장음표시 사용
501쪽
N ex ratione GB. hoc est FD, adda gitui ex quintuplicata ratione G Bad DC.
SIt ad ABC parabolae diametrum A D ordinatim polita C D, describatur authra per A M C . parabola Α EC habens vertiuem in Λ πΑD, contingentem, iunctis Q A C ponantur ad AD, ordinatim linei: BG,EF. in Dico GFEreetangulum esse ad rectangulum G F E iiis, plinta ratione F B ad F B.
GF Ε, rectangulum sextupheatam habet rationemFBh ad FB. Quod erat demonstrandum.
Isdem os ira A in I Dieo EFB rectangulum ad rectangulum: F B quirit ii extant liabete ratione eius quam habet FB ad FB. l
. Demonstrario. - -- A M o igitur ΕFB rectanguli adiectangulum Esci . . quintuplicata est rationis FB ad F B.
PArabolam ABC cuius axis B in contingat iri B linea B E, in qua assumpto quovis puncto E demittatur E A. currens A B C parabolae in A. tum per A & B parabola describatur Α F B habens verticemin Α,o currens ABC parab'li in B. sit hue eius axis A Et ducatur autem K Hsecans A F B parabolam it F, axem B D in I.
TVncta AB secet HG li-μneam in 1,. Quoniam BD N aequi distat Hiametro A E , M IK ordinatim ad illam appli ' catui, rectangulo 1 ΚΙ b α-
dratum igitur FK aequase quoquae
502쪽
PARABOLA. M. quoque est rectangulo GK H.&GK, F Κ, ΗΚ lineae incontinua analogia. Quod
PROPOSITIO CLXVIII. Esto AB C D parallelogrammum . deseriptam per A & C, parabola
euius diameter sit A D, & contingens A B, describatur de altera per B & D, cuius diameter sit B C 5e contingens A B. occurrat autem parabolae AEC in E. deinde per A, E. Cpuncta tertia describatur parabola communes habens cum alijs diametros. Dico iunctas A C, B D, parabolam AEC contingere in Α&C.
A Gatur per E diametet E s secans DB lineam in G. vi F E ad A D,sic F B quadratum ad 3 quadratum A B, Mut FE Iinea , ad lineam BC, sic ΑF, quadratum ad quadratum AB: sunt autem AD, B C Iineae per hypothesim aequales , igitur & FB quadratum est ad quadratum AB, ut A F quadratu ad quadratu A B: quadrata igitur AF,FB aequalia sunt, de linea A B dupla A rivii AD dupla FG t quare F E etiam AC Iineae oeeurrit in G puncto, quo bifariam a D B, altera paralleIogrammi di metro secatur. Rursum quia AB quadratum quadruplum est quadrati FB, etsi de BC linea. quadrupla lineae FEs est autem AD id est BC, ostensa dupla FG. igitur FG dupla est FE.&FE, EG lineae aequales. unde B h linea est contin. gens, similiter ostenditur AC lineam. Parabolam ΑΕΒ contingere. Quod erat demonstrandum corollarium. - r tet A G, BD lineas. in illo puncto se intersecare, ubi E G est aequalis tectae FE: quod singulatim de explicaE annotare verbo placuit.
actae FFΙIsdem postis: oportet E punctiam intersectionis exhibere. Construma es demonstrario.
DIuisa AB bifariam in F, demittatur ex F diameter P EI, aequalis quatiet partilineae BCrdico E. terminum lineae FE. designare punctum intersectioiais. sit enim Epunctum intersectionis inuentum de per E diameter agatur EF, erit Es, ut in praecedenti propositione ostendimus, aequalis quartae parti lineae B C : igitur pereompositionem cum FB diameter detur aequalis quartae parti lineae BC, patet Epunctum esse intersectionis, &c. Quod erat exhibendum.
PROPOSITIO CLXX. Isdem positis dueatur quae uis diameter HI secans parabolas in Κ, in
Dico H H L, H M lineas in continua esse analogia.. iii a Demonia Disiti red by Gooste
503쪽
D Ecta HI secet BD lineam in Ν, re L AC in I. ut RHA rectangulum ad rectangulum BFΑ a sic HL linea est ad lineam FE id est EGI aevi AND rectangulum ad rectangulum e BGD, sic KN ad EG : est aute Bis Arectangulum adrectangulum B A. vi BN D rectangulum ad rectangulum BGD: igitur ve HL ad EG, siex ad EG: adeoque HI., KN aequales . sunt lincae; & dempta communi KL, manet H K aequalis L N. similiter osteditur INI linea aequalis lineae EI Li quare vi H M ad MI, sic H M est ad HI. sed vi H M ad M I sie d AI est ad I C, id est A H ad Η B; igitur vi H MadHL, sic AH ad HB, id . est HL ad LN. id est HL ad Η Κ proportionales igituWlunt H ΗΓ, Υ M. Quod fuit demonstrandum. . γ i j id
f Arabolam A BC cuius diameter An contingat in A linea Α E, de missa lex E, diametro EC, describatur per A & C parabola A FG cuius diameter sit A E & contingens ADt dein linea dbe, ut G H parallela Α Ε, secans AF C parabolam in F, & AC lineam in I puncto. per
quod diameter ponatur IBK, iunganturque BF, ΗΚ. υ :: Dico B F, H K lineas aequi distare. . Demonsiratis
Ponaturo C ordinatim ad diametrum ADtinea CDt ratio KB ad EC , duphcata test rationis KI ad AO similiter ratio H F ad CD, duplicata est rationis III ad
CD, id est ΑΚ ad AE, id est KI ad EC : igitur veKB ad EC, sic H F ad CD, de vi K B ad ΚΙ, siςHFad H L aequidistant igitur g F B, Η Κ tineae. Quod erit
PROPOSi Tlo 'CLXXII. PArabolam ABC cuius diameter A D,coinr
tingat in A linea A E, demissaq; diametro E B, quae ABC parabolae occurrat in B, ponatur ex Bordinatim linea BF: descriptaque per A & Η parabola 'A G B cuius diameter A Ix, Se contingens AD, ducatur ex A litiea AG occurrens AGB parabolae , & lineis BF, EB iri G, H, & I. Dico A G, A H,Α I, A C lineas esse continue, proportionales. Demonstratio. t QVomam EB aequidistat contingenti AD,M UR. diametro A E, vectae A G,h4M, AI continuae sitant
504쪽
rtoportionalessunt autem & A H, AI, ' AC lineae etiam in continuata ratione et igi- . riturAG. ΑΗ, ALAC eandem continuant analogiam. Quod erat demonstiandum. 1-1
PROPOSITIO C L X X III. Iisdem positis ponatur ordinatim C D.
Dieo AG ad A C triplicatam habere rationem eius quam habet BF ad CD. Demonseratio.
Quoniam Α G, Α H, AI, A C lineet per praecedentem continuat proportionales sunt, ratio AG ad A C h triplicata est eius cuius AH ad AC est duplicata: sed biaim vi AH ad AC, id est AF ad AI , rationem habet duplicatam BF ad CD a igi - ψε AG ad AC rationem habet triplicatam eius quam habet BF linea ad lineam CD. Quod erat demonstrandum.
PArabolam ABC cuius diameter AD contingat in Α linea Α E; positisq; ordinatim C D, F G, per p dc A parabola describatur A H Fcuius tangens AD, diameter AE: ductaque AF, ponatur AC , secans A H F parabolam in I, rectam F G in K puncto, ex quo erecta dia troKB, ducatur ordinatim linea B L, occutreas Α F lineae in M, rectae AC in N,¶bolae A H F in H. Diuo G D, F G, B L, M L, N L, H L Iineas in continua esse analogia. Demonstratio.
N Rigatur ex F diameter F E. Quoniam B L aequidi. Idistat diametro A D, rectae C D, F G, B L proportionaIes sunt i sed & F G, B L, ML quoque sunt proportionales , eandem igitur continuant rationem CD, FG, BL, ML. Rursum cum ratio NL MKG, id est ad B L, id est ratio ΑL ad AG, duplicata sit rationis B L ad F G, id est L M ad L B, rectae quoque B L. M LN L proportionales sunt. postremo quia FG linea ad lineam H L duplicatam habet rationem A Lad Α G, id est quadruphcatam L Rad GF, id est L B ead L M, lineae L H, L LM, LB,LF proportiona-
Ies sunt: igitur continuant eandem rationem lineae C D, F G, B L, M L, N L, H L. Quod erat demon- . arandum.
PROPOSITIO CLXXV. PArabolas a quales A B C, A DC, Ec
contingant in A lineae A E, A p aequales lateribus rectis, secent autem sese parabolae in C, 6c ex C ordinatim ducan fur CE, C F,demissisque ex A lineis ae-i qualibus.A B, A G ι quarum altera Α Β, quidem secet ABC parabolam in B, Disiligod by Gorale
505쪽
ducta, C E lineam in H. ducatur ex Bordinatim linea BI secans Α D C Parabolam in D, di per D ex A linea ducat iacΑ Κ occurrens E C in K. ' Dieo AD ad ΑΚ,duplicatam habere rationem eius quam habet A G ad A H. Demonstratro.
'veantur ex B & G punctis, diametri B L,GM, GN: ac B L,&GM quidem Moecurrant A F lineae in L Be M; G N vero, rectae A E in N. Quoniam tam ABC, A D C parabolae, quam Α Β, Α G lineae aequales sunt,erit L B linea quoque aequali
GN, & IB aequalis Ma Rursum ratio LB ad FC, id est AI ad Α E i id est AD ad AK duplicata est rationis I B ad EC , id est Mo ad EC i sed ve M Gad EC, sic AN ad ΑΕ nam A L id est IB aequalis est rectet AN, & EC ipsi ε-Α Ε, est aequalis hoc est A G ad A re igitur ratio A D ad Α Κ, duplieata est eiusquam habet AG ad ΑΗ. Quod erat demonstrandum.
PArabolas aequales A B C, A D C communem habentes verticem Coninoingant in A lineae A E, Α F, secentque sese inuicem parabolae in C; quo ductis ordinatim lineis CE, CF, deseribatur per A parabola AH Gbabens verticem in Α, & contingentem Α Ε, occurrens autem AD CP rabolae in G. iunctisque punctis AC, A G, erigatur ex G diameter GMsecans AC lineam in M, puncto per quod ordinatim ducatur linea IK secans parabolas in B, H, D, lineam AG in L. Dico rationem IH ad I B triplicatam esse eius, cuius I L ad IM, Eabet duplicatam. Demoinratio.
506쪽
triplicata, est rationis IN ad IL, secunde ad secundam, cuius I L ad I M, tertia ad tertiana, rationem x habet dupheatani. Quod eta demoststiandum.
Itidem positi :agatur per G ordinatim os.' HI s soli Iriss Dico I D d I H, rationem habere triplicitam eius quam habret H
Um enim IN media sit inter ID & IL, rectae ID, IN, IL,ς III, GP propo ei 4., a tionales sunt, quare ID ad I H, prima ad quartam, triplicatam habet rationem IH ad 4 GP, quartae ad quintam. Quod etat primum. Rursum cum ΙL media sit d xr. D. . inter ID, IM, rectat L ID, IL, IM,IB , IK id est CF continuae proportionales sunt. quare ID ad I B , prima ad quartam, triplicatam habet rationem eius quam . Eis i. habet I B ad CP, quarta ad quintam. Quod erat demonstrandum.
i P. PROPOSITIO i CL XXV III. TIsdem positis agantur per Q dc B diametri T V,RSoccurrentes ADCIparabolae in V & S, Se ΑΕ lineae in T dc R.
Dico rationem ID ad G P, octu plicatam esse rationis R S ad T U. :ν Demonstratio. F se enim ratio ID ad GP, duplicata rationis . A1 ad AP, id est RB ad Τ χΙεκε. -
id est quadrupIicata eius quam habet R A ad T A. sed ratio RA ad Τ A, duplieata est rationis RS ad. TV, cum ordinatim sint positς ad A Ei igitur ratio ID ad GP, octuplicata est rationis Rs ad TU. Quod erat ostendendum.
507쪽
PArabolas ΑΒ C ADC communem' bentes verzi em, contio garin Alineae A E, Ap, secent autem sele parabolae in C puncto, ex uia ordinatim ponantur lineae C LCF: assuinptoque in A F puncto qhmia ita, ducatur ex G ordinat in linea G D, secans AB C, Α D C parabolas ii B & in mam perodianintro H, quae ABC parabolaeoccurrarici H ducatur per H ordinatim linea I Κ, secans A F lineam in I. Dico G B ad G D quia ruplicatam habere rationem eius quam habe IH ad I K. Demostratio. R Atio G B ad I H, id est GD duplicata est
rationis AG ad ΑΙ1 sed AG ad A I. dis. plicatam habet rationem GD ad I κ . id est III ad IK , ratio igitur GB ad GD, quadruplicata est rationis IH ad I K. Quod erat
PRoducta H D donec A E lineae occurrat in L, demittantur ex B &K diametri BM, KN occurrentes A E lineae in M, & N, & B M quidem A D C parabolae in o. Dico rationem O M ad D L, quadruplicatam esse rationis D Lad Κ N. Demonstratio.
Est enim ratio OMad DL duplieata rationis A M ad ΑL, id est GB ad IH id est quadruplieata rationis AG ad AI, id est L D ad NK. Quod erat domonstrandum. I
PArabola Λ BC euius axis B D contingat in B linea B E,in qua assumpto quovis puncto E, demittatur ex E diameter E Α: descripta deinde per A & B parabola B F A cuius axis B E, dc contingens B D, ducatur ad B D quae uis ordinatim linea H C, occarrens parabolis in C, F, H; &B D, B Α , E A lineis in D, i, G. Dico H tectangulum, aequati rectangulo G DI F.
D Ectangulum GDI , aequale est quadrato H D r sed H D quadratum aequale est quadrato ID, id est biectangulo F D B , una cum rectangulo HIC, rectangulam igitur GDI, aeqtiale est rectangulis F D G, HIC. est autem idem GDI restan- gulum, aequale quoque rectangulis FDG, GDIFr rectangula igitur FD G, HIC , aequalia fiant rectangulis FDO, GD IF. dempto igitur communi rectangulo F D G, manet HIC rectataulum ἀ- quale rectangulo G DIF. Quod erat demonstrandum.
508쪽
BD contingat in B, .linea BE,descriptat per B parabola FBG, cuius diameter B E,& contingens BD, ducatur linea quaecunq; FC, occurrens
parabolis in A, & G, F, C, diametris vero in E & D. Dico A EC rectangulum, aequari rectangulo G D F. Demonstratis.
QVoniam E B linea contingens est, rectae A E DE, , CE proportionales Sut, indeoque A E C rectangulum aequale qua- et drato E D: sed E D quadrato aequale est . IM . , rectangulum GD F, rectangulum igitur REC aequale est rectangulo G D F. Quod .
pROPOSITIO CLXXXIII. . IIsdem positis: oecurrant sibi parabolae duae A B C, C B H in C. iuncta
que B ponatur in .Α B Cparabola ordinatim ad B D, linea A D F,o currens recth B C in G: & per G tecta agatur H I parallela B D , occut rens diametro B L in E. Dico lG H rectangulum esse ad rectangulum F G Α, ut quadratum I Ead quadr tum F D. Demon tratis.
Donantur ex C ordinatim ad diametros BD, BE , line
CK,CL. quoniam BC, BG parallelogramma communem hahent uiametralem BGC , ut
CL ad GE , sic KC est ad GD i sed ve CL ad GE, sic
IE quadratum est ad E quadratum GE,&ut CK linea ad lineam G D se F D quadratum est ad quadratum G D: igitur ut IE quadratum ad quadrgium GE, sic FD quadratum est ad quadratum G D, NI permuta do ut IE quadratum ad quadra-- - -- Atum FD, sic quadratum G Ead uadratum G D. est autem quadratum I E aequale quadrato G F.,Vua cum rectangulo I G Hi&Fh quadratum aequale quadrato G D, una cum rectangulo F G A: igitur & IG H rectangulum est ad rectanguluni F G A ut Isi quadratum ad quadratum FD.Quod erat demonstrandum.
509쪽
PROPOSITIO CLXXXIV. TIsdem positis, producta
Linea G H, occurrat C K lineae in M,& Α F producta lineae L C in N Dico IM H rectangulis esse ad rectangulum F N A. vi I G H rectangulum est ad rectangulum F G A. Demonnsatio.
O Stensu est praecedenti propositione, quadratum K Cad CL, eandem habere rationem quam D G quadratum ad quadratum G E, ac proinde,quaqua aratu DB aci 151,quaaratum: Iz quaaratu In I C hoc est D N aequatur DF quadrato, una eum rectangulo FN A; similiterquadratum CL hoc est EM , aequaIeest quadrato EI, una cum rectangulo ΙM Ηι cum igitur sit quadratum E Mad DN, sicut quadr tum EI ad D F, rectangulum quoque I VH est ad rectangulum FN A, ut quadratum EI ad DF quadratum, hoc est per praecedentem ut rectangulum I GH ad FGA rectangulum. quod oportuit demonstrare.
PROPOSITIO CLXXXV. Esto A B C parabolae axis C D, aequalis lateri recto, actahue per D o
dinatim linea D A, producatur in B, ut A D, D E lineae aequales sint iunganturque A C, EC: dein per C & E parabola describatur C FE habens verticem in C & contin-ntem C D; ducantur i, B G paralleIς A in occurrentes parabolis in B Ac F, & iungantur B C. Dico esse ut quadratum BC, ad quadratum B C, sic Κ F lineam ad li- m
Demonstratis.c Rigatur ex A diameter AI C oecurrens B G lineis in I. quadratum CB aequale est quadratis B G, C Gr est autem it quadratum BG aequale rectangulo RGI, de quadrato CGς siue GH, eum CD, DE adeoque & C G , GAlineae aequentur aequale est recta-gulum FGI i quadratum igitur BC aequale est rectangulis FGI, Κ GI; hoc est rectangulo 1 GK F: ed I GKF rectangulum est ad rectangulum I G KR Vx FK iiDς3 R imo. . quadratum igitur CB est ad quadratum CB, ut KF linea est ad lineam ΚF.Quod
PROPOSITIO CLXXX UL G id G B.tii olicatam habere rationem eius quam habet si a
510쪽
QVomam tam AD, , B G, KG quam DE, FGH, GF proportionaIes sunt,&AD prima, aequalis prina ae DE, ratio ΚG ad GF,e duplicata est rationis BG bεγι, iis,. ad GH, id est BG ad K G. cum enim AD, DC 4 linea: a quales sint, aequantur Retiam KG, GC. est autem ratio FG ad G B, composita ex ratione FG afl GK, '' id est ex duplicata ratione KG ad GH, hoc est BG ad AD, seum AD, B G, d sauim. Κ G, proportionales sint in & ex ratione Κ G ad G B id est iterum MI ad A D. igitur FG ad G B, triDlicatam habet eius quam habet GA linea ad lineam A D. Quod suit demo nstramlum.
p Ropo SITIO CLXXXVII. IN tersecent iterum sese parabolae duae A BC, CR. D in punctis B, C,
habentes communes diametros FG, HKL, DA quas in M N No se-
Dico I M ad M K eandem habere rationem quam habet D N ad N A. Demonstratio.
ad n G, sie HI ad KL. est autemve FB ad BG, sc HM ad ML; igitur ut HI ad KL, sic HM ad ML: unde& ΙΜ s est ad Mia, v
PROPOSITIO CLXXXVI M. Esto ABC par bolae diameter A D quam in D secet ordinatim linea
DC et dein per D parabola describatur D B, habens AD contingentem 5e diametrum D C Sc commune cum altera sectione latus rectum E. occurrat autem D B parabola, parabolae Α Β C in B,& ordinatim ducatur linea BF. Dico AF lineam ad lineam FB, rationem habere duplicatam eius:
quam habet FB ad FD. , Demonstratio.
Ponatur BGarquidistans A D. Quoniam igitur E latus 3 .ctumvirique sectioni commune est,& FB, BG ordinatim positae, erunt tam E, F B, AF lineae, quam E, BG, id est FD, & DG proporticinales. unde cum E prima lit Communi , ratio ς AF ad D id est ad FB, duplieata est rationis FB ad BG id est ad FD. Quod fuit demonstran- A