장음표시 사용
91쪽
parametrum BD ad sextuplum rectisti DPhasim Aematia stantiam c o ejusdem diametri ca a centro gravitatis ipsius f miportionis, istantia ordinatis aequidisfarrdebet , t bucu uesupposuimuS. Per parametri BD terminum D ducatur ea recta DF, quam regulam appellavimus eum piaclarissino mesa in in demoupstratione' propolitionis ata,' & quae parabolfi diametro atqui distat, & in reliqui; sectionibus cum diametro convenit in Opposito vertice sputa Ini Et his e regulae Dp occurrat in sordio ala AC, & in 11 quaevis 'a Iia ordinata IIc; quatenns 'r δε α la UcB . MKa respectivis. hq: Αc ix adaequentur.' st Moydum agatur recta EL H ipsas Ep. RM . siti dimidians , fiatqud FG aequalis BE, & completo trimio G Ac , ablathdatur in satere ho ipsius subtriplutir e v, ita ut aequilibrii centrum tri α litinae. ἡ-GBC, respe fit uteris CB fit lxxin Encha v.
92쪽
ane qr c A aequale erit, proindeque Ae ad e T se habebit, ut sc ad Ac, sive ut tri ratum seu ad tri tum ΑΒ e; quamobrem proportio semiportionis Al BC ad triangulum ABC, quae s mPonitqr οπι ratioue areae AI: Rc ad uim tum G BC seu ratione
, Semiportio parabolica Ai BC adiim α luminscriptum Aschabebit, uI hasis Ae ad duplum intervalli co, quo diameter abest a centro gravitatis semiportionis Ahcs&c. 1 . , ii In hac quippe hypothesi, quadratum AC aequatur rectrulo CBD. atque Proportio semiparabolae AIBc ad trimium ABC , quae sequatur rationi redimii e BD cum duplo q: Ac . ad sextu-Plum re et ii Azo . siundis erit rationi, in qua eii triplum q: ac ad sextuplum redimii Aco, vel in qua est Ac ad ico.
COROLLARIUM. II. Hyperbolae. & e Ilipsis semiportio Atac erit ad inscriptum
tri tum AE , ut rectangulum ex A C in B x-- ac x ad lex tuis plum tech m li xc . Nam in hoc casu regula DF transit Per verticem. Opppsitum x. atqRe proportio semiporpionis A i a C ad tri m lunt ΑΒ e . quam vidimus componi ex ration e AC .. 3 co . & ex ratione rectrali sBU cumauplo. q; ,Α.c , aut cum duplo rec)αlι Fc Bad duplum q; Ac , seu rericli: λ.ς B, vel rat Ione OD '' ac F. aic F.seu ratione B - 2 cx, a Ox, aequari debeti rationi in qua vit recimium ex A C in is x ac x ad sextuplum re et is li
93쪽
AItera sectionis conteae portio Aille ad aliam si be proin portionem habebit compositam ex ratione altitudinis BR ad autitudineri b r ex ratione in qua est hect Hum diametri e a triparametrum BD cum duplo q: basis AH ad rect Mum diameatri eb in palametrum bucum diplo q: hasis ae; & ex ratione, quam reciproce habet distantia P o diametri eb a cenitro gravitatis posterioris semiportionis albe as intervallum diametri ca a centro gravitatis prioris lemiportionis' A se. Iam proportio semiportionis Rille ad semiportionem aib c , quae Componitur ex ratione semiporti'nis Ais C ad trita lumantae. ABCs seu ratiohe trirectisti cs D cum duplo qt Ac ad sextuplum p v 'is It Aco) ex ratione tri mii Aac ad trivitim ab c seu rect Mi Ac, BR ad rect Mum ae , br) Sc ex ratione trim Ii Eboad semiportionem albe vel sextupli rectiat aes ad rect Mumebd cum duplo q: a e componi debet quoque ex ratione rect Ut ca D cum duplo q: Ac ad rect Mum ab d cum duplo
q: ae 3, ex ratione rect Mi Ac, BR ad rect Mum ae , br . Seex ratione rect Mi aco ad rect Mum Aco; vel potius compo ni debet ex ratione BR . br; ex ratione rectam Is c BD cum duplo q: Ac ad rect Mum c bd cum duplo P ac'; εκ ex M.tione eo. c O, &c,
datur in duo trilinea A I B . NBα. sterim trilineum At B Q erit ad inscriptum trimium AB a , ut ream rem ea D sub portionis diametrum ca in parametrum BD , eum duplo rect ti A N , ex basis μmentis Aa . um ad
sextuplum rectrali Acti, o c , sub trilivri basim A a m inter Llum o c ordinatis parallelum ) ipsius diametri a C a centro gravitatis Uuliam trilinci ΛΙΕ M.
94쪽
Ponatur primo trilineum At Ba elle ad alteram partem diametri CB ι a qua abscindatur ipsius tertia pars CV , & Per para- metri BD terminum D agatur diametri BC regula DF, ut in praecedenti, & per rectam EL H dimidientur rectae BD. CF, & cujusvis aliae ordinatae ix E segmentum ΚM, fiatque duplum re ct Mi PCB aequale quadrato Ca , & completo tri lO PBC, fiat XH aequalis H P, & x G semiparametro BE; claudaturque tri ratum G BP, cujus centrum aequilibrii respectu retiae Ecli) erit in puncto V; solidumque, circa GP genitum ab hoc tri rato G BP
aequabitur solido, circa BD procreato per quadrilineum PBEH . His positis Cum P Ac redimio pes sob regulam D p u duplo rectrali
Hc B sit aequale , quadratumque cin duplo rect ii PCB, Per construtionem , adaequetur ; quadratorum AC . 2 disterentia
duplo rect ii H p , ea erit quidem aequalis: similiterque duplo
recim Ii LR, ΚΒ aequalis invenitur quadratorum i κ.sΚ disterentia; quare superficies, circa BC genitae a rectis A . lS , superficiebus , circa B E procreatis per respectivas rectas PH.
ι aequabuntur ubique et solidumque circa ca factum a trilineo AIBα solido circa BD genito per quadrilineum H PBE, Vel potius solido, circa G p descripto per tri tum G B p par erit; ideO-que trilineum Alaci ad tri α tum G a P se reciproce habebit ut distantia v c ad distantiam OC , vel ut CB ad 3 C O . Ulterius secando diametrum B c ita in T, ut B T ad T ceamdem habeat rationem, quam rect m tum CBD ad duplum re- ct m li Α om ; componendo essicietur relatio B c. Τc similis rationi rectisti cBD cum duplo rectisti A a N ad hoc duplum. Rursus cum ae B ad T c sit ut rectra tum c BD ad duplum rect Mum Α αν, vel ut rectra tum c BE ad rectra tum Acis, seu ad duplum rectαli H P , CB setenim per quintam a. Elem. rectangulum A adu aequatur q: Ac minus q. uc , seu , per supradicta, rectangulo F CB minus a PCB, seu a H CB minus 2 PCB, vel demum a Ap in cB sive ut EB ad 2PH, vel ad x p. vel potius ut G x ad x p ex suppositione ; componendo orietur relatio B c . C Tmilis rationi GP . x P; rect m lumque GP , T C rect m lo LP, CB. vel rect m lo A N aequabitur; atque Proportio GP . A , vel tri rati s BP ad tri tum AB rationi Na . CT assimilabitur ;atque proportio trilinei Ai BQ ad uim lum AB a , quae comoponiis o g. 74
95쪽
ponitur ex ratione trilinei A BO ad triangulum G BP seu ratione cB. 3CoJ & ex ratione trimit G BP ad tri tum Anci s vel ratione Na . CT componetur quoque ex ratione N 3 c o seu ratione 2 Α a in Nin. ad a A in 3 Co) & ex rat Io ne B .cT , seu sob consi rutionein ratione rech li e BD cum duplo redimii A N ad hoc duplum; quae rationes componunt rationem rectanguli CBD cum duplo rectanguli A N ad se
M s. Detur nunc trilineum AIBa non reperiri totum ad alteram partem diametri CB, & subsequenter trilineum o BEN , quo illud deficit ab integra portione ΑIBEN, jacere ad alteriram partem ipsius diametri c a . Et quia in diametro B c existit centrum gravitatis ejusdem integrae portionis AIBENnempe aggregati duorum simul bilineorum Ais EN; si ponatur v c este distantiam diametri Bc a centro gravitatis tri linei cis EN , ordinatis parallelam ; trilineum At BQ ad triti M. tiri. neum Q BZN erit reciproce ut distantia cu ad distantiam eiis. c o, vel ut sextuplum recimii No . ev ad sextuplum rectruli Nin . CO; sed trilineum Q BZ N ad inscriptum iri m lum QANeli sex praecedenti casu) ut rei ratum e BD cum duplo re ei tali
AON ad sextuplum rectruli Nu . o V; atque tri tum N QP est ad traditum AOB ut No ad Atia vel ut sextuplum redi Ii Nα.co ad sextuplum reci li Ac co; patet edi aequo perturbate trilineum A lBα ad tri tum AB elle ut reci lum CBD . cum duplo redimii Aom ad sextuplum rech li Αα . co. &c.
A 76 I eouisae siectionis semiportionem DE si contingat , is termina
E ordinatae ΚΕ bisecantis diametrum pi, recta sinea EB.
O quae cum ipsa diametro producta conveniet in aliquo punctoa, a quo ad Myis Di imminum D ducta sit recta os . L Semipiortis D E pi se habebit ad tritatum D Ei ut ipsa basis Diad triplum inter uriti Ti ordinatis paralleli) quo ina diameter i r ubes ab ipsus siemiportionis centro gravitatis. II Solidum, circa diametrum Pa genitum a seni θοWione DEF equabitur lolido similiter progenito per tri tum DBI.
96쪽
Protrahatur tangens BE ut compleat tri m lum ABI , & O di nata per verticem F. xecta F s compleatur tri tum SΚF,
ipsique simile, & aequale , Ri , dc ordinetur quaecumque recta
ferentia qT Ar . Di quadrato Iu aequalis erit, atque superficies circa I F descriptae per rectas AD . vi inter se t I aequabuntur. Parique modo superficies genitae per rectas o M . N P inter se aequale S ubique reperientur et unde colligitur, quod excessus solidi descripti sirca ia per tri tum A si supra solidum similiter factum a semiportione DEp summae solidorum similiter. Procreatorum a 'triangulis v k ρ. Ksa aequiparabitur. Praeterea proportio. quam habet praedictum solidum trimit Asi ast solidum tri α li . υκ i componitur ex ratione BI . 1Κ . seu ratione pro dueti ab ton in q: r,. ad cubum I K , & ex ra tione q: A i zd v i, vel ad disterentiam ql A I . D I . Atque proportio , in qua est hoc solidum trirati v K I ad ipsum solidum 'una cum solido tririli sa K facile reperitur consimilis rationi cubi kr ad 'paratim dum q. hi in Bi . Praedictum igitur 'lidum rei in ii Asi ad duo simul solida tri mlarum v ki. Η κ , nempe adi Ilius solidi Asi excessum supra smdum semiportionis DEPI, se habebit in propmne composita ex ratione q: A I ad differentiam qq. A I . D I ; ex ratione producti a q. iΚ in Bi ad cubum I κ , Se ex ratione hujus cubi ad illud productum; scilicet se habebit ur q. Ai ad ipsius excessum supra DI Convetiionem rationis idem solidum triti Ani erit ad solidum semiportionis DE Fi , ut q: AI ad TDi, sive ut idem solidum trirali AB i ad solidum tri dili Dai, est, proinde adesquabitur solidum semiportionis DE FI . Quapropter semiportio DEFi ad trim tum DBi erit rectis proce, ut lateris Bl intervallum a centro gravitatis tririli Dai,
nempe ui subtriplum lateris D i, ad intervallum TI, vel potius ut hi ad 3 Ti. inde.&c.
97쪽
η4 8s secunda I H, tertia κH eommunem babeant terminum H, Oct a s. in eadem recta μι constituta , atque in hae recta datum sit . punctum O, ita ut io ad OK sit ut anteeedens d maerioris d ead antecedentem prioris raιionis a . . b. . n. r. I. Dico, quod ubi punctum o dividat disserentiam ill poste-σ 7 riorum rectarum i H . RH; erit GH ad Ho ut summa antece ν dentium d O a ad flummam eonsequentium terminorum eo b. Ag 79- II. Dico , quod si punctum o sit in praedicta disserentia igata: prodina; eris GH ad Ho ut disserentia antecedentium d σε act s . ad infrentiam consequentium terminorum e O b. e. s. m. Dico, quod quoties punctum o dividaι aggregatum Ixis 36. posteriorum rectarum i H . RH; eris toties GH ad Ho ut tum antecedentium d cer a ad disserentiam consequentium terminorum
di 88. ducto p erit GH ad Ao in disseremia anteetaentium d O a ad summam consequentium termiuorum e O b. inclinetur GH ad aliquem angulum rectae, in qua existunt ipsae H . ΚΗ, & junste GK ducatur ab I parallela I P, conveniens cum juncta Go in P, atque ex l. P sint IM .PM ipsis GH . I
Iam, ob similitudinem trim lorum lM P . GHK, erit IM ad GH ut I P ad GH , vel ut io ad ox, sive sob hypothetim
Et summa sin duabus primis figuris ac differentia sin sex
sequentibus) terminorum IM . a H nempe G N ad conlequentem G H erit ut lumina quidem , aut differentia ipserum d.
Quia vero M P ad Mi est ut ΕΗ ad Ho , vel ob hypothesim in ut e ad d; & i M ad G H est ut d ad a sui mox vidimus poniturque G H ad i H ut a ad b L erit ex aequo M P
98쪽
ad iM , ut e ad 4 , atque summa in prioribus , fitque aisse. rentia in posterioribus figuris , terminorum MP. H puta N p ad consequentem I H . ut summa pariter, aut disterentia aplo. Tum e . h ad . .
Sed i A ad ΗΩ , per hypothesim . se habet ut b ad a , & Maad No est ut a ad tum inam, aut disterearaam ip Brum d . a tui supra ostensum est) ergo ex aequo Np ad No, vel potius Hoad HG . erit ut summa, seu dimerentia conlequentium e , & bad sumniam, sca disterentiam antecedentium terminorum d Sc a et unde converrendo constat quod primo, δι secundo loco pro nebatur. Eodemque progressu, mutatisi mutandis, Ostende. tur in reliquis figuris, quod tertio, ac quarto loco dicitur.
THEOREM A XXII. Propositio 26.
SI recta linea Aa m duas parabola diametros Aa . DE. in. M s.cidens, parabo Lam ἔκυ- πω stiet inter ipsas diam reos, claudat autem pura,sicum patium ABCDE: έν -- s4. ys. ptias recta linea BD, vertices jungem earumdem diametrorum, 9 6 θ O quae ad aham disserrum, puta Noc, ordinata erit 'Τ' 'olaudat tum illa incidente AE , ω inter Hus diametros AB. DE rectilineum ABDE; atque recta linea Da ducta per verticem Daiseriasi DE harum diametrorum aequitan praedictae inei uti.
L. Paraboti m Darium A Rc DR se habebit ad rectilineum ABDE in oppositarum basium Aa . D E lumina cum quadruplo ab cissae e N ad ιν tum e-- m basium MAI flvmptaraim ι i IL Et se haberit ad parasimmum AD, E ut praedictarum ha-β- - . DE aggregam , cum p drupla praedicta absissae e Nad Jexivium bases DE ipsius paraam . III. Incidens supradicta A E ad sibi paradrium intervallum, quo altera A a opposietarum basium abest a gravitatis centro pa. rasalici Datii Aacra E, em in eaondem basiam AB. DE Jumma cum quadruplo abscisa C N ad re siquam basim D E cum duo plo ipsi mra absissa CN . - - , d -Jam bilineum parabolicum ac D tu est ad triangulum neci H p rejuidem basis, & altitudinis, in pros ne sesquitertia, sicilicet
99쪽
ni co ad 3 eo; tri tum vero ac D ad rectilineuiti AUD est ut 3 cci ad AB-DE- 4 No; ex aequo Igitur bilineum Ecti erit ad rectilineum ABDE ut 4 co ad AB AEDE F NOέ. ac propterea parabolicum spatium Anc DE se habebit ad rectilineum ABDE ut AII in DE ' 4 N C ad AB -- D E Noi vel potius ad 3 AB-3 D. B.; quippe. qui a N aequat AB. MDE. Petet igitur prima conclusio. Hoc autem rectilineum A a DB est ad paratim mum E AOD ut 3 Α Β -- 3 D E ad 3 Aas 3 DE , sive ad 6DE; ex aequo iterum parabolicum spatium ABCDE ad Patali mum E A MIetit ut.A.B. Φ DE - CN ad. 6 D E . Quare constat secunda conis elusio.
Praeterea cum parabolici bilinei ac D centrum gravitatis sit in diametro cO, punctum N in recta A E erit ejusdem bilinei
centrum et ulibrii, ae proportio A E . AN erit dupla. Deinde si fiat E i ad i A. ut D E -'' 2 ΑΒ ad A B - a DE, Pun- , flum i in ipsa necta A g. erit rectilinei AEDE centrum aequi- i . do libri. , atque relatio EA . AI similis erid rationi ,3 UE - . 3 AB . - A a -ε. a DE , vel rationi o ON . D E - 2RO . At si in eadem recta. AE ponatui P esse parabolici spatii is ABCDE centrum aequilibrii; erit in N. P ad ii P, ut rectilineum H ebo.. ABDE ad bilineum BCD, sivo ut A ''DE No ad Φco, sive ut 6NO- ad 4CO.. Considerentur nuna duae pvportiones, quarum primat sit ratici 4CO . 2 C O, cui adaeqyatur relatio ΑΒ. A ,. secunda v xo sit relatio 6 No . Eo--aNO , cui consimilem esse agnovimus rationem Ελ. Ali; &; animadvertatur insuper, quod N Pad ip est ut 6 No ad MO , videlicet ut antecedens secundae ad antecedentem primae earundem rationum ;. rebusque siς
stantibus concludetur, sper praecedens lemma J quod Ea se habebit ad A p f nempe ad intervallum, ipsi AiE parallelum quo basis ΑΒ recedit a centro gravitatis parabolici spatiii Lac DEI' ut summa, in lum 8919at 93. M ut differentia in. reliquis e
nundem, ani cedentium , ad summam quidem , aut differentiam consequentium torminorum id est ut 6 No-- 4 COA ad BD a N O -- a Co, videlicet ut ΛΒ ωDE- CN ad Eo-- a CN .i Quod tertio loco, dcta
100쪽
Ex progressu demonstrationis habetur. quod proportio imcidentis A E ad segmentum AI nempe ad intervallum, eidem A E parallelum, quo gravitatis centrum rectilinei ABDE receis dit ab altera bale Aa consimilis est rationi, quam habet 6 Noad DE a No, vel ratroni in qua est D E - ΛΕ- N. ad
Proportio, quam habet parabo icum spatium ABCDS, in altero ex novem appositis schematibus, ad spatium parabolicum a/ e de , in alio ex iisdem schematibus, Componetur ex ratione normalis incidentis in oppositas bases AB. DE prioris spatii Aac DE ad normalem incidentem in oppositas bales ab de Posterioris spatii ab c de . & ex rata e , quam habet AB DE' CN ad a b --de e cu .l i i Quandoquidem proportio spatii Aac DE ad spatium a bedo composita est ex ratione spatii ABCDE ad parali mum A ME, seu ratione Au --DE .. 4 CN . 6DE ἔ ex ratione parali mi AMIE ad parali mum aqde Constante ex ratione hasiis DB ad basim de . seu ratione 6DE r 6 de 3, & ex ratione altitu dinis ad altitudinem di ex ratione parat in mi aqde ad sp tium ab dce. seu ratione 6 de .ab- de P qc n.
Solidum descriptum circa alteram A a ex oppos is hasibus AB . DE Parabolici spatii Aaco E ab ipso spatio se habebit ad soliduinumiliter factum a parali inmo ABD u , ut hasta DE huius parallelogrammi cum duplo ipsius cN ad triplum ejusdem
illud enim ad hoe solidum se habet in promne composita ex ratrine spatii ABCDE ad parali mum AED , seu ratione AB--DE--4CN. 6 DE, & ex ratione, quam habet doplum distantiae pa rectae Λη a centro gravitatis illius irinxi