장음표시 사용
61쪽
L I N E A R v MPROPOSITIO XIV.
A C, bifariam diuisa in D, iunctisq; BD, agatur per B li-
Mea BE, parallela rectae AC, in qua aitumpto pucto quouis E, ducatur recta E C , re ex Cerigatur linea C F orthogona rectae A B, occurrens Ε B lineae in G, dein ponatur EF inter secans B D in I, & B C in H. ducaturq; CI, occurrens lineae EB in K. Dico lineam E B in G & Κ, diuisam extrema Ac media ratione proportionali. Demonstratio.
Acatur per G linea L M, parallela rectae A Broccurrens s Κ in M. Quoniam
linea GC, per Constructionem normalis est ad tectam AB , erunt anguli CPA, GFB rectii est autem angulus KFB aequalis angulo BFI, id est angulo AFL; igitur reliquus angulus GFL aequalis est reliriuo G FK; rursum cum LMlinca aequid istet lineae An normali ad rectam GC, erunt anguli FGL, FGM re cti; igitur cum tam anguli FGM, FGL, quam GFM, GFL sint inter se aequales, & FG linea communis, erunt F GM, FGL triangula , adeoque & latera L G,
G M inter se aequalia. Quare vi FB ad LG, sic FB ad G Mised est ut FB ad LG, sie BE ad EG, & ut FB ad G M, se BK ad K G, igitur ut BE ad EG, sieBK ad KG. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO XV. Constituant AB, BC rectum angulum, de ΑΒ maius sit latere BC.
oportet AB latus producere in D, ut iuncta DC. fiant proporti nates DC. A D. &CB. AB.
Construetio demonstratιο. Vcta C A, demittatur ex C linea CE,
normalis ipsi A C,& alia quς da C D,quq angulum DC B constituat duplum anguli C A R. dico factum este quod petitur. Erigantur ex D lineae DF,DG;&DFquidelia atquidis et ipsi EC: DG vero, rectae CB. Quoniam angulus ACE per constructio. nem rectus esti& CB linea normalis ipsi A E, erunt AB ' EB C triangula similia, Se angulus EC B aequalis angulo C AB; quare Zc angulus DCn, recta CE bifariam est diuisus. Rursum cum UG linea, per constructionem aequid istet rectae BC; 8e FD linea . ipsi EC: erit angulus GDC aequalis angulo DC Bi Acangulus P DC, aequali& angulo Ec D; ad c u GDC angulus, recta FD bifariam diuisus , sunt autem & anguli DFG, DI Crecti l cum F D linea aequid istet ipsi E C, normali ad A C) & FD linea communis, igitur triangulum DFC , aequale triangulo DFG , & DC latus , lateri GD
62쪽
aequale. Quare CD ad D A ut GD ad D Ai sed est Gla ad D Α , ut CB ad BA, igitur ve CB ad BA sic CID ad DA. Quoad igitur AB lineam produxi
mus, &c. Quod erat faciendum. . P
la , inaequalis altitudinis, super eadem basi ACcoi,stituta; oportet ducere lineam EF, parallelam basi A. vi EL ad M F datam habeat rationem
construetio,in demonstratio. Onstituantur per B Se D linea: BG, D H parallelae basi AC: de D H quidem occurrat triangulo ABC in H; dein AD producta,donec BGli D ae Occurrat in G, agatur per H, linea AHI. occurrens BG lineae in I: diuida turque BI in Κ, vi BI ad IK datam habeat rationem Tu ad V X : Sc ex K demittatur linea K A, occurrens BC lineae in L, tum per L ducatur linea EF parali tela basi AC, occurrens ABC triangulo in E Zc L, rectae CD productae in F, de . Α D line, in Μ. Dico EL ad MF datam habere rationem in TV ad v X. EF recta occurrae Lineat AI in N; Quoniam 1 D, H CD triangula super eadem hasi H D &inter cas delli parallelas constituta sunt, erunt Ι, F,M . lineae intee se aequales t demptat. . -- L. igitur communi N F. vel addita M L, erunt L N , FMAineae aequales; igitur ut ELA. , ad LN se EL est ad MF, sed E L est ad I N, id est B K ad KI Qt T Uad V X: igitur vi TV ad UX , sie E L est ad MF; duximus igitur lineam EF,&c. Quod crat praesta dum. Idem patet euenire si dicta duo triangula, aequales habeant bases in directu positas.
Sit AB linea diuisa utcunque in C, oportet illi rectam addere B D, ut tota A D sit ad ΑΒ, ut AC est ad BD.
Escripto si per A But diametro, circulo AII B, - - erigatii rex B tangens EB, quae sit media inter AB MAC: dem ex E per F centrum circu i AH Brecta ducatur EG occurrens circulo in H, addaturquo lineae AB quaedam BD, aequalis ipsi E. H. Dico factum esse quod petitur. Quoniam HE, BD lineae fiunt aequales , erunt HEG BD A rectangula inter se aequalia; sed HEG rectangulum est aequale quadrato Em, id est ex constructione rectaragulo C AB, igitur C AB, BD A rectangula sunt inter se aequalia, quare AD est ad A B vi A C ad B D. datae igitur lineae AB quandalo adiecimus ut, dcc. Quod erat postulatum.
PROPOSITIO IV l.II. DAtis duabus rectis AB, CD, rectas addere , vel detrahere, in data
63쪽
1. V Atae tectae AB CD snt inter se aequales. , MN tam ratio Ead F , quam GH ad HI, sit aequalitatis ι addantur aute,vel dctrahantur in ratione E ad F, lineae B K,D L, patet veritas propositionis. α. Si fuerit AB maior quam CDi & ratio GH ad HI, maior quoque ratione AB ad CD, ratio autem E Sc F aequalitatis a Dico aequales addi non posse ut compositae sint in ratione data GH ad HI.Cum enim A B ponatur maior quam CD, fiat L B aequalis ipsi CD; addaturquσ rectae AB, quaeuis ΒΚ i & si fieri pollit, sit A Kad LKvt GH afi HI. erit igitur ratio AK ad I K maior ratione 'AB ad LB,id est ad C Di &quia ratio G H ad III maior ponitur rationc A Bad LB, erit diuidendo, quoque ratio G I ad IH maior ratione AL ad L Bi sed est ut G H ad HIsie A K ad L Κ ex liypothesi,adeoque ut G Ib ad IH sic AL ad LK , igitur de ratio AL ad L Κmaior est ratione A L ad LB. Quod fieri non potestic cum L B minor sit ipsa L K. Quare lineae aequales addi non poterunt, ut , &c. Demi vero poterunt aequales, ut reliquae sint in ratione GH ad ni facta enim L B aequali ipsi GCD, fiat ut G I ad IH sic AL ad Lini, cadeo I inter L & B: scum A L ad L Nostelisit minorem habere rationem, quam GI ad I Hi dein rectae M B, fiat aequalis N Disit mi . -- . . Quoniam igitur per constructionem est ut G I ad ΙH. sic AI, ad L M, erit compo- . . ., -nendo, A M ad L M, id est ad C N per constructionem ut G H ad H I. Quod erat de.
3. Si ΑΒ linea rursum suerit maior recta CD, de ratio GH ad III minor ratione ΑΒ ad C D, ratio autem E ad F aequalitatis,aequales addi poterunt ut compositae rationem habeant GHa I HIr fiat enim I. B Iinea, aequalis rectae C D, quoniam per hypothesim , ratio AB ad LB, id est CD per construct . maior est ratione G H ad HI, erat diuidendo. ratio A LE F ad LB maior ratione GI ad III i facto igitur ut G I, ad I H, sie A L ad L N, patet L N maiorem esse linea L B; nam ratio GH ad ΗΙ. minor ponitur ratione AH ad LB, id est C D, adeoque & ratio G1 b ad Ι Η,id est A L ad L N minor est ratione A L ad L Betum CD lineae addatur quaedam DO aequalis ipsi BN i Quoniail, igitur est A Lad L N, ut Glad m, erit componendo, AN ad L N, id est C O, ut GH ad HB Quod erat prinis m. Iisdem positis, aequales demi non poterunt, ut relique datain habeant rationem G H ad HI: auferaptur enim aequales L B, Μ I ;3c si fieri possit, sit ut GH ad HI sic AK ad L K, id est ad C M. cum igitur per hypothesim, ratio G H adH I minor sit ratione A B ad L B, id est ad C in sit autem ut G H ad ΗΙ, sic A K ad L, K, id est ad C M, erit ratio A K ad L K, minor quoque ratione A B ad I, B, Se diuidendo,' ratio A L adba.puisti. L Κ, minor ratione A L ad L B. Quod ficti nociv potest cum L B linea, maior sit linea L Κ. quare hoc casu demi aequalias lineae non poterunt ut reliquae, &C.
64쪽
. Si fuerint A B, C n lines aequales, & ratio Ead F inaequalitatis,& cadem cum ratione GH A ti
t leo addi non posse lineas in ratione T. ad F, ut compositς datam habeant rationem GH ad 8 ΤHI. Rationi enim GH ad HI non potest addi ratio aequalitatis, quin producatur ratio minor E Filia, quam habet GH ad ΗΙ. Ergo nec rationi
cqualitatis potest addi ratio GH ad ΗΙ, quin G I uproducatur ratio minor illa,quam habet GH ad ----- H I. cum caedem sint quc resultant. Iudem positis ; demi recte poterunt se- eundum rationem E ad F, ut residue obti Η neam rationem G H ad HI reciprocei id nest, ut utriusque rat Ionis antecedentes non Psint in eadem linea : erigantur enim ex G 6 &I parallelς GK, II., Squales ipsis AB, - DCU: dc ex L per K agatur linea LKM squalis rectae GH, ducaturque linea M H --- occurrens G Κ, II rectis in N&O. Quo I niam igitur N Κ Ο L line; sibi mutuo requidistant,etat O L ad N K ablata ad ablatam vi LM ad M K, id est ut GH adHI, id est ut E ad F per hypothesimi& ut G H ad IH sic NGest ad O I, residua ad resi-d-m:igitur lineas abstulimus secundum rationem Ead Ι ut reliquς datam obtineant rationem reciproce H ad HI. s. A B, CD lineς sint rursum inter se aequales, & A Brario Ead F minor ratione GH ad HI: ' 'Dieo addi non eoste lineas secundum rationem '. E ad F, ut compositae rationem obtineant G H ad C DHI. patet: cum ratio GH ad HI ponatur minior ratione Ead F;ratio vero E ad Faucta ratione . U I Hqualitatis, fiat minor ratione E ad F. Iisdem positis . auferri poterunt lineae, in ratio- Κ Fne Ead F, ut reliquae rationem habeant G H ad III, reciproce: erigantur enim
id est ut Ead F. ScΝGad ΟΙ. reliqua is X ad reliquam, ut G H ad I H. 5. Sint iterum AB, CD lineat aequales, x ratio E ad I-, maior ratione GH ad HI; Π T aDico addi posse lineas, in ratione E ad F, ut compo- τ' sitae habeant rationem GH ad H L Demittantur enim ex G M I, parallelae G K,IL, datis AB, CD lineis aequa- les; de ex K p.r I agatur parallela GH recta ΚM, ut NM sit ad L M, licut Ead F; tum ex H per M recta aga. a L ctur H N; occurret illa lineis IL, GK in O MN Cum -- enim ratio E ad F,id est K M ad L M, maior ponatur ra- O D tione GFI ad HI, erit diuidendo, ratio Κ L ad L M, maior rati ne GI ad I H; adeoque L M tecta 'minor bipsa H I. Quare dc HM producta secabit lineas IL, ar bGK in O MN: unde N Kest ad I. O addita ad additam. vi K Mad L M, id est Ead F, de G N ad I O, tota ad imeam, ut GH adit L Quod erat primum. B h Ii sem
65쪽
Iisdem positis , poterunt auferri lineae, in ratione E ad I , ut residuae datam habeant rationem G H ad
H I reciproce. Erigantur Cnim ex
G de I parallela: GK IL, aequales tectis AB CD : de ex L per Κducatur linea LΚM, ut L M sit ad MK, quemadmodum est E ad Fi
ducaturque recta ΜΠ, occurrens
GK IL lineis in N & o. patet Lo ad N K ablatam ad ablatam elle, ut L Mad MK i id est E ad F: & NG ad O I, reliquam ad reliquam, ut GH ad HI. Quod erat demonstrandum. . Sit AB maior recta CD, habeatque Ead F eandem rationem , quam ΑΒ ad CD, quae de eadem sit cum ratione GH ad III. Addi poterunt lineae in ratione E ad F, ut compositae, rationem habeant GH ad HI addantur enim BK DL lineae, secundum rationem
E ad F: Quoniam igitur per hypothesin, AB est ad C D, ut E ad F. id est per constructio-E F nemve BK ad DL, erit AK ad CL, ut AB ad CD, id est GH adHI.
Iisdem positis: demi poterunt lineae, in ratione E ad F, ut reliquae rationem 'M-bcant GH ad H I: demantur enim BM, DNι Quoniam igitur est ut A B ad CV, se E ad P, id est per eonstructionem B M ad N Ia, erit ΑM h ad CN, reliqua ad reliquam, ut AB ad CD, id est ut GH ad UI. Quod erat demon thrandum. 8. Sit ratio AB ad CD inaequalitatis ; dc maior quidem, ratione GH ad HI: sit autem ratio L ad F , maior ratione AB ad CD. Dico addi posse lineas in ratione E ad P, ut compositae habeant rationem GH adHI. Facto enim K L ad M L ut E ad P, erigantur ex K dc M parallelae, KN, MO,
a quales ipsis AB, CD ; iunctisque N, Ο, fiat ut GH ad HI, si e N P ad OP de ex ' per L linea agatur PR quae scum ratio NP ad OP , id est GFI ad H Ι, minor sit ratione KL ad M L. id est E ad F,adeoque P L no aequi distet ipsi OMὶ conueniet cum O M,NK lineis, in Q de R Unde patet M Q ad Κ R additam ad addi
tam esse, ut KL ad L M, id est perconstructionem vi E ad F; de O O ad N R, totam ad totam , este vi N P ad OP, id est. GH ad ΗΙ. Iisdem positis: Dico demi possie lineas in ratione E ad F, ut reliquae obtineant rationem GH ad III. Producatur enim ON, donec cum M K linea, conueniat in Z: factoque OT ad N T, ve GH ad HI, de si impia K S aequati ipsi ML, erit NT maior ipsa NZ, dc KS minor recta KZ, ut ostendam; quare si cx T per S agatur linea occurrens NK O M lineis, in V de X fictum erit quod petitur. Quoniam enim ratio OZ ad N Z, id est O M ad N R. id est per constructionem AB ad CD, maior ponitur ratione GH ad HI, id est ' Ω Ο T ad N T, erit diuidendo, ratio ON ad N Z, maior ratione O N ad NT: unde N Z minor est linea NT. eodem modo cum ratio E ad F , id est M S ad KS, ex hypothesi sit maior, ratione AB ad BC, id est O M ad N K. id est M Z
66쪽
s. Si fuerint AH, CD Imcae inaequales , &ratio E ad F cadem cum ratione G H ad H l, quae minor sit ratione An ad c D: RDico addi poste lineas in ratione Ead F, ut eompositae rationcm habeant G Il ad III, re
ciproce. Fiat enim vi I. ad F sic K I. ad ML dc et si MN ad KN; erectitquc ex M Jc K, parallelis KO, MP, aequalibus, ipsis AB. CID; iungan-iue O I , fiatque ut G li ad H I. ite OR ad sPR,M PS ad OS, dc PO producta occi irathi N lineae in Q. erit P S maior quam P Q2, 3c Z T HM O minor qua MN, vc ostendas tu rect .i du-eatur S L: quae iccet M l' OK lineas in V&T: moniam igitur 11 Rest ad KQ ut P M ad O K, id est per constructionem ut AB ad CD, de MN ad K N, ut E ad F; sit autem ex hypothcsi ratio AB ad B C, imaior ratione E ad F, erit ratio M QId KQ, maior ratione M N ad K N, & diuidendo, . ratio M K ad K Q, maior ratione M Kri. 'ad KN, quare M mea minor est linea M N. code modo cisteditur P Q recta minor tecta P S. Unde Kd est ad 11 V addita ad addita vi K I ad M 1 . id est E ad F,& P Uad OT tota ad totam, ut P S ad O S. id est G H ad III. Similiter additio fiet recipro- ea, si tecta ducatur N R occurrens O Κ, ΡM lineis, in X de Z ferit enim X O ad Z B, addita ad auditam, ut OR ad P R, id est per constructionem ut G H ad H I, id est ex hypothesi ur E ad F; de Z M ad X K tota ad totam, reciproce, ut M N ad K N, id est per constructionem ve E ad F. id est ex hypothes ut G H ad HI. Iisdem positis: Dico addi non poste lineas in ratione E ad P, ut composita stad 'compositam, in ratione G H ad AI ordinate : id est ut utriusque rationis antecedentes sint in cadem linea addantur σenim secundum rationcm E ad P, lineae A M B RB K. D I , de si fieri pollit, sit A K ad C L, vi GH ad H Ir erit igitur Vt AK d CL N in ise B K ad D L, qui.i ex hypothesi ra- -----tio E ad P, eadem est cum ratione G Had H IJ adeoque de A Bad CD, ut AK G I ad C L, ideaeve GH ad HI: quod est contra Suppositum : nam ratio A is ad E . FCD maior ponitur, ratione G H ad HI:
quare ordinata additio non continget. Sed neque hoc casu detractio ordinata, aut reciproca continget. Detrahantur
enim ordinatim lineae B M, DN, in ratione Ead F; de si fieri possit,sic ANI ad C N, vi GH ad HI. Quoniain igitur A B ad C D , maiorem trabee rationem, quam LM ad DN, id est E ad F, erat AM reliqua , ad reliquam C N , in maiori ratione a 33 mquam AR ad CD: adcoque multo maiore quam E ad P, id est G H ad III ἔ quod est '
contra hypothesim, cum ponatur cadem cum ratione GH ad HI: quare ordinata detractionulla net. De reciproca detractione sic constabit: fiat ut E, AP sie L Dad KB; de si fieri pollit, sit AK ad CL, A R But G H ad H I. Cum igitur ratio AB ad D, ex -- hypothesi maior sit ratione A Kal CL, id est GH - - aa H I, fiat A Κ ad C M, ut A B ad C I); eritq; bto. αλιι.CM linea, b ii inor ipsa C L: quare cum sit ut AB ad C D, sic AK ad C M, erit quoque e K Bad MD, G Uς ν residua ad resi tuam ut A B ad C D: adeoquc ΚΒ
maior, quam MD, dc inulto maior quam L D. sQuod est crerra hypothesim; non igitur detractio. reciproca conripset.
67쪽
to. Sint AB CB lineae inaequales , & ra L tio E ad F, cadem cum ratione G H adHI, quae maior stratione AB ad CD. Dico additionem, neque ordinatam,ne que reciprocam fieri poste. Addantu tenuia ordinatim in ratione E ad F, lineae I L,
D M. &sneri possit, sit A L ad C M, ut GH ad Hl. Quoniam est BL ad D M , ut A La I- - -- - - -- ad C M, igitur erit quoque, ratio AB ad
CD, eadem cum B L ad D M, hoc est E ad F , vel GH ad III. quod est contra suppositum; ponitur enim ratio A B ad C Dminor ratione E ad F. sed neque reciproca additio continget: fiat enim vi E ad F, se DL ad B K, addita ad additam , & si fieris K posse, sit AK ad c L ut G H ad Hi. - - Fiatq; ut G H ad H I, sicAB ad C M , eritu D L CM minor quam CD, quia ratio AB ad CD minor est ratione GH ad HI, id es h1 AB ad C M. igitur cum si ut A K ad C id est GH ad HI, sic AB ad C M , erien BK ad ML, residuum ad residuum ut AB ad C M; adeoq; BK maior ipsa ML,
. & multo maior quam L D. Quod est contra hypothesin: quare nec additio reciproca continget. Iisdem positis, neque ordinata detractio continget:detrahantur entiri in ratione Ead
F, lineat ΚBLD,& si fieri possit, sit Α Κad CI., ut GH ad HI; Quoniam igitur ratio AB ad CD, ex hypothesi minor est ratione E ad P, id est KB ad LB, ablatae ade 33.suisti. p s abl xam, erit ψ ratio A K ad CL, reliqua
-.--- v ad reliquam . minor ratione AB ad C D. adeoque multo minor ratione Κ B ad L D. id est G H ad HI: quod est cotra suppositumequare detractio ordinata non concinget. Continget vero dctractio reciproca hoc modo. Erigantur duae parallela: K M,
cadent R EU P intra concursiam linearum OP, QR, ut ostendam: quare rectae ducantur R O, P a & PC quidem secet lineas KM, NI. in S & T. R O vero Iincam P Q in V, & rectas M Κ, LN in Z &X conueniant O P. R inineae in s.Quoniam ratio A B ad C D id est per constru-- . A ctionem MK ad N L, id est N a Mia, minor est ratione E ad P, id est per constructionem P N ad M P, erit diuidendo, et νει--e quoque ratio NM. ad Mβ, minor ratione NM ad M P, adeoq ue M P linea sminors b. αὐ- quam Mβ. eodem modo ostenditur K R linea minor quam K Sequare iunctae R O,is. P Oecabunt lineas M K, N L. ut dictum cst: unde N T est ad M S, ablata ad ab ad 11 P. id est E ad F,&SKest ad T L, reliqua ad reliquam, ut S Oad T Q, id est GH ad HI: similitcr erit M Z ad N X , ablata ad ablatam, ut Moad
68쪽
ii Sint iterum AB CD lineat inaequales ,& ratio GH ad III minor ratione A Bad CD: ratio autem E ad F minor ratione GH adHI: Dico tam ordinatim quam reciproce addi posse sineas, in ratione E ad F, ut compositae rationem habeant G H ad H I. fiat enim vi E ad F sc LM ad KM,3cΚNad L Ni erectisque ex K dc I. parallelis K Q, L P, quae rectis AB C D, sint aequales, iungantur puncta P O, fiatque ut G H ad III, sic PR ad O R; occurrat autem P otecta ipsi LM in Q erit O R maior recta O insc L . minor ipsa LM: veostendam : quare ducta ex M per RIinea M v, occurret O K, P L lineis in S dc T: iunctaque R N, easdem se-eabit in V 8t X. Quoniam ergo ratio LM ad KM, id est per constructionuratio E ad F minor est ratione L Q ad
Κ id est L P ad O K, id est A B
ad CD, erit diuidendo, quoque ratio L Κ ad ΚM, minor ratioue L Κad KQ adcoque LM linea, b maior recta L K : eodem modo ostenditur OR recta maior rccta O undeLT ad KS, ordinatim addita ad additani est ut LM ad K M. id est E ad F; &ΤPest ad S O, composita ad compositam, ut PR ad O R, id est GH ad ΗΙ. igitur ordinatim lineas adiecimus , & c. Reciproce vero posse rectas adiici, in ratione E ad F, dcc. se ostendo. V K est ad
LX addita ad additam. vi K N ad L N, id est per constructionem ut Ead F; N X Pest ad O V tota ad totain, ut P R ad OR: id est GH ad HI; igitur, &c.
Iisdem politis r Dico detractionem tam ordinatam, quam reciprocam fieri non pol- Α Κ B se. Detrahantur enim ordinatim linea: KR 'LD, in ratione E ad Fr & siseri possit, sit C L DAK ad L C, ut GH ad HI : Quoniam igitur ratio A B ad CD maior ponitur ra- G I Htione E ad F, id est K B ad L D, erit quo- que ratio AK ad C L residui ad residuum, E F
maior ratione AB ad CD, quod est con- - - - eu ministra hypothesim; cum ratio AK ad CL id est GH ad HI, minor ponatur ratione AB
ad CD. quare ordinata detractio non con tinget.
De reeiproca detractione se oonsta- Α Κ Rhit. Detrahantur reciproce LD ΚΒ,
in ratione E ad F: dc si fieri pollit , sit C ML 'DAK ad CL ut GH ad III, fiat deinde ut AB ad CD, sic AK ad C M , erit G I Hrecta C Μ minor quam CL, quia ratio
AB ad CD, id est AK ad C M, ma- Eior ponitur ratione GH ad HI , id -- est AK ad C L. igitur cum sit ut AB ad CD, sic ΑΚ ad C M, ablata ad ablatam, erit Κ B ad Μ D, d reliqua ad Q. siquam, ut AK ad C Mi & ΚΗ linea, maior linea MD. adeoque multo maior 'recta L D. Quod est c tra hypothesm: quare detractio reciproca non continger. ia. Sint AB CD lineae inaequales,& ratio E ad F minor ratione AB ad CD,
maior verorptione GH ad HB Dico neque ordinatini, nec reciproce lineas posse detrahi, in ratione E ad F, ut reliquae obtineant rationem GH adHI: dematur enim reciproce in ratione Ead Rrectae
69쪽
recta LD ΚΒ, Se si fieri possit, si ΑΚ ad CD ut GH ad HI, fiatque ut AB ad CD, sic AK ad C M, erit C M minor ipsa CL , quia ratio AB ad CD , id est A K ad C Mi maior est ratione GH ad HI, id est AK ad CL, cum igitur sit ut AB ad CD, sc AK ad C M,
erit & KB ad MD , residuum ad residuum, ut AK ad C Maadeoque KB maior ipsa MD, & multo maior recta L D. Quod est contra hypothesi ii r . quare detractio reciproca non continget. Sed neque ordinata detractro, casu hoc continget.
Detrahantur enim in ratione E ad F , in I D , & si fieri possit, sit AK ad CL, ut GM icum igitur ratio AB ad CD, maior ponatur ratione Ead F , id est K B ad L D , erit & ratio AK ad Cria maior ratione A B ad CD; adeoque multo maior ratione GH ad HI, id est AK ad C L. Quod est contra hypothesin. itur neque ordinata detractio fieri potest. Iisdem positis , neque additio ordinata continget. Addantur enim in ratione E ad P, lineae Bia D Μ:L & si fieri possit, sit A L ad C Μ, ut GH ad III. Quoniam igitur ratio A L ad C M. id est GH adHI, IIunor ponitur ratione E ad P, id est BL ad D M, erit bratio A B ad CD , minor rarione Α L ad C M, id est GH ad HI. Quod est
contra hypothesim ; quare nec ordinata additio
Iisdem positis additio reciproca fieri poterite fiat enim vi E ad F, sip KL ad ML ,3t MN ad ΚΝ, erectisque ex M & Κ parallelis KO, ΜΡ, qu Vrectis AB CD sint aequales , iungantur OP , de fiaco Q ad P Q, item P R ad O R, ut G H ad HI, occurratque PR linea, rectae MN in Si patet exsaepe dictis, S O lineam minorem elle recta. O R , Ac S L minorem ipsa K N i quia ratio AB ad C D, id est M P ad Ο Κ, id est P S ad O S, maior est ratione G H ad H I, id est DR ad OR: item M S ad KS, maior ratio N N ad K N, id est E ad P. Quare iuncta R L secabit rectas , OK PM , in Τ & U. Unde ΚT est ad MV, addita ad additam, ut KL ad ML, id est Ead F, dc ΡU. ad OT, composita ad compositam, ut P Rad O R, id est per constructionem GH ad HI. Addi iterum poterunt lineat in ratione E ad F, ut OK
minor Vtriusque rationis antecedentes habeat : ducatur enim in eadem figura, ex inper L recta: occurrec illa
lineis ΡU OT in Z. 8cX: quia ratio OQ ad PQ id est GH ad HI, minor ponitur ratione KL ad .LM , id est E ad F; nam si LQlinea non concur.ret cum P U, O Ttiueis, sed illis aequidi staret, esset ratio KL ad ML, eadem cum ratione o Q ad P R. Quod est contra hypothesim : occurret igitur L Q linea, rectis P U, O T in Z & X. Unde KX est ad MZ, addita ad additam , ut K L ad M L. id est E ad F. 3e o X ad PZ, ut o Q ad P Q dest GH ad III. 13 Sint AB CD lineae inaequales; ratio vero GH ad ΗΙ , minor ratione E ad F ; quae maior se ratione A B ad CD. fieri non poterit. add=eio reciproca. ad dantur enim D K, B L in ratione E ad P. & si fieri possit , sit A L ad C Κ ut GH ad HI: dein fiat ut AB ad CD, ita B L ad D N : erie DN linea minor
70쪽
tecta Dia, cum ipsa B L minor po- Anatur recta DK , adeoque tota CN minor, CK. igitur cum sit ut A B ad DCD, sic BL ad D N, & componendo, ut AB ad CD, sic ΑLad CN, erit ratio A L ad C N, minor ratione GH ad HI, id est per constructionem ratione A L ad C S. quod fieri non potest; cum C N linea minor sit recta CK : quarc additio reciproca
Neque citam ordinata detractio fieri poterit: demantur enim linea: K B. LD in ratione E ad F, M si fieri possit, sit AK ad CL , ut G H ad HI: intoniam igitur ratio AB ad CD. minor ponitur ratione ΚΒ ad LD, siue E ad F, erit ratio AK ad CI., id est G H ad H I minor ratione A B ad CD , quod est contra Suppositum
quare ordinata detractio non continget
Detrahi tamen poterunt lineae, in ratione E ad F, ut Gliquae reciproce habeant rationem GH ad III. Fiat enim vi E ad F , sic KL ad ML, & MN ad KN: erectis' ue ex K & M parallelis KO , MP, quae rectιs AB, C D, sint aequales, iungantur O P; &fiat ut GH ad HI, sic O ad PQ,&PR ad OR: ostendetur ut in casu decimo huius propositionis puncta N N R , esse intra concursum linearum LN, QR , qua reductae R L, N QIecabunt lineas Ο Κ, PM: Se N quidem illas secet in S, T, recta vero R L eis deni occurrat in v & X. patet TM esse ad S K, ablatam ad abIatam, ut M N ad K N, id est per constructionem vi E ad F, &S O esse ad PT, residuam ad residuam, ut o Q ad P Q, id est GH ad HL Addi etiam poterunt ordinatim lineae in ratione Ead F, ut compositae rationem habeant GH ad HI, agatur enim ex R per N linea R N, occurret illa re. ctis ΟΚ. PM: quod saepius ostensem est, cum ratio X R ud V R , id est P R ad O R, id est per constructionem GH acl HI, minor ponatur ratione Ead Rid est MN ad KN. occurrat igitur in Z erit Maad K Z, addita ad additam, ut M N ad K N: id est Ead F, & T a ad O , composta ad compositam, ut PR ad O R, id est G adHI. Rursum addi possunt lineae ut minor Ο Κ, utriusque rationis, habeat antecedentes; ducatur enim ex in per L tecta , quae cum O K, P M lineis co ueniet ut ostelum saepius: quia ratio Oia ad PQ inor est ratione Κ L ad M L: conueniat igitur in s de γ erit Κ γad Mis, addita ad additam, vi K L ad ML, id est per constructionem vi E ad F, de O γ ad P β, tota ad totam , ut O Quad P ia, id est GH ad PII. 34 sint iterum rectae A B, C D inaequales, rario verDR ad F maior ratione AB ad CD, quae eadem sit, cum ratione GH ad III r neque addi, neque domi ordinatim poterunt laneae, in ratione E ad F, ut compositae vel reliquae. rationem habeant GH ad HI. addantur enim ordinatim li