장음표시 사용
81쪽
ctis Ἀκ . pr inter in erunt i aequales : eodemque progressu, ordinando quamcumque rediam aes R , inter se pates ubique reperientur luperficies progenitae quidem circa diametrum I E a rectis X R , TS : quo circa solidum descriptum circa ra a tria lineo P EF , annulo similiter facto per trilineum a Lx solidumque parali rami P Bis annulo parali α mi Ag CD, atque solidum quadrilinei PBi E annulo quadrilinei Ls ADC aequabitur; dummodo ipsa solida circa ill aescripta intelligantur. ιEt in luper annulus quadrillaei As L CD ad annulum parali rumi Axc D se havebit ut solidum quadrilinei pat E salteram basim IE habentem , quae semitransverto i E congruic ad solidum parest mi P. BIF , scilicet sper ea quae in superiori casu ollenia sunt ut q: FB cum triplo Fo ad sextuplum rectrali OPI: l . . Unde proportio quadrilinei Ls ADC ad paratim tuum Axeracomponetur eT Tatione Cae, a limi & ex ratione illius ad hunci
annulum, seu ratione q: FE cum triplo q: Fo ad sextuplum rectili opi: sed parali α mum AK CD ad traperium L ADC est ut 1 AD ad AD--LC, sive ut ara ad Fo , vel ut sextuplum rectrali OFI ad triplum q: FO: constat igitur, quod proportio quadrilianei As L CD ad trapetium A L. CD componetur ex ratione Cin . Eim; & ex ratione q: FE cum triplis q: F O ad hoc triplum R. e. . D.
Denique si secticinis conicae centrum I reperiatur inter ordinatas A D , L C quadrilinei A s LC D, Sc balis L C major sit i g. s 3. mino autem balu AD iu R. sq. & completo parali ramo LCDG. producatur L G in P ; quatenus LP sit integra ordinata ad dia metrum is, Compleaturque Parilimmum LPκ C, ac trapetium p ADH, & facia r o aequali ad I E iit I n distantia centri gravitatis quadrilinei P A DH a praedicta diametro i F. Et quoniam sectionis centrum i est etiam centrum aequilibrii quadrilinei L sp AC bases L C. PH aequales habentis, constantisque ex duobus L s ADC . PADH; proportio quadrilinei Ls ADC ad quadtii ineunPPADH similis erit rationi, quam reciproce habet ni ad I .m, vel a n I ad a. Im; sed quadrilineum PADHad trapezium P ADH est sex praecedenti casu) in propra ne compoli
hoc triplum; atque trapetium P ADII est ad trapetium L AD Cut D H , seu Ca ad CD ; colligitur inde , quod proportio quadrilinei LsADc ad trapetium ΛLCD componztur ex ratione Ca
82쪽
Solidum genitum circa diametrum is a quadrilineo Ls ADCn48 as ad solidum sunt liter progenitum a parati m ino CDv se habebis ut q: ex differentia E p cum triplo q: ex summa F O hasium
AD . LC ad sextuplum rectisti OF . IN sub iplam summam opin semilatus transversum I N. Cum quadrilineum L s ADC ad trapetium L ADc sit in proprine composita ex ratione, quam habet C ut 1 . I n,& ex ratio ne quadrati EF cum triplo quadrati o Fad hoc triplum; atque trapetium L ADC iit ad parali di mum CDV ut CL 'AD ad 2 vovet ut E I F I ad a N i, vel ut F o ad a. N, sive ut quadratumor ad duplum reclinii FO .iN, vel potius ut triplum q: Foad sextuplum rectisti vo .. N ; constat igitur quadrilineum L s ADC ad parali ramum CDU elle in proportione composita ex ratione Ccia. a. I m; & ex ratione quadrati EF cum triplo q: o sed sextuplum rectra It FO . IN.
Atqui solidum descriptum circa IF per quadrilineum L s ADC ad solidum similiter descriptum a parati m mo CDV componitur ex ratione 2. Im . Caa& ex ratione quadrilinei Ls ADC ad 0 parati m mum c D V, composita sui vidimus,) ex ratione si I eae Cata. a. t νὴ &, ratione quadrati EF cum triplo q: op ad sex IVP 'tuplum redimii FO . iN, patet igitur solidum quadrilinei Ls ADC ad solidum parali α mi CDV este ut q; EF cum triplo q: OF ad sextuplum rectrali OF. IN M. .
SI recti linea A c contingens conicae sectionis eurvam in termino
A asterius ordia rae Aa ad aliquam diametr- x E, auudat cum alia ordinata GEF, ct cum i a curva triliueum GADEJarens ad alteram parim in tu diametri . , . - Idem trilineum GAD E eamdem proportionem habebit ad triam gulum GAE, quam G F ' E F ad Implum intervalli, ordinaris p.
rasieli sputa iurervalli. OF quo ψω diameter recessis a cens gravisatis praedicii trilinei. E a Ab
83쪽
. 3 Ab ordinata EF sumatur segmentum FH se habens ad GR ut GF -- EF ad 2 F B; quatenus quadratorum GP . EF ditarentia duplo rectruli H FB adaequetur,i luperficiesque circa XZ, genitato .,. P -GE, superficiei cylindricae, circa AB descriptae a,''9 a. recta pH sit tu aequalis: & completo triangulo HBF, secetur fav. 1. ejusdem latus FB in I ina ut segmentum lF lit ipsius FB subtri- 1 .ae , Plum, ac Propterea in eodem latere aequilibrii centrum triri lierim M H a p s sit idem punctum I. ατι. i. Didinata Postmodum quacumque recta CDv KL, trilineum
prop. t . G AD E. ac triangula GAE .HBF secante, quadratorum GP . Es
i ii ista differentia se habebit t3 ad differentiam quadratorum C Κ.Dκ ut:...inis. quadratum G A ad quadratum C A, vel ut quadratum FB ad quadra tum Ra , sive ut rectra tum H FB ad rect in lum L ΚΒ: & cum sperconstrutionem duplo rectrali H FB adaequetur differentia qq: F . EF, neceste est quadratorum CL. DK differentiam duplo rectis It Lx B parem esse, &consequenter superficiem descriptam circa diametrum xΣ per rectam CD sequari cylindricae superis ficiei circa BA genitae a recta KL ubique, solidumque, circa x κprogenitum a trilineo GADE solido circa B A procreato per tria tum H EF esse quidem aequale ; quapropter trilineum GAD E adia exu. tri di tum Hs P erit t4 reciproce ut distantia r a ad distantiam 4 DF, vel ut 3. IB, seu a FB ad 3 OF: triangulum autem HBs est ad trita Ium GAE ut FH ad G E. vel sob construtionem uecp- EF ad 2 FB: trilineum ergo GAD E ad trimium si AE erit ex aequo perturbate ut G F -- E F ad 3 OF Quod,&α
Unde est quod bilineum ADE se habebit ad uim tum cAE ut est ad 3 o p ipsius excessus iuria G P -- BF.
- , ab Irecta linea AGR rem en per terrinos duarum semiordia
natarum AB. T ad diametrum xa Iectionis conicae . clau-
dat cum caris ejusdem sectionis, Ocam alia ordinata Ea Frrisiarum E D Λ G , Iacens ad asteram partem Vsius diametri, Hoc
84쪽
me trilineum EDAc erit ad tritatum E AG ut rectratum siubAR 'a GR iu EF pG ad sextuplum rectrali sub an in intem vallum s puta o p ordinatis parallelum, quo ipsa diameter x Erecedit a centro gratatatis ejusdem trilinei. Producatur E F, fiatque F H ad G Ε ut E F PF G ad 2 F T; quatenus duplum rect m li ripae differentiae quadratorum EF. GF adaequetur, atque completo trim Io HBF, abscindatur a latere B F lubtripla pars i p , adeout in ipso latere punctum i sit is Iu ejusdem ita ili centrum aequilibrii : & ordinetur quaelibet Arebim recta DCKL, quae trilineum EDAG, triangulumque HBF ω
Et quia quadratorum Ep, cp differentia i in est ad differentiamqq. DK.CΚ ut rect is tum RG A ad rectratum RCA, vel ut re- g lum TFB ad rectis tum T Kn, sive ut rect m tum H FT ad mιs. rect tum L ΚΥ duploque rectrali H FT sequatur per con- strutionem) differentia mi Ep. sp, etiam disterentiae qq: DK CK aequari debet duplum rectruli LΚΥ, superficiemque circa Epgenitam a recta Dc superfiei et cylindricae a recta KL Circa RT s13 Procreatae adaequari ubique ; solidumque circa BF factum a T. dig. trilineo EDAG solido circa TR procreato per triangulum H B p;-' 'unde trilineum EDAG ad tri tum H BF lvi erit reciproce ut sc σου. distantia i T ad distantiam OF , vel ut 3. T ad 3 F; nempe ut BΥ--2FT ad 3 OF. Atqui nimium Map est ad trim tum G AEut FH ad GE, vel ob construtionem ut EF - GP ad aT F. proportio igitur triis
linei EDAG ast tri tum E AG componetur ex ratione B TU aTF . 3 OP. & ex ratione EF - FG . 2 Τ F, vel potius componetur ex ratione EF - FG . 3 OF ,δc ex ratione B T - . 2 TF . 2 TFseu ratione ΑR-- χ GR. 1 GR. & adaequabitur rationi, in qua est Productum ab Aa -- a GR in Ep, FG ad productum a 2GR in 3FO, nempe ad sextuplum rectαli OF . GR. Quod &z.
85쪽
THEOREM A XVII. Propositio I9.
- ἡ TNsectione conica , si recta linea Ac jungens terminos duarumis ει. Iemiordinatarum AE . cx ad eamdem partem diametri xE , A claudat bilineum A g a c , dimidieturque ram ab alia ordinata H K G , quam a bilinei diametro B H, me bilineum Axac se habebis ad rectilineum A XE , ut quadratorum Hs . Ea disserentia ad sesquialterum rect si sub AE- C x in intervallum ordinatis parallelum quo bilinei centrum gravitatis α ea a praedicta diametro XE . Concipiatur bilineum ABC elle parabolicum, aut hyperbolicum in duabus primis figuris, ellipticum vero in reliquis, αε amplius jacere ad alteram partem diametri x et infig 6 i. 6 a. 963. sed non ita in 6 . figura, in quo casu ipsum balineum AKBC
In priori casu, in ordinata EG sumatur segmentum G M potens quadratorum Κs . HG differentiam, nempe medium proportionale inter summam , & inter differentiam iptarum Κ G .HG, & completis parali mis MaxN . M GEO, trianguloqueos N, ordinetur quaecumque alia recta FE iv T ad diametrumtii νὸρ xZ , & ab ejusdem tri li diametro G M abscindatur tertia parsis rebime 'quatenus P I I sit centrum gravitatis ipliusmet trianguli. - . , ... D cum quadratorum ΚG . Ha differentia ad disterentiam qq:1JHi F I. E I sit, ex conicis elem. ut redi m Ium CHA ad redimium c E A. 1ὶ M. sive ut redimium NMo ad resim tum N T o, vel potius ut q: GM,jὸ, ad disterentiam qq: IT . tu; haec disterentia disterentve qq: Fi . a. Et par erit quandoquidem G M potest, ex construtione, diste 3 in remiam qq: GK. sis & inter se s 3 aequabuntur superficies s sv 'circa xκ genitae a reolis EF. Tu ubique; dc partier inter se aequalia erunt solida circa XE , genita a bilineo ABC, & atri m
4 ex η-s Io ΟGN; hi lineumque ABC ad trimium os N erit i l reciproce IUP ut distantia νc ad distantiam Rc , vel ut G M ad 1Mt: sed rei raIumos N est adrectilineum ACxZ ut G M ad AZ -- cx; bilineum igitur ABC ad rectilineum A CXZ erit in proportione composita
ex ratione G M. I ast, & ex ratione GM . AZ--Cx scilicet ut
86쪽
q: G M, seu differentia qq: Κs . Ha ad sesquialterum recurali sub a n AE 'CX. . In posteriori casu si a centro gravitatis S bilinei ΑVc, quo D. 64. datum bilineum AKCa differt ab integra ellipse, ordinetur recta sT ad diametrum xE:&cum ejusdem ellipsis compositae ex duobus hilineis ABC. AvC, centrum gravitatis idem sit cum Centro G figurae, & consequenter sit in diametro x E ; bilineum ABC ad bilineum Au C erit reciproce ut distantia sae ad dillantiam Rci . vel ut sesquialterum ad sesquialterum sive ut L ST In A Z - C x ad a RQ in A Z - C xοῦ atqui ex Praece denti casu bilineum Ave est ad rectilineum AzCx , ut quadratorum H G . RG differentia ad L sae in AZ- CX ex aequo
igitur perturbate, bilineum AEC erit ad rectilineum Λ CYZ ut differentia qq: HG. ΚG ad LR n AZ 'CX. Quare,&ς.
Selmonis conicae segmentum ABCXT jacem ad alteram par- - ίου, tem diametri x E se habebit ad rectilineum A cxE , ut diste- , rentia qq: HG. RG cum sesquialtero producti ab Ra in AZ-C x ad hoc sesquialterum. idem segmentum ABCxΣ ad rectilineum A CYZ se habebit σ1. ut defeetus differentiae qq: HG. RG a sesquialtero producti R in Α Z- . C T ad hoc sesquialterum.
Conicae sectionis semiportio AB cet ' habet ad tri tum AXE
in scriptum, ut recI Ium Z CN Jub diametrum Ec in parametrum C N cum sextuplo rectanguli basis A et in dictantiam uJ ipsius diametri a centro gravitatis bilinei ABC ominatis parasielam, ad hoc sextuplum. A termino N parametri CN, ordinatis paralleli, ducatur ea linea recta NMO, quam regulam vocat praeriarissimus Vivi aut Praeceptor meus, in tua Divitiatione de Maximis, O Minimis, qua bali M. 6 s.
87쪽
basii AE occurrat in G, ordinataeque x Ma diametrum eZ dimia dianti occurrat in M. &a vertice C agatur recta C so, &C. Jam rectra tum s M , a C subquadruplum est rect m li EcN; quandoquidem s M subdupla est parametri c N , & G C suboupla diametri C E. Et quia quadratum A Z, ob regulam N aequatur rect α lo OZC , atque proportio quadrati AE ad qaudratum H G consimilis est rationi quadrati Z c ad quadratum G C. vel rectrali o E c ad rect α tum scC; etiam quadratum H G aequa-hit rectangulum sac: sed quadratum K G, Ob regulam NO, par est redimio M G C ; differentia igitur quadratorum K G .H G aequalis erit rectra Io M s . G C. & subquadrupla rectra si ECN. Unde proportio bilinei Aac ad tritatum , seu rectilineum ACxZ, quae consimilis sit est rationi, in qua est differentia qqrκG . Ha ad sesquialterum rein ii sub RQ m ΑΣ---CX, nempe rect Ii Rc . AE ; similis erit etiam rationi, quam habet quadruplum illius disterentiae ad quadruplum hujus sesquialteri, scilicet rationi rectrali E CN ad sextuplum rectrali AE .QR. Et componendo patet quod proponitur
Si contea sectio sit parabolica, reperietur semiparabolam ANCE trirali Α c E esse sesquitertiam. Nam in hoc casu bilinei Aac diameter a H in quo est centrum gravitatis ipsius bilinei diametro x E aequidistat I Iideoque distantia QR aequat GH, vel potius subdupla est balis A Z ; atque proportio bilinei A B c ad tri α Ium A C E , quae similis est rationi rechmli EcN, seu quadrati AE ad sextuplum rectrali AE . cin, vel ad triplum q: AZ, consimilis erit rationi AE . 3 AZ , scilicet rationi subtriplae ; & componenda constat. Quod, &c.
Si area Anc g stellipsis, aut circuli quadrans, ipsius proportio ad triritum ac 2 similis erit rationi, in qua est ΑZ-3 had 3 αR . Cum
88쪽
, Cum rectra tum Et N, in hoc casu, duplam sit res isti Oge. seu quadrati AE; proportio quadrantis ABCE ad trimium ACE, quae sequatur rationi rech II ZEN eum sextuplo rectrili AE .ust ad hoc sextuplum, consimilis erit quoque rationi. in qua est duplum q: AE cum sextuplo rectrali AE . QR ad hoc se luplum, vel potius rationi a az ε 6 R . 6 QR , seu rationil ε 3 R
SI duo laetera cH. BE utriusque ex duobus quadrilateris δε- , C B L H . Lbeli inter Aesim parauela, O in ipsis inrides '' Τ'
recta nomalis ΜΚ . Proportio solidi, circa latus a E . descripti per quadrilineum CB EH ad solidum, circa latus he . progenitum a quadrilatero Che h. compavecur μ ratione B E - . 2CH . be--a ch , O ex ratione duphcgia rationis MK . m h A latere c H utriusque quadrilateri abscindatur segmentum os . quod respective aequet aE- acri , & compleatur tri lumGBC ; & in latere ea sumatur tertia pars CF ὲ quatenus in ipis latere ca , punctum v sit ti miuilibrii centrum tri α Ii
G B C ; sumaturque segmentum quoque CN se habens ad resi- δ. - duum N B ut CH-- E ad BE ac H; quatenus in ipso la- ρηενσα .lere C B punctum N sit aequilibrii centrum quadrilateri CBEH. re Et cum Ne ad Na sit ut CH -Ma AE ad BE - 2CΗ , erit NBin BV ut BE - ac H ad 3CH- AE; at CB ad c vest in tripla Proportione. scilicet ut 3 C H -. 3 B L ad C H - B E; erit ex aequo N B ad visi, ut BE -- acu ad Βη- 'H, vel ut G ad B E --
Quare cum N B ad T c sit reciproce ut C G ad BE 'Cis, velut tri α tum G BC ad quadrilaterum csEH, solidum circa BE , genitum a quadrilatero ChEH aequabitur solido circa ... Ca, progenito per tum tum n .s ς , A se habebit ad solidum in10. 1 procreatum circa be, a quadrilatero: cbeb, ut praedictum so- telum ' tri li hac ad solidum, circa e g, descriptum a trianguIo g b c, Helicet in Prop. ne composita ex ratione CG. cg, vel BE - . ac H . b e 'ac b, & ex ratione q: Mx ad q: m E. Un
89쪽
parametrum BD ad sextuplum rectis si sub halim heior alia parametrum BD ad sextuplum restisti sub hasim stantiam c o eiusdem diametri c a a centro gravitatis ipsius f miporti mis, quae istanιδεδ ordinatis. aeqvidis aredester Λιι bucuisue supposuimus. Per parametri BD terminum D ducatur ea recta DP . quain regulam appellavimus eum praeclarissino mesam in demoω stratione' propositionis 16- , & quae parabolfi diametro a Ridistat, & in reliquis sectionibus cum diametro . convenit in opposito vertice. sputa In 'r' Εt. fle resul et D p occurrat in sordinata L C, & in 11 u κειλ' alia orhinata ix; quatentis U- δε α la 'UcB . MKA respectivis liq: Ac . K adaequentur. Postulandum agatur recta EL H ipsas Eis: kM . siti dImidians , qatque yG aequalis BE , & completo trimio clyc , ablathdatur in satere BC ipsius subtriplunx e. ita ut aequilibrii cenetiam in m liti /xAν. GBC, respectu lateris CB' fit in in plincto - Et quia pG 'aequat BE , p,tet es rea aequare RE--χeri :
Blidumque, circa latus cs, describtum a tri; lo ch , aequ, p . . solido circa BD genito per quadruaterum cΗhu , ut in prae-- cedentis lemmatis demotistratione indieatum est. I a
respecperficies circa , c genitae a recti, At in cylindridus supremcachus circa BD , descriptigris iactis cΗ xh rdspeltive 'so, in adaequabuntur, solidumque circa CB laetum a semiportioε
. Harterea secando diametri P, Istam Ysie AH d ei sit in ratione 'redimit c BE ad q: Ac, vel ad libie aequale rectis tum B C F ,. Icilicet ut BE, seu ch ad F cs cotia ponendo, erit BC ad cae , ut si si ad GF , ac reci lum sic T reci lo F B ,
90쪽
aut q: c A aequale erit, proindeque Ac ad eΥ se habebit, ut sc ad AC, sive ut tri ratum Ges ad tri tum ABC ; quamobrem proportio semiportionis Al BC ad triangulum ABC, quae 9 Popitqr ς ratioue areae APBc ad uim tum G Bo seu ratione
, , miPortio parabolica Aiso ad tris tum inscriPtum AB c sei habebit, ut: hasis Ac ad duplum. intervalli co, quo diameter abest a centro gravitatis semiportionis Aηc, &c. , . In hac quippe hypothesi, quadratum AC aequatur,rςct Ioc BD, atque Proportio semiparabolae AiBc ad tri 'lum ABC , quae sequatur rationi redim i e BD cum duplo Q Ac. ad sextu-Plum rectrali Aco , similis erit rationi, in qua est triplum vac ad sextuplum redimii Aco, vel in qua est Ac ad ico .
Hyperbolae. & ellipsis semiportio Aille erit ad inscriptum O r,. nimium o BC, ut rectangulum ex AC in B x cx ad textuplum redimii xc O. Nam in hoc casu reguIa DF transit per verticem oppysitum ix, atqRe Proportio semiporῖionis A I B.C ad trimium A Reqquam vidimus componi ex rati9Re o c 3 co . & ex rat ad reci liis Bo eumauplo , c , ari cum duplo red α lι Fc Bad duplum q: Ac, seu rectui FῆB, vel ratione BD '' ac F aic E , seu ratione B X- ac x, as x. , aequari debet rationi in qua nil Iecimium ex Ac in is x 'ac x ad 1extuplum rect in li