장음표시 사용
71쪽
Α diametro CD abscindatur tertia. pars D V; quatenus plin--2-..ctum V in latere C D sit centrum aequilibrii trianguli Ac D. de de a. & quatenus 3 v E aequet E C - a DEc & a hase A D protracta abriguepona sci ndatur hujulinodi tegmentum D F , ut sit tertium proportiona, t ' te post a DE, Apost D A. Sc per consequensq. A D duplo rect m lir D E sit aequale . Compleaturque triangulum FCD per rectam P c, quae protracta occurrat in N ordinata: EN: Sc insuper ducatur quaevis ordinata BGHI secans semiportionem a BCD. Et quoniam, ob conicam lectionem ABCD, quadratum A Dad quadratum B H est ut rectangulum E D C ad rectangulum E H C, vel ut rectangulum E D F ad rectangulum E H l . quemadmodum quadratum AD, per constructionem, aequatur duplo rectanguli FDE, ita duplo rectanguli I H E quadratum B H ubique par erit; & ideo superficies genitae circa CD per semiordinatas A D. AH cylindricis superficiebus circa EN procreatis a ex , rectis PD. ii respective aequabunturHubique. 7' ν' Unde insertur, quod solidum. circa o D descriptum a semi- portione ABCD aequabitur annulo circa EN genito Per trianis gulum FCD; atque area, ABCD eamdem proportionem habeist,i., - bis i in ad tri tum FCD, quam reciproce habet distantia v EI APpp. gd distantiam o D. a. Sed triangulum Fc D est ad triangulum A CD ut DF, ad AD, vel Iob constructionem. J ut AD ad a DE; proportio ergo semiportionis Α Β C D , ad triangulum Α CD componetur ex ratione V E. Do, & ex ratione A D. 2 D E, assimilabiturque rationi,
in qua eli rectangulum v g, A D ad duplum rectanguli EDO; vel in qua est triplum illius ad sextuplum hujus rectanguli, scilicet in qua se habet rectangulum sub A D in EC- 2DE ad sextuplum rectanguli E DO &c. - . . . ' SCHOLIUM Mic animadvertere prodest, quod solidum circa diametrum CD de criptum a semiportione ABCD, erit ad solidum similitet
ex . dam proportio illius ad hoc solidum componitur ex sc ra. s s π tione semiportionis ABCD ad parati m naum AZ CD , seu ad duplum tri α li ACD nempe ratione rectruli Λ D, EC-2DE
72쪽
ad duodecuplum rect m li E D o , seu ratione producti a D o in re- ct m luna AD , E c - aDB ad productum a D o in duodecuplum rectrali EDO , seu a a Do in sextuplum redimii Ela o) & ex ratione, quam habet duplum distantiae D o ad A D. vel productum a a D O in sextuplum rectrali EDo ad productum ab hoc sextuplo in A D ; & per consequens consimilis est rationi producti a D O in rectralum AD, EC- aD E ad productum an a in sextuplum rectrali EDo, scilicet ut E C-- 2 D E ad 6 D E .
I Ato quadrilineo AB HE abscisso, in conica sectione centro si , M H decorata , per duas se ordinatas AE. BA ad sectuu ''dam H E duartim coniugatarum diametrorum; quarum Orcivatarum altera n H procedat a centra H , fitque basisparasim
mi in eadem actiturive covstituti I Movi quadrilineum Aa H E se habebit ad paradrimum a P E Hut quadratum.reliquae bases A E cum duplo quadrato prioris basis B H ad sextuplum rectrali jub hane DUM EA in distantiam ci gdiameIri H E a centro gravitatis praedicti quadrilivet; dummodo i a distantia ordinaris equidisset. II. Solidum, circa diametrum H E descriptum ab ipso quadriissimo Asia E se habebit ad solidum similiter factum a parasielogrammo B F E H ut Dadratum posterioris basis A E cum duplo quadrati prioris basis B H ad hujus quadrati triplum.
A bale A E protracta abscindantur talia segmenta C E. DE, ut quadratum alterius C E triplo quadrati B H , quadratumque reliqui DE aequetur q: ΑΕ, cum duplo q: ΒΗ, ac ProPterea quadratorum C E. DE disterentia sequetur differentiae quadrati Λ E cum duplo quadrati AH a triplo q: BA, scilicet differentiae quadratorum A E . FE: atque completis triralis D Η E , c H Edematur a DE tertia pars EP, quatenus trirali DHE centrum aequilibrii in latere DE su sit p. & circa EH deicribantur soli. da tam ab areis ABHE. FB HE. ABF, quam a tri α Iis D HE.
Jam ex. conicis elem. notum est rectam B F contingere curvam AB in B , & ordinando quamcumque rectam KRIL M, . - - D disie-
73쪽
disterentiam quadratorum A R. v E esse ad quadratorum KI . st disterentiam ut q: F B ad q: B R . vel ut q: E H ad q: I H. vehut diserentiam quadratorum D E . C E ad disterentiam quadratoiarum M I. L I; at disterentia qq: A E . F E aequatur fui supra diximus disserentiae quadratorum DE. CE; disterentia ergo qq: RI. RPdisterentiae qq: Mi. O aequari debebit; superficiesque. circa H E genita per rectam Κ R superficiei similiter progenitae a reistit . . ubique pὸτ l l erit et quamobrem solidum trilinei Aa νs IV. i. solido trianguli DHC erit aequale: atqui solidum trimit c EM aequatur solido parali α mi H F , Ch quadratuta, CE sequans tri- δ εμι plum q: B H δὶ per confructionem; solidum igitur quadrilinei A B H E solido tri α li D H E erit quidem aequale; quadrilineum-G Ii. que A B H E se habebit ad triangulam Dii E reciproce uxurcii stantia P E . ad distantiam E vel ut 0 L ad 3E hoc autem tri α tum D HE est ad parali ramum FH ut DE ad a Bilis quadrilineum igitur ABHE ad pali ramum FH Proportionem habebit compositam ex rationibus DE . 3 αδ . DR a HRO. nempe aequalem rationi, quam habet q: DE vel qIAE cum duplo q: B H ) ad rectratum sub a H n in 3 QUE . . sive adi sextu
Deinde proportio. quam habet solidum .quadrilinei An3t E ad solidum parali mi Fu consimilis est rationi. i in qua est solidum tri ta li DHE ad solidum tri m li C H E ; quandoquidem haec solida illis respective a qui parantur; vel us q: DR ad q: c Ε . sive ut q: A E cum duplo U RH ad triplum P B M.
TAg0REM A XII. Propositis Ia . . . . .
I. T 'Oraro A L BC eonicae bessionis rentra o decoratae . se ha- fg. 37 38 bet ad trimium ABC . tu eassim base AC constitutum. in 39 ct in eadem altitudine, ut diametri pars D x comprα-hensa ivi r basim A c , ct oppositum verticem x ad si quialterum distavriae v o praedicti cenIri o a centro gravitatis νυ sinet portionis ALBcia II. Euim portio ALBC est ad tri iam Ao C eamdem basim
babens A C , verticem vero in centro o secironis , ut rectis lumx D a , sub portionis diametrum D B is supradiatam panem D x. ad
74쪽
ad siesquialteram rectisti Do v siti, diametri partem Do ρο--iηterbasim Ac O luter i iam cenιrum O, in hujus centri distantiim ova centro gravitatis V ejusdem portionis ALBC p verritum ut basis A c justangens ad se uialterum ipsius distantiae Vo. Detur pranio portionem ALBC essie hyperbolicam , in fori. 37. vel esse ellipticam , & ad alteram partem centri O .m i33. M. & in utraque abscindatur a diametro DBΟ leg- tum , O I potens rectinium x Da , nempe disterentiam q*D Q. BO, & Compleantur paratim ma ACE F. FE GH perrectasAεH; C EG, diametro DB parallelas, tri m lumque HO G, in cujus diametro Io sumatur tertia pars Is; quatenus iptius ., yri li centrum gravitatis so sit s; & insuper ad coniugatam Α, emis. diametrum EF conicae sectionis ordinetur quaelibet recta MLΚ
s in ut rect m tum Gi H ad rectis tum G RH. vel ut q: O I ad I J' disterentiam qq: Rκ. PL. sed q: o i, per constructionem , aequatur disserentiae qq: Do. B o ; ergo disterentia qq: RK. PK differentiae qq: M κ . L Κ ubique erit aequalis , superficiesque circa EF descriptae per rcctas LM .pa inter se ubique I l aequabun-xurὲ quo circa inter se quidem sequalia erunt, & solida simi-'liter circa EF procreata per portionem ALBC, triangulumque ΗOG: atque portio ALBC ad tri m Ium HO G, erit re is,
ciproce iat ut distantia s o ad distantiam O V , sive ut 1 P s opp.r. selquialterum illius s o ad hujus distantiae o v sesquialterum: tri Mium autem H oc est ad trimium ABC, ut os ad BD; Proportio igitur portionis A Lac ad trimium ABC com netur ex ratione I O . 1 o v , & ex ratione Io. BD, aequabitumque rationi q: or, seu rectisti x Da ad rectrulum sub ala in F V D ἰ vel potius rationi, in qua est D x ad LV . Ubi vero elliptica portio ALBc non sit ad alteram partem Ag. 3'. centri o, ideoque semiellipsim excedat; ponatur residuae portionis ANXC centrum gravitatis in puncto Y reperiri, compleaturque tri tum A XC. Et quoniam integrae ellipsis centrum o , est etiam centrum gravitatis ejusdem ellipsis compositae ex duabus portionibus ALBC. ANX C; portio ALBc ad por- si .estionem AN xc erit reciproce ut To ad Ov, vel ut Laeo ad
75쪽
a Ov: & cum haec portio AN xc f quae jacet ad alteram partem centri oJ sit ad trimium Axc ut BD ad a To, triangulumque
Axc ad tri α Ium ABC sit ut Dx ad DB ; portio ALBC, ex aequo perturbate, erit ad trim Ium ABC ut x D ad avo . Preteterea, in omnibus figuris, tri m lum ABC, ad trimium Aoci est ut AD ad DO; ergo proportio portionis ALBc ad trimium AOC, composita erit ex ratione X D . a V Ο , & ex ratione BD . Do, & adaequabitur rationi rectrali x DB ad sesquialterum rectisti DO V. At supponendo D Z esse subtangentem basis Ac, rectis Ium r)M V. OD Z εὶ rect m Io x DB par erit, atque proportio rectrali x Da ad sesquialterum rect m li Do V nempe proportio portionisALac ad tri inlum Ao J sisnilis erit rationi reei m li o Det, ad sesquialterum rectrali Do V, scilicet rationi subtangentis D Ead a V O.
A. 4o. Plio, quod dua ordinatae Mequeses AD; Bc, ad aliquam ' 'I diametrum rgo conicae semionis, centro o decorarae ab- .. I in scindant quadrilineum AZBCZD, atque diserentia A s' minoris semiordinatae a majori ita sit diviνa in putacto n , ut fehabeat ad segmentim s.n ut 3 A F -- 3 B E ud B Ε - 2 Α F . Idem quadriliveum AE acgo se habebit ad quadrilaterum ih Rc D in proportione composita ex ratione lateris transvers ad Ditis rectum ejusdem diuinetri PE O , o ex rati me, quam habet rectra tum A s. n F ad rect tum sub quadrilateri iametrum, E p in dictantiam o v centri steIionis cmica a ceritro gravitatis
Ponatur primo, quadrilineum AZBCZD esse ad alteram parsis qQ tem centri O intcgrae seetionis , sitque xx diameter ipsi Ero' ' coniugata, ideoque ordinatis AD . BC parallela: & In sectione conica haec diameter.Epo sit prima duarum coniugatarum. in Ag r. st autem secunda, in i. Q. Et ab ipla diametro EP ciabicindantur duo segmenta ΟN . OH, quorum alterum o Npolia disterentiam stam in xui 3 42. quam in figura o. indicante sectiois Disit iros by Cooste
76쪽
sectionem ellipticam J quadrati Eo a quadrato semitransversi
lateris os diametri Epo; possit vero summam, in A. 4ι. quadrati Eo, quadratique ex semitransverso latere os diametri
E F O; quae disterentia, aut summa, te habet f ex conicis Elem. J ad
q: lenHordinatae BE, ut latus transversum, ad latus redium; reliquum vero segmentum o H possit respectivam disserentiam, aut summam q: F o, quadratique ex praedicto semilatere transverso G O ; quatenus quadratorum No. No disserentia sequetur dii serentiae, quae reperitur inter priorem illarem ditarentiarum. aut summarum , & inter posteriorem; nempe disserentiae qua
Postea completis parallisis B MLC. ARID, agantur diagonaleS I O . Κ o , quae Per puncta M L respective transbunt; quandoquidem q: o H ad q: o N est ut supradicta diiserentia, aut summa qq: Fo , G o ad praedictam disterentiam, aut summam qq:E O . G O , & per consequens ut q: A F ad q: E B , vel ut Φ ΗΚ ad q: M N . . Atque secetur H N in P, ita ud N H ad N p sit ut As ad Su, vel f ob hypothesim J ut 3 A F - 3 s E ad B Ε - 2 A F , vel ut 3 Κ Η 3 N M ad NM--2ΚH; quatenus punctum p sit centium gravitatis trapetii K MLI, & amplius redimium ti σNH, PO ad recteatum As,n F eamdem habeat rationem, quam t ' qt o N , seu praedicta diiserentia, aut summa qq: E o . G o , ad p., ''q: B E siquidem os, ON,& F n , Fs , sunt partes similes ipsarum OH, FA) scilicet quam transversum latus ad restum. His praemissis, & ad diametrum Xo X Ordinata quacumque recta O Z x y a, quadratorum s m . B m disterentia ad dissiren
dratorumst m. M m diiserentia ad differentiam qq: ax . yx dummodo ipsa ordinata non jaceat inter duas B M . CL ideoquε haec disserentia qqt a x .a x disterentiae qq: or x . Z X par erit; ob
quadratorum Rm. Mm, aut quadratorum Ho. No disserentiam aequalem sex constructione) disserentiae qq. F o . Eo, seu qq: Sm. B m. Quamobrem superficies genitae circa o x a rectis OZ . ya inter se aequabuntur ; & subicquenter inter se aequa. Ita reperientur solida progenita quidem circa O X ab areis
77쪽
erit sc reciproce ut distantia p o ad distantiam πο β' s atqui trapetium x M L i ad trapetium A B C D est ut H N ad E F.; proportio igitur quadrilinei AZBCZD ad trapetium, ABCD consimilis erit rationi redimii H N , P o ad rech α tum EF .vo ἔscilicet composita erit ex ratione redi mii H N . Po ad reci ratur As , n F; seu ratione , in qua est latus transversum ad latus rectum diametri EFO; & ex ratione reci li As , n F ad rect iunxΕF , VO. .st Dum vero datum quadrilineum AZBCED non jaceat totum Μ' ad alteram partem centri o. ac diametri xox , diametro E FConiugatae; si abscindatur ab hac diametro pars o a aequalis segmento OF, ordineturque per u recta L et M i quae ordinatam Antequabit J essicietur quadrilineum AZ LM Zo , bases AD , aequales habens, centrumque gravita in o i & cum idem quadrilineum AEL MED constet ex duobus quadrilinet S A ZB CZD LBCM ; si ponatur in puncto T centrum gravitatis quadrilinei L BCM; necesse est , quadrilineum AZBCED ad quadrilineum 1 ex L B M esse i l reciproce ut distantia To, ad distantiam vo. M - vel rect is luin To , cUE ad rect istum vo , o E; sed quadrilineum L BCM per praecedentem casum J est ad trapetium L sc Min proportione composita ex ratione lateris transversi, ad latus rectum diametri Pa . & ex ratione rectrali As . n F adrect m lumTΟ , u E; atque trapetium L BCU est ad trapetium ABCD, ut Ea ad EF , vel ut rectratum O V . ua ad rect m tum v O , FE; hinc colligitur, quod quadrilineum AZBCZD ad quadrilaterum . seu trapetium ABCD erit in pro m ne Composita ex ratione lateris transversi ad latus rectum diametri Ea , & ex ratione re-etrali as , up ad rectra tum EF , VO : quod &c.
Quoties igitur diametri poE latera transversum, ac rectum inter se sint aequalia squod sequitur in circulo. vel hyperbola
sequi laterat quadrilineum AZBCED erit ad trapetium ABCD, ut rectis lum AS, n F ad redi Ium EF, V .
78쪽
Geometrica . LEMMA L Propositio I .
SI recta livea or inaequaliter sit dissa tu i e duplum μή me D. r.
quadratorum o F . l p .io aequabitur quadrato dierentia; segmentorum F I. o I una cum πiplo quadrati ex data Meta ον Si fiat i E aequalisi i ci , dimidieturque in a dii irrentia P E segmentorum I o . I F ; patet . quod i a subdupla erit datae rectae o F : unde , ex nona secundi elementorum Eucl. sumnia quadratorum P l . O I duplo summae quadratorum a I . a
F adaequabitur, duplumque tilius quadruplo hujus summae aequi- Parabitur, vel potius duobus simul quadratis OF . EF par erit; quippe quadratum. o F quadrati a I, quadratumque E P quadrast in F quadruplum est. Et addito hino inde duplo quadrati F, hujus quadrati duplum cum duplo quadratorum ri . quadrato EF cum triplo quadrati or aequale erito Quod &c.
SI ream linea et E in tres partes aequaler Eo. or. IE sit n. 46. divisa, O altera Ei extremarum 1egmento EF sit adaucta in ΑΤ in M. 46. HMivum auram ira M. q. I. Difrentia tu priori situra, sextupli rectae si or I a dupis r
di o Z r E eqvabitur quadrato F E cum triplo q: O F. Dupluin rectanguli ZFE, tu poseriori sigura, una cum fleximplo rect si opi aequabitur quadrato PE cam triplo quadrati op. Si fiat o I aequalis i F, rectratum OFI rect m lO I i F , vel potius summae, im M. 46. ac differentiae, tu A. 7. rectαli EFE, rectangulique ZIE, 1eu dupli quadrati Or adaequabitur: unde triplum recitati O EI aequabitur eidem summae, aut differentiae, una cum duplo rectruli OFI. Atque ablato hinc inde, in M. 46. rectra Io EFE, excessus tri-pIi rect isti ori supra rect m tum EFE , aequabitur duplo rectanguli ori cum duplo quadrati ol . vel aequabitur quadratis OP .is. cii simul sumptis; & excessus sextupli rectrali opi supra duplum rectrali 2 E E aequiparabitur duplo aggregati quadrato
79쪽
rum OF . IF . OI, scilicet, ex praecedenti lemmate , par erit quadrato E F cum triplo quadrati O F . At in Ag. 47. addito hinc inde rect m Io EpE; hoc rectra lum2FE una cum triplo reci li opi aequabitur re est lo EI E cum duplo rect m li OFI, seu aequabitur duplo quadrati Oi. Cum duplo reci li OFI, veI potius aequiparabitur tribus simul quadratis DF . I F, Io et quare duplum redimii Z FE Cum sextuplo rectili opi aequabitur duplo quadratorum OF . IF . OI , Vel Potius, per Praecedens lemma, quadarto EF cum triplo q: OF &C.
SI DAE siemisirdinatae inaequales A D. xc ad alteram CI ex
duabus coniugatis diametris C I . I E F conica Delio=Lis, ceu- . Iro I decorata, abscindant quadrifineum AsLcD , ac sint basies opposita trapetii ALCD; atque Iumma abscissarum C I . DI ubi praedictum centrum non sit inter ipsas ordinatas) discrevita autem in reliquo casis, aequet rectam CProportio quadrilivei AsLc D ad trapetium ALCD compon tur in utroque caseu, ex ratione, quam tibet C ci ad duplum imter dum m I resiluae diametri F i a centro gravitatis m eis dem quadrilinei , est' ex ratione, i in qua quadratum diseremiae cum triplo s ex Ibmma gradictarum Iemiordinatarum eti ad hoc
Ponatur quadrilineum AsLc D esse hyperbolicum in Q. 48. so, si . 9 s 3. & esse ellipticum in n. 49. set. Ur s . & compleatur parali mum L CDG. Et dum altera ordinata, seu hasis AD congruat dimidio iatransversi lateris O E , solidum , circa diametrum I F descriptum a semiportione hyperholica, aut elliptica L Ep, se habebit fit ad soliduni similiter factum a parali ramo FK ut A ' a F oad 6. Fo, vel ut productum ab AF in Ao - apo ad sextuplum rect m li Aro: hoc autem solidum parat I α mi pK est ad solidum limiliter progenitum a parali mo F C, ut parali mum F Κ, ad parali minum F C, vel ut AF ad IF , vel ut sextuplum rect ii or A ad sextuplum rect m li o Fi; erit ex aequo praedictum solidum semiportionis L s AF ad solidum parali rami Cp ut APDissit eo by Cooste
80쪽
in A Ο - 2po ad sextuplum rect Ii o P t , vel potius fiastio a aequali ad oi J ut duplum redimii ZFA ad sextuplum re-
- Et comparando summas Im R. 49. J differentias vero f in Ag.
68. J ad consequentes terminos . erit solidum a quadrili neci LSADC genito circa I p , ad praedictum solidam parallis FC ut summa respective, aut disterentia sextupli reei li opi . duplique rectra It Epa ad sextuplum redimii OFI, sciliceti l ut q: EF eum triplo q: op ad sextuplum rectisti opi . sit m Quamobrem proportio quadrilinei Astic D ad parallismum
Fc, quae componitur δὲ ex ratione Cata ram, & ex ratione il- in .is.lius ad hoc solidum; componetur quoque ex ratione ς Q. a I m. 3 DP a & ex ratione q: E F cum triplo quadrati os ad sextuplum rest ili o Fr. Atqui paratim mum cp ad trapetium ALCD est ut a FIM Lo 'DA, sive ut duplum redimii o FI ad Fo in L C --DΑ ,i vel ut sextuplum rectrali opi ad triplum rechrali sub Eo in L C-DA, vel in FI 'Ei, scilicet ad triplum q: Fo ex summa basium LC. A D. Proportio igitur quadrilinei Ashc D ad trapetium ALCD composita est ex ratione Ca . ram, &ex ratione q: EF cum tri. plo Q ex praedicta basium summa ad hoc triplum α. e . D. M. o. a
Si quadrilinei AscLD hyperbolici infig. so. O si .elliptici in
n. sa. hases AD . LC ad eamdem partem centri I reperiantur . esto IN semilatus transversum diametri i Er, &ipsi semiconiugatum sit IΗ, completisque parati m is L CIE . ADCX . CR FI , fiat Io aequalis IE, seu LC; quatenus o F summae Ordinatarum LC .
A D aequetur: & ut quadratum i N ad q: i H ita fiat Q i o ad q: ν , & circa eamdem diametrum E p i similiter constituatur curva pE, quae sit elliptica in n. sci. O si . sit vero hyperbolica in A. sa. dc quae in utroque casu vertices oppositos habeat in Punetis o . E , ac centrum in i, & semitransverso lateri i Esemiconiugatum sit I y , & amplius ordinatae A F occurrat ipsa curva FE in puncto P , compleaturque paratim mum P BIF. Et cum, ob hanc curvam PE , differentia qq: EI . M sit ad i. semiordinatae PF quadratum ut quadratum semitransversi l O ad q: semiconiugati i y, vel f per construtionem )utq:IN, ad 4:iH,lsive ob curvam L A) ut quadratorum EI. Pi disterentia adimerentiam qq: LE . GE; huic disterentiae, seu disterentiae qq: EF . AF aequabitur q: FP ; unde superficies genitae circa IE a re-