장음표시 사용
161쪽
Ig3. III. De vitris pol dris. Vitra polyedra fiunt, si lentes
plano - conveXae crassiores ita alterantur laminis planis in superficie con-VeXa, ut ea tota abeat in areolas planaS Velut quadrangulares, pent&gonas, aut triangulares, velut ABC fig. 57 Tab. VI 9 Polyedra, si Fig. set
oculus basi planas AD fig. 58 Tab. VI) applicetur, multiplicant ima- VLgines objectorum. Nam radii ex objecto ab in superficiem areolae AB incidentes, post duplicem refractionem, Velut in duobus prismatis planis factam veniunt ad oculum directione nid, me; unde referetur objectum ab ad locum de. Dein qui incidunt in areolam CD, post totidem Testactiones directione in , gnoculum subeunt, quapropter etiam idem objectum repraesentant in . Idem fiet in omnibus areolis, quarum plana ad basin polyedri inclinata sunt. At si una ex iis sit basi parallela, ea unica indicabit objectum in loco Vero, quod cognoscetur, si Polyedro circa axem suum converso aliqua e X imaginibus perstet immota, ea enim erit Verum objectum, reliquae omnes imagines una cum polyedro mOUebuntur.
Quia anguli, seu acies biin superficie sphaerica, polyedrus 59 Tab. VI exhibet areolarum iiDE, EB &c subtensas chordas, quae quo minores sunt, eo minus recedunt a superficie sphaerica, aut ab arcubus circuli. Quemadmodum igitur segmentum sphaericum BAC DF habet focum proprie sumptum V. g. in O, sic etiam prope eundem se se intersecare debent radii exta, b, c, d &c in areolas DE, FB, AC, CD &c incidentes. 124. EX hoc evidens fit, quod si oculus prope o constituatur, Videre debeat omnia spatia in aliis locis, nempe c supremum, dein itum re, & denique h. Et quia ex intermediis spatiis nihil radiorum ad Oculum refringitur, ea constituere videbuntur aliquod spatium continuum. Quare si alicujus figurae partes in illis spatiis depingantur , V. g. in o frons, in d oculi, vel nasus; os in a, & in b mentum, ademque fiat in areolis, quae respondent aliis sectionibus polyedri, hae partes Vultus humani ita in tabula separatae, per polyedrum contiguae, ac debito ordine dispositae apparebunt. Tabula , in qua pictura fit, magis adhuc deformabitur, si in spatiis intermediis, quae per polyedrum non Videntur, depingantur varia alia objecta, quae cum illo nullam habent conneXionem, quod repraesentandum est.
Etsi vero haec spatia ex datis polyedri dimensionibus, inclinatione areolarum, & distantia tabulae determinari calculo possint, haudeamen operae pretium Videtur eum laborem subire. In usu satis est, si polyedrum No includatur tubo ΜΟ fig. 6o Tab. VI. . in ejus ante- Fig Q. riore parte ΜD relicto exiguo foramine circulari Ι. Debet Vero di- -R' 'stantia polyedri ab I fere aequare focum. Pone foramen statuatur lam-Pas Vel candela ardens L in conclavi obscurato. Tum etiam ad inter Vallum, quod aptum fuerit, tabula Tu charta obducta: apparebunt innarum quarumlibet areolarum, suntn habet quandam speciem soci. Fig.
ntersectiones Vel arcubus circuli AC,
162쪽
in ea areolae lucidae similes areolis polyedri, sed ordine contrario, uenempe V. g. g respondeat insimae, hsupremae, c dextimae, d sinisti
mae Sc. Quod si dubium oriatur, quaenam Vitri areola respondeat alicui lucidae in charta v. g. i, tantum opus est, ut stylus quispiam, aut eXiguum chartae frustillum admoVeatur successive areolis polyedri diversis. Ubi quaesitam tetigeris , areola in tabula ei respondens umbrosa fiet. Notatis itaque cerussa limbi S areo arum illustratarum in tabula, atque ordine etiam, quota quaeque in figura esse debeat, numeris adjeetis extra areolas, eae partibuS imaginiS repraesentandae repleantur; quidquid eXtra areolarum ambitum fuerit, cum Videri nequeat oculo ad I admoto, quibus libuerit, figuris depingendisi destinetur. Notandum autem prae primis, postquam hunc in modum determinatus fuerit situs, & magnitudo areolarum, debere deinceps semper & eandem accurate esse distantiam foraminis I a polyedro, & polyedri a tabula, & situm etiam polyedri; si quid mutetur, nulla figu-Ta regularis apparere potest. Hinc conVenit jam prius paratum habere fulcrum, in quo tubus cum polyedro firmetur in eadem a tabula distantia semper deincepS retinendUS. Iu5. IV. De vitris coniciS. Fiunt etiam coni recti e vitro talido, qui non modo radiis solaribus eXpositi efformant irides circulares coloribus prismaticis pulcherrime distinctos, sed etiam non injucundos pestaculo adhiberi possunt ad imagines debite repraesentandas, quae longe aliter depletae sunt. Intelligatur talis conus vitreus ABCD fig. 61 Tab. VI) tubo ΜNPQ inclutus ejus aXe cum a Xe tubi congruente. Si radius ex puncto quopiam G lateris tubi incidat in basin coni ad D, refringetur ad DH, tum egressuS in aerem nova refractione intersecabit alicubi axem in K. Eodem modo Vicinus radius FE refringetur ad EI, & IK; quare oculo in K posito objectum videtur, ac si in basiconi esset ita , ut sit G supra F. Et quoniam omnia puncta circulorum concentricorum, in quibuS sunt D, E, habent eundem situm respectu
punctorum similium in fascia cylindrica tubi FRSG positorum . evidens est, quidquid in ea fascia depictum fuerit, appariturum in annulo basis
correspondente. Ut autem imagines hae annulares debitum situm habeant, ita depingendae sunt in fascia , ut parte S centro Vi Ciniores repraesentandae sint basi propiore S, V. g. F apparet centro baseos vicinius, quam G. Praeterea situs inVersu S est, utpote cum ea, quae in fascia cylindrica infimum locum occupant, fiant suprema; quae a dextris sunt posita, eXhibentur eX parte sini stra. Verum si velis exhibere figuram, quae appareat situ horizontali, V. g. inscribete Versum , Vel sententiam, quae ordinate legi possit, tum vero literae an Versae inscribendae erunt lineis curvis; quae ad
ellipses fere accedunt. In usu satis est, si in charta fg. 6 si Tab UI TVXY describantur arcus semicirculis paullo minore S concentrici, &ias eo situ & ordine inscribatur sigura, Vel Versus, quem exhibent literae
163쪽
DE NONNULLIs ALIIS MACHINIS DIOΡΤRICI s.
8 Iterae alphabeti ABCD &c hujus figurae. Chartam hunc in modum paratam si ita agglutines cavitati inferiori tubi, ut ABCD sint aperturae, reliquae basi cylindri propiores, poteris in superiore baseos coni segmento literas situ debito, & linea re sta dispositas legere. Pro inferiore baseos segmento, idem quidem situS inVersuS est, attamen quae centro propiora apparere debent, sint bafi viciniora, necesse est. Possunt etiam figurae inscribi in parte altera tubi prope coni Verticem, ut radii te, gd in lacere coni CB refringamur, dein ad i &O in latere opposito reflectantur Versus basin, eX qua dendo refracti ad n e Xeant Versus h. Sed operae pretium non est, haec accuratius disquirere. Innumerae aliae machinae partim e X cogitatae jam sunt, quemadmodum apud varios rerum opticarum scriptoreS Videre est, partim adhuc eXcogitari possunt, quae spectantium oculis illudant. Voluimus pauca haec speciminis loco adferre; plura persequi non Vacat, cum alia magis utilia, & necessaria etiam, nobis tractanda restent.I 26
Resolvuntur non nulla Problemata. Problema I.
Dato puncto lucido I fg. 63 Tab. VIIJ & curva Al B, nec Fig.
non ratione constante sinus anguli incidentiae ad sinum rea TRV
fractionis, determinare quod ViS punctum causticae F per refractionem. Resolutio. Caustica per refractionem nil aliud est, quam continua series focorum duorum quorumlibet radiorum infinite propinquorum, qui adeo curvam EF perpetuo tangunt. De terminatur igitur punctum causticae F, si inveniatur focus radiorum LI, Li in sinite propinquorum , qui in curva AIB refringuntur, &in F rursus se se inter .
Quoniam datur Curva refringen3 AIB, ponitur quoque datus radius curvaturae IC in puncto incidentiae Ι. Demittantur e X C in radios incidentes productos scilicet) perpendicula CΜ, CP; uti etiam in refractos CN, Cn. Sit ratio sinus incidentiae ad sinum refraetionis metn; erit C M: CN - rn: n, ct CP: Cn - m: n; & hinc etiam CΜ - : CN - Cn - m : n. Quia ponuntur radii infinite propinqui, est CP - CQ, & Cn Cy, consequenter CΜ - - - MQ, & CN Cn NU, adeoque ΜQ : Nq - nr: n. Centro L describatur arcus
164쪽
infinite parvus IR, uti etiam centro F arcus Io. ob rectos i C, FΟΙ, ablato communi angulo OIC, manet AO - CIN, & quia iΟΙ, INCpariter recti sunt, triangula iIO, INC similia sunt. Eodem modo anguli iΙC, R Μ recti sunt, & ablato utrinque R IC relinquuntur aequales iIR, CIM, ideoque etiam triangula iIR, CINI ad R & Μ rectangula similia sunt; habetur adeo IR: ΙΟ - IM: IN. Tandem patet, similia quoque esse triangula LMQ, LIR; nec non FIO, FNq. Disatur jam LI se I, IM et , IN - b, IR - ώ; erit
est quantitas 127. Evidens est, quando
negativa, fore IF pariter negativam, adeoque sopus tum erit Virtualis. Sed quoniam pro constructione quantitates disserentiales Io, Nqadhiberi nequeunt; intelligatur super IC tanquam diametro descriptus circulus, & agatur ex L per C indefinita LCP. Cum IR sit ad LΙ perpendicularis, producta occurret circulo in V, ut sit VIM rectus, ideoque IV ad ΜC parallela. Conjungatur Μ cum N; evidens est, si ducatur NU, fore pariter ΜNV rectum, utpote angulum in altero semicirculo aequalem cum VIΜ. Secabit NU rectam ΜC in r, per r ducatur eX I recta IrP, quae occurrat LCP in P. Si ex P fiat PF ad V N parallela, haec secabit radium refractum IN in foco F. Nam quia
-. Praeterea si radius curVaturae IC dicatur in r, est ΜC
Porro cum ΜNU, INC sint recti, ablato communi an
gulo INV manet ΙΝΜ - VNC. Anguli etiam rCN , Μ IN eidem a cui insistentes aequantur; igitur triangula MIN, rNC similia sunt, &IN
165쪽
REsoLVUNTUR NONNULLA PROBLEMATA.
, lacus semper est positiVus, ct finitus. Si sig. O. Tab. VII. Fig. s..
sit rC IT ,3 Vel aut an -- a'n bm , lacus negativus est, ct punctum P cadit ad eandem partem cum L. Eodem modo quando est ret net, seu radii refringuntur a per- Fig. 6s. pendiculo Fig 65Tab. VII) , ut nempe sit ΙΜ radius incidens, IN re T. VII. fractus, serveturque constructio prior, NU ad NM perpendicularis occurret CΜ produetae eXtra circulum in r, & hinc erit semper rC NC. Triangula INM, NrC manent etiam in hoc casu similia : nam quia ΙNC, VNΜ recti, est INV - ΜΝC, ideoque additis aequalibus hisce ad rectos VNΜ, rΝΜ fit INM - rNC, anguli vero NIM , NCHinsistunt eidem arcui. Liquet igitur, etiam in hoc casu punctum P cadere verius L, & haberi secum negativum.1ρ9. Quando curva fig. 66 Tab. VIIJ AIB obvertit puncto Iucido Fig. 66. L cavitatem, ut determinetur focus F , transferatur radius curvaturae T-d Io in partem oppositam IC, & fiat eadem constructio , in qua eaedem analogiae locum habebunt, eritque lacus infinitus, quando rC - ΙT, positivus, dum rU lT, & negativus, si rC IT, uti etiam si foretri n, seu CN, Μ.
166쪽
uuod isthic sit; loco L Itaque refringitur ita lux, velut incideret in superficiem circularem radii se r. Et quando eo , pro radiiS
m - n) -rre posse esse possitivum, negativum, & infinitum, prout diXimus Articulo I. Cap .f. Denique si radius incidens tangat curvam , fit ΙΜ & IN --, NV congruit cum IC, evanescente pariter UC vel TC, P incidit in V, 9 F in I vel Μ. Quare tunc caustica terminabitur in ipso puncto contactUS.I3O. EXemplum I. Incidant radii paralleli in quadrantem circuli AJE fg. 68 Tab. VIIJ. Quoniam radius curUaturae in puncto incidentiae I est ipse radius quadrantis CL, describatur super eo semicirculus IΜNC. EX data ratione ni: n, fiat na: n - MC: NC, & ducatur NV, secans MC in r. Ex I per r agatur IrΡ, quae AC productae occurret in P, tum fiat Pμ ad UN parallela, quae secet radium refractum IN in si, eritque la in Caussica .
Radii in A incidentes habent focum . Unde si ratio m: κ
o V. g. in Vitro numeris rotundis sumatur 3:a, erit AF g AC -- - 3 AC, atque adeo tangetur in F ab axe AC producto, Et quia
167쪽
REsoLVUNTUR NON NULLA PROBLENIATA. 85 aliquis radius ad AC parallelus tanget quadrantem in B, erit illic R-CUS , consequenter causticae ramus FlaB desinet in B. Liquet autem, per quadrantem alterum infra aXem AF efformari alterum ramum causticae aequalem, & similem priori. Caustica per refractionem semper est curva Algebraica, si cur. va refringens AIB talis fuerit, & potest semper inveniri aequatio per COOrdinatas orthogonales. V. g. in praesente exemplo si radius AC ponatur se r, VC - erit IV - MC - l ' - Non faciemus isthic ipsum calculum, sed tantummodo Viam ostendemUS. EX quadrilineo UINC, cujus omnia latera eX primi possunt per T, Di, n, in-Venitur VN, Cum sit IN κ VC -- IV κ CN - IC κ VN. Dein similia sunt triangula rectangula ICN, VrC, consequenter reperitur UT, quae sub tradia ex VN relinquit rN. Et cum 1it rN: Pμ - Ιri ΙΡ VC: VI', invenitur quoque Pμ. Tandem eX similitudine triangulorum VNQ, Puetr habebitur Por, & μπ. In omnibus autem istis ValoribuS patet, nullam fore variabilem praeter r, cujus proinde Valor per a , &πμ. haberi potest, ut obtineatur aequatio ad hasce co-
I3 I. EXemplum secundum. Incidant radii eX puncto L divergentes fg. 69 Tab. V1Ι in superficiem planam AIB. Quia radius Gyg
m - 3, n - 2, sit pro radiis perpendicularibus in A incidentibus 3 ALAS - ---, ct caustica tangit aXem in S. Ut reliqua puncta determinentUr, cum maneat ratio m: n constans , super IC diametro ad arbitrium assumpta descripto circulo ΙΜCU, erit 134 situs radii incidentis LlΜ, & IN refraeti. Facta IV aequali & parallela cum ΜC, determinabitur punctum r. Sed quia centrum C infinite distat, loco rectae per L & C transeuntis, ducenda est ad AIB perpendicularis, seu parallela ad IC, nempe PLA, cui in P occurret recta eX r per I ducta. Producto radio refracto NI versus P, fiat Ρμ ad NU parallela, erit μin caustica. EX hac constructione patet primo, ramum causticae, in qu snt foci negati vi radiorum ex L in partem superficiei AB incidentium, esse infra axem SL P, & alterum pro radiis 1ncurrentibuS in partem Tectae AD, supra eundem, aequalem, & similem priori. Secundo, cum recta AB , AD in utramque partem in infinitum eXcurrat, ejuS tangens non alia censeri potest, quam recta ex L ad AD parallela; &dum
angulus ILA fit rectus, evanescunt ΙΜ, IN; punctum V incidit in C, L a rectae.
168쪽
86 INST. OPTIcAR. PARs IL CAPUT IV. ARTIc. UN. rectaeque CΜ, CN congruunt cum IC, puncto r itidem in I incidente. Quare tunc rΙ congruit cum CI, seu fit ad AL parallela, hoc est, punctum P recedit ab A ad distantiam infinitam, & caustica habet duos ramos infinitos. 13a. Ceterum observa, si radii paralleli incidant perpendicu-
diculo cum in BC nullam patiantur refractionem), construi hac ratione poterit caustica pro radiis parallelis incidentibus in superficiem pla. nam vitri plano - conveXi, quae jacebit eX parte aXis CA versus A pr
ducti. Punctum F, in quo aXem tangit, distabit ab A quantitate --- quia in hac hypothesi est n ni0 - 3 AC. At quoniam haec disquisitio exercendae Geometriae aptior, quam utilior Dioptricae, sin qua satis est, ut videbimus, si proXime sciatur, cum qua curUa pars cata. sticae exigua inde ab F versus vitrum congruato , postquam Viam indicaVimus, nil ultra prosequimur.
1 3. Ex dato puncto lucido I sig. 7o Tab. VII) debet radius refractus in superficie plana AB Venire ad punctum datum N positis L & N in plano ad AB perpendiculari) quaeritur punctum incidentiae I.
Resolutio. Sit LA - b, Α Q - ΗΝ - C, NQ - a, AI - x. Ponatur problema solutum, esseque Ι punetum quaesitum, & describatur radio NI centro I arcus; occurret Ll ita arcui in M, si ratio sinus refractionis ad si num incidentiae sit n: m, ut sit n: ru - NP: ΜR hoc est n: mina x: MR - ---. Praeterea est ΙΝ - ΙΜ - iΡ NP
169쪽
REsoLVUNTUR NON NULLA PROBLEΜATA. 87gat, ct tamdiu moveatur, donec transeat per datum punctum N, determinabitur punctum I.
134. Sit arcus ellipseos ASB fg, 71 Tab. VIII.), in qua sit axis γ' major S3 ad distantiam focorum ire in ratione sinus anguli incidentiae T b Vιλλε
ad sinum refradtionis, quando luX venit eX aere in Vitrum, seu ut mad n. Describatur radio quovis e centro F arcus circuli AOB, ct con- Cipiatur lunula BAS rotari circa axem Ss , ac vitrum figura solidi hac Totatione geniti parari. Quaeritur, quorsum refringantur radii aXi paralleli in superficiem convexam incidentes rResolutio. Sit radius incidens ad Ss parallelus I Μ, ΝΜQ ad Μ normalis superficiei elliptoidicae, I bl tangens. Conjungaturi cum Μ, fiatque yR ad NM parallela, quae ita occurret UM productae in R, ut iit MR - yΜ, ut constat e sectionibus conicis. Erit LΜQ -j ΝΜ angulus incidentiae, & in triangulo NMF est MF: NF - γλ. ΜNFVelsin. MN in. NMF; est vero ob parallelas ΜΝ, Rf, etiam ΜΗ:NF - RF:jF; quare est RF, seu axis Ss, ad j F, ut sinuS anguli incidentiae ad sinum anguli refractionis, seu ut m ad n , consequenter angulus refractionis debet esse ΝΜF, & radii refringentur ad focum ellipseos F. 135. Consimili ratione . si fig. 7 a Tab. VIII) vitrum ASB sit 7 segmentum hyperboloidis terminatum superficie plana AB ad axem Ss 'normali, S radii ad eundem axem paralleli incidant in superficiem Planam, refringentur ad F, focum hyperboloidis oppositi, si in hyperbola genitrico fit iF: Ss - mi n. Nam si intelligatur normalis MN proqucta occurrere V pariter productae in N, fiet angulus ΜNF LMN angulo incidentiae, & FN: FΜ -yF: FR - sn. FΜN vel siet. FΜQ: F. Est autem MF - LMN, ob EF ad ΜL,S ad MN parallelas, nec non FR - Ss; quare est sinus refractionis FΜQ in exitu e vitro in aerem, ad sinum incidentiae LMN, ut
In utroque casu per se patet, haberi unicam refractionem, cum in fig. 71 sic MO ad AOB, & in fig. 7 a LO ad AOB perpendicularis. 136. Si vitris tam accurate posset induci figura elliptoidica . aut hyperbolica, quam sphaerica, hae lentium species Viderentur aliquid commodi prae sphaericis, saltem quando radii paralleli incidunt.
habere, Utpote cum eVitaretur aberratio oriunda eX figura sphaerica. verum praeter dissicultatem indicatam, quae ViX superari potest , manet adhuc aberratio ex heterogeneitate lucis, quae multo major est. Deinde collectio radiorum ad unicum punctum in hisce figuris Vera tantum est, quando objectum est in ipso axe producto positum. Imagines punctorum extra eum sitorum multo magis deformarentur, quam in
170쪽
in vitris sphaericis. Unde nihil ex his subsidii Diop tricae est spe
137. Si medium quoddam Commune, V. g. aer, circUm det plura alia superficiebus planis & parallelis terminata, & radius lucis ex aere sub dato angulo incidens successiVe transeat per omnia media, equibus rursus in aerem emergat, inVenire Viam, & directionem radii egredientis.
spatiis cBbd, eco, geria &c quaecunque alia media di Versam habentia vim reli ingendi; ac tandem spatium Ch iterum contineat aerem aeque densum, ac ille est, qui continetur in BAab. SumamuS, ut schema sit simplicius, omnia haec diversorum mediorum strata aeque alta, ut sit AB - Bc - ce &c. Sitque ratio sinus anguli incidentiae ad sinum anguli refractionis ex aere in medio Bd, Μ: N; eX medio Bd in re,
triangula CDP, EF Q ; item FER, HGS aequalia & similia sint, est
N ni, & n - μ', ergo etiam UO - KX, angulique UCO, KΙX aequantur. & IX esst parallela ad AO. Si strata non forent aeque alta , nil aliud sequeretur incommodi, quam quod sumptis in omnabus majoribus altitudinibus , aliis minimae aequalibus, construenda forent aequalia triangula. Uti si unius altitudo foret Ac, assumi deberet logo Ac alia CD, & Ioco majorum construenda forent duo minora triangula CDO, CDP. 338. Eviden S est, totam refractionem contineri angulo VIX, cum IX sit parallela ad radium incidentem. Foret autem eadem refractio, si radius ex aere immediate incideret in medium es M. Posita hac veritate, liquet, quomodo posIit in Veniri ratio sinus incidentia, ad sinum refractionis in transitu eX uno in alterum medium, si detur haec ratio respectu tertii medii utrique alteri contigui. Verbi gratia si sciatur, rationem dictorum sinuum in transitu eX aere in aquam esseni: n, in transitu eX Vitro in aerem esse v: μὴ in Venitur ratio , quae