M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

131쪽

ME IBO MI DUAE LOGUS

cavit. Haec enim duorum mathematicorum auctoritate sunt roborata. Sed quid dices, si non tantum ex tuae definitionis verbisJhoc me collegisse ostendam sed etiam demonstrationehanc explicationem confirmasse. Cum propositarum rationum quantitates in eipsas multiplicantur, inde fieri inquis rationem. Per πηλικοτνῆα, quam litatem cujusque rationis, vel intelligis illius rationis m,gnitudinem, quae in duorum terminorum, vel continuorum, vel discretorum, relatione spectaturi secun dum quam magnitudinem una ratio altera major minorve Censetur vel etiam, ipsas magnitudines, seu terminos, qui rationem constituunt,ac quasi comprehendunt. Posterius intelligere nequis. Neque enim rati nis alicujus termini, inter se multiplicati , alterius ratio nis, cum qua illa comp/rabimr, Vel antecedentem telaminum,uel consequentem constituenti quod exemplis probabo. Sint enim duae rationes, sesquialteras&superquartad quarum ter nos, seu quantitates, nempe

nitionis sesquialterae, 34 ri insti πι, έι ' a , ita enim

loqui amas, vel potuis, επ άΜηλας, interse multiplicatae, iacian 6. item rationis superquartae quantitates, &ε,

inter se multiplicatae ficiant m. Nequaquam , scio, di,

ces, rationem se aut, si malorem numerum anim

dere velis, ': compositam esse ex duabus rationibu , di Quamvis in innumeris exemplis id sit,uxum . Sic enim multiplicati rationum .: termini composcunex ipsis rationem Scient: seu prationem rationem ζ, seu ': seu quoniam in his exempta tres numeri immediate se sequentes, attones duas con-

132쪽

stituunt adeoque, si duo extremi ratisne res, eodem numero intermedio mitiplicentur, rat1o illa variari nequiti ERMOT Optime hoc Eutoci, planeo thymi sentemia diis a esset illa rationum compossitio Attamen nec priorem tuam sententiam ulla modo veram censeti Causam jam dita quod πα-- ας

φώinritates V esse--υμ, ιν--Mes. Atquis λι- κοτηῆας, quantitates rationum inter se multiplicandas dicitEuclidesi non miant , numeros huiusmodi, quibus rationurn eflabilium antecedentes, ad unitatem, an quam communem consequentem, relatae explicentur. quod hoc modo rationes numero ineffabiles componi

nequeant. Sed&ipse quod notandumdicebat Euthymius de hac tua explicatione, quam aliorum mathema. ticorum auctoritate seductus, obtinere petis, dubitas,

cum in scholio in XI propositionem libri L Conici

Apollonii, ἀρρητων, magnitudinum numeris ineffabilium 1 ntionem facis, quas secundum hanc explicationem componi posse recte negabis. Componi autem possedoeebit te deinde Euthymius Per qωntitatem, inquis, Commandino interprete intesigerido numerum, preti Asa denomina α --mplissimquidem apumui serιt numerus integer in re siquis vero habitu ita neres in mimum numerum esse, o partem, maintra nisi forte

quistiam vesit ti--ν - α licet qua exprimim possimi habitudines esse , quales Ut magnitia se irratio ilium . EuC Reete hqc ultimum addis, Hermotime. Non videre illi, me vocabulo πιλοιοτης respexisse etiam adnumeris ineffabiles rationes, quas componere Geometra

133쪽

να ME IBOMII DIALOGUS

Contra censet Eutoezius, qui rationum Compositionem

Arithmeticae considerationis esse latuit, irimis niv-ineris, deinde per suinter Hiam magnitudinibusti I dicit. Vu ba ex illo in Apollonium: scholio proseram a Non em durare auram qui hac inciderint , quod ratiom neompositis Misrus meis in uiri siti enim iis

moia demonstrationisinsao uti consueverinu; qua tamen m Gematica potius sunt quam arithmetica, proter analogian avide quod qua inis Arithmeti R. nam Myortunis proportionum quantitates, ultiplicationes primo numeris, secumdo loco per numeros. magnitudinibin infuni. Ad

vulviebatEuthymius, muliis disputare nolo quippead illam quaestionem devenietur, utra haruni scientiarum natura prior sit; Arithnaetica,an Geometria. Sed in nostra disputatione illud quaeritur, in quanam liarum scien -

. tiartu generalius ratio spectetur, utrum in Geometria,

an in Arithmetica in Geometriadicit cum Euclide,α procul desuoetiam culindivino Archimede, thynitus RRcHIM Attente Hermotimum Euthymi sui dogmata narrantem,audio quem commodiorem hactenus,o Euclide,invenisti quam putaras illa ipsius explicano vocabuli πηλκότης in tua rationis definitione est verissim .. Eandem illius vocabuli sisnificationem, Musum, in de sntfqne rationum compositionis summa eum ratio in admittendam statuit. Ut autem ibi duobus moris hoc vocabuli acceptum disseruit ita etiam in hac definitio neduabus sententiis, ex diversa hujus vocabuli accepit. nc, Variatur quarum illa, quain Euthynaius protieri,

134쪽

nempe πη οπιῆας quantitater te dixisse, ut significares; esisti, aeris his re,&hujinmodi rationes componi posse, nostra est,.3 --terum omnium sententia, adeoque Verissima HERMontitate rationis numero exhibenda, altera non satinor di ficultas ventilanda restac utrum per πη - , qu--- is hac definitione, ipsae ratiotium magnitudines, antecedentes& consequentes; intelligendae sint i an vero rationum quantitate, quae in anteeedentium ad con

ventes relatione spectatitur, non quidem nititieris, sed magnitudinibus, exhibitae. Utraque sententia suas Causas habet, quas ordine pandanio . Sed prius, inquiebat Euthymius, quomodo inlinies,numer exhibita com . ponantur, tibi explicabo. Sint duae rationes, s&ἰ, quaseomponere, seu addere, velis Antecedentes igitur harumduarumrationinmidi intersei nultiplic bis fiunti Lis item consequentes,et&r; fiunt K Hi duo saeti numeri, nempe antecedens Ia, metus ex duobus ante demtibus; dcconsequens si sexduobiis consequentibus; rationem constituunt duplam , seu in minimis terminis .compositam ex duabus rationibus, nempe sesquialtera: ,&supertertia: quod sic planum ML Multiplueetur decussatim χιας ικως, vel prioris rationis antecedens in posterioris consequentem,utfiat, vel prioris rationis consequens in posterioris antecedentem, ut fata Si enim alterutrum numerum vel , vel Di medio interesia 4 loco collocaris, videbis rationes duas, vel

rioribus duabus .et aequales. Sicla u compositae, fi

135쪽

ciuiu rationem fur multiplicatis inter se rationum lia rum aut cedentibus, 24 ct consequentibus, i

rati, duplicata lacit rationem : Quod si minorem rasithi, utri propositari in , si iam sit minor quod

duetis rationibus ad communem terminum , Velante,

sedentem,yel cin kquentem , ut Vprapa ηδ mus pimia o inmunem cons uentem reductae rationes erunt Major ni inor ob causam ibi dii tana cessus autem, quo major ratior mi' norem . superat,est ratio: Similiter rationes, l&:,

ductae ad communem, exempli cauSa, antecede laten .e

runt . quamn major superat mmorem ', ratione inuod si ad communem consequentem illas dux ris, . , eandem excessivam rationem diabebis. Idem vulgari operatione consequeris Alterutrius ςnim pro positarum duarum rationum termini invertantur; deinde aiatecedentes inter se multiplicentur, itςm consequentes si insupe decussa im multiplicaveris, habebis communem terminum, medio loco Mocandum, ad quem extremi relati, majorem rationem minorem in dicant. Secundum hanc operationem rationes de sic collocatae . , dabunt hos rem terminoria. s.' quorum. ςxtremis &9, rationem excessivam constituunt mediussu item communis est, ad quem utriusque rationis

quantitas expenditur. Si posterioris rationis in hoc ex emplo terminos invertas, . : operatione saeta hos habe bis terminos, '. gae quibus idem per icitur.

136쪽

ad propositum revertamur. Si igitur per μα-ῆας, uitareonteis Euclides voluisset ipsas rationum ma .gnini disin, intectilentes re consequentes qualesliant, in nim, εχ, rationis talem &3, rationis ' aliter locuturus fuisset , certe loqui debuisse hoc nempe modo:

viii --s --rsim stipί- , --π--- , e . militer consequem , consequentino. Nun quid 1 μιενο μώ γεργη, επορανον, antecedens magnitudo esset, quid . consequens jam quinto libro definierat. HERMOT. Mute hoem ex Attamen magis Euclidi placuit cabulum et Mem1ς pro Quo,ut supra monui, paginates in rationis definitione uiuvare potuisset vocabulum μεγεθ . nis Pythagoricos secutus, omnis mathesios p .

ιι-, distinctiones paulo ante retuli ; solemnia illorum vocabula potius adhibenda censuisset. I ad autem ἐφ ἐαυlia, ins ipsis, quod tuo,Eutoci, tempore in hac nitione leetium fuit, pro quo is . to ς reponendum monui, ab insalsis librariis,4 παροδομαι, minatum

137쪽

jorem in re, quam in verbis dissicultatem parit, ita loqui Testo ex rationiblu constare dicisur, ei- rario taliari- quantitates Uymia ψομαι se ο - - η---ἀt camerinioceram asi' 'anx rationis quantitarem lis ipsi re dixi majorem esse dissicultatem,quod hae multiplic,

ne quantitatum, tantum unam quantitatem, seu ter minum antecedentem nanciscantur, adeoque noniatis, nem; quod erat propositum quippe non terminus ex rationibus componi dicebatur, sea ratio. Hanc tamen

sententiam insigniquadam interpretationesi juvare pesta

dicebat Euthymius inempe, ut dicamus, consequentem rationis terminum ubique esse unitatem. Quod etiam adparete ipsis rationumnominibus, quaeillae tim quan titatem, secundum Eutocli,5 Arithmetico um sententiam, exprimunt , cum taniam antecedentem rationis sad illi, tenninum nomiaeni, cujus consequens est unitas. Hoc in multiplis rationibus est evidens ut in di, pla, denominator est duo, terminus antecedens rationis dupla, cujus consequens est unitas. Sic triplae rationis denominatorvi antecedens est . emplae, . In summparticularibus denominator ille est unitas Sparticula in sesquialteri,unitis & sentis,e in supertertia, i , in s

perquarta, V in superquintadecima, . . quaeOmnes com-

nomen habentis, tale aliquot partibus, tant

138쪽

antem ham termino, Disad uni mis quain. Et indem si paries illis sint duae tenta, ratio superbiterquam,abantem lente : Hicautem antecedens innii meris invenitur, divise antecedente propositae rationis termino per ejus consequentem adeoque eo, utpropo

stae ratio is consequens adsuuii ante ae

tas, tanquam consequens,ad hune novum antecedentem.

ς in huxta 3i: α'oc est, quod tu,Eutoci, de ratio ni compotitione demόnstrasti. Eu c. Haec confirmandi meaesententiae faciunt. HERMO T. Si quωque de consequente rationis termino, seu unitate, men--ndita injecisses ita muri diminii tores 'usu oesta deras, ac si viis illo iniecedente κrmino, in titas es sentialis exprimatur quod plane impossibile dicit EudVinius. . Nec Euclidem puto huic posteri orie μ

tituli definitionis suae adsentiarum. Eu CL Priniam Uicatio mentem mciam, quam definiendo expresseram, interpbetur; quamvis ligentinuoque sit posterior. sed illam incommoda non pauca lacum miliere video. Illud isne me mirame assilii, tantum errorum succr visi ex meis definisionibus, gi perceperunt ima exitiali , partim mni librarii cori mperant ita Μο τ 'aeterea, quod toties dixi, nu--m metabam iis laves haec doctrin He denomina totanas non comprehenditi quod maximiamin infint ii interpretatione erratum. Illas autem, quibuscun-

139쪽

Sint duae rationes inessibiles, B et . D. quas com ponere, seu addere, velunta. Ducatur linea infimo ,, FG. a quovis in eaptinet Eponatur linea EF,4

qualis ipsi), o ab alto parte mae, linea

aequalis ipsi Q Deinde supradiantetrum Fodelambatur semicirculus S a puncto Serigatur perpendicularis E H. Rursus in linea FG infini Limaturis ivra parte EL, aequalis ipsi Dio ab alte a pine EL, aequalis ipsi D. Mupra diametrum KL describatur simu circulus, perpendicularem HE secans in M. Postea

EO. Dico rationem O E ad EM, compositam esse ex duabus rationibus Α, Β , D. Cujus demonstratio ex Euclidis Elementis est inanisesta. Cuni enim rectam gulo ab A, C hoc est, FE, EG aequale sit quadratum ab H E item re gulo a B D, hoc est, ΚΕ, E L aequalest quadratum ab MES aequat Harmctangula rationem intei se habeant ex lateribus compositam : erit ratio quadrati abii, ad quadratum ab Em compinta ex rationea ad B, dolatione Gad D.

140쪽

Rationis autem quadratorum ab H E MEM dimidia est ratio laterum HE, E M. ct hujus rationis dupla exc structiqne, ratio OEM EM. quod monstrare.

portebat Harum autem lationum magnitudines tacundum hos numeros adseunsit. A media Simulana radici radicis ex syra est partium 6. radix ex 32 D radix ex Io Eucta Optune hoc, Hermotime, α plane ad nostram mei in in . Sic antiqui ratioties composuerunt, positione datas, iumeris in tibiles. HERMO T. Non intellexere igitur propositionem Illisis elementi. qua definiti tutis illius certamum compositione exemplum demonstrasti. Haec autem omnia, quae vobis narro de rationum compolitione, dc de Ve

bis, quibus illa est tradita numinam, nouisti Euth,

mius, se moturum fuisse, nisi salsisiimum dogma,&quod maximam errandi ansam aliis praebuit,mde Bisset sabri. carum. Haemimdenominatoruminter se Hultiplica tione sellus hic Theo Alexandrinus, geometra alioqui eximius, quod ex Commentariis in Ptolemaei Magnam Constructionem ridere est, adseruit, triplae ratiotus d plam esse sextuplam. Verba ejus supra pagina 2 .V 28. pag. M v. 8 proposui 3 quae ex Commentariorum

libro primo, vulgatae editionis pag. 62, sunt desumpta ri Munc sicuti recentiores, volumina sua his paralogismis impleverunt. Elementa quoque tua, Eus ide, ad quae sese hoc tradidit Clarius, hanc Scplicationem ferre sunt coacta. Euciamacnarratione percessori nec,quid di eam, habeo. An Theo, noster Theo, dixit, rationem