M. Meibomii ... De proportionibus dialogus. ..

141쪽

jam dio tempore sine ratione mathematici considerariam . nec Graeca Verba tum hona imis texeriam,

drupla quae sesquisiera esta ratio alterius rationis, di supertertia in superi' arra, μι que pinita ratisneadaeram saperans. ut ab illa des,

ciens T. o. Certe cum ratione hoc adfirmasset, debor, si semonstratio me i iciatur,&rerumnatum ex citiae is gia ad aminii quadrantia , depromere possum. HERMOT. Hoc posteaVidebimus. Hunc vero errorem ampliavit Gregorius a S ' Vincentio, qui gran de illud opus ometricum, laQuadraturaCirculi, te septem annos edidit, si effectum spe stemus, conatu solo laudabile. Hi ut sippum se iresiderationumprom π nibus, sm,ut ipse cum Boethio vocat proportio

nalitatibus Geometricis, Ux tulit nova in ent i revera autemmulta nova errata. Namque visolos vo libro, d bosus doctrinae landamentacontinet, mrumseptemdecim falsas propositiones numeravit Euthymiusci tot nimirum, tum clideis fundamentis carent. APOLLON.Ηκmagnam inpestatem sumere 'ideo. Reveranur mihi accidunt , quae hic narrat Hermotimus cum ab illorempore, quo hacquiete mihi frui licuit,nullumlim sui , di mi itibus erroribus circumventum audive rim, cujusmodi, florem ibus adhuc literarum studiis, di Graecalaumanitate eximios viros abaelosdicit. Rini Bliti erit raraec turbam. Si enimEuclidis elementis,ficilibus,&extra terrandi aleam, ut nobis semper Visum

142쪽

DE PROPORTIONIBUS mi est, positis, isthuc accidit, quid de meis scriptis, eorumque interpretatione.factum putabo. Illis enim, tanquam firmissimis istamentis saperstruens, in demonstranda octava propositione libri ecundi de Sphaerari Cylim dro,rationem I dixi su Brisesquialteram rationis': seu Stationem: riis duplam rationis: ab iacualiter loqui potui qui aliter ratiocinari HERMO T. Eadem solida explicatione confirmavit tuus Eutocius. Sia,utvides, nec eo hoc intellexit,nec ex posterio ibus mattiematicis, ad nostra usque tempora, ullus illos

autem errores,ut dicere soletEuthymius,ob neglectum Musices studium, quae in rerum omnium rationibus ac proportionibus investigandis occupatui, mathematicis

Deus immisit isti olim Deliis Apollo pestem, quod

Geometriae, quae in rationibus ac proportionibus demonstrandis versatur, nullam illi operam darent. Hoc ex proposito sis problemate decubi duplicatione liquet, cujus perficiendae nullam aliam viam reperiemus,quam

quae, inventis inter rectas duas lineas, quarum malormi

noris dupla est, duabus mediis proportionalibus, solem ter ab Hippocrate Chio est excogitata dii naturalibus autem vix ulla evidentioraexempla reperiemus omnium quae in rationum doctrina disquiruntur,quam quaeM

sim suppedita Sed nostro tempore si quis sic cognoscere desideret, findamentis illorum, lectis, ad ipsam traxi seiunatiquam sine causa&demonstratione addita Itaqueinnulianis jusmodimus suis canonicus inveniemr, cum olim omnes Pythagorici essent canonici,ctin ca γ' i sectione pratapuum studium

143쪽

collocarenti aeterum multa hic movenda dicebat Eu- thymius, antequam solide ad Theonis argumenta,

Vincent1 omnes falsas propositiones, respondere possimus. Haec vobis edisserere conabor, sed ea lege, ut silentium plane Pythagoricum servetis Eucta Servabimu , modo paralogismis nullis tua intricaveris. HERMO T. Evidentissimis exemplis, Sexmedia turbapetitis easum illustraturus,quaererum naturam pressisuestigiosequem do in rationum Geometricarum doctrina primus, Omnis antiquitatis,&Vestra postea, ut spero,consessione, invenit Euthymius Fingamus itaque lineam Nniindi,

grammate pag.980 este terrae diametrum, cujus centrum, A quatuor autem homines, Septimium, Octavium Nonium,incium,in Atanquam terraecentro,consistere quorum bini, Septimius& Octavius,ad nos evade re conentur per radium AN, reliqui bini Nonius ΜDecius contra, ad nostros antipodas, per radium A n. Ponamus primum omnes aequali celeritate ad superas auras tendereis inare quo temporis spatio, ex eodem loco A, rudite loquendo iteringredientesSeptimius&Oetavius veniunt in B; Nonius &Decius, in alterari versi partem perveniunt ina: cum Septimius Octavim veniunt in C. Nonius S Decius veniunt inc bini ac bini, aequali celeritate iter celerant donec eodem tempore omnes, ad superas auras evadant, sed in

diversis partes, nempe Septimius d Octavius, ad nos; Nonius&Decius,ad nostr antipodas. ItaqueSeptimii celeritas ad celeritatem Octavi est in ratione nulla, seu nihili , quia cum Septimius unum milliare consedit,

144쪽

D PROPORTIONI Bus res etiam Octavius, ejus comes, confecit istud milliarenum quare iter unius ad alterius et , ut Iad I. Et curri

Septimius duo milliaria confecit,etiam Vimeadem duo milliariaest emensis, quae inter se surri ut 1 adi porro progrediendo, ut Lad 3 ut 8 ad 8. ut Icio ad Icio. Cum itaque nulla inter Septimium & Oetavium inmenso itinere sit distantia, aequalem rationem, quam nihili seu nullam Euth mius vocat, in ipsorum celerit te spectamus. Omnes autem nihili rationes , uti sunt . . . :.c. inter se sunt aequales quemadmodum in

Logistica omnes notae nullae, o, o, o inter se, tanquam nihili res,aequales existunt. Similiter deNonio&Decio, in alteram partem tendentibus,ratiocinabimur. Rursu ponamus septem homines,Maevium,Septimium, O M. Vium,Sempronium, Nonium,Decium, Squm,intermeentro A consistere, quorum medius, Sempromu ,incentro A inanionis maneat quatuor autem aequis pas sibus iteraccelerem; bini ac bini : Septimius&Oetavi ad nos tendendo monius di Decius,ad nostros antipodas. Maevius autem duplo celerior sit Septimio, vel comite ejus, Octavio seu, duplo malus iter conticiat Maevius eodem temporis spatio, quamSemmiu ,Velcomes ejus, Octavius. Sejus item in alteram partem versus, duplo celerior sit Nonio vel Decio on si e quo temporis spatio Septinianeum comite Octavio veniunt ad B; istin niuscum comiteDecio ad bi Maevius venit ad C,S Sejus ad e Deinde quando Septimius cum c mite octavio veniunt ad j item Nonius cum comite

145쪽

1 ME IBO MI DIALOGu Sterius progrediendo, in dupla distantia. ita igitur cesteritatis ratione, nempe dupla, vius, bis spectantiubus, adscendendo ex centro Λ, superat Septimium O vium Leadem celeritatis ratione Sejus superat 'nivmo Decium destendendo, nostri, etia, ad n

stros antipodas id est, eadem celeritatis ratione Nonius velDecius deficit a&jo. Quare hoc ordine nobis con spicientur, Maevius, Septimius cum comite Octavio. Sempronius, Nonius cum comite Decio, Sejus. Itaque bini, vi & Septimius nobis viciniores,eadem rationea centro A absunt, qua in alteram partem ab eodem centro A distant Nonius Sejus Ideoque si omnes consisterenti serieini, C. M&iterSempronio,in intro A consistent ingrediendum esset in alterutram pamtem, tantundem laboris suscepturus esset, ut vel adSeptimium in C veniret, vel ad Nonium in o item, ut ad Maevium in E pergeret, vel ad&jum in dirum itaque sic sunt signanda : nudip numeris autem sic: . . . . Seu, una nihili rationum omissa, . . Porro ratio dupla, Pa ratione nihili tantospatio steti quanto ab eadem ratione nihil in alteram partem abest ratio dupla , quam nostri respectu, Histrimus loquendo subduplam cum antiquis vocabimus. Itaque rati, aequalis est rationi P subdupla duplae quamvis ratio mon sit eadem quae ratio: Ideo autem ratior in qualis est rationi: quod inter illius terminosio ,

nium dc Sejum, tantum intem allum sit,quantum inter

146쪽

ium autela seu distantia inter has duas rationes est ratio bis dum, seu lyniam enim ratio nihili: soporatia nem Gratione: Misionem nihili superat ni, tio , ratione Ergo ratio dupla : superat rationem subduplam , rati se bis dupla est, quadrupla . Quod etiam ex additione num senim rationi

subduplae abitatur ratio quadrupla, inde fit, seu componitur ratio dupla,in bis terminis ninimis,2. .i nempe binariusiaunitatemrelatusdum rationem positam ex subdupla, Lad quadrupla , . ad LRursus ponamus octo homines, quorum quatuor, L cius, Maevius, Sepesmius Uyn comite Oetario, i cem tro A ad nos tendant reliqui quatuor, Nonius cum eo, mite Decio, Sejus, Titius, a centroin tendant ad n stros antipoia Celeritatis auten inter ipse sita eritas &quidem Septimii celer ad celeritatini a vii, se in ratione ninili , quia dum Septimi comes ponitur Octavius, aeque celeres ambo intelliguntur. Sic de Nonio dc Decio Misiautem celeritas adcelerit, rem Septimii si in ratione sesquialtera , id est, Maeviustriamilliaria conficiat quo temporeSeptimius duo Ru

sisLucii Meritas si set uisieracitis uatis Minii idest, Lucius tria milliaria conficiat, quo tem pore viusduo. Em eodem,mpore, quo Septimius conficit milliari duo Maevius conficit ma Lucius, Ra-ος

eumSeptimnasconfecit quamor,Maevius emensusestsex,

147쪽

io ME IBO MM DIALOGu Sseptimi novem milliaria id quatuor duplaesiceleri tatis Maevii ad celeritatem timii, cis milliarium ad

quatuor. Lucius enim eatim Melitatis ratione supe--Maevitim, qua celeritas inustae Matri ruperat Se ptimium nempe iustisititilliatium tirmiones hoc est,novem mihiaria) conficit, dum Maevius eonficit nim

iis sum, mi A duos, hoc est. sex milliatia: Iulius inriti, bisu illi. cu est, milliaria AE

cor ficit, dum Septimius conficit biniones milliarium duos. id est, milliaria quatuor Haec ita gnantur.

ώteram partem, tius sesquialtera celeritatis ratione superet Sejum; quisitem sesquialtera celeritatis ratione superet Nonium utprorsus iisdem rationibus intersediastent hi ad antipodas,tistros tendentes, quibus inter se distant,quiad nos ex unti Haec ita signamus, I , et ''numeris autemse: ad G unctimnuasque e rundem rationum in diversas partes progressiones, una nihili rationum omissa, sic exponimus Cum itaque ratio sesquialterin tanto spatio absit a ration nihili: quanto spatio ab eadem nihili rationes abest ratio sublesquialtera , hae duae rationes, sesquialtera, ct subsequialtera, inter se sunt aequales , quamvis non sint eaedem quod una tanto excessu nihili rationem superet, quinto de iustera a nihili ratione deficit: seu, uod uina tanti spatio ad dotram distet, quanto Atira ad sinistram. Inter se autem hae duae rationes, sesu, alteravi subsesiuialtera, distant ratione bissesquialtera,

seu dupla perquatiae quia etiani ex additione Mose

148쪽

PROPOR TIONIBm Si desis. Si esum rationi subseqinalteia addatur, iri se componitur ratis sesquialtera, in his minserius terminis, 1 9. . quippe ratio esquialtera fas , minat e fisione subsesquialtei incisesquialtera , seu duplasuperquarta, ' ad μὴ similiter ratio bissesquialtera, seu duplas eriuarta major est

i viam rati istabissesquialtent ibi subduplasa

mone quatersesquialtera seu ratione bisduplasuperquam i ta est, ratione quintuplasupersextadecima, G Id quia ex ditione quoque patet , Senim rationi si rlassesquialterae :,sui I ad K quatersequialtera. ἰ, inde conficitur ratio bissese uialtera, ' seu in his missimis terminis, 36 8Lis. vlane uti, si quis quinqua ginta deberet, desndeautem centum acciperet, lutode.

bito retineret quinquagintet . Si pro centum tantum

acciperet quinquaginta, sesum debito nihil retinerit Idem quoque reductisne flairum evadit mutatum

enim propositae rationes ζω :.: ad rationes alias magnitudine quidem easdem diversarautem, Fodomeseundem habeant terminum consequente et inempendlias, ζ. : : αἰ: Ratio I aequalis est rationi ratio :, rationi Sic aequales interse sunt reliquae, t&:. I.&: in naumnestratis: quam ratio: ratione . Nihil autem ad rem, quod hac reductione, praecedentiexem plo aikommodata, Lucius: milliaria eonficiat; diu risius, jemlaicis Meritate parem ilium stame bam, conficit tantum 6. Poni enim possitnt hi duo, Lucius S Titius diveris eritatis, sed in hoc exemplo

propcet uasi ei ab nubilue abesse debent Merius

149쪽

M, ME OMI BIALocus sejus ilia milliaribus, , hic Ideoque Nonius se quialtera Minucifrixtione superat&juni,dicite eaderi ratione T1tium contra atque priori suppostione se i Vicemsuperabant hoc modo,ς Porro idem est, si illis rationes ζ.:. reducamur adi

lias aeque magnas, sed quae communem habeant term

numantecedentem, qualessunt,): z: r a arx returtur aer ur measio exemplosum illustriinutis.

ponantur enim quinque homines, Cajus, Lucius, M. Vius, ni cum comite Decio,incentro Ae siste res, qui adnos per radium ΛNe aeremnentu si rum autem celeritatis hoc sit discrimen, quod quo te

pore jus ab A ad N venit.Lucius veniat ad KLMNvius ad la Nonius eum comite Decio ad G boeest, eum Cajus emensas est milliaria ia, Lucius consedit, Maevius, R Nonius, . ajus itaque a Nonis maximo spatiostest adeoque maximamceleritaturationemC jus habet ad Nonium. Sed idem Cajus, eum Maevio

comparatus,minorem quidem celeritatisrationem constituit,quali comparatuscumNonis majoremiamin qu in si comparetur idem Cajus in Lucio ob maj rem minoremque binorum inter se distantiam. Maxi-im itur celaritatis discrepantia est inter C um N

nium nun inter jum&Maeviinii mimma inter Ctqum et Lucium , quia Nonii tarditas major estquam Maevii; θ. vii maiorqesim est. inremm tisicelericilem superet binari in ius a quod es Lliuia conficiat invius, dum Noni se horum cele

150쪽

Nonii celeritatis ratio major est quam ratio celeritatis Maevii&Nonii, ratione celeritatis Lucii&Maevii hoc est, ratio Major est quam ration, ratione . Item Cajict Maevii celeritatis ratio major est quam Caj dc Lucii,

ratione celeritatis inter Lucium S Maevium hoc est, ratiori major est quam ratio ', ratione . Item Caji&Nonii celeritatis ratio major est quam Lucii&Noniiceleritatis ratio, ratione celeritatis Caji&Lucii id est,r,tiori superat rationem: ratione Et Caji Nonii

celeritatis ratio superat celeritatis rationem inter Cajum SLucium, ratione celeritatis inter Lucium&Nonium; hoc est, ratio superat rationem ': ratione Quod si

ab altera quoque parte quinque homines, per radium An adscendentes, ponamus, eadem, quae supra tradita est, comparatio inter binos acbinos diversarum partium institui potest. Caeterum illarum rationunt mediam, quae ex aequalibus terminis constat i quam propterea eterualem veteres adpellarunt ό nihili rationem vocatEu 1ymius quemadmodum D, nota nulla, seu sphra, in absolutis numeris nihilum fignificat. Illas autem ratio nes, quae ex inaequalibus terminis constanes quarum ua- finitus numerus est ab utraque parte nihili rationi. ita discriminat, ut quarum antecedens terminus major est termino consequente, adeoque quae nihili ratione sunt

nomine adpelle. sed quarum contriu nitecellens termi nus minor est termino consequente, quae ideo nihili ra,