장음표시 사용
211쪽
soci a superficie speculi conVeXi est r, in qua sumitur focus positive Versus centrum speculi, si ve eX parte radii convexitatis. Ponamus ab initio d - sive objectam. in ipsa speculi superfici
finite parum remota a superficie speculi Versus centrum, atque per coroll. V. Probi. I aequalis objecto, & situ erecto. Ρorro cum deno minatoris formulae uterque termitius sit afleetus signo quidquid fuerit et, semper manet lacus intra centrum , ct superficiem speculi.
& idem imaginis erectae situs E - , fiet Σ- r. Igitur dum radii Parallele incidunt, ioci distantia maxima anti erctie versus centrum deculi es dimidiuS radius speculi; in omnibus
aliis casibus minor est, Ob ij. Etsi distantia objecti a speculo sphaerico convexo nequeat sumi negative cum Objectum necessario ante speculum collocari debeat attamen possunt radii ita conVergentes incidere in speculum conVexum, ut punctum cORVergentiae sit eX parte centri, & hujus puncti distantia eX primi debebit per - d, quo casu fiet Apparet quando r ad, lare r negati Viam, hoc est, focum sumenis dum esse ante speculum, Velut si in figura 3tia radii incidentes sint ed, gh: reflectentur hi in A, ibique focum habebunt manente imaginis - drsitu erecto cro . Quando est ad M.r, fit - αα eo in In hoc igitur casu focus ad distantiam infinitam abit versus K, & radii parallele ad axem reflectuntur. Denique si fuerit r ad , secus manet intra speculum VersuS centrum. Sed hic casus paullo magis evolven-
tivam per negativam dividatur, consequenter lacus reapse erat ,
212쪽
INs T. OPTIcAR. ΡARs III. CAPUT Ι. ΑRTI c. 'Ι. hoc est, lacus propior erit centro, quam superficiei speculi. Ut veniat focus ad ipsum centrum, requiritur, ut sit d - r; sive ut radii incidentes convergant ad centrum speculi, & incidant in ejus superficiem perpendiculariter. In hac hypothesi imago abit in punctum, & nihil repraesentabitur. At quando d r, erit Od - 2r 4r - ar seu ar, & fractio erit minor, quam ζr, lacusque erit imira centrum, & superficiem speculi, situ imaginis erecto. Posita autem 4 f gr, attamen d ς r, erit ad - 2r ς 4r - ar, & fraetio
-- major quam ir; hinc - -- r, hoc est, lacus erit ultra centrum, & imaginis situs inversus juYta N. IO. Dum objectum abit ad distantiam infinitam a speculo, sive dum d oo , ct radii in-
13. Atque hi sunt praecipui casus, qui possunt emergere in speculis conveXis. Illud per 1e tiro pervidet, posse citra negotium determinari distantiam objecti, si quidem desideretur, ut focus sit in data a speculo distantia. Ρetatur V. g. ut focus sit ante speculum in distantia ar ab ejus superficie, ponendum erit - 2r seu - 4d--ar - d, aut- 5d ar, Vel - d - n, hoc est, punctum convergentiae debet distare a superficie Ver1us centrum speculi l radii. Si petatur, ut focus sit ultra centrum speculi, ex. causa intervallo mari ponatur 2r ia; fiet 4 l -- ar d, seu Jr - - debebuntque radii convergere ad distantiam ir ultra speculi superficiem.
14. Resolutio II pro speculo concavo. Si in sermula ta in qua r ponitur jacere ex eadem parte cum radio sphaericitatis spe
infinite parum ultra superficiem speculi, & imago situ erecto Io . Quamdiu ad ς r, focus semper est negativus, & ultra speculum, mZ nente imagine erecta; at dum ad se r, fit focus infinitus, seu radii reflectuntur paralleli ad aXem, & nulla imago depingitur : quam pri- Inum autem sit ad r, socus efformatur ante speculum, & qaidem sid α r, attamen d r, focus erat semper in majore distantia ante 'speculum, quam sit r. ct proinde a mago inversa o). Sed ubi d mar, fit
213쪽
DA FOCIS sPECULORUM SPHAERIcORUM , ET IΜAGINIBVs Ic. IIr, fit - - r in q, & radii in superficiem speculi perpendiculariter incidentes reflectentur ad ipsum centrum. EX quo apparet, objecto a distantia ζr Versus centrum accedente, accedere focum eX distantia infinita pariter ad centrum. Quando r, est ad - r r, adeoque
Q r, seu imago erit situ inverso intra centrum, & superficiem speculi, attamen ab hac magis distabit, quam ζr. Idem continget objedio recedente a speculo, donec fiat d - co , quo casu fit - tr. Igitur imago cujus situs manet in Ver1us non potest propius ad superficiem speculi accedere, quam ζr, quando objectum est eXtra speculi centrum. 15. Intelligenda haec sunt in hypothesi, quod radii divergemtes incidant. Si radii convergant ad aliquod punctum ultra speculum - δε δε
Colligitur hinc, lacum manere perpetuo realem, & ante speculum, Utpote cum signum non mutetur, quidquid fuerit de & quidem abeunte puncto convergentiae a superficie speculi ad distantiam infinitam, focus itidem a superficie speculi accedet Versus centrum interVallo r. 16. Quod N. 13 de conveXis speculis diXimus, citra negotium concavis applicatur. Unde hoc tironis industriae relinquimus. Cete- δε rum formula in sequentem analogiam solvitur sid r:
r - d: & divisa prima ratione per e , fiet d - ir: tr - d: EX NN. 12 & I4 patet, esse lacum radiorum parallelorum, qui si dicatur My, analogia habetur d 'J:J - d: adeoque quae est omnino similis formulae dioptricae, adeoque eandem fere habet constructionem graphicam, quam moX subjiciemus.
27.Cumpsimus m praecedente Articulo , radios lucis in speculum incidentes esse aκi speculi infinite propinquos. Unde isthic ponimus radium aperturae speculi tam parvum, ut ejus sectio, licet sit arcus circularis, possit nihilominus pro recta citra errorem sensibilem B a libe-
214쪽
Tab. I Fig. 7 Tab. I. Fig. 8.Tab. I.
haberi. Ex superioribus autem facile distinguuntur tres casus ridiorum lucis in speculum convexum incidentium. Horum est Casus I. Si radii incidant in speculum convexum divergentes. Sit fig. 6 Tab. Ι) superficies speculi CD, centrum Κ, & KF - FG r - f; radius aperturae sit CD. Erigatur ex A est CA distantia objecti a speculo) perpendicularis ad axem KA, & indefinita AB. Ex F ducatur per D FDB occurrens perpendiculari AB in B ; agatur item ex D ad axem parallela DG: si conjungatur punctum B cum centro speculi K, secabit recta BK parallelam DG alicubi in G. Denique demissum ex G in aXem perpendiculum GL determinabit distantiain
foci a speculo CL Triangula similia BGD, BKF; item FBA, FDC cum DC pro recta ad ΑΒ parallela' haberi debeat) dant BF: BD - KF GD vel LC. Est autem BF : BD - FA: CA; igitur etiam KF LC - FA :CA, vel FA: CA - KF vel CF i CL, id est ob CA d, FC -
Q. E. F. 18. Coroll. Quando CA oo, etiam FB, ΚΒ fiunt infinitae,& GD - KF - FC - r - f. Si CA - B incidit in D, &
attamen eX constructione ultra C versus F. Ex hoc patet, etiam eX constructione poste smnia ea derivari, quae Probi. fII. Art. I. dicta sunt. 19. Casus II. Si punctum conuergentiae A stum se intra centrum XX, Siocum radiorum F fig. 7 Tab. I). Erigatur rursus eX A perpendiculum ad axem speculi AB, &eXeXtremo Diradii aperturae ducatur per F recta DFB occurrens per Pendiculo AB in B. Facta DG ad aYem parallela, recta ex B per K du-dia occurret teidem in G, ita, ut perpendiculum GL in axem demi in sum cadat in L ultra centrum K, in quo erit focus quaesitus. Nam ob itriangula AFB , FDC similia, uti etiam triangula
2o. Si A soret extra E Versus L, evidens est, rectam BK ita secare parallelam in G, ut GL cadat intra K & C. Et si A incidat in K , etiam L cum K congruet, uti Probi. I . observavimus. 2I. Casus III. Si Ptinctum coni ergentiae Astum si intra supe
em speculi, S iocum F radiorum parallelorum fig. 8 Tab. I
215쪽
CONSTRUcTIO GRAPHIcA FORMULAE &e.13Ducatur ex F, foco radiorum parallelorum, recta FD ad DeX tremum radii aperturae CD punctum, quae secet in B perpendiculum ad axem ex A erectum. Facta DG ad axem parallela secabitur in G per rectam KB productam; erit CL distantia foci quaesita ante speculum, definito puncto L per perpendiculum eX G in a Xem productum demissum.
Quia triangula ΚBF, GBD; item FBA, FDC similia sunt. est FA: AC - FB: BD - KF: DG ves CL, id est d sed J: CL - - , sed quia d lacus L est negativus, si Ve jacet ex parte opposita radii sphaericitatis KC.
Sit objectum in A, infig. 9 extra, in Io' ' intra centrum. Excitetur , Q, i in utroque casu perpendiculum AB ad AXem , quod recta eX eXtremo aperturae D per F ducta secetur in B. Fiat item DG ad aXem parallelae, cui in G occurrat recta ex B per centrum K transiens. Demisso ex G in axem perpendiculo GL, habebitur distantia foci L a speculo, nempe CL, ct quidem in casu figurae 9 ' cis centrum respectu speculi; in casu vero fig. Io ' trans illud.
CL - d ' . . . . - Omittimus adnotare, ex ipsa hac constructione facili negotio omnia posse deduci, quae superiore Artio. Probi. II adduximus. Ipse tiro has focorum mutationes, posuis objectis ad diversa intervalla aspeculo , majore eum Voluptate animad Uertet. 23. Casus U. Si objectum si cintra iocum radiorum parallela rum, θ' super iem Jeculi concari. Sit aperturae speculi radius CD sg. 11 Tab. I , centrum K, II secus radiorum parallelorum P, sobjectum in A, in quo puncto eXci- tata perpendiculari S AH secetur in B per rectam ex F ad D ductam. Parallela ad axem DG secabitur a recta I E producta in G, & perpendicularis ad axem productum GL desinit distantiam foci CL a speculo, nempe in hoc casu ultra speculum.
216쪽
Tab. ITriangula similia BFK, BGD dant BF: BD - FK: GD vel LC. Sed ob triangula FBA, FDC itidem similia habetur etiam BF: BD - ΑΗ: AC; quare erit quoque AF id est CA - CF) AC
erit focus ' ultra speculum, & imago situ erecto &c. a 4. Casus ΙΙΙ. Si radii convergaret ultra speculum concaνum. Sit distantia puncti convergentiae a speculo CA; eκcitata in Aperpendicularis secetur in B per rectam eX F per eX tremitatem aperturae D ductam. Conjungatur B cum K; secabitur DG ad axem parallela in G, & perpendiculum GL in aXem demissum definiet distantiam foci CL ante speculum, minorem quam CF.
lelorum , quando radii convergunt, evidens est ex ratione FK: DG
a 5. Caustica per reflexionem est series continua socorumll curvam constituentium , quos bini quivis radii incidentesessiciunt, qui curvam illam perpetuo tangunt. Generatim igitur Proponi potest sequens generale Fig. I. . Problema: data natura curvae AdlD fg. 33 Tab. II), in quam ex-- puncto lucido B incidunt radii; dato item radio curvaturae in puncto incidentiae Μ, invenire MF, seu punetum F, in quo radius recte useausticam tangit. Resolutio. Ad radios incidentes aeque, ac reseXos demittantur eX centro C circuli osculatoris perpendicula C/E, Ce; item CG, : centris item B & F desci ibantur arcus evanescentes ΜR, MO. Ob restos mMC, RME, ablato communi angulo RMC, manet mΜRura UME. Item si eκ rectis OMF, CMm auferatur communi S mΜF, manet O Min FΜC. Atqui eX lege reflexionis est angulus ancidentiae EMG aequalis angulo refleXionis G MC; ergo etiam erit mΜR OMiu , ct ob commune latus Nim, etiam ΟΜ - MR. Praeterea similia
217쪽
Si punctum B infinite disset, radiis parallele incidentibus, fit
r a. Quando radius incidens curvam reflectentem tan
- - , & punctum causticae incidet git, fit a - - , & r :
Applicemus haec casui particulari, in quo caustica est curVaalgebraica, dum nempe radii paralleli incidunt in semicirculum caVum 27. Sic radius incidens B M fig. 14 Tab. II . Facto angulo BΜC - CΜF, ct radio circuli Clit in H bisecto, demittatur eX Η in MF radium reflexum) perpendicularis ΗΗ; erit F punctum cau- sticae. Ducatur HK ad AC parallela: quia ΜΗ - ΗC, est etiam ΜK- ΚΒ, & ob aequales angulos B MC, CΜF, triangula ΚΜΗ, ΗΜFsimilia & aequalia sunt, consequenter ΚΜ - ΜF - έα, ut oportet 25 . Recta igitur KF est ad ΜΗ in T perpendicularis; & ex F in AC demisso perpendiculo FP, sunt triangula ΜKT, MBC, KBQ .QFP similia. Esto ΜC - r, ΜΒ - Ο, ΜΚ - ΚΗ - MF I, BC - x, FR - PC r, FΡ - RC- υ. Erit eX similitudine triangulorum ΜC: BC - ΜΚ: KT, seu r:x - : ΚT - -, ct KF -
218쪽
tione ad D adhibiti praebent v -
les ramoS habeat. Reapse haec caustica est epicyclois, cujus circulus genitor habet diametrum r - MΗ, & is , 1uper quo reVOlVitur , Fig. habet radium HC r. In g. 15 Tab. II), evidens est, esse angu b. ιI tum KHM - ΙCΗ, ideoque dimidius arcus MK est ad arcum ΗΙ - 1: 2, ct totus MK ad totum Hl ut et ad 2 , ideoque aequali S, con sequenter etiam arcus KH arcui HF - arcui PIO, & puniim Fest in epicycloide AFO. cujuS verte V est A, & altera medietas AGS, ita, ut si SC - CO r. Generatim ostendi potest, omnes causticas refleXione semicirculi ortas esse epicycloides, qua de re infra sortassis
219쪽
Si ponatUr ν quae praeter duas radices se o, dat χ' -
, ubi apparet, si accipiatur sub signo - , fie-- 2 ari valorem imaginarium. Si aequatio transformata inscribatur triangulo analytico, duae obtingunt determinatrices inferioreS ; altera dat aequationem 641
64υ minatrix inferior praebet aequationem - quae pertinet ad parobolam tertii gradus, ct secundi generis, cum qua igitur in vertice caustica congruit. Repraesentet G1H fig. 16 Tab. II) superficiei spe g culi cavi sectionem per axem FI transeuntem, AG sit radius apertu- rae, radius speculi r - 2IF, sumpta FE - ν, ductisque ordinatis DE, ubi in D radius eX extremo aperturae G reseXus tangit causticam & OC ubi in C rursus occurrit alteri ramo l,CFo, eVidens est, debere esse DE : OC' - - FEy: -- FO -FEΤ: FOΤ. Faci-27r 27rte intelligitur esse BF errorem soci in longitudinem ex figura sphaeri-
220쪽
Diope.) loco P ponatur - 1, Vi lemmatis adhibiti, pertinebit etiam ad speculum caVum, cujus radius est a. Facta autem hae
substitutione obtinetur qVy - . Cum apud nos sit radius r loco a , cla
Loco v accipiatur - , habebitur OC: quadratum diametri speculi ad quadratum radii aperturae, Ut radius aperturae ad radium circelli, qui errorem foci exhiliet. Si eXem. pli causa sit focus radiorum aYi infinite propinquorum in f r αα ad
fere unius digiti, quae quantitas omnino facile negligitur. Μulto minor esse debet in Telestopiis catos tricis, in quibus spectato soco tanta