장음표시 사용
531쪽
Ponatur recta AC, occurrens FB productae in G. quoniam EC contingens est , & C D ordinatim applicata ad diametrum AD, rectae EA, AD,adeo, que &EF, FC aequales sunt: est aurem vi EF ad te. sc AG ad G C, cum FG, ED diametri . aequidistent; in linea igitur AC in G bissecta est, adeoque IH ς contingenti parallela. unde FG, F A lineae in Ble H, bifariam quoque sunt diuisae, de Α F C triangulum d quadruplum trianguli FHI : est autem FAE, aequale triangulo FAC, quia FE,CElineae aequalessiant, igitur Et FAE, quadruplum est trianguli FAI. Quod erat demonstrandum.
Sit ad AB C parabolae diametrum B D, o dinatim applicata AC,positisq; per A &C,
contingentibus quae diametro B D occqrrant in E, dacatur per B , contingens, quae A E, C E lineas secet in F& G, diametri deinde ponantur F H, G I, & per H & I, contingentes L Κ, MN: atque idem sine termino continuetur. x Dico figuram mixtilineam AEC, B A, aequalem esse toti triangulo
a Demon ratio. . t , SI enim non sit aequalis; in
ior igitur vel minor ut sienecesse est. sit primum figura mixti linea maior triangulorum serie, excessu quanditatilo triangulum FEG maluae est dimidio figurae concauςAECB A: similiter triangula L FK,ΜGN maiora sunt
midias mixtilineorum quibus inscribuntur, & id semper fit; igitur per ablationem illam continuatam, relinquetur ex mixti lineo f AEC BAqua sitas data minor, ergo Ac minor quantitate Ο, ergo O excessus non est, quo mixti lineum AEC BA excedit triangulorum seriem: igitur nec illud serie tota maius est. similiter ostendetur Α EC B A figuram minorem quoque non esse tota triangulorum serie. aequesis igitur Ut sit necesse est.
'. . I .. PROPOSITIO CCXXX vi.
Dico parabolam concauam ΑΕ CB ad triangulum FEG, eam proportionem habere quam quatuor ad tria.
532쪽
QVoniam EFG ariangulum quadrupIuma est triangulorum L FΚ , MGN, M H illa rursum simul iumpta, quadrupla illorum quae residuis figuris mixti lineis instribuntur,& ita sine termino krocedendo,ablata semper quadrupla sunt triangulorum residuis figuris inscriptiast, et uper I . libri noliri de progressionibus tota triangularum seriei ig est contai h n Rhs B A, RE E G triangulum, ut quatuor ad tria.
IN lcribantur tam concauq quam con uexae parabolae , triangula maxima AEB, FDG. quoniam igitur AEB
quatuor ad triar eandem autem habeat proportionem figura concaua
'Α EB D, ad triangulum FD erit ut triangulum AE B ad parabulam conuexam, sic FDG triangulum ad figuram mixti lineam AEBD : Sc permutando ut AE B triangulum ad trianiagulum FD G, sic parabol3 AEB ad figuram concauam et sed AEB triangulum ae. . a duplum est iri suli FDG; igWur & parabola AEB dupla est figurae ΑEBD. ,11 - Quod erat demonstrandum.
. PROPOSITIO CCXXXVIII. Pom silex demonstrare.
1N libantur segmentis residuis tam parabolae conuexae . quam concaust, triangula maxima AIE,E K B,NFO. PG Quoniam triangulum AEB, α ablatum ex parabola duplum est trianguli PD G, ablati ex figura ADBEA; & iterum triangula AIE, E K Bablata ex residuo parabolet dupla triangulonim N po . PGin ablatorum ex residuo figura: AD BEA, insimer ostensum sit ablationem illam in proportione dupla, siue cermino in utraque figura posse s continuari, siue totamw triangulorum maximorum seriem parabolς ΑΕΒ in riptotum, illi aequari; &εgu- ..is., ram mixti lineain AER DA aequari toti g triangulorum maximorum seriei figurae ζ'
illi inscriptotum , parabola AE B, h dupla est figurae mixtilineae AD 9E A. modun
533쪽
CAD. igitur & GAC triangulo est aequaler dato igitur segmento parabolico aequale triangulum exhibuimus 3 quod erat imperatum. Grolis iam. II Ine patet triangulum G AD aequale esse paraboIar ABCD. adeo die eadem praxi solui problema quo petitur datae parabolae, trianguIum aequale exhiberi.
PROPOSITIO CCXL. 3PArabolae terminatae eam
inter se sortiuntur rati nem quam triangula maxima
illis inscripta. Demonstratio.
Ini ABC, EFG parabolis terri minatis triangula maxima instriapta ABC, EFG. dico parabolas illam inter se habere rationem qua triangula maxima. Triangulum, ΑΒ C est ad ABC , parabolam vertia ad quatuor : triangulu quo
ut tria ad quatuor, i tur ut ABC triangulum ad parabolam AB die E F G triangulum ad parabolam EFG,8e permutando ut ABC triangulum ad triangulum EFG, sic ABC par bola ad parabolam EFG. Quod erat demonstrandum.' corollarium. HIne si duae parabola habeant eandem vel aequalem subtensam, erunt illae inter se ut altitudines i Be si altitudines fuerint aequales, erunt inter se ut bases.
534쪽
Dico ABC parabolam ad D B E parabolam esse in tripli eata ratione Α C ad D E. Demonstratio.
Donatur diameter BF ad quam ordinatim i politae sint AC , DE. Parabola ABC ad D in parabolam eam habet rationem , quam, triangulum sub AC &BF ad triangulam sub DE. N BG: sed ratio trianguli sub AC ερ BF, ad triangulsi sub DEN BG , est triplicata ra- . tionis AC ad D E, quia composita ex ratione a DP. ae BF ad BG, hoc est ex dupli . . . . . cata ratione AC ad D Bi igitur ABC parabola est ad parabolam DBE in triplicata ratione AC ad DE. Quod fuit demonstrandum.
PArabolam ABC contingat in B linea E B, conueniens cum aiameistro quacunque AE in Ε, tu agantur& AB. Dico hgu ram concauam B F A E R du plam eta conuexae B F Α G H. Demonstratio.
Ponatur ex B, ordinatim A C ad diametrum A D.Quoniam B E est cotingens,erue ΑD, ΑΕ linea: aequales, adeoque ABD , AB Etriangula aequaliat est autem ABD triangulum triplum s segmenti BFAGB , igitur de triangulu A B E triplum est segmenti BF AG B. refidua igitur figura concaua BFAEB dupla est conuexae BFAGB. Quod erat demon
Sint ad ABC parabolae diametrum AD, ordinatim positae DC, G Briunctisq; AB, AC ponatur per A aequi distans ipsi D Roccurrens erecti, ex B&C, diametris in F N E- , Dico esse ut ABF triangulum ad triangulum ACB siue i BJACD triangulum, sie AHA FA figura concaua adfiguram ΛH CER. Demonstratio.
UT ABG triangulum ad triangulum A CD, sic
A H B segmentum 4 ad segmentum A B C, seaut AH B ad ABC segmentum, sic AH BF figura ad figuram ABCE, eum e AH BF duplum sit segmenti AH B, NABC E duplum ABC; igitur ut triangulum AB G ad AC D triangulum . sic AH BF figura ad figuram AB CE. Quod erat de
535쪽
. corollarium. ΕAdem posita figura sequitur esse ut G F paralleIogrammum ad parallesogrammum DR uc AGB parabolam ad parabolam ADC: item convexum ABBF ad convexum AB CE.
PArabolam ABC cuius diameter AD secent utcunque lineae AB, A C: dueauturque ordinatim BE, CD. Dico spatium parabolicum EB CD, quadruplum elie spatij CABC lineis AB, AC ¶bolica BC contenti. Demonseratio.
voniam parabola D ABC quadrum resti segmenti ABC - & E A B parabola quadrupla fumeti A B,parabola D A B Cest ad segmentum A B C ut E Α Β parabola ad segmentum A B: igitur cum paraboIa D ABC ad ABC , totum ad totum sit ut A AB ablatum ad ablatum AB, erit reliquum E B C D, ad reliquum ACBA, ut D ABC totum ad totum A BC. quare EBCD figura, quadrupla est figurae lineis AC, AB de parabolica BC contentae. modorat dentonstrandum.
PROPOSITIO C C X L U Contingat ABC parabolam linea quaecunque A D conueniens cum diametris quibusvis DC, FE in D & E. iunganturque AF, A C. Dico concauum ED CGF duplum esse partis A F G C, lineis Α F, Α C con
Concauum ABCDΑ b duplum est parabolae ABC: Be concauum ABFEA duplum est segmenti A B F; igitur residuum ED CGF duplum est residui ΑFGCA. Quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCXLVI. PArabolam ABC subtendat linea A C, qua diuisa in D & Ε, H
A D, A E, A C continue proportionales sint, erigantur diametri D B. El, CF. & per B & I, puncta ex Α rectae ponantur Α G, Α F secantes C Fdiametrum in F & G. Dico EI GC ad spatium quadrilaterum B I triplicatam habere rati nem AC ad A E. Demonseratio.
Quoniam AD, A E. AC ponuntur continue proportionales, ut CA ad EA, sie e CE ad ED. sed vi CE ad E D, sic C G est ad GF: igitur ut C A ad ΕΑ.1- - sie CG ad GF unde triangulum C AG ad G AF triangulum , est vi CE ad E D, id est ut C A ad E Α, id est FA ad HA, id est FG ad HIi est autem GA F
536쪽
triangulum ad trianguluΗA I in duplicata ratione FG ad HI, igitur cum ratio trianguli CA Gad Η ΑΙ componatur ex latione triangulu CA Gad GARScex GAsadHAI, patet C AG trian i, gulum esse ad triangulum HAI in trip Iicata ratione FG ad ΗΙ : quia vero ratio quadris αει t ri EG ad AI quadrilaterum , componitur ex flrati bis EG ad G H quadrilaterum , std est ex ratione trianguli C AG ad triangulum G AF ψω ratione GH ad I B, quadrilaterum, si dest ex ratione trianguli GAF adHA, triangulum, eum ΗΑ, ΗΑ, Η Α proportionalesta inrit EG quadrilaterum Ψstquadrilaterum B Iut CA G triangulum ad triangulum HAI: igitur & EG qua-d illastrum ad Ba quadrilatelaum rationem habet triplicatam Α C ad AB. Quod et aedemonstrandum. ιι .
Esto ABC parabolae diametex AD. positaque ad illam ordinatim
CD, .describatur per Α Se C, parabola A E C, quam in A contingat Α Ο, ponanturque ordinatim quae uis FB,H G secantes AEC parabolam an E &I. ) ὶ l Dico figuram concauam A F E Α, ad figuram concauam AHIA, du plicatam habere rationem parabolae B A F ad parabolam G A H.
Vngantur AE, AI. Figura mixtilinea ΑFEA. ad figuram AHI A eam habet rationem quam A EF triangulum ad triangulum AI H. ratio autem trianguli Α EF ad triangulum ΑΙΗ composita est ex ratione AF ad ΑΗ , hoc est duplicata rationis FB ad HG, &ex ratione F E ad I H, hoc est duplicata rationis A F ad A H, id est quadruplieata rationis FB ad HG , igitur AFEA figura ad figuram AHIA sextuplicatam habet rationem lineae FB ad AG. sed . B AF b parabola ad G AH parabolam triplicatam habet rationem FB lineae ad L lineam H G: igitur figura ΑFEA ad figuram ΑΗΙΑ , duplicatam habet rationem parabola: B AF ad parabolam GA H. Quod erat demonstrandum. coralianum. . TTIne patet eoncauum APE ad concauiam A HI, triplicatam habere rationem. AF ad ΑΗ , nam A EF triangulum ad triangulum AIH rationem habee compositam ex AF ad ΑΗ, & EF ad I Η, id est ex duplicata rationis AF adΑH.
PROPOSITIO CCXLVIII. IIsdem positis sint AH, A F, AD proportionales, iunganturque Ac.
Dico misti lineum IF ad Eo misti lineum, rationem habere sextuplicatam,cuius ratio trapezij ΚF ad I D, trapezium est quadruplicata. Nn n
537쪽
'voniam ΑΗ, AF, AD lineae proportionales sint, ' rectae quoque I H, E F, C D, adeoque figurae conis λ eauae AHIA. ΑFEA, AD CA in continua sunt ana- logia. igitur ut AHIA figula ad figuram AFEA, se
IF mistilineum est admistilineum ED: sed AHIA fi vae clii gura ad figuram A P E A, sextuplicatam habet rationem Z BII ad GF , igitur de IF misti lineum ad mistilineum t- P ED sextuplicatam habee rationem B H ad GF Rur. sum, quia ΑΗ, AR AD proportionales sunt, triangula
I- quoque A Κ Η, A L F, A C D in continua sunt analo-T gia. adeoque ut AKH triangulum in ad triangulum I ALF , sic KF trapegium est ad trapeatum L D r sed ΑΚΗ triangulum ad triangulum ALF, duplicatam habet rationem lineae AH ad AF, hoc est quadruplicatam rationis HB ad FGrigitur dc KF trapezium ad trapezium L D quadruplicatam habet rationem lineae ΗΒ ad FG, cuius IF misti lineum admistilineum BD habet sextuplicatam. Quod
PROPOS TIO CCXLIX. IN parabola A C B sit A B pars axeos aequalis lateri tecto,ductaq; Α p ad
axem normali, ponatur quaevis F C parallela A B, secans parabolam in C,& ducantur AC, BF. Dico has duas sese orthogonaliter intersecare dc CG, FG, GA. GBeontinue esse proportionales. ι ν ,
ή tum B AF C aequale quadrato F λ Igitur sunt f tres in continua analogia F C, F Α, A B: ergo cum X anguli CFΑ.B AF aequales sitne inulta sunt triau. gula ς C FA, F AB. unde angulus FAC aequalis anis gulo ABF. est aute angulus FAC una cum C AB, f recto aequalis: igitur etiam angulus FB A una cum angulo C AB recto est aequalis, & eqnsequenter Ru-N gulus AGB rectus est. vlterius cum tam angulus AF C quam A GF rectus est, tres CG, GF, GA proportionales sunt:quia vero anguli A G B FA B recti sunt,lineae quoque FG, G Α, GL proportio 2 nales sunt;eandem igitur continuant rationem CGsF G, G Α, G B. Quod erat demonstrandum.
INter duas datas, duas inedias exhibere organice. structio edi demonstrara .
Int duae datae HI, IK inter quas duas medias oporteat exhibere. constituantur hae ad angulos rectos Se conficiant triangulum orthogonum H IX. deinde describatur parabola ΑC B cuius latus rectum sit AB pars axeos, super quo segmentum circuli constituatur capiens angulum ACB aequalem IH Κ, occurrens parabolet in C & ducantur CF. FA ad angulos rectos, ita ut CF sit moidistans axi&iunganatur Α C, BF. Dico factum quod requiritur. nam ostensum est angulos ad G rectos
538쪽
r Abeant duae paras oly ΑΒ C , AF A communem axem icti, AB Ilinea lateri recto aequalis parabolae ABC, ductisque ordinatim v F C, Ε o, sit A D E patabola aequili, A p B. '' Dico A E, ED, medias e bintet FB, B Λ.
lae ACB, rectangulum B AE aequatur quadratoca Ol Ab Osi ED. 1gitur ut BA ad ED, sic ED ad reri Dei ministri quia parabolae aeqhales sunt, aequantur etiam h rectangula AED, DF. Ergo ut ΒΑ ad ED, sic reciproceis A E ad BF. sed cum ostendi ut B A est E D, sie ED pesse ad ΑE, exsolvi ED ad Α Η , se A E ad BF. limet igituCquatuor rectas B A, ED,LE, BFesse in continua analogia : & proinde inter B A, B F, medias esse ED, Α E. Ruod erat demonstrandum.
PROPOSITIO CCLi LIM et duas datas, duas meὸias exhibere.
AC circa axem AB, cuius rectum latus aequale sit ipsi AB. occurrat deinde BF, parabola AC in C, fle circa communem axem AB aliam describe parabo- Iam per A & F. Demum e ducatur ordinatim DE, faciens tegmenta parabolica ADE, AFB aequalia. Dico DE, ΕΑ esto medias intat ABἰBFi demonstrati. '' ex pr cedenti mauifesta est.
539쪽
PROPOSITIO CC LIII. SEcent A B C parabolam parallelae quaeuis duae Λ D. B, C, ducamur
que lineae AB, CD. .u Dico illas segmenta auferre aequalia.
CD: manifestum est per ΙVncta B C, ducaeve AD parallela BC, iunganturquepr cedentem DC ex dato puncto eductam, segmentum quod erat requisitum.
540쪽
iae qui distantem ducere, quae segmentum auserat dato aequati. λ' libi demonstrarast. fisis AC, D E bifariam in Η de Migantur diametri HB, IR: factaq:I L aequali H B. ponatur per L, F G M. aequi dilhans D E, patet per praecedentem FI G segmentum dato Q;.quale esset I ' igitur lineam duximus aequidistante DE. I
quae segmentum FI G auferat aequale da- m. Quod erat postulatum.
It ad ABC parabolae axem BD euius latus rectum B I, ordinatim 3 .posita AC sit autem de EFG parabola, cuius axis FH, dc latus rectum FK; oportet ex EFG parabola segmentum auferre, quod ad segmentum ABC, rationem habeat quam BI ad FK.
consuetio Odemonseratιθ. clat ut IB ad FK, se FH ad BD, Ae per M ordinatim potiatur E G. dieci δε-- ctum esse quod petitur: cum enim sit ut IB ad FK, se FH ad BD, rectangulum super IBB D idest qqadratum AD, aequale est rectangulo super FK,FH id a Mi. est quadrato EA. unde AC, E G int ιe aequalesi sunt triangulum igitur maximum sigmenti EF ad triangsum maximum segmenti ABC est ut FH ad B D , id inst per eonstructionem BI ad FK: ergo fic segmentum . EpG ad segmentum AB C. vi IB ad FK i abstulimus igitur ex EF G parabola segmentum E FG,
quod adsegmentum A BC eam rationem continet quam latus rectum BI, adi tus rectum FK. Quod exhibendum erat.
ctaque A D normali, ad diametrum ex C demissam, fiant B E, FG lineae aequales, &perAG D, parabola describatur, cuius axis GRDico AG D segmentum aequari segmento ΑΒ C. Diuitiam by Cooste