P. Gregorii a S.to P. Vincentio Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni decem libris comprehensum

511쪽

a Corollarium. TFInc sequitur AP ad F D, rationem triplicatam eius esse rationis, 'hae est intel AAF & FD. est enim ratio AF ad F D, coinposita ex ratiotie AF ad FB hoc est duplicata B F ad PD,& ex ratione B Fad FD;hoc est triplicata AF ad PD

PROPOSITIO CLXXXIX.

HAbeant Ab C, D EF parabolae ad eundem axem coaestitutae, commune latus rectum H. assumptoq; in axe puncto quovis G, ex ecordinatim ducatur linea GCF, describaturq; per G parabola, habens axem G C, occurrens parabolis ABC, DEF in B & E punctis; ex quibus ordinatim demittantur lineae BI, E Κ.oico rationem lΑ ad K D, quadruplicatam esse rationis G I ad G K. Demonstratis.

Ducta enim ex E linea E L parat. tela GD, occurrente ABC p rabolae in L, demittatur ex L ad diametrum GD, ordinatim lineη LMerit igitur quadratum LM aequale quadrato ER, unde & rectanguIuir sub H & M A, aequale est rectangu Io sub H de KD , adeoque de M Alinea aequalis ΚDis est igitur ratio Isad ΚD. siue ad ΜΑ, duplicata rationis I Bad L M, siue ad ΕΚ. est autem ratio I B ad ΕΚ, duplicata rationis G I ad G K, ratio igitur I A ad KD, quadrupli cata est rationis eius, quam habet GI ad GK. Quod fuit demonstrandum.

PROPOSIT O CXC. IN tersecent sese inuicem in i parabolae duae ABC, D E F parallelos lia

bentes axes B G, E H. actaque per I diametro, ducantur ordinatim reac

Dico NOM rectangulum esse ad rectangulum P OO, ut CK A rectangulum ad rectangulum D K F. Demonstratio. UT MI est ad I Κ, sic N Oli

rectagulum est ad tectan

rectangusum DK F. igitur vΝ ΟΜ rectangulum adrectangulum C ΚΑ, sic Prectangulum est ad rectangulu D K . dc permutando, ΝΟΜ est a rectangulum QO P vi rectangulum C ΚΑ ad rectangulum DK F. Quod fuit

monstrandum.

512쪽

pROPOSITIO CXCt. Iisdem positis: si A B C, D E F parabolae eandem habuerint altitudinem .

& communem contingentem B E.

. Dico NOM rectangulum esse ad rectangulum P Oavt BR qi dratum ad quadratum RE. Demonstratio.

Q linea RI ad lineam o I, si e B R quadratum ad rectangulum NOM; 8ea ris. ve R I ad O I, sic RE quadratum ad rectangulum Q o P; igitur ve B R qua.dratum ad NOM rectangulum sic quadratum RE ad rectangulum P Sin, depcirmurando ut quadratum BR ad quadratum RE , sic No M tectangulum ad rectangulum QOP. Quod fuit demonstrandum. Grasiarium. Talne patet etiam rectangulum A XC ect ad rectangulum DKF, vis R UM

A-- dratum ad quadratum RE.

PROPOst Tio CXCII. Esto ABC p rabolae ixis A D ductaque ordinatim C D. sumatur in

axe quae uis recta D E & per E describatur parabola cuius axis sit E A, secans parabolam ABC in B, 6c CD lineam in G, facta 3 ΑΚ quali D E , ducantur Κl ordinatim ad A E in parabola EGd , 5e g Fordinatim ad A B C. Dico CD quadratum esse ad quadratum AI Κ, ut E F linea ad F A. Demonstratio.

SIt ABC parabolae latus rectum L, & parabolae EG B latus rectum M. quadratum CD aequale est rectangulo D A L. 8e quadratum IK aequale rectangulo ΚEM, est autem A D linea aequalis Κ E,quit AK , ED aequales ponunturo quadratum igitur CD est ad IK quadratum, ut L. ad M. Rursum quia quadrato B F tam est aequale rectangulum F A L quam F EM; rectangula quoque FAL.FEΜ aequalia sunt. igitur

vi AF ad FE, sic M ad L. ted ut M ad L, siei K quadratum est ad CD quadratum, igitur ut ΑΗ ad F E , sic IK quadratum est ad quadra

SIt ABC parabolae axis AD aequalis lateri recto centroque A inter

513쪽

Demonstratio.

proportionales sunt, igitur de AF, AE, DF Cara dem continuant rationem. . Quod erat demoria rari ἀ

it ad A BC parabolae axem BD, ordiria-- tim applicata AC; actaque per B contingente B E, quae erectae ex A diametro, occurrat in E , describatur per ΑΒ parabola A F B, cuius axis A Ei centroq; D interuallo AD, circulus describatur A G C quem in G, secet recta quaedam HG, aequid istaci saxi BD, occurrens ABC parabolae in re & A C.lineae in I: denique per Hponatur KF parallila E B, occurrens A F B parabolae in F Δρ A E in K. Dico G I, FΚliii eas esse inter se aequales. Demonstratis.

PRoducta BD, occurrat circulo in L e ut ΑΚ ad AE, id est HI ad BD: sic FK quadratum est ad quadratum B E 2 sed etiam ut HI ad BD. sic bΑIC rectangulum est ad rectangulum ADC, id est IG quadratum ad quadratum D L; igitur ut quadratum F Κadqu dratum BE . sic IG quadratum ad quadratum D L, id est A D, id est ΕΒ. qua-ro sG, FK, quadrata adeoque M lineae in

ter se aequantur.

PROPOSITIO CXCV. SVper ABC parabolae axe A B aequali lateri recto, circulus describaturA E B, quem in E secent utcunque ordinatim posius G F, ad axem p rabolae. iunganturque A E. Dico Α E, G F lineas aequari. A .Demonstratio.QVoniam AB , lateri recto

aequalis est, quadratumFG aequatur rectangulo GAB, sed& GAB rectangulo aequale quoque est quadratum ΑΕ, quia AGE angulus rectus est, quadrata igitur A E, F G adeoque & lineae inter se aequant sir. Quod erat demonstrandum.

. e. . . . . l

514쪽

PROPOSITIO CXCVI.

Isdem positis, iungantur F B. Dico F B quadratum aequari quadratis A G, G E, G B simul sumptis. Demonseratis.

'vadratum FB, aequale est quadratis BG, GF. sed FG quadratum aequale est equadrato A E, id est quadratis Α G, GE, quadratum igitur FB aequale est quadratis A G, GRGB. Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO CXCVII.

Isdem positis: occurrat F G linea diametris D H, C Κ. in H & K. Dico H FΚ rectangulum aequari rectangulo A B G. Demonstratio.

QVadratum H G aequale est

quadrato F G,una cum rectan

gulo H FK i est autem quadrato at H G siue BD, aequale quadratum A B, cum AB aequalis ponatur lateri tecto)igitur Se quadratum ΑΒ, Qquale est quadraro Fauna cu re- ectangulo H F K. sed AB quadrarum quoque est aequale rectangulis G AB , GBA, id est v quadrato G Funa eutri in rectangulo GBA, quadratum igitur F G una cum rectangulo G ΒΑ, aequale est quadrato FG eum rectangulo H FK: dempto igitur communi quadrato F G, residua rectangula ΑΒ G, H F Κ sunt inter se aequalia. Quod erat demonstrandum. Corolgarium. H dictis patet FEM rectangulum aequari quadrato A G. nam FEM rectangulum una cum quadrato EG , aequatur quadrato FG, id est A E, id est quadratis A G, GE i dempto igitur communi quadrato GE, manet FEM rectangulum aequale quadrato A G.

PROPOSITIO CXCVIII. Iisdem positis: occurrat F B, eirculo in L. Dico BFL rectangulo, aequari quadratum A G.

Demonstratis. DFL rectangulum aequale est tectangulo NFE, idest ΜEp. sede M EF rectau- ς -ο- gulo aequale est quadratum AG; igitur de tectangulo BFL aequale est quadra- η - ' tum A G. Quod erat demonstrandum.

515쪽

SIt A B axis parabolae ABC lateri recto, semiaptisq; A F, BG aequalibus, ponantur ordinatim ad axem rectae F D,G E. Dico iunctas BD, B E esse inter se aequales.

r AB describatur circulus occurrens s D, GElineis in I & K. quoniam ΑΗ , B G lines aequales sunt,dc FI, G K normales ad axem A B, recta: FI, G γ item A G, BF inter se aequales sunt : est autem quadratum B D aequale quadratis A s, FI, F B , & BE quadratum aequale quadratis BG,GK,G A , quadratum igitur BD aequale est quadrato B E, & B D linea aequalis B E.Quod erat demonstrandum.

PROPOSITIO CC. IIsdem positis, ducatur ex H centro circuli Al B , recta H ML, parallela F D; iunganturque B L. Dico BL lineam breuissimam esse omnium quae ex B ad peripheriam parabolae duci possunt. Demonstratio.

Ponatur qu quis alia B D, Ac ordinatim D F; erix igitur quadratum B L, aequale quadratis A H, H M, H B: 3t B D quadratum aequale quadratis A F, FI, F B, quia vero AH,HM, ΗΒ semidiametri sunt, quadrata illarum minora sunt quadratis A F, FI, FB sui facile ex elementis ostenditur igitur & suadratum B L minus est quadrato BD. M BD linea omnium breuissima, quet ex B ad peripheriam duci possulit. Quoderat demonstrandum.

PROPOSITIO CCI. Esto se per ABC parabolet axi B D aequali lateri recto descriptus semicirculus B l D, quem in i secent quaecunque ordinatim ad axem positς F G E, actati per D ordinatim AC, ducatur AB , occurrens E F lineis in H. Dico rectangulo FH E aequari GI quadratum. Demonstratio.QVoniam axis B D aequalis p

nitur lateri recto, & AD ordinatim applicata, rectae AD, h BD adeoque de H G, G B inter se aequales sunt. quia vero EF Iianea in G diuisa est bifariam de non

Vna cum ς quadrato H G , id est BG, equale est Aiadrato EG. sed EG quadratum est aequale rectangulo 4 G BD.

517쪽

4so p ARABO L A. PROPOSITIO GGI v. PArabolam ABC subtendat tecta AC normalis ad diametrum E D

super AG vero ut axe deseribatur semiellipsis vel semicirculus AriGC occurrens parabolae in F 8d c, vel eandem contingens in B, desciaturque FI parallela ipsi A C, & ID lineae ponantur aequi distantes Eoccurrentes parabolae in L ellipsi vel semicirculo in H , FI lineae in I, α ipsi AC in D. iDico D E, DIAE DI lineas esse continuo proportionales, DemonstratIo. D Smittatur ex F diameter FK, secans AC Iineam in K. vi AK C rectangulum ad rectangia iam

ADC, se FK est ad, ED, sed ut AK C tectangulum adrectangulum ADC, si FK quadratum quoque est ad quadratum H D, rgitur ut F K linea est ad lineam E D, sic quadratum F K est ad quadratum H D . recta igitur F K id est I D,ad E D,

duplicatam habet rationem eius, quam habee ID adHDr quare DE , DEI, DI lineae in continua sunt analogia. Quod erat da monitiandum.

Λ ΛΑnente secunda figura, ducatur BC, occurrens In lineis in LL,1V1 Dieo i E ad Ε D, duplicatam habere rationem eius quam habet I L ad H D. Demonstratio.

hεν. -ι. voniam tam ID, b IL, IE lineae, quam ID. WH D, ED in continua sente x na logia, & ID prima utrique seriei est communis , ratio IE ad ED, tertiae, ad tertiam, ε duplicata est rationis IL ad H D, secundae adsecundam. Quod erat

demonstrandum.

518쪽

IN semicirculo ABC decussent sese orthogonaliter in D diametri duae A C B D,quarum altera B D bifariam in E diuisa,deseribatur per Α, Ε, C parabola, cuius axis E D, ductas diametro F si, quae semicirculo occurrat in H; ponatur H C. .... is dDieo FG ad G C duplicatam habere ratione ius, quam habet si G

ri portionales sunt: igitur FG ad G C, tertia ad tertiam , duplicatam d habet με τω onem eius, quam habet HG ad IIC, secunda ad secundam. Quod erae de- 2:m arandum. 4 4 ,ν.

PROPOSITIO CCVIII. ναι.

519쪽

s PARABOLA. H C: dc G F quidem p;rabolae D Z F, occurrat in F, H C vero parabolae ABC in C , erectisque ex C & F, diametris quae FG, C H lineis occuserant in G, &H, ducatur quae uis IK, parallela FG, secans parabolas 1n B de E, rectas C G ,.HF in I & K , axem AD in L. dein stuper A D ut diametro, describatur semicirculus AMD, occurrens IK lineae in M. Dico IL M rectangulum aequiri rectangulo E L B.

/ l lo quoque est aequale rectanguac ra H lum ADM L, id est ILM; rei iactangula igitur IL M, BLE aequalia sunt.

isdem postis: a Dico recta FI Dico rectangulum ILB M aequari rectangulo B LE Κ.

Iisdem positis quae prius: sat BGE rectangulo aequale rectangulum H Gl: dc per Α,l,Dpuncta ellipsis describatur, cuius axis sit A D. ducaturque recta quaevis L Κ parallela B Ε, occurrens parabolis in Κ & L. mi Α D in M, ellipsi in N, diametro CH in o. Dico Κ M L rectangulum aequari rectangulo o M N. -- ρής - F Demonseratio. F

Voniam ΑDaxis est ellipseos, γε--- N ad illam ordinatim ponim- i γ tur IG, MN, ut IGς quadratumo --.-- - T ad quadratum NM , se AGD tectangulum est ad rectangulum

hi habet duplicatam, I Gad N M. M id est tectanguli HGI ad , rectangulum o M Ne & quia ratio rectanguli A GD, ad A M D rectangulum, composta est ex ratione AG ad e ΑΜ, id est ex duplieata pratione BG ad ΚΜ. &ex GD ad MD, id est ex duplicata ratione GE ad ML. ratio AG D rectansuli aἀAM D tectangulum quoque duplicata est eius, quam habet BGE rectangulum ad

520쪽

rectangulum ΚM L. igitur vi HGΙ rectangulum, ad rectangulum OMN , sic BGE rectangulum ait rectangulum Κ ML: &pe mutando MAGI rectangulum ad rectangulum B G E, sic OM N rectangulum est ad rectangulum LML: sed HGI, BGE rectangula per hypothesim aequalia sunt,igitur de OMN, K ML rectangula inter se aequantur. Quod e M demonstνm,dum.

PROPOSITI O CCXI. thogonaliter diametri duae A C, B D: SEcent ABC semicirculum ori

descriptam per Α, b,C,paxabollieitius axis B D,ducantur rectae quot cunque EF, parallelae AC, octurientes circulo in E&F, parabolet in c&H, axi vero in l. I

Ium G ΚH. residuum isitur EGF rectangulum, est adrectangulum E GF, v