장음표시 사용
101쪽
AE DE ad AE, seu per tertiam partem precedentis pro . quam habet aut he ad Ad DU-- nNs ideoque se ha-hebit ut a DE- 4 CN ad 6DE, Vel potius ut DE--2CN ad
Solidam . quod a parabolico spatio Aac DE sin altero ex novem appositis schematibus i delatibitur circa hasim AB, erit ad solidum genitum a parabolico spatio abcde sin quocumque alio ex iisdem sciuematibus; eirea basim a b . in P ne composita ex ratione duplicata rationis. quam ha- et normalis Incidens in oppositis hales An DE. prioris spatii ABCDL ad normalem incidentem in oppositas hases ab . d. Posterioris spatii ab ede; & ex ratione in qua est reliqua ha iis D E primi spatii cum duplo ipsius c N ad reliquam basim se secundi spatii cum duplo ipsius en 1. Innoteicit enim ex eo, quod solidum genitum elaea s A per Primum spatium AR DE. ad solidum similitet progenitum aluo Parali mo A DE, est ut nκ-- etc N ad 3ti Et & hoc solidum ad solidumdescriptum eirca b a pet paratim mum aede secundi spatii ab ede. est i a in propra ne composita e ratione DE. de ,3 DE . I de. & ex ratione. quam habet qt normalis inciis dentis in bases DE . A ad q1 normalis incidentis in baso de . qa f. Sc hoc solidum paratim mi a de ad solidum simili-liter procreatum a spatio abede est, per praecedens scholium, ut Ide ad de--2cn, &z.
THEIR LMA XXIII. Propositis 27.
ηυ. sa. R ' At semifectionis conisae, aut Endricae femento AGBEDssio o. abcisso per duas ordinatas AD. BE ad drametrum, cujus diametri pars DE. inter ipsas ordinaias c-prehenso di madietur ab alia ordinata cr. per cujus termiuum G trauseat re 307 in linea s GP . ad ψsam diametrum parallela, claudensque, im 'β'rer priores ordinatas an . a Iaragratum 1 PED. f
102쪽
Z Solidum renitum rixea inametrum Da ex praerim se secti tuis remento a s BE D st -His ad solidam 'mhter progenisum: s praedicto parasi - sPED. ut hum, quia torum ex prioria us ordinatis AD . aE, quadruplique quadrati ex posteriori ordi. nata GP ad hujus quadrati 'tuplum. II. ει tibi praedicta diameter D E axis fuerit : his aris D E ad inter dum alterius RE ex prioribus ordinatis a centro gravita tis rotundi jolidi geniti circa eumdem -- DE: . praedicto m mio is βgmento Ac n2 ci . ' halebis m fumma ex quadratis priorum ordis tarum AD . EL, ct ex quadrato pollerioris oriam n si1 quaυrsumpto, ad q: reliquae Q ex pruribus ardinatis
D 3 data se sectio sit cylindrica . & per axem cylindri, ideoque ipsius segmemum Ao B E D sit paraI mmum , huic omnino congruet parallelogrammum sPED ut infig. 98. &in hoc casu. jam nota sunt erudito Geomet quae repo
Si vero semilactio sit para sim; a diametri vertiee f puta od δε- y
Drdiuntur recia Oc. ia per rectam lineam cMxu, eidem diametro 'φ' parallelam completas parali ramis G nn H . MED H , MEEκ l, ducatur ri; laoκE. ordineturque queuis alia LoIIx'. &c. iEt quia superficies genita, circa DE per'eterum GP, ad superficiem similiter progenitam per rectam a T estan ut q: si Flisis, wd . l. T, sive tob parabolam J ut abscula Eoiad abscitam Tog αδ vel ut PK ad x T. ubique, patet solidum, cista: DE Maeript- ρ υ, a. ab area parabolica Asngo esse ad solidum Misimum a Pariat Ino sPE ut rectilineum ENED ad parali mum H MED, scilicet ut DR 'EN -- v x ad 6 FK. dc per consequens, ut summa mi AD . ΒΕ quadruplique GF ad sextuplumi qua
103쪽
va ad aex ubique e unde solidum areae AH aED ad solidum p rat mi sp ED se habebit ut area parabolica Ex NED ad P . . ' mitramum DEM H, nempe ut D Z--EN-- Fg ad 6 FK, vesir . ut summa qR A D. BE, quadruplique q: GF ad sextuplum
Dum data semisectio sit elliptica suti g. ro 3. ros. et ' i 6. vel sit semihyperbola sm in n. io . O io 8.ὶ S in utroque casu
oppositi vertices respectu diametri D E sint o, R, centrum vero sit V agatur huic recta v I, ordinatis parallela, & circa diametrum v I, ordinatamque o R describatur parabolica curva RlO E. cui occurrant in N. Κ. Z rectae RE . GF . AD; & completo p rati ramo HKMED per rectam HKM ipsi DE parallelam ., ordianetur ad diametrum DE quaecumque recta do, Tyx, M. Iam superficies circa DE genita per ordinatam vis est ad la perficiem similiter procreatam ab Ordinata LT, ut q: GF ad q: LT, vel . ob sectionem datam, ut rectrulum RFo ad
x rectratum a To ; sive ob descriptam curvam parabolicam ut FK ad xT ubique. unde praedictum solidum descriptam ab ' area AGBED elliptica, aut hyperbolica ad pnedictum solidum
factum a parali ramo S PED eandem proportionem habebit quam parabolica area ZΚNED ad parali minum H MED . vide l. et quam D Z - EN ' EF ad 6KF, & per consequens ut summaqq: AD . BE , quadruplique q: GF ad sextuplum hujus Q cr. , Dum data semisectio sit hyperbolica, ejusque diametet D E litseeunda duarum coniugatarum diametrorum, centrum vero sit v, Schujus diametri semilatus transversum sit V γ. ac propterea q: semiordinatae AD ad quadratum cuiusvis aliae CF sit perpetuo ut summa qq: D V, e v ad flammam q* FV, o V. Et a centro v agatur recta v I, ordinatis parallαla. & aequans ν ω, descri-haturque circa diametrum v I parabola Ex Ni, quae ordinatas haheat ipsi DE parallelas, verticem in , Parametrumque sequalem ipsi v θ , vel vi, atque rectis a D . GFD. BE occurrat in E. T. N quatenuS q: Fu Cum q: V ω sequetur rectruis xs , v ω quadratumque DV cum q: Per sequetur rect-kI ED, νέω, ideoque proportio rectrali et D , ad rectis tum KF . v seu proportio ED. KF sequetur rationi summe q* D v. v c ad
summam qq: Fν . vo', & ita semper ubicumque fuerit ordia
104쪽
Insuper per rectam HKM, diametro DR parallelam i compleatur parallel α mum H KF D. Parali α mumque αMEF. Ordineturintque ad diametrum DE qualibet recta M. T. X. &z. i a
Et quia superfiecies descripta circa DE per semiordinatam GP ad superficiem ii militer genitam ab ordinata L T est ut GF ad q: LT, vel toti hyperbolicam sectionem , ut summa qq: FV . vo' ad summam qq: TU. V. O sive ob descriptam Pa rabolam, & ob nuper indicata ut p x ad Τx ubique; inde sit, quod praedictum solidum progenitum ab area AGBED ad praeis dietum solidum fac um a parali di mo sp E D se habebit ut areac Parabolica Ex NED ad paralleIogrammum H MED. videlicet ut ZD- NE-- 4KF ad 6.ΚFia & per consequens ut summa qq: AD. BE quadruplique quadrati s r ad hujus quadrati sextbplum, quod erat demourandum Primo loco. Hoc ipsum duobus abis modis ab hoc diversis, egomet demonstravi in quodam tractatu meo de Conicis se ribas, o de earundem solidis, in duodecim libros diviso. Praeterea ubi diameter E D axis fuerit in omiabus oppositis, figuris , prima excepti. , rotundum solidum genitum circa.
axem DB ab area AGBED analogum erit areae B κ NE D: ,: quan doquidem ubique quadratum GF ad sit. LT est ut RF ad xT unde axis D E ad int*rvallum Ordinatae B E a centro gravitatis ti3 .siuius solidi eandem υ habebit proportionem, quam ad ejus --aordinatae BEM distantiam ae Centro gravitati9 areaea Κ NAD ,.is .i licet i a quam D z-- 4 FK aS ED- a KF , sive quam in ex summa qq: A D . RE cum quadruplo quadrati s F. ad q ocu ρ
Si in duabus ex appositis figuris diametri En ed ordinatis. males, aut similiter inclinatae fuerint, reperietur, propo tionem solidi, circa diametrum D E descripti s in altera J per arm am A a s E D ad solidum genitum sin reliquangura' circa diame. trum de ab area agbeu, componi ex ratione diametri DE a1 . diametrum, d e, ta ex latione lin qua est summa quadritorum AD BE , qMdrviique quadrati si P ad aggregatum q* a d, bequadruplique quadrati g i. i. : i . . si .a
105쪽
. Et insuper reperietur ubi duarum ex appositis figuris diametri DR . de ordinatis normales fuerintl quod intervallum ordinatae BE a centro gravitatis rotundi 1 olidi geniti in altera circa axem DE ab area AGBED se habebit ad intervallum ordinarae be a Centro gravitatis rotundi solidi procreati s in reliqua figura J carca axem de per aream agbed. in proportione Cominpossita ex ratione axis DB ad axem de . ex ratione q: AD cum duplo q: ἄν ad cp a d cum duplo q: gf. & ex ratione. 9uam reciproce habet summa qq: ad. be, quadruplique q: g ad summam qφ' AD . BE. quadruplique Ψ GF.
Datir duabus ordinatis HEx . ADE ad communem diam
reum x E duarum Iemissectionum conicarum aut ocin uarum, abscindentibπs duo segments AGBLE . oth TE. quorum alterum D I E x g comprehendatur a reliquo AGBx E. ω amplius recta linea Ax ridom diametro parasiela claudat pararemmum HEx E inter ipsis ordinatas; ct asta ordinata o i P p dimi- dies ipsam diametram x E. I. Λnvulus genitus, circa diametrum x E per inferentiam. A G NE t D praedictorum segmentorum Anx E . D ET E se habesis adfui um smiliter progenitam a parastremo Ηkx E in dif- ,. Femia quadratorum AE DE cum di ferentia ' qq: Bx- Ex. O cum Padruplo disserentia quadratreum DP . tr assextuplum T '
II. B uti diameter x Z fuerit axis, idem axis x et se habebit ad intervallam sputa ποὶ alterius ax re prioribus ordinatis ΑΣ . B xa centro gravitatis praedicti annuli ut disserentia ρq: AE a Da: cum disserentia qφ B κ . E x , crocum quadruplo ui ferentia M: GF . t F ad Ei eremiam Me Aa . DE cum duplo AG
. nei - Jam solidum genitum circa TE . . ab area Anx g. 4ὶ est ad
106쪽
HKXE est ut summaqq. DE. Ex, qudruplique q. IF ad sextu Plum q. ME . Annulus igitur procreatus ab area AGBEID ad idem solidum paratim mi H xx E eamdem proportionem habeabit, quam differentia qq. AZ. DE Cum differentia qq. B X. Ex .& cum quadruplo disterentiae qq. GF . P ad sextusum q. ZH. Ponatur nunc , diametrum x E esse axem , & v x esse distantiam ordinatae Bx a centro gravitatis rotundi solidi geni. ti Circa axem x Z ab area Di Ex Z; quatenus Ex ad xv l l se si in is babeat in propra ne , in qua est summa qq. DE. EX. quadru- plique q. ip ad quadratum D Z cum duplo q. F. AMLPonaturque x x else distantiam ipsius ordinatae s T a centro ρνον iragravitatis rotundi solidi circa axem x E descripti ab area
AGBxZ; quatenus Ex ad xR sit in proportione, in qua scit lumma qq. AZ.Bx, quadruplique q. GF ad q. AZ cum et duplo q. sp . His positis propa r.
- Notum eii ex mechanicis , quod v a ad st o eandem habebit rationem, quam habet ad solidum rotundum areae DEX Eipi ius differentia a rotundo solido areae ABXE, nempe Praedi- etus annulus areae AGAE ID ; ac propterea vo ad ost se habebat ut solidum rotundum areae Aa xZ ad solidum rotundum areae Di Ex E , & subsequenter, ut summa qq. AZ.Bx, qua druplique q. GP ad summam qq. DE. LX atque quadrupli q. F ; scilicet ut antecedens posterioris ad antecedentem prioris ex duabus supradictis rationibus. Unde est quod Ex ad xo s3 erit ut differentia anteceden. tium ad differentiam consequentium terminorum earundem ra- - 'tionum, videlicet ut disterentia q. AZ . DE cum differentia M. Bx. Ex, & cum quadruplo disterentiae qq GF . i F ; ad dime. Tentiam consequentium terminorum, id est ad differentiam qq. AZ . DE cum duplo differentiae qq. GF . IF . Quare, bc
Si in duabus ex appositis figuris diametri XE . x et norma. les, vel sinu liter inclinatae fuerint ad ordinatas , reperietur quod annulus, genitus sin altera) circa diametrum x g a dif- furcntia AGBEt D arearum AGBxE . Di Ex E se habebit ad solidum progenitum tin teliqua earumdem duarum figurarum J
107쪽
circa axem x z ab area a b x et in proportione composita ex ratione diametri XZ ad diametrum x z . & ex ratione, in qua est differentia qq. AE . DE cum disterentia qq. BX .EX, &cum quadrupla differentiae qq. G p . t E ad summam qq a z b x, quadruplique q. g f; & se habebit ad annuluin laetum sin posteriori figuraὶ circa diametrum x z. per disterentiam agbe id
arearum agbx z. . di ex z. in proportione composita ex ratione diametra x E ad diametrum xΣ , & ex ratione in qua est disterentia qq. AZ . DE. cum disterentia qq. B X. EX, & cum quadruplo diderentiae qq. Gp . ip ad differentiam qq. az . dz
Si in duabus ex appositis figuris diametri x κ . x z fuerint axes: reperietur, quod distantia sin altera)ordinatae B X a centro gravitatis praedicti annuli geniti a disserentia arearum AGBx E. Di Ex g se habebit ad distantiam sin reliqua earundem duarum figurarum) ordinatae ba a centro grevitatis rotundi solidi geniti. ab area agbxn in prop m ne composita ex ratione axis TZ ad axem xet, ex ratione disterentiae qq. AZ . D Z cum duplo disturentiae qq. GF. 3P ad q. a T cum duplo q. gi , & ex ratione , quam reciproce habet summa q* az. b A quadrupli. que q. g ast differentiam qq. AE . UZ cum differentia qq. Bx . Ex , & cum quadruplo differentiae qq. GE . IF . Et se habebit ad distantiam sin posteriori fig.ὶ ordinatae bx a centro gravitatis annuli progeniti. per disserentiam ag be id arearum agbxΣ. drex z in proportione composita ex ratione axis x Ead axem x z L ex ratione disserentiae qq. AE . DE cum duplo differentiae qq. GF. IE ad disserentiam qq. an. dZ. Cum duplo disterentiae qq. g f. i f, & ex ratione quam reciproce habet disterentia qq. az.dn cum differentia qq. b x . ex.& cum quadruplo disterentiae qq. g f. t f ad disterentiam qq.
108쪽
SI Me ordinata Ao. ac ad communem axem CD duarum L. t ει
se sectionum conicarum, aut emindricaram ab ianuam duo ri4rες. Iegmenta AGBCD . NOP CD, quorum alterum N pCD: . ζ' η' comprehen Iur a resiquo AGBCD: O dua oriunata ΕΚ.Ηl addi i ζ. communem axem IR duarum te sectioniam conicarum, aut olim Micarum abicindant alia duo segmenta E L H l Κ . cin S Κ . quo rum alterum odis K comprehenuatur quidem a reliquo EL HlΚ , O st axes c D. ix dimidientur ab aliis ordinatis Go F . LRM.
geniti ab altera AGBCD priarum arearum AGBCD . NOPCD . ac centraliter appensi in ipsa diametro C D DIcta in altero C ex duobus ιerminis iii Ie baset ad momentim rotundi solidi circa se UAaxem lx destistii ab altera EL Hi K posteriorum areurum ELH κ. r. Iria dat s i κ . centraliter appens in ipsa diametro i K Disa in altera i δε inis. 'extremiIarum. componitor ex ratione duplicata rationis, quam Hrβ. 4 hiarit axis CD ad axem IK, ct ex ratione q. ΛD cum duplo q. 'G F adq. E R eum duplo q. LM .
geniti ab altera AGBCD ex prioribus areis, centraliter apsensi in diametro C D fulcia in ahero C extremorum δε habet ad mo-memum annuo, circa axem I κ procreati a disserentia EL Hsa a posteriorum arearum . centraliter appensi in diametro ix sui in altera I extremitatum, componeιur ex ratione duplicata ejus. quum habet axu C D ad axem I Κ , O ex ratione quadrati a Dcum duplo g G F ad disserentum quadratorum E R . vic cum δε- sis a ferentis qq. LM. R M.
CD a riseremis AGBpo N priorum virearum, centralirer appensitu aiametro C D fulcta in altero C terminorum , es ad momem tum annuli descripti circa axem x K per aeserentiam ALIIS RQ Fo eriorum arearum , cevtruuter appensi in diametro i x fulcia in altera I extremitatum , componetur ex ratione duplicata axis C D ad axem l x , θ' ex νatione disterentiae qq. A D , N Deum duplo difremiae M. G p . o F ad diserentiam qq. E K . lasc. cum duis di gemia qq. LM. R M. H a Po- DigitiZod by Cooste
109쪽
Ponatur relatio T. V constinilis rationi axis CD ad axim IK, ac relati O RT consimilis rationi, quam habet lumma qq. A D. BC quadruplique q. GF ad summam ex qq. ΕΚ.HI Cum qua, q-, druplo si LM , quatenus rationes x. V ; R. T ; componant sia proportionem rotundi solidi areae Acaco ad rotundum solidum M p. I. areae EL HlΚ , vel potius illud ad hoc solidum se habeat ut productum X, R ad Productum V, T . .. Deinde ponatur I ad E elle ut q. AD cum duplo q. GF ad q ΕΚ cum duplo q. L M, quatenus proportio, quam habet dis antia ordinatae BC a centro gravitatis prioris solidi, ad distan- ..re, tiam Ordina tae HI a centro gravitatis posteriori solidi com-
'βω. Ponatur ex rationibus X. V. T. R. F. E, dc aequet ar rationi
a 7 Producti x, T,I ad productum v, R, E . His politis. Proportio , in qua momentnm rotundi so idi geniti ab area AGBCD ad momentum solidi rotundi progeniti ab area EL HIR' 3 ex composita tu eli ex ratione illius ad hoc solidum s seu ratione 'i' producti x,st ad productum V. T S ex ratione, quam habet ordinatae Ec distantia a centro gravitatis prioris solidi. ad oris dinatae Hi distantiam a centro gravitatis pos erioris solidi vel ratione Producti x. T, F ad productum V, R . Z ac proptereae aequatur rationi, in qua est Productum X, R, X, T, I ad productum V, T, V, R, E, Vel in qua est Productum x. x. I ad Productum v, v, E; vel potius componitur ex ratione duplicata rationis x. v, vel f Oh construrionem J rationis axis c D ad axem IK. & ex ratione I. E , vel iob construtionem J ratione q. AD cum duplo GF ad Q. BK cum duplo R. LM . Ut primo loco proponebatur. Praeterea momentum rotundi solidi geniti ab area EL Mi K. centra iter appensi ex distantia IK, filicta in termino I ad momentum annuli gessiti a disterentia EUHS Ra arearum EL HI Κ.. , .. QRS Κ cenetrali ter quidem appensi ex einem distantia i κ Dicta νν. υν. in Iermino I, proportionem nabet i l compositam ex propor- δε-- 2. tione; m qua est ordinatae H I distantia a Centro gravitatis il-ν totundi, ad distantiam ipsius ordinatae H I a centro
gravitatis praedicti annuli & quae constat ex ratione q.
Εκ eum duplo q. LM ad differentiam qq. E K. cI cum duplo differentiae qq. LM. R M. & ex ratione , quam reciproce
habet differentia LE. Κα cum disterentia M. HI. SI , R
110쪽
eum quadrupIo differentiae qq. L M . R M ad summam qq. BK. Hi, quadruplique LMὶ & ex proportione ejusdem
solidi rotundi areae EL Hi K ad piae fatum annulum areae E L H S R a , seu m proportlone lunamae qq. ΕΚ. HI quadruplique q. LM ad differunt iam qq. ΕΚ . QI Cum disserentia primaqq. HI . SI , & cum quadruplo differentiae qq LM . RM : unde
Constat momentum praedicti solidi rotundi geniti ab area EHi K ..i;
ad momentum praedicti annuli elle, ut q. Ex cum duplo q. LM ad disterentiam qq. E κ . alc cum duplo differentiae qq. LM RM . Atqui momentum solidi rotundi procreati ab area ABCD est ad illud solidum rotundum areae E Hlκ in propra ne compositas ut superius ostentum est ex ratione duplicata axis CD ad axem IK, & ex ratione q. AD cum dupla q. GF ad q. Eκ eum duplo q. LM; patet igitur idem momentum rotundi solidi g niti ab area ABCD ad momentum annuli progeniti ab area EL HS RQ esse in proportione composita ex ratione duplicata ejus quam habet axis CD ad axem IK, & ex ratione q: AD cum duplo q: GF ad differentiam qq: ΒΚ . at cum duplo differe tiae qq: LM . RM : ut secundo loco proponitar. Denique proportio , quam habet momentum annuli geniti ab area AGBPN centraliter appensi in diametro cD sule a intermino C, ad momentum solidi rotundi procreati ab area ABCD, & similiter appensi, conlimilis est ex nuper Ostensis, rationi, quam habet differentia qq: A D. N D cum duplo differentiae qq: GP. OF ad q: AD eum duplo q: GF: & hoc momentum solidi geniti ab area ABCD ad momentum annuli descripti ab area EL HS Rcia ac centralitvr appensi ex di stantia i κ fulcia in termino I , est in proportione compolita ex ratione duplicata ejus in qua est axis CD ad axim I Κ, & ex ratione q: AD Cum d Plo q: GF ad disterentiam qqr Ex . cim cum duplo differentiaeqq: LM. R M. Praedictum igitur momentum annuli procreati ab arca AGBPON ad praedictum momentum annuli progeniti ab area EL Hs Rcti se habcbit in propra ne composita ex rati Ono duplicata rationis axis CD ad axim i K, & ex ratione differenta