장음표시 사용
521쪽
.: Emicirculum A BC, cuius' diameter AC, D m n, A ocontingat in A linea A D; descriptaque per A parabola, cuius axis AC, & contingens AD, Jm K sumatur A E aequalis lateri recto; actaque per Ez- rsu ordinatim F. F, ducatur in palabola diametet ii quaecunq; D G occurrens cire o in B & G,pM J : tabolae in id,& FE ordinatim positae in I. si Dico BDG rectangulum , aequari rectan-
V su-- T veatur petH ordinatim linea Η Κ:Quoniam AD . - . Imea in A circulu contingit, rectangulum BD Gaequale est, quadrato AD, id est quadrato Η Κ r sed - & H quadratum est aequalet, rictangulo K AD; irest IIDI quia A E per hypothesim aequalis est lateri recto rectanguIum igitur BDG aequale est rectangulo HDI. .Quod erat demonstrandum.
PArabolas duas A B C.D B E ad eundem axem B F positas, & contin-. gentes sese interius in B vertice secet in H de Α diameter quaecumque G H, iuqctisque Α B,H B ducatur ordinarim linea I K , secans parabolas ini Κ, L, & M, rectas. A B, H B, A H in G, N, O, M axem B F
Dico I L Κ rectangulum aequari rectangulo G PN Ο., Memonstratio.
le rectangulis GPO, GPNo. dempto igitur eommuni rectangulo GPo, manet ILK rectangulum aequale rectangulo GPNO. Quod erat demonstrandum.
PROPOsITIO CCXV. DAtam lineam AB diuisiam in C, E, I, D, denuo ita partiri in E ut rectangulum A E C sit ad rectangulum B E D sicut quadratum AEC quadratum DB.
. constructio. D Ectis A C, BD bisectis in L E L erige perpendidulares L 1,N K aequales inter& per puncta A, I, C. & D, Κ, B. describantur parabolae N Κ, sibi mutuo occurrentes in G. Tum ex G duae GE normales ad AB. Dico factum.
522쪽
rvnge puncta I, Kι &EG produ--eum O. per G duc FΜPH parallelam ad KB MI K. Quoniam tam IL, E. ΚN, quisna I K., FH sunt parat erς, erit quadresu IO ad quadratum Ο Κ ut quadratum M G ad PG quadratum hoc est ut FG quadratum ad G H quadrarumdeinde a AC quadratum est ad quadratum FG ut L I ad ML hoc est ut N Κ ad P K , hoc est ut quadratum DB ad quadratum G H. ergo permutatim AC quadratum est adquadratum . DB, vi quadratum vG ad quadratum GH, hoc est sicut ante ostendi) ut quadra-- tum IO ad quadratum OK. Atqui h rectangulum A E C est ad rectangulu BED ut quadratum Io ad quadratum OK, Ergo etiam rectangulum AEC est ad rectangulum B ED ut quadratum A C ad quadratam DB. Factum igitur est quod
DAtam rectam AB diuisam in C, iterum secare in D, ut rectangulum B D C aequale sit quadrato D A.
C E, ita C E ad F E. deinde A Fetiam biseca in D. Dico factum quod petitur. Ex punctis E ac D erige noris males, quarum una EG sit magnitudinis placitς, altera D H infinita. Deinde per puncta C, G, B, describatur parabola axem habens EGMoccurrens ipsi DH in H. Rursemper puncta Au F deseripta intelligatur parabola axem habens DEI. poterunt autem YG, DII axes effe
parabolarum, cum ambae ex Construis .
ctione rectas CB, F A ad angulos rectos bifariam secent. Quoniam igitur exeonstriactione AE, CE, FE lant con tinuae, colligitur ex in . huius parabolam ΑΗ F transire per G verticem alteritis parabolς Ergo per eandem illam propositionem BD, FD, CD sunt continuae. sed FD, AD aequales sunt ex constructione , ergo BD, DA, CD sunt continuino go rectangulum BD C aequatur quadrato DA. Quod erat faciendum.
523쪽
PROPOSITIO C C X V II. Sint duae parabolae aequales ABG, BCD ad axes parallelos constitua
tae E B, C F, per apices mutuos transeuntes; ex But ordinatim ducta BF.
Oporteat G H parallelam BF ponere, quet diuidatur a recta B E, secundum datam rationem I ad K.
Conininio es demonΠωτι . ..IT Iuniatur BD linea secundum rationem quadrati I, ad Κ quadratum , inpun--secto L: erigatur deinde L H, quae aequidistet axi CF, occurratq- stetioni in H. Scper H ponatur GH parallela BD, secans BE in puncto M. Dico rectam GP esse sectam in M, secundum rationem I ad K: erigatur ex D parallela ad FE -- currens ipsi Go in P. moniam rectangulum H MO aequatur a quadrato MN. erunt MΗ, MN,ΜO continuae. Ergo quadratum ΜΗ ad quadratum MN. ut M H ad MO, hoe est ut M H ad ΗΡ, hoe est ut BL ad LD , hoc eth ut qua Pdratum Κ ad quadratum I: sed quadratum MN aequatur quadrato GΜ; ergo quam dratum M H est ad quadratum G M ut quadratum K ad I. N inuertendo ergo G Μ est ad rectam MΗ virecta I ad K. posuimus igitur, Scc. Quod erat facien
524쪽
467SEcent ABC parabolam diametri duae aequales BD, EF: posuisque per D & F, ordinatim lineis A C, G H, iungantur AB GEH. Di eo A B C, G E H triangula esse inter se aequalia.
Demonstratis. unctis, G, C; ponatur Α H lineri, 'spaagi in K & I secent demissae i P.
gantur A P L , H Retu. quoniani ι . In coiigitur aequales sunt diametri BD, EF, de ADC, GFH ad iIlas ordinarim positae, iuncteta CG, AH siue IK aequidastant : sed & GK, CI diametri parallelet sunt, pa. tallelograminum igitur est G CI Κ, ω GK, Cy lineae aequales. est autem ut GK ad I si sic ΑΚ Η rectangulum ad b rectangulum AI H, rectangula igitur Α K H, AI Hae qi alia sunt; ideo' le&ς aeqxialc lineς AK, HI, quia vero est ut AK ad KI, fiem ad ML, M ut HI ad IK sic H O ad ON, igitur ut A M. ad ML, sic HOai: ON: aequales a 'tem sunt linea: NO, MI, quia o ML, H ON otthosonales sutit e constructio'le, ad G M, GL, aequidistantes , adeoque Mo tiarallesogram-- st) tectae igitur AM, H O, adeoque totae AL, EN aequales siunt: sed & P in
R S per constructionem amuales sunt, triangula igitur ΑPL, N R H id est' Α BC GEH aequalia sunt. Quod erat,demonstrandum. Esthcc Archimedis, aliter demonstrata.
conuenientes in D. secetb; illas in G & H recta quaedam EF, contingens quoque parabolam oin B occurrens A E, CF diametris in E & F; demittamur .autem ex G & H diametri GI, δε iH Κ, occurrentes RG in l&K. Dico rectam I Κ, dimidium esse A ta
525쪽
demonstrandum. γ Voniam ΑG,B G sectionem ta- tingunt, recta EG qualis est GB r similiter &BH aequalis HRGH igitur dimidium est totius EF. sed cum AE, CF, GI, HK aequissistent, erit AC in I Sc K, diuisa, ut
GEF diuisa est in G& H ; igitur de 1K dimidium est A C. Quod erat
isdem positis, ponatur per B diameter L M. Dico esse ut G B ad B H, si e L B ad B M. Demonstratια
Uoniam A L est eontingens, L B est ad BM, v tb AM ad MC, hoe est EB dad BF: sed vi EB ad BF. sie G B est ad ΒΗ, igitur ut G Bad B H, sic LBest ad BAI. Quod erat demonstζandum. ΔΙ, .
PROPOSITIO CCXXI. EAdem manente figura, ducantur rectae M G, M H. et Dico M D esse parallelogrammum.
Demonstratio. ΤESi enim ue ΗΒ ad BG , sic ΜΒ ad B L; per praecedentem M permutando ut HB ad HB, sic GB ad BL: sunt autem anguli ad B lateribus proportlonalibus contenti aequales, triangula igitur Μ B H. G B L ς similia sunt: de Μ Η parallela GLil eodem modo si XH producatur donec cum AD Conueniat, ostenditur G Μ, aequi datare ipsi DH: parallelogrammum igitur est D M. Quod fuit ae- monstrandum.
Adem manente figura, ducantur Α B, B C. Dico triangulum ABC aequale esse parallelogra rno M D. Demonstratio.
Estenim BEM triangulum triangulo AB M aequale. similiter triangulum BFΜaequale ΒΜ C triangulos igitur totum triangulum E M F toti triangulo An est aequale. est autem E M F triangulum duplum trianguli G Μ Η, quia balis Ela. r. ii,. duplae est haseos G H. J igitur H D parallelogrammo aequale est triangulum ABE. ivi. Quod fuit demonstrandum.
EAdem manente figura, demittatur ex D diameter D N. Dico lineas GI, H Κ simul sumptas, aequari recta DNr
526쪽
aequalia iurit est autem HK aequa-ln O N. igitur GI HK simul sumptae, sunt aequales lineae D N.
SIt ad A B C parabolae axem B D ordinatim ducta A Vactaeque per A
d Ct, Onringentes conueniant in E. ponatur autem dc FG contingens m AC, CE lineas secet in F & G, tum rectae demittantur FI, K, ati aequi distantes.
Dico trap arum F l Κ G, aequale ege triangulo A E D. i .l t monstratio.
dio e scilicet A C , triangula A L D,1 F K ςqualia sunt. Rurissu in cum in triangulis FKG, ΑΕ L, tam bases KG, E quam altitudines ηIΚ, AD aequales sint, triangula quoque FKG, AEL sunt inter se aequatiar trapezium igitur FIKG aequale est triangulo A E D. Quod erat demonstrandum.
cunque, ponatur au tem per A contingens A D,coueniens cum C D diametro in
D: ponatur quoque diameter qu quis B G, Occurres A D lineae in F. iungantu si A B. Dico triangulum A F B ad triangulum Α D G triplicatam habere rationem lineae A F ad AD. D manseratio.
DEmissa ex A diametra A E, ducantur lineae BK.C E parallelae eontingenti AD: δε en C, Ac B rectς C H A I normales ipsi ADratio Α F B trianguli ad trianguIum ADC composita est ex ratione A F ad A D. & ex tratione I B ad H Cised ut 1Η ad H c, sie v B ad C D. id est A K ad AEligitur ratio trianguli AFB ad ADC trianagulum composita est ex ratione AF ad AD, Mex ratione A K ad A D est aute ratio Α Κ ad Α Ε,
527쪽
sunt 2 igitur triangulum AFB ad ADC, triangulum; triplicatam habet rationem eius, quam habet AF ad AD. Quod erat demonstrandum.
ν Arabolae ABC diametrum BD, secet in D recta quaevis A C, positaque ordi tim C E, iungantur A B, B C. - Dico triangulum ABD ad BC E, triangulum, duplicatam habere rationem lineae AD ad D C. ζ'
Ponantur ex Α Ee C lineae AG, CH normalas ad diametrum B E. iunganturque A E. ve AD ad DC, sie BD est ad BE sed ut ΑDest ad DC, sie G D est ad D H, hoe est Α G ad C H; igitur ut BD ad BE , sic AG est ad Chr. est autem ratio trianguli ABD ad BCEtriangulRm, composita ex ratione BD ad BA,M AG a1cΗ: igitur ratio trianguli ABD ad B CE triangulum duplicata est rationis AD ad DG oderat de
Atae parabolae terminatae maximum inscribere triangulum. constructio b demonstratι .PArabolam ABC subtendaequaeuis AC, qua diuisa bifariam in D, ponatur dia.
meter BD. 8c iungantur ΑΒ, CB. Dico triangulum ABCesse qua situm. erigatur enim quaevis alia G ta parallela BD diametro e Quoniam ADC rectangulum ad A GC v rectangulum eam rationem obtinet, quam DB a GE, igitur recta DB, maior est recta GE: ergo etiam triangulum ABC, maius triangulo AEErigitur maximum est triangulorum A B C. Quod demonstrare oportuit.
PROPOSITIO CCXXVIII. PArabolam Α Β C intersecent duae quae uis parallelae AB, DC t tu
ctisque B C, A D, segmento C B triangulum inscribatur maximum AEC, ponaturque E F, aequi distans A B, & iungantur AF Di Dico Diuitigod by Cooste
528쪽
tria gulo AFD Positaque GH pa- - rallela AB, iungantur B H ostςn- ndetur ut prius, trianguIum BHC,a sistquari triangulo AsiD : sed AGDt in . , . maius est triangulo AFD , id est ut ostendi, B EC, triangulum igitur B HG maius ungite Est triareulo BiEC: quod est contra hypossiesim. non igitur, AGD triansulum m 3imuin est , ωα APD. Quod erat primum. ' - Sint iam ΑFD, BEC triangula maxima, dico iunctam pE aequiditate AB sin vero:ponatur FH aequidistans A BkiunganturqueBHC, triangulam Nitur KHC maximum est eorum quae BEC segmento inscribi possunt, adeoque de maius B EC triangulo, quod absurdum: non igitur FH aequidistat AB, sed F E. Quod etat de- ωonstrandum. δQuod si A B contingat parabolam, ., eadem inferri possunt qua prius, eadem que pio sus est demonstratio.
Dieci illud maius esse dimidio pa- ---- rabolae R B G. Demonstratio. IPErgeiatur rectangulum ACF i manifestum
529쪽
ΑGatur per A eontingens A E, oecurrens B plineae in E , quae producta secet D C in G. qu niam igitur aequi distant AE, CD, ut CF ad F si GF est ad F E. ponitur autem AC in Fbifariam diuisa, igitur de EF aequalis est FG & EA Frriangulum a quale triangulo CFG r sed EA Ftriangulo aequale est triangulum C B Α r igitur re C FG triangulum aequale est triansulo Α Β C,quia a E B BF lineae aequales sun&est autem C AD quadruplum trianguli CFG quia A D dupla est FGM C D dupla C G, igitur de quadruplum erit trianguli ΑΒ C. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO' CC xxxi Elis ABC parabolae inseriptum triangulum maximum A B C r in
scribantur autem & residuis segmentis triangula maxima': & hoe
Dico toti triangulorum series aequalem esse parabolam AB C. i Demonstratio.
I enim non sit aequalis, maior igi tur est vel minor. sit primum p rabola maior tota triangulorum serie, dc excelsus ponatur quantitas a quoniam igitur triangulum ABC maximum est illorum, quae parabolae inscribi pollunt, maius h quoque illud erit dimidio parabolet cui inscriptum est. similiter . triangula duo ΑΕΒ, BFC malo. ra sunt dimidus segmentorum quibus inseribuntur. quod cum sine termino continuari pessi, relinquetur ex ς parabola quantitas,data minor, ergo de minor quantitate G, ergo illa excessus non est,quo parabola triangulorum seriem excedit rergo parabola maior non est tota triangulorum serie. Quod veta neque minor illa sit, manifestum est i cum triangulorum series , ex hypothesi semper intra parabolam continuetur, ac proinde series illa quantumcunque aucta, pIurium triangulorum additione, semper tamen pars maneat parabolae: cum igitur serie triangulo , nec maior, nec minor sit parabola, aequalis ut sit necesse esti
PROPOSIT lo CCXXXII. EAdem posita figura:
Dico ABC parabolam ad triangulum maximum ABC eam habere pri portionem quam quatuor ad tria.
Demonstratis. IVRIangulum d maximum ABC, quadruplum est triangulorum maximoru ΑΕΗ, A BFC quae residuis inscribuntur segmentis: de illa rursum simul sumpta, quadrupla triangulorum residuis segmentis inscriptorum. atque ita sine termino procedendo, cum ablata semper quadrupla sint triangulorum , quae residuis inscribuntur segmontis,
530쪽
gmentis, tota triangulorum series, id est parabola ABC, b est ad triangulu ABC, primam letiei term mum, ut quatuor ad tria. Quod suic demonstrandum. , ., .n.' totrusi . coroliarium primum. HInc manifestum est triangulum maximum ABC, triplum esse residuorum segmentorum A E B, B F C. cum enim loca parabola, ad tri gulum maximum inscriptum, sit ut quatuor ad tria; patet ipsum triangulum,tres quartas continere pa rabolae ; adeoque Ec residuorum cilc triplum.
cstraliariumsecundum. SEquitur secundo segmenta AEB , BF C esse inter se aequalia: triangula enim AB D, BDC singula singulorum tripla stat, Sc inter se aequalia.
PROPOSITIO CC XX XIII. SIt ad ABC parabolae diametrum BD, ordinatim applicata AC,
actisque per A dc C contingentibus, quae cum diametro BD conu niant in E , ponatur per B contingens, quae A E, CE lineis occurrat in F de G. Dico F EG triangulum,maius esse dimidio figurae concauet AECBA. Demonstratio.
Ungantur AB C. quoniam A E parabolam a contingit, & AC ordinatim ponitur ad BD, e E D, R E, C E, in B, F, G punctis biffectae sumi quare EB F, ABF triangula, item EB F,EBG, ac proinde tota EFG ABE aequalia sunt. sed AB B triangulum maius est dimidio figuret mixtilineae Α Β C E A , cum Α B latus cadat intra ea-rabolam conuexam, triangulum igitur FE Gillo maius quoque est. Quod erat demonstrandum. Gratiarium primum. EX ante demonstratis facile deducitur triangulum FEG, maximum esse illorum, quae intra triangulum AEC ab alia quavis contingente auferri possunt.
Corollariumsecundum. Equitur quoque, ABC triangulam, duplumen trianguli FEG; est enim ED. dupla E B. de AC dupla F G.
PROPOSITIO CCXXXIV. 'PArabolam ABC cuius diametet AD contingat in C rdicta C E eoa-
ueniens cum diametro in Ε, actaque per A contingente, quae CElianeae occurrat in F, demittatur ex F diameter F B, M per B ponatur conis
tingens, quae A F, E C lineis occurrat in H & l. Dico triangulum A E F, quadruplum esse trianguli H FI.