGE. Demonstratio
D Atio AG D rectanguli ad rectangulum AGD composita est ex ratione Α Ο ad AG, &ex GD ad G D: ratio vero rectanguli BGE, ad BGE rectangulum, composita est ex ratione B G ad B G, & ex G E ad G Ei sed ratio A G ad A G. dupli-Diuili
500쪽
de plicata e rationis BG ad BG , ae miro GD ad GD, duplicata est rationis GE ad GE, ratio igitur rectanguli AGD ad rectangulum AGD, duplicata est eius quam habet BGE rectangulum ad rectangulum BGE. Quod erat demon
. Demonstratio. D Ectangulum ΚGL ad stansuldm BGE, rationem habet compositam ex RG ad BG , & ex GL ad GF r ω BGE rectangulum ad rectangulum FIGI, memerati hau compositam ex B G Ad H G, id est KG ad BG,&ex GE ad GD id est G L ad. E i tectapDὲ in igitur ΚGL est ad rectangulum BGE, ut BGErectangulum ad rect pst iam U GL Quod erat demonstrandum.
SInt rursum parabolae duae A B C, D E F i NAAC parabolae quidem
apex sit A, parabolae vero DE F sit apex D, in quo contingat axem A D in D i factisque A G, D H lineis aequalibus, agant ut per G& H, norin males ad A D, lineae L B, F C occurr tes parabolis in E, B,F,C. Dico EGR rectangulum ad rect ngulum FHC quint licatam h bere rationem eius quam habet G B linea ad lineam H C. Demonstratio. RAtio BGB rectanguli ad rectan.
gulum FΗC, composita est ex ratione EG ad F H, hoc est duplicaea GD, ad H D: id est AH ad AG. . cum AG , H D lineae aequales sint hoc est ex quadruplicata ratione G Bad ΗC, α ex ratione UB, ad ΗCrrectangulum igitur AGB ad FH Crediangulum quintuplicat inhabet rationem G B ad Hc.Quod suis demonstr--
PROPOSITIO CLXIV. Sit A B C parabola: axis AD, & AEF parabolae vertex Α, in quo illam
contingat linea AD, posivaque E GB ordinatim ad AD ducatur Naltera FDC, ut G B FD rectae aequales sint. Dico rationem EG ad DC quintuplicatam esse eius quam habet G B ad D C. Demonstratio. RAtio EG ad DC eomponitue
ex ratione EG ad F D, hoc est duplieata A G ad A D. hoc est quadruplicata rationis G B , ad DC, Vac ex