장음표시 사용
51쪽
c lindro parabobco datur corpus aequale ortum ex ductu triaugub ιu sis balteraὸ.pag. IOZOer 82. Sphaera cuditur per circulum, prout parabila per lineam rectam, ex bae aliter di. md tur 'haera secundum datam rationem, quam Archi.edes pr. . q. deb=h. eam
PARS SEXTA. De Spharaiae. DE sinit cura. io 38
Lemmata ad uentem materiam necesssaria. I o98. . t Gy. sque Ios.
Omnis fictio*baeroidaeosper axem facta exbibet AH a quas haeroides Formatum est.
Omnis sim baeroidis per centrum facta,racta es ad abquodpianum ductum per axem
Omnis fictiosthaeroidis per centrum non transiens recta est ad aliquod planum quod per axem L ba ideos duci potest. Ο4 tr. II . Omnissimos baroidis normatis ad axem quis confisumones heroidis immotus Iuis
Semo per axem maiorem facta maxima est omnium Misonum quae in baroidesieri possunt, per axem minorem est minima. loo pr. 2 . Data quavis recta quae minor sit axe maiore L baroιdis , maior minore, exhibetin ius aeroidesimo, cuius areis aequalis sit datae. 1 46 pr. 22. Omnes Itones per centrum qiamideos transeuntes eam inter ortiuntur rationem, qua-Diuitigod by Cooste
52쪽
p ARS SEPTIMA. De conside parabolico.
D nitiones eammque explicatio. FF. Omnis conoidis parabobcsettio per rectam faeta quam formarione conoidis immobilusust parabolam generat. l OFF.pr. I 06. Omnissectio conoidis parabolas ad axem conoidis recta,circulum format. I Gy6.pr. 37. Omnis sistio conoidisparabolici adaxem obbquaesit8 format. OF pr. l . Omnis Actio axi emolias parabolici aequid ians patrabolam exhibet, in quidem eandem cum parabolassia tione per axem. lo=8.pr. 4 . 42.
onoides paraboticum ad conumsibi insiriptum eam rationem habet quamsim ad qua
Partes conoidium comparantur inter se. OZO. . 16b. 264.
PAR s OCTAVA.. De conotis hyperbolico.
53쪽
ELENCHVS omnis fictio conoideos quae transeat per centrum hyperbola saeta per axem conor deos, hyperbolam exhibet. pag. Τ O76 pr. 3 72. Duae huperbolae in reno paratulae inter uni ius. 1 O77. pr. i J. Omnes hyperbolae inter fidem as totos constitutae iussi ni. io77.pr. ip .
Omnis io tonoidis hyperbolici axi parallati exbibet byperbolam ιβι similem quae si
Parabola generatur ex Jtione quadam eonoidis Dperbolici, ex duabus ostenditur quae sit minor. IO8l .pr. Ι 8 O .pag. I 82.pr. 382. 183. Item ex cono in conoide nasiuntur parabolaeparasielaeseu asymptotae. Io 82.pr. igit. Aliae proprietates sictionum hyperbolicarum in conor de hyperboseo. lo82lr.3 84. 381. Similes et w, ω similes hyperbolae in conoide hyperbobco assignantur. io 83. pr. l86. 87. Spatia conoides hyperbobcum cingentia comparantur intersiio 88 pr. 92. Datur conus conoidi aequatis. Ratio conoidis hyperbolici ad conum inclusim exbibetur. Ratio conoidis aὰ Ibndrum iEudines dentem absignatur. conoides Dperboticum cum conoide parabotio comparatur. Item cum thaeroide. Datur pars coni quae ad pyramidem quandam rationem habeat quam quatuor ad tria. O9 . . 98. Partes coni cumpartibus e Ad comparatae. item etntes Masinistutione sciente parabolam. 3. . ly9.2OD. 2o . 2D2.2Ο3.2 4. Noua quadratura parabola. 8.pr. 2DI. Og .pr. 9o p
LIBER DECIMUS. De ipsi circuli quadratura. PARS PRIMA
Aria Lemmata complectitur quae mari' quadraturis concinNoris infirmupoterunt.
PARS SECUNDA.CJrpora producto ex ductu mutuo parabolarum sibalterne positarum nihil prorsu
habenti circulare,triplici via Ibndrum inuenit aequalem pr. 46.47.48.49. ΤΟ. Fi. itemprop.68. itempropn. σι us demum circuli marias quadraturins exbI-bet, modo vereducendi cylindrica corpora ad restilineas magnitudines sebias.
figuras rectibneas planas reducit. Atque inὰ miram quadraturae fFerbo-lce eum circular missitudipem Prosiqωtur.
54쪽
ARGUMENTUM. . Liser his fere Lemmatisinest, quemadmodum tar alter, quide Cieulorum varist proprietatibus tractat. Porro quo magis materia Lectori admanu mi, omnem in tres partes diuidere cuit. Frima quidem maxime circa linearum proportionem versatur. Secunda varias trianguli assentiones exhibet. Tmlia uias tinearum contemplatur proprietates, qua earum po
De varia linearum interse proportione. PROPOSITIO PRIMA.Int AB, BC, CD, DE, lineae in continua proponione
, FG, inter AB, A B C DE BC , & inter AB, CD; media GH: Denique inter ΑΒ. DE. medIa sit Hl. Dico AB. FG. G H. Hl. lineas este in continua analogiat HDemonstratio.
Quadratum A B est ad rectangulum A B C., ut AB ad BC. Ac A B C. tectan- igulum ad A B. CD. rectangulum est ut B C. ad CD. id est ut A B, ad BC.' '' Eodem modo rectangilum super AB. CD. ad AB. DE rectangulum, est ut CD ad D Ei id est A B ad B C. Quadratum autem Α Β, ad F G. quadratum. est ut A Lad B C . Igitur quadratum A B. est ad quadratum F G, ut A B C rectangulum , ad
55쪽
nuant quadrata AB. FG. G H. HI. ae proinde ipsae lineae; quod fuit demon.
liculum ABC contingant recta: DA, D C. & ducta AC, pona./tur altera DG occurrens AC in H. & circulo in G & I. Dico rectam D G. sectam esse Tis in I & H. visit DG ad G H. quemadmodum est D I ad I H. Demon tratio.
. Cuper IG. diametro , describaturia circulus GL K de periri punctum erigatur normaliter HL. vel HK, ad diametrum GI; ponaturque D L, erit itaque GHI rectangulo, a hoc est ΑΗ C. aequale rectangulum L H siue L H quadratum ; pertinent igitur ad eundem b circulum puncta L ΑΚ C. iuncta igitur D L. est aequalis tangenti DA, adeoque tangensinam L D quadratum est aequale quadrato L H; id est rectangulo GHI,id esto AH C una eum quadrato UD: id est quadratis H F, FD. VndeLD quadrato rectangulum d ID Gaequale: ac proinde cum I G. diameter sit circuli GL 1. erit per Pappum e ut DG ad G H. ita DI ad I H. quod fuit demonstrandum.
QVomam mul Musin hoc operere 'et diuiso lineae, prout prasenti propositione exposita
si operanetium exi timari, at quod illi peculiare nomen adiungere, quo ullus cognitio magis innotestat , placati autem nomenclamram ιLi appropriare, herionis linea. serandum mediam es extremam rationem proportionalem , quoniam simιlitudinem non exietiam habet, cum ea diuisione, qua in elementis vocasur, ratis med/a es extremae dissera tamen ab ea, quod illa seliam sit aqualitatis, haec vero de Pa agimu , omnem omnino proporrionem admissat; s-lam qualitaris excludens.
PROPOSITIO III. EX termino diametri circuli ABC: suman
tur arcus hinc inde aequales, BC. BD. M ducta qualibet CF, quae occurrat perimetro in E. ponatur DE intersecans AB in G. Dico rectam F'B. sectam esse in A & media & extrema ratione proportionali. Demonstratis. Γ Emonstratum inuenies h bro nostro de Circulis, propos.- . rectam BF ad F A. eandem habere rati nem, quam BG. GA. hoc est totam FB. ad alterum , - . ' ςm rvm F Α, eandem rationem obtinete , quam BZ ad um extremum, habet ad medium AG; ergo secta est tecta FB. in A&G
56쪽
POTENTIAE. 3PROPOSITIO IV. SEcta sit A B. in C & D. media & extrema ratione proportionali, &
composita ex altera extremarum, & media, Verbi gratia C B, bis riam secetur in E. A C DE BDico C E quadratum, rectangulo D E A, aequale exsurgere.
Roducatur C A. in F, ut C A, AP aequales sint inter se: quoniam est ut B A ad AC; ita BD ad DC , erit componendo, B Α cum A C. hoc est BF. ad F A. id est AC, ut BC ad DC. sed totius BF, dimidia est AE, ipsius quoque BC, dimidia est EC, per constructionem. Igitur A E, ad AC, est ut EC ad CD. & conuertendo ut A E. ad CE ita est, EC ad DE. ergo AH CR DIL ssent in continuata ratione: Unde A quadrato. CZ rectangulum AED. aequale. Quod fuit demonstrandum.
Ponantur tres in continua ratione ED, E C, EA. & EB, fiat aequalis EC, & ipsi C A. aequalis A F. dico A B. in C. de D. diuisam elle media de extrema ratione proportionali. Demonstratio.
moniam est ratio conatinuata, trium ED. sEC. EA. erit quoque dl-
uidendo, DE ad D C. ut EC. ad C A. de componendo , ut C E ad D C. sic A E ad AC. quare & BC ad DG ita BF. ad AC. hoc est ad A F. de diuidendo BD ad D C. ut B A ad A F. hoc est, ad AC. Quod fuit demonstrandum.
'Vo hinc consequuntur: primum, rectangulum BD C. rectangulo AI aequale, alterum BAC. rectangulo aequale existere, E AD rectanguluA DE. esse
Primi demonstratio incle patet: quoniam BC. in D secta est inaequalia, de non χqualia in D. rectangulum lub inaequalibus segmentis totius B D C. una cum aqua se. draici quod fit ab intermedia DE. aequale est ei, quod a dimidia CE. describitur quadrato. Rursiis eum AE secta sit in D. utcunque erit rectangulum Al: D. baeuua-b isu. Ie rectangulo A DE, de quadrato DR sed iam ostensum est, A E D rectangulum quadrato CE aequale, Igitur BD C rectangultim, una cum DE quadrato, aequale est AD E rectangulo , una cum DE quadrato. Sublato itaque communi D E quadrato, residuum erit BD C rectangulum, rectangulo AD E aequalerAlterum quoque si e manifestum erit. Quoniam B C in Ε, secta est bifariam, ipsi. que additur pars C. A, erit rectangulum BAC, una cum quadrato CE, aequalc e c. is quadrato AD; sed cum secetur A E in D. utcunque, erit quadratum AE, aequale si duobus d rectangulis AED, Sc RAD. Igitur rectangulum HAC, una cum quadrato CE, aequale est duobus rectangulis AED, EA D. sed horum ulterum AED, ostensum est quadrato C E. este qaequale. his itaque detractis, residuum manebit φ - BAC rectangulum, rectangulo EAD aequale.
57쪽
LΙnea AB. secta in C. & D. secundum mediam & extremam rationem proportionalem. fiat circulus super A D. diametro, cuius centum E, erigatur deinde B FG. normalis ad A B. ex puncto B. Dico rectas omnes per C. ductas quae circulo in K. &L. occurrunt &FB. normali in aliquo puncto G. diuisas esse secundum mediam & extremam rationem proportionalem. Demonstratio. H E. centro Circuli ALD,
ducatur recta EH, normalis ad te tam Κ G : erit itaque Κ L. bifariam diuisa in H; & quia rectus est uterque angulorum ad H, &B, Circulus diametro G Edescriptus, percurret puncta H, i, & B Rectangulum itaque B CE, e aequale est GCH tectangulo; est quoque rectangulum B C Ε, rectangulo ACD aequale, per Corollarium praecedentis propositionis i huic autem aequale est 4 rectangulum Κ C Lagitur rectangulo G C Η,rectangulu Κ C L, aequale erit; adde ergo viriq; rectangulo quod ex CI I. fit quadratu, erit denuo rectangulum K C L, una cum quadrato CH, aequale rectangulo GCH , una cum quadrato CH; sed rectangulo KCL, una cum quadrato C Hostensum est aequari rectangulum G H C, sive GCΗ una cum quadrato C H id est quadratum φHL. Itaque rectang tum G H C, aequale est HL quadrato : utque CH ad HL, ita eadem HL ad HG. quo fit, ut cum sit H L aequalis H Κ. Ipsa GK. s in C. & L , secta sit secundum rationem extremam & mediam proportionalem, per praecedentem propositionem. Quod fuit demonstrandum.
sis A C diuisa bifariam in D ; actaque per B linea B E, parallela basi A C, ag
tur per D linea quaecunque E F,occurres trianguli ABClateribus, In G. BDico EF lineam in D &V G punctis extrema & media ratione proportionali esse diuisam : id est elIe ut EF ad F D, sic EG ad GD.
QVoniam EB, & AC linea: aequidistant, erit ut E Bad D C. id est ad AD, sic EF ad DFi sed est ut EB ad AD. sic EG ad GD, igitur ut EI ad PD, sic EG
58쪽
In 1. figura est FD linea in E & G diuisa media & extrema ratione proportionali.
PROPO. SITIO VII LIt angulus A B C diuisius fariam recta BD, ad quam crecta ex B normali B E, agatur linea quaecunque EG per punctum D. Dico EG lineam in F & D, media & extrema ratione proportionali esse diuisam. DemonstratIs.
Ponatur per D , linea A C , parallela rectae B Et occurrens anguli ABClateribus, in A&C. Quoniam igitur A C linca aequi distat , rectae EB quae normalis ponitur ad lineam BD, erunt anguli AD B. CDB recti: sunt autem per constructionem , dc anguli ABD. C BD inter se aequales, 3c BD linea communis, igitur triangulum ABD aequale est triangulo CBD , de A Dbasis, aequalis bali DCr igitur per praecedentem vi EG ad GD, sic EF ad FD Quod erat demon thrand m. In 1 figura linea GD. diuisa est, secundum mediam
α extremam rationem proportionalem.
ctisque B D, agatur per B linea BE, narallela basi A dein ex C, recta Aucatur CE, Occur TCris utcunque lineae BEin E, B D rectae in F, &lateri A B in G. Dico in prima figura : lineam E C: in secunda lineam
F C; in tertia rectam E G, extrema &media ratione proportionali esse di
Demonstratio. Vcatur GH linea, parallela basi A C,
Quoniam AC, EB. GH, lineae aequid istant. erit AB ad BG. vi CE ad GF τ
59쪽
6. LINEARVM hoe est DC ad GH, hoc est CP ad FG, igitur vi CE ad EG, sic CF ad FG.
PROPOSITIO X. DEmittantur ex A puncto, lineae tres AB, AC, AD, quae angulos
constituant B AC, C AD rectis minores. Ponatur autem quae uis ED occurrens ductis ex A. lineis, & diuita in B. & C. extrema & media ratione proportionali. . Dico omnes lineas ex E ductas, occurrentes rectis AB, AC, AD, ab ijsdem media & extrema ratione proportionali diuidi. Demonstratio.
Ducatur ex E, quaevis linea EF, occurrens lineae AD in F , rectae AC in G. M ARlineae in H. dein per G , agatur linea IK, parallela rectat B D. Quoniam BD, IK lineae aequi distant , erit ut DC ad CB . sic ΚG ad GI, sed per liypolliesi in est, DC ad CR. ut DE ad EB, igitur erit ut DE ad EB, sic KGad GI,&permutando ut DE ad K G. sic EB ad Ia est autem ut DFI ad K G, sie EF ad FG. & ve EB ad I G, sic EH ad HG, igitur ut EF ad FG, sic EH ad HG,&permutando ut EF ad E H, sic F G ad G H. inod erat
PROPOSITIO XL Esto ABC trianguli basis AC, cui
per B, verticem agatur aequi dis fans B E; oportet ex A rectam ducere A E, ut A E ad EG . datam habeat rationem maiori S inaequalitatis H ad I.
DIulia A C bifariam in D, fiat, vi H ad I sic A Dad DK, iunctisque punctis BD, erigatur ex K linea KG, parallela ipsi BD, oecurrens BC lateri in G, tum ex A per G, aga turl uea ΑΕ, secans BD lineam in F, & rectam EB in E ; dico factum csse quod pezitur. Quoniam FD GK lineae sunt parallelae erit ut AD ad DK, sic AF ad FG, sed AD est ad DK vi H ad I per constructionem igitur, ut H ad I sic AF ad FG est autem vi , AF ad FG sie ΑΕ ad EG, igitur vi H ad I sic AEad EG. Duximus igitur ex A lineam , dec. Quod crat faciendum.
PROPOSITIO XII. SIt A C linea utcumque diuila in I , oportet illi rectam quandam C E ad ij-
cere, ut A E tota, in D & C, diuila lit media & extrema ratione proportionali.
60쪽
CGII AM c demonstratio. Cuper AC ut basi constituatur triangulum rectangulum ABC, habens ad Beectum angulum,& ex B demittatur linea B E constituens angulum EB Caedualem angulo D BC : occurrens AC lineae in E i dico factum esse quod petitur. Quoniam anguli I BC. CBE licr constructionem sunt inter se aeqtiales, dc AB li-anea normalis ad rectam BC, erit. A D ad DC ut AE ad EC. data: istitur lineae AC, adiecimus, i cc. Quod erat postulatum.
PROPOSITIO XIII. Esto ABC trianguli basis AC, in D bifariam diuisa, iunctisque B D, ponatur per B linea B E parallela basA C r tum in E B linea, punctum sutriatur quodvis E, ex quo linea demittatur E C , occurrens AB lineae in G,& rectae B D in F, dein ex C recta erigatur CH, .ccans orthon aliter lineam ΑΒ in H. iunganturque
puncta H F ΕΗ.Dico angulos EHG, F H G esse inter sic aequales HDemonstratio.
Vcatur per G linea KL, I paralicia rectae H C s occurrens HE Iineae in ia&FH rectae in L. Quoniam igitur H C LG, lineae sunt parallelae, erit vi H C
EG,sic CF. est ad FG, igitur vi HC ad K G, sie CF ad FG: est autem ut CF ad FG,sic HC ad GL, igitur ut HC ad K G, sic H Cest ad GL; quare KG.
GL lineae fiant inter C aequales. Rursum cuDI C lineae, aequi distet Iinea KG , sit autem M HC normalis ex hypothesi ad rectam AB, erit 3: ΚG linea perpendicularis ad lineam AB, ade M iae anguli H G Κ, HGL recti : igitur cum H G. G L lineae duabus lineis II GG K sunt aequales, & anguli illis contenti recti, erunt HG Κ. HGL triangula inter se aequalia dc similia, Scanguli EI G, FH G aequalibus lineis subtensi, aequales. Quod crat demonstrandum.