M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

161쪽

D ME IBO MI DIALOGus millesimo, supermillesima, inter Ooiximo. Ita progrediendo in infinitum. . Omnium autem multis rum minima primo loco est, nempe ratio dupla at omnium superparticularium maxima secundo loco, numinini sesquialtera. Caeterum iam omnis ratio unit iis loco eonsiderari possit, ex ea bis composita dupla efficitur primae, seu simplis ex te composita simplae tribsea; ex vicies imposit sim vigecupla Terautem composita, seu tripla, sesquialtera est bis composium seu dupuiquater composita,seu quadrupla,supertertia est, ter compositae, seu tripla Sic decies composta dupla ratio, 'Isuperitona est novies compositae dupla rati

nis, inquagies sexies autem composita ratio superoctogesima,primo major est simpla ratione dupli in quidem compositis,quomodo fiat, ex altero hoc

diagrammate patet in quo a sinistrolaterepositae sunt amrecedentes magnitudinesiadextro aut consequentes.

162쪽

DE PROPORTIONIBUS orporeo in naturali situ, locothedio, posita est rasonihili, quam habet lineat ad lineam: ratio autem lineae , id est , ad lineam se , est dupla Primo igitur supra rationem nihil adscensu ventum est ad rationem, omnium multiplarum minimam quavis autem superparticularium majorem tum per innumeras alias rationes, majores, minores,sapra nihil rationem adscensus fieri potuisset. Porro linea dupla est lineae δ: adeoque linea , hoc est quadrupla est lineae δ. Rursus infra nihili rationem progrediendo, linea: subdupla est lineae Essentia autem sua subdupla ratio aequalis est rationi duplae , quia diastantia magnitudinum utriusque rationis est aequalis. quippe inter duplae rationis magnitudines , a tantad stantia est, quanta inter subduplae rationis magnitudi

nes M, , at vero cum in diversas partes hae rationes ten

dant, dupla adscendendo,descendendo subdupla ratio dupla superat rationem subduplam, ratione quadrupla. Porro et dupla est ipsius P. ergo ipsius , seu i, est sis

ouadriapta Superat autem ratio quadrupla rationem subquaoruplam, ratione sedecupla, hoc est, si rationi subquadrupla addatur bis quadrupla, id est, sedecupla, inde conficietur ratio quadrupla,in his terminis 46. i.

quod etiam reduetione harum rationum ad eundem terminum consequentem saeta clarescit, in his numeris: ........ Quod si ratibquadrupla vere essetrationihili, quater rationem duplam addendo, veniretur ad rationem sedecuplam. .:. . . i. quod altero diagrammate

inpos ibi Luciis dicam nulla est ipsius Vesat eud bi est ipsus i. Dei elis: dupla est ipsius t ergob

163쪽

ira ME IBOMII IAELO Gus hoc est, i bisdupla,seu quadrupla est ipsius: Rursus 'dupla est ipsius ' ergo ἔ, hoc est, diterdupla, seu orea,pla,est ipsius Denique: dupli est ipsius: quare .,hoc eri r quaterdupla est,teusedecupla, ipsius Atque hac

me hodo quaevis rationes componi possunt,atquealtera abalteinauserri. Alium insuper has rationes consideram

di modum addam , ex qua eadem veritas conspiciatur. Sit enim quadratum AB CD, in quo ductis diagoniis AC,BD; bise lato ibus per lineas EF, ii iacatur exangulos, ad bisectionis punctum F, linea DF, quae diagonium AC secat in puncto M. Si per hocpmotum H reda diacatur IJS,Ltiri AB, aut B C,

164쪽

catur in L adeo ut in duobus iis punctis in tres aequales partes linea id est ΑΒ, sit divisa quod ad Aristi . dem Quintilianum ab Euthymio est demonstratumia. Quod si rursus usaetas per lineam DK conjungantur,recta O, seu A, erit lineae AB pars quarta deinceps PR seu RA, ejusdem lineae est pars quinta; SV, seu V A, pars sexta di sic in infinitum, potentia

saltem,eandem operationem continuando, in quotcun

tu partesaequales proposita linea Geometrita secabitur.

iis a lineam ii militer eadem ratione hae sectiones prota cedent Linea enim . per duo puncta, mori, in tres partes aequales secatur linea autem in partes quatuor per tria puncta, ,r s. dc sic deinceps lineae cuiusvis,1n eadem distantia infra mediam 'tae, in qua supra ean -'dem palia erat posita easdem partes nanciscemur, iri quas haec erat divisa , Ex iis autem ita ratiocinamur.

Cum linea , hoc est , , bisecta sit in G, per quod punctum lineaee vel parallela ducta in I, linea: ad lineam ζ in ratione nihili, utpote aequae magnitudines

inter se comparatae Geterum antecedentes rationum,

tam desere varum, quam excessi variam,omnes sinistro laterea dc diagonion conclusis hic spectamuso con psequentes,eadem diagonio t&dextro latere . ideoque sectionum puncta, quae excesilvas rationes siciunt, in dimidia diagonio . existunt ut illa, quae desestivas, in' dimidia d. Porro sine in tres aequas partes se ita , quarum duae si,sinistro latere diagonior compro henis, antecedentem faciunt, tertia autem,eadem

165쪽

diagoruit, ct dextro latere , inclusa, consequentem: duplam rationem exhibet quarepunctum H, indis dia diagonion, dextram versus ab aequalitate est rem tuni. Deinde sem linea: in o tuo aequivis partes,

illarum trest, tanquam anteceaen ad unam o, Ut consequentem, triplam rationem efficiunt. Sectionis autem punctu magis recessu ab aequalitate Iaoc est, a lineae 'uncto 'quam punctum H ab eadem linea , eandem versus partem, fuerat remotum. Major igitur harum partium v, di inter se ratio est, nempe tripla ruam erat partium mi nempe dupla. Postea 2 qua

rupta est ipsitu . sic altius adscendendo. Cum autem sesquialtera ratio minor sit ratione dupla, punctum

sectionis propius a linea. aberit, quam inde abest pulmetui H quod in linea in quinque partes per quatuor dias io tributa, est manifestum. Omnes autem muniversim superpateticulares rationes intra sp tium FEL includuntur uti omnes multiplae rationes duplo malore spatio, ADJΚ, sunt comprehensae Itaque uti in infinitum, potentia ,altius a dupla ratione,

lineam diversus adtanditur; sic in infinitum propius ac propius ad lineam , , hoc est, ad nihili rationem, v nietur,emisum lineam et secundum rationes superparticulares secando. Ab altera autem parte, seu infra lineam I, eaedem plane sectionum rationes spectantur in dimi

dia diagonioes sinistram versus a linea remotae. Qu retineac tanto spatio insea lineam descendit, quanto supra eandem adscendit linea A eademque ration qua

li Merdiagonium dindi iis quod similiter caui

166쪽

monstrabitur. Hoc autem schemareadumbrio uim inque possum, longitudinis dierum aenoctiumvarietastimae vicissitudinem, quani populli qui citra autultra aestum torem habitant,experiuntur licet omnes,diei ac noctissimul, a horas nullaerent. Si enimAEquatorfing tu Lin duas aequas partes tributus quarum quae asinistra Mdiem denotet , altera is, qirae a dextra, noctem, labillo habitantes diei longitudinem ad langitudinem, res semper habent in ratione nihilici quod utraque duo, decim horarum existati Porro polum bore ver sis, diem i6 horarum notet , I, norariam 8 noctem. Eodem autem tempore, quo nos testio apum diem, Si noctem habemus, contruanto eo nothi, qui sub paxablelon habitant, s horaruminem, in linea in horio rum noctem, in linear, observant. Nos itaque quadruplo tum temporis antomis nostris sumus feliciores. quippe duplo plus gaudemus,obduplam diei longitudinem; duplo ininus tristamur, ob duplam noctis tam vitatem. Quod quidem illustrissimum excessivarum simulo desectivarum ratiotrum exemplum, omnibus populis, qui clarissimo mundi lummi venienti gratulantur diaberunti laruam reditum precantur, Deus obse vandum proposuit ruit in ea ius principiis ani in thyini dogmata, tam quae vestra, illustra Geometrae, princitia convellunt, &sssistatis convincunt, quam θ. Memoriva hicinationes ostendupt, deducunt Illud,ehiminquiebatEuthymi is, exhismanifestum est. rat ni cura trica naturam ct essentiam in magnitu .

167쪽

M ME IBO MI DIALOGus ouod in Aristinetica ratione omnes ad inint gen raliter esse constitutam uti asellatorum numeroriunessentia in ditantia a nihilo speetatun sod non surposuisse hic videridebeo,sed ex rerum natura,so exemplis foecunda, demonstrata Ex partemtem' principium Euclides admisit, nenape in rationibus excelsivis: sed generaliter,in omnibus rationibus,etiam desectivis, hujus dogmatisveritatem prim ostendo. Falla igitur est octava propositio libri quinti Elementorum Euclidis,& decim, quas pag. 3 &36 retuli in multae alia , quae ab his pendent. Falla ergo est, uti postea amplius ostendam, libri quinti definitio septimi quam pagina

3o S retuli qua,tanquam basi, octava illa propositio nititur. Multae autem propositionesveterum,quamvis sellae non sint, male tamen X his elementaribus demonstratae probantur. Male enim Euclides, hac o stiva quinti usus, demonstravit ejusdem libri propositiones XIV XX XXL Male quoque divinus Archimedes ex eadem demonstravit secundam propositionem libri

primi deSphaera&Cylindro quam pagina 37 adduxi

ad quam Eutocius commentando multas erroneas prosositiones, ex oci aVa quinti deduistis, protulit cura

ante ipsum Pappiis produxerat Mathematicorum bleetaneorum libro VII ex quo desumtas libri quinti lementorum fini juniores illas adtexuerunt. Ex ill quoque octava quinti prohullulavit insignis illa parta gismorum series, in secunda demonstratione VIII pro. positionis libri II de 3haera ΜCylindro, quae pagurae

168쪽

dramma CH, ad rectangulum aram, minorem rationem

hasere. m rectam GH adHE Nempe i6 ad a minorem habere rationem quam habeat o ad ista seu et ad i cum contra statuendum it,46 ad rq m jorem habere rationem quam habeat et ad i. v xniam enim est, ut 6 ad et , itari ad limajor est di

Nulla autem ex omni antiquitate Mathematica illustrior propositio proserri potest, quam haec sit oetiiva Archimedis .in qua toties dicatur, quae ratio malor sit, quae minor, quae alterius dupla, quae sesquialtera in quo cum Theone juniores omnes, cin primis Gregorius a S ' Vincentio, tam ample errarunt. Ideoque Eutocii commentarium, quo fusissime haec propositio, dc Euclidis loctrina, id est, libri quinti propositiones, VIII A X enarrai Hur, totum proserendum putavi, ut, quid veteres hic docuerint , clare omnibus constaret lta autem haec cohaerent, ut omnes uni irum errores, non perspectis veterum emtoribus, sol

de dijudicari nequeant inare, inquiebat Euthymius, elimis praetimus huius narratiunis mihi seopus sit, ut

totam antiquitatem ignoratae in quibusdam elementis Geometriae convincam , deinde autem iuniorum pra

vas explicationes . a. monstrosis hallucin tiones dia monstrem antiquis hunc honorem habebo, ut primi, demonstrationum viribus adacti, veritati, omnium Rivm ii quisenis: Viri iam concedere cogantusq

169쪽

defendUs. Falsam dixi quinti libri propositioncin in tuom. Quod si illi, qua in principiis paulo ante

posui, benev0bis' perpensa essent, salsitatis quoque cauis perspeeuis habe xiis. Duobu utem modisilliu ia,

statem,si ii ain Primo, fals Euclidis principia

monstrango Altero, vera Euthymii principia confin, mando Antiquorum omnium, Hςoque summorum Virorun ,sententiatiliquae nil unque auctoritati pl. imum ae roboris habet, primo loco, inquiebat Euthymi propterea ponam, ne qu0d praeiudiciuin, novam initio adstruendo, ut veritati, aut tibi, aut etiam utriuque adferatur. Tres autem hujus propositionis casus esse possunti Vel enim tertia utravis reliquarum ,, C, min est vel maior vel majore, minor min autem, major. Primo casu primum hujus propinstionis membrum , quod Minai, Harum est h. vG bis μου --- Psi ιαμ m major,

rotis'-MMqμ minor Euthymi verum pro ounciat salsum, item membrum secundum, reveni

170쪽

DE PROPORTIONIBUS: - - tiami, secunda C, posuit majorem propositionum XIV XX XXL ejusdem libri demonstriniones, ut puto, securiis. Verum igitur est primum membrum, nempe ad D, seu fad L majorem rationem habere, ruam ad D, seu, ad at salsum,membrum secumum, nempe D ad C, seu ad 1, majorem rationem habere, quam D ade seu ad . Secutido casu primum membrum salsum est, Verum autem secundum.

Falsum enim est. . ad majorem rationem habere . quam 3 ad 6; sed verum, 6 ad 3 majorena rationem habere quam 5 ad ρ Tertio casu salsum est utrumque membrum quippe loc salsum est ad 3 majorem

habere rationem, quam et ad 3, 4stud, 3 ad 2 majorem habere rationem, quam 3 ad . , quod diversii neris rationes, excessiv ac desectiva,inter se comparari nequeant. Quare ex tribus hujus propositionis casibus, unus verus est, reliquiduo falsi , ulmum demonstrabimus Eucta Si quae unquam ineptiae, Solim, cum intermortales degerem,&ex quo hac beata quiete mihi stui licuit, findo ad aures meas perVenere,inter illas certe has Euthymi tui, o Hermotime, primo loco

censere possium. Ut enim illud nuncpraeteream, inconcusso fundamento, septima nimirum ejusdem libri Libnitione, niti hanc nostram propositionem, siciliori adhuc via eandem veritatem hic demonstratam dabo Sint enim eaedem lineae, iidem numeri,quos tu anteprin ferebas. Dico numeros solos adcommodans, ut m vius me expediam, non taniam: ad . majorem rationem habere quam 1 ad quod eum concriis