장음표시 사용
101쪽
he E a quaeque ab ipso differre possunt minori ditaremtia qualibet data, prout puncta D, seu E , e in infiniatilim proximiora accepta fuerint, aequalia esse rectangulo basis CB in omnes curvae portiunculas Dd , atque adebspatium, curva IF b, Fectisque &α ut pro uimus. COROLL. I. Si punctum Α fuerit vertex curvae,&ATeius tangens parallela, adeoque aequalis basi CB, utique R CI aequabitur CB , eritque I CB4 quadratum , quod ad spatium hHIC B8 erit, ut basis BC ad curvam ADB, rectangulumque I CER ad spatium correspondens HIC E erit, ut CE , vel ordirinia MD, ad arcum A D. Atilis describatur quadratum ipsius CB, quod sit CB I, & eadem sequentur.
COR L. II. Quoniam quadratum F G ad quadratum CB vel HE , seu NC quadratum ad quadratum E R vel CI est ut quadratum FD ad quadratum D M, erit dia videndo posta a C aequali CI rectangulum a NI ad quadratum Ci t seu differentia quadratorum HE, RE ad RE quadratum J ut quadratum subtangentis F M ad quadrata
ordinatae MD, quod, ut MOX patebit, ad naturam cur vae IH h in sequentibus expedith determinandam aptissimh
COROLU IlI. Spretatim igitur si A D B fuerit Circuli quadrans, erit spatium h Η I E B 8 duplum ipsius, & tio quaevis I HEC dupla sectoris correspondentis CD A, rectangula enim ex radio B C in curvam ADB, veh eius arcum Α D, quae spatiis h HIC B8, SI HEC respectivh
aequantur, dupla sunt eX Archimede, vel ex corin. r. n fra Prop. 36. in Urvi eo Priaismata imius quadrantis, aut sectoris correspondentis.
COROLL. IV. in hac eadem hypothesi patet, ordin tam Ε Η aequari interceptae , centro, & tangente axis portioni C F, cum sit enim F G ad C B, ut F D ad D M, seu ut EC ad CD, aequalitatem consequentium CB, CD,
102쪽
aequalia erunt & antecedentia FG, FC, ipsi autem FG aequalis est per constructionem E H. Quare &c. COROLL. V. Notari etiam potest, spatium h HIC B stunc provenire idem cum spatio figurae quadranti correlatae, de quo in Hugenianis cap. 8. n. loquii sumus, nec ab illo differre, nisi varia linearum axi parallelarum applicatione , ibi scilicet ri singulis peripheriae punctis pendentium , hic directh ad correspondentia basis puncta deinpressarum , nam & rectae a os ιη Igura lom est. exbibita aequantur dastantvs centri ab occursu tangentis cum axe,
ut hie ostensae sunt EH aequales FC. COROLL. VI. Spatium ΙHN duplum est corate cindentis Trilinei FDA . nam & rectangulum C EHN duplum est trianguli FUC parem basim intra easdem parallelas habentis, & spatium I HEC duplum est , per orin. 3, sectoris ADC, unde & residuum IH N reliqui FDA pariter duplum erit. COROLL. VII. Imb quaecunque esset curva ADB, si iuxta CO I. 4. alia curva IH b ita iIli responderet, ut semis per ordinata EH esset aequalis FC distantiae puncti fixi Cab occursu tangentis cum axe, tum Corollarium III. tum VI. locum haberent, nam ductis ex indefinith proximo puncto d tangente df, & parallela ordinatae de b, quoniam Ff differentia ipsarum FC interceptarum inter punctum fixum C, & occursum tangentis, semper aequalis erit H 2, Vel Diuili od by Corale
103쪽
vel Nn d entiae ordinatarum EH ipsis CF aequalium rectangulum nNH a duplam erit trianguli aeqvh alti FfD quod cum ubique eveniat, palam est, spatium I HN du plum fore spatii FD A, sed&duplum rectangulum CEHNtrianguli aequalem bas m in eadem altitudine obtinentis C D F ; itaque & spatrum IH E C duplum erit spatii ADC. COROLL. Vt II. At si curva ADB positis iis quae it propostione γ fuerit Parabola quadratica , erit IH b Hyperbola ordinaria, cujus transversum latus a I, rectum vero tertia proportionalis post a I, & parametrum ejusdem parabolae ; nam quia semper F M est dupla A M, atque ut AM ad M D, ita haec ad parametrum, duplicando rationes , sumptoque multiplici primi antecedentis, & aequἡὶbmultiplici licundi consequentis , erit F M q. ad M D q. idest per Coroll. a. rectangulum a NI ad 'quadratum IC ut quadratum MD, vel N H ad quadratum semipara metri, & permutando,rectangulum a NI ad quadratum N Hut quacratum lC ad quadratum semipara metri, sive ut at ad tertiam proportionalem post al, & parametrum quae est nota proprietas Hyperbolae praedictis lateribus de
COROLL. IX. Qubd si supponatur esse A DB parabola cubica , erit curva l Hb Hyperboloides , cuius ordinatarum quartae potestates, seu biquadrata, proportionentur rectangulis a NI, nam tunc F M est tripla A M, atque ut haec ad M D, ita quadratum M D ad quadratum param tri, adeoque Α M quadratum ad quadratum M D, ut bia quadratum M D ad biquadratum parametri, & F M q. ad
ad nonam partem biquadrati parametri; similiter,& conis vertendo, ostendetur IC q. ad aul, ut nona pars biquadrati parametri ad biquadratum n h, ex aequo igitur rectangula a NI, an I proportionantur N Η, hubi quadratis. i COROLL. X. Eodem ratiocinio ostendetur, curvas IH hL semis
104쪽
semper esse aliorum graduum, quoties ADB sit alaqvii es alus insituris par ibolia , citius ordinatarum potestates a quolibet exponente m denominat e proportioneatur abscissarum potestatibus ab a io quoli t ςxponente a indicatis. er,t enim semper A M ad Μ D. ut potestas sis nJ:u i Mus M D ad istu emi parametri potestatem,
a b que A Wquadrartana ad quadrat,m MD , ut potestas am- an :n ipsius MD in sonuem potest tum par tri; cumque F M sit semper m: ν ipsius M A. erit dratum ad quadratum M D nempe rectangulum AENI ad quadratum 1 C ut potestas i a n):u ipsius M D, vel N H, ad κα- simalis moestatis paramini, adeoque MDdinatariim N H an no h rectangulis
105쪽
holae quadraticae, per ordinatam IC h vertice obtruncatae, es notissima hujus pasabolae natura. COROLL. XlI. Pariter ubi oldinatarum Parabolae ADB
principiis afferencae Schol. r. exempl. a. J quare & ejusmo
di parabola rectificationem admIttet.
COROLL. Xli I. Imo generatim enuhelari potest, quoties dupla differentia exponentium in , n metitur ipsum n, verbi causa per numerum p, sempe, curvam parabolicam ADB tectilicari posse, erat enim an ) : n zz I : padeoque rectangula a N I in ratione erunt tam submultiplicata ordinatarum N H, quam submultiplex r : p unitatis , ipsaeque ordinatae proportionales erunt rectangui rum illorum potestatibus ab exponente ρ indicatis , unde singula membra potestatis ejusmodi rectangu lorum ducta in axem curvae N I, & dmia per numerum dimensioni in ejusdem NI singulis membris praedictis competentem, exhibebunt notam quantitatem rectis dumtaxat Iinei 3 E fini
106쪽
S c H O L I O N LREs clarior fiet exemplis analytich expositis in hunc
modum. Sit IC I N α x, N H α I; quoniam ergo et a xl xx proportionatur 8, sumi poterit velut ipsaequalis si nempe hic multiplicari, aut dividi intelligatur per constantem aliquam quantitatem unitatis loco sum- tam , ut dimensiones suppleat J unde & aeqvh elevando utrumque terminum, erit saxi xx)ρ taeta, spatiique I H N elementum fix laxi x xy dx , quae est quantitas facile integrabilis , ductis singulis membris loco disse-zentialis in x, ac per exponentem ipsius x unoquo que diviso.
Exemplam I. In casti corollarii et , itaque Iutae rara lx lxx dx cujus integrale a xx lx : 3 aequabit va
spatio IH N. Eh sic in aliis pari progressu. SCHO.
107쪽
Eodem ratiocinio infinitarum Hyperbolarum inter asymptotos positarum dimensionem reduces ad infinitas Hyperboloides iis , quas supra consderavimus, reciprocas, nempe quarum ordinatarum N H, vh potestates quaelibet respondeant reciproch rectangulis an I, a NI, quibus m nifestum est asymptotos futuras rectas I 4, IN, observa. bisque exponentem potestatum in ordinatis. ad Irus Hype boloides praedictis rectangulis reciprocarum esse fracti nem s a in t a nJ: u, in qua scilicet duplum aggregatum exisponentium coordinararum ad a*mptotos hyperbolae dati denominatur per exponentem distantiae ordinatae a centro,
ue smili calculo reinito constare posset, nisi iam pigeret antiqua vestigia iterum premere, nulla spe id Hyperbolo. dum genus aliquod saltem quadrandi nunc praelucente,
ae laboris asperitatem alleviante. i .
Taque consultius erit ad seriem infinitam Curvae longit I dine in revocare, eritque Curva quaelibet cuius axis x, ordinata Tetat, subtangens t I aequalis integrali hujus seriei dae; t 10: ar; or 8M , t 3I &c. comtinuandae ut ια Hugemauis pag. 2 2 . qyae quidem , determinata relatione curvae naturam exprimente , sive ipsius svalore in terminis ab ipso ν integrh affectis, integrari poterit. Exemplo sit L arithmica, cujus subtangens eadem semper constans linea est, ae pro unitate usurpata dabit integratam seriem α π: Iz; tr : ο&α longitudini Curvae ipsis x & ν correspondentis. Quod si infinitarum parabolarum parameter sit ra I , aut
θ quadrati spatio a*mptotico in quavis ex infinitis hy-
108쪽
perbolis inscripti similiterra i , aequatione curvae naturata exprimente si ae s ubi per m quemlibet numerum significo, positivum, aut negativum , integrum, fractumve , ut libuerit J subtangens erit peihelub n νη , iisque para-holicae, aut Hyperbolicas en ilibet Curvae lontitudo, sive niet a lepi imae seriei evadet m. - I: M- 2I
quantumvis accuratam Curvae longitudinem determinare
109쪽
Ad Auctorem script a Bonon. 8. Augusti