장음표시 사용
241쪽
RasoLVUNTUR NONNULLA PROBLEMATA.
Resolvuntur nonnulla Problemata. go. Problema I. Invenire radium sphaericitatis speculi convexi.
Resolutio. I. Accipiatur lens Convexa, cujus lacus radiorum parallelorum sit longior radio sphaericitatis speculi id quod Vel oculi aestima. tione facile deprehenditur. Excipiantur radii solis lente, cui tamdiu admoveatur Vel ab eadem remoVeatur speculum, donec radii in conum coeuntes ita reflectantur in lentem. ut lucidus circulus, qui reflexione essor- matur, accurate congruat cum lentis apertura. EX nota longitudine focilentis subtracta ejusdem distantia a speculo, erit residuum radius speculi. Ratio facile intelligitur . cum radii non reflecti possint perpendiculariter in 1 uperficiem sive in seipsos . nisi tendant ad centrum speculi. Il. In charta firma DG describantur duo circuli concentrici, Fig. 4st. alter radio DC centro D, alter radio DB - a DC. Minoris periphe- Tab. VLria perforetur pluribus foraminulis exiguis, Velut ad C, & opponatur soli, ut radius CΜ incidens reflectatur in peripheriam circuli majoris, quod admovendo, removendoVe chartam a speculo obtinetur. Radio refleXo accurate in peripheriam circuli majoris incidente sumatur circino distantia MB, vel MC alterutra enim accepta, nota erit quoque altera: ponimus accipi MB). His ita habentibus cogitetur ra
denique eX tracta radice habebitur radius OΜ. 81. Problema II. Badius lucis debet ex puncto C fig. 43 9 44 Fig. 43. 6 Tab. VI) per refleYionem lactam in superficie speculi sphaerici venire 44. Tab. ad datum punctum F: quaeritur punctum incidentiae E. V Resolutio. Quoniam nulla compendiosior resolutio occurrit, quam si ea, quam dedit Ill. Hobit alius De calculo infinites. Sect. ΙΙΙEXompl. X eam in pratiam tironum huc transferimus, ne alitu quae rere debeant, quo ad sequentia rite inιelligenda opus habent.
242쪽
Ponatur esse punctum E quaesitum, & ducatur per centrum Orecta OEG. Evidens est. eme hauc ad peripheriam AEB perpendicularem, & proinde angulos FEG, C EG aequari inter se. Quod si igitur ita ducatur EH, ut fiat angulus EHO aequalis angulo CEO; & eodem modo EK, ut fiat angulus EI Ο FEO; praeterea agantur ED ad OF, & EL ad OC parallelae, erunt triangula OCE. OEH; item
quae circulum in quaesito puncto E secet, & facile possit construi. 8a. Problema ΙΙΙ. Si radius incidens in speculum sphaericum resectatur ad oculum, determinare locum imaginis puncti, eX quo radius incidit. Resolutio. Sumendum est isthic & punctum incidentiae physicum, seu alicujus latitudinis, & radius ejusmodi, qui fa1ciculum aliquem plurium constituat; per unicum enim radium oculus nihil videre potest. Incidat ergo LE in punctum E fig. 45 Tab. VI speculi convexi, indeque reflectatur in oculum O, determinato per praecedens Problema puncto E, si oculi locus sit datus. Producatur L E in B, dum rursus occurrat circulo maramo speculi in B; sitque ΕΜ - lEB. Fiat LM: LE - LE: LR. EX R in tangentem Ee demisium perpendiculum Re producatur, ut sit Re er, erit r locus apparens punctilucidi L. Ex iis enim, quae Articulo ΙlΙ de causticis diXimus, manifestum est, determinari per allatam construetionem punctum r causticae Sre, quae est locus geometricus omnium focorum Viri ualium , quos possunt habere radii ex L in circulum maXimum speculi incidentes inde ab A u1que ad punctum contactus i. Jam Vero hoc ipso radii expuncto physico E speculi ita reflectuntur, quasi divergerent eX r; 1gitur oculus O qui est in plano eodem LECo imaginem pundii L ad rreferre debet. Si punctum lucidum i fig. eadem) badiet in speculum concavum, ac sit ε punctum incidentiae, eX quo radii reflectantur in oculumo, sumpta iterum με - . βε, fiet hae: Λ - δε : Ly, & perpendiculo ec in tangentem εο, facto ce, habebitur punctum e causticae δρλ,& radii ex puncto e divergentes siquidem secus e sit realisb icident in oculum O, qui proinde punctum lucidum i ad e referet.
243쪽
83. Scholium. Egimus in hoc problemate de visione imaginis,
quae sit uno oculo. Si idem objecti punctum Videatur utroque ocul O , res paullo aliter habet. Verum revocanda sunt hoc loco in memoriam, quae Part. I. Instit. N. 85 de horoptere, seu plano, aut linea visionis digimus, ad quod, vel quam scilicet imago refertur, & semper illud est, in quo aXes optici concurrunt. Ut id adhuc eXemplo, quod ad rem nostram propius facit, allustremus, posui super menta circellum e charta colorata erat haec caeruleab eXcisum, Vide fig. 47 Tab. VIJ velut in A. Fig. 4 .
Cruribus circini, qui ad manus erat , eXtremis agglutinavi e X eadem Tab. VI. charta duos annulos E&F, quos diductis, aut compressis cruribus circini tamdiu movi, ut clauso oculo de X teros, circellus A appareret sinistro in medio annuli E uti et am ut clauso oculo sinistro O, Videretur circe litas A dextero O in medio annul 1 F. Tum utroque oculosi mal aperto eundem circellum A considerabam. Apparebant supermenta tres annuli J, A, & e, sed in uno medio videbatur circellus A. Teliqui utrinque vacui erant Nempe annulus E ab oculo O ad idem Pu ictam refereo atur. ad quod F Ab oculo o, hoc est, ad intersectionem a X iam Opticorum OA , DA, ita, ut coincidentibus utriusque imaginibus in ejus medio circellus A videretur. Annuli E imago etiam deo ingebatur in oculo o ; sed quia eX o per E circellus A videri non poterad, ejuS Imag nem circello Vacuam referre debuit oculus ad locum
aliquem j hOropteris. Pari ratione depingebatur in oculo O imago annuli F, sed absque circello A , qui ab O per I videri nequibat; hinc
referebatur Ad locum horopteris e. Interposita inter E & F charta HI quo impediebatur, ut ne eX F in Ο, vel ex Eino Venirent radii, Unica imago annulorum c rea circellum A videbatur. Phaenomenon hoc
manifeste evincit, I in axibus o licis AO, Ao si duplex oblectum oequali; forma, b magnitudinis ES F, id videri in concursu axium instar unius. Ouod si radiatio OHecti E in oculum o , b obiecti F in
oculum O am ediri Pol sit, unicum tantum obffectum in A videri debet. HiS notatis sit 84. Problema IV. Explicare modum quo duplice oculo Videatur imago puncti lucidi in speculum sphaericum radiantis. Resolutio. DupleX potest esse casus: Primo dum aYes optici oculorum sunt in eodem plano cum radio incidente, & catheto incidentiae. Eχhibpatur hic casus sig. 48 Tab. VI. Si speculum AE E F ἶ- ψη. non sit ingens fieri nequit, ut ex eodem sensibiliter puncto E refle- tantur radii ad utrumque oculum O & o. Igitur si ado recte statur Iu Xe puncto e. & ad Oe pun sto E, iquet e scholio praecedente, imaginem puncti L esse in pro duetione aXis oculi o, nempe in e F, quae est tangens aliqua causticae Eodem modo erit imago, seu focus virtuali S eX reflexione puncti E 1n productione EF axis oculi O. Igitur refertur utraque haec imago ad concursum F harum productionum . sed tangentium causticae, hoc est ad horopterem oculorum: & quia radii eX e
244쪽
85. Apparet, esse plures casus, in quibus videatur imago extra cathetum incidentiae, per qham intelligitur perpendiculum LAC epuncto lucido ad superficiem reflectentein demtissum. 85. Casus alter est, quando radius incidens, & cathetus incidentiae cum aXibus oculorum non sunt in uno plano Esto fg. 46 Tab. VI cathetus incidentiae L Α, radius incidens LE adeoque etiam refleXus)cum axe oculi O in plano circuli maχimi speculi AEB; item cathetus Le, axis oculi o, & radius reste Xus in plano circuli marimi AeB. Erit sper Probi. III foetis virtualis, ubi oculus O si solus videret) cernere ei maginem puncti L, planetum causticae V, uti etiam oculus o, si solus foret, cerneret imaginem ejusdem L in alia caustica SD, quae cum priore habet putidium Sin interseetione planorum commune nempe in i Cum autem haec puncta F cti sint in aκibus opticis , & hi concurrant in intersectione circulorum AEB. AeB, referet spectator imaginem Utramque ad punctum O quod in hoc casu est simul in catheto incidentiae , juxta scholium, cum per hypothesin radii ex E in o , & eNe in O venire nequeant.
87. Observa I. Fieri posse, ut dum puncta incidentiar E, esunt remotiora ab A , seu, si F, i in causticis sunt propiora ad G, g, a Xes optici producti concurrant cum catheto LA extra speculum, α tum si utroque oculo aspiciatur, videri debet imago eXtra speculum sphaericum ; id , quod nunquam contingere potest, si aspiciatur unico oculo, cum focus virtualis semper sit intra speculum, intra quod tota cau'stica concluditur usque ad piandium contactus, in quod si inciderent radi3eX L, oculus videret objectum L radio directo. seu in sinite parum refleXO.88. Observa l . Si axes optici non dirigantur ad F, f, sed V. g. ad punctum E , fieri potest, ut manente loco oculi o , nihilominus e X refleXione puncti e veniant radii ad oculum o, & tum imago pun eti L non depingetur in eo loco fundi oculi, perque in transit AXiS Opti UUS, sed in loco dexteriore . & tum necessario videbitur dupleX imst
gQ objecti. Immo si horopter figatur inter puncta E, e, siquidem b. efensibilem habuerint distantiam inter se, fieri potest, ut videantur etiam
tres imagines, Vel quatuor. Sed enim tum oculus non est rite collocatu S-89. Observa III. Quae de speculis conveκis diximus, applicaΠda etiam sunt concavis, hoc discrimine, quod quando soci in ca sticis sunt reales , imagines depingentur e X tra speculum, ut paullo difficilius fit horopterem in concursu produEtionum tangentium utriusque causticae figere. Hinc stipe contingit, ut duae videantur imagines ori dii lucidi, quando utroque aspicitur oculo , maXime quod aliaS soleamus imagines referre post specula, consequenter etiam aXeS Opticos, dum specula caVa intuemur, ita dirigamus, ut non nisi post speculaeon Currant. Si quae modo de concursu axium opticorum monuimus,
245쪽
REsoLVUNTUR NONNULLA PROBLEΜATA. 43
attendantur, non fiet, ut unius puncti lucidi plures imagines in speculis sphaericis appareant. Accepi chartam ABCD fig. 5o Tab. VIIJ,
in eaque foramen circulare eXcidi, in cujus centro se intersecabant sila ac, db; ultra chartam ita disposui duos circulos Μ, & N, ut Ocu - Fig. 'o .lo O per intersectionem filorum aspicienti appareret circulus N in I b, VJI medio foraminis abcd; tum ut clauso o, Videretur oculo o alter annulus M itidem in medio foraminis. His ita dispositis aXes opticos ad intersectionem filorum in centro foraminis direxi, & unicus circulus apparebat in medio foraminis, congruentibus utriusque imaginibus in unam. EVincit hoc phaenomenon, duorum Objectorum oequalium cs s milium ultra horopterem in prodiactione axium Pesitorum, amarere unicam imaginem in ius concursu axium. Idem igitur fieri debet duplici imagini 1n duabus causticis, si referatur utraque ad horopterem. Quod
si cel. D. d Alembertus opus c. min. Tom. Ib horopteris rationem habuisset, & calculos suos naturae visionis magi S accommodasset, sane prima Optices principia nunquam in dubium re Vocasset. 9O Problema V. Si speculum planum mn OP, cujus eXigua tantum particula 3 patet, firmetur brachio NS, in aκe NC . & rotetur Circa eundem a Xema ita, ut luccelli Ue percurrat semiperipheriam circuli radii Nue, interea autem e puncto lucido S alteriore, quam sit spe' et ab viI. Culum, incidant radii in S, indeque reflectantur: quaeritur in plano hori Zontat: curva AMG, quam succe8ive percurrit radius refleXus.
Resolutio. Ponitur Ns esse in plano speculi, adeoque quando speculum habet situm mnop, ita, ut sit remotis imum a puncto lucido S, si Ve quando perpendiculum eX s in planum horizontale demissum incidit in B extremum punetum diametri circuli, qui eX plano horizontali descriptus aequalis es parallelus est illi, quem ε describere ponitur, eVadens est, radium lucis SyA praetervehi speculum, & incidere in A. Eodem modo quando speculum Venit ad t, ut perpendiculum tD cadat in alterum extremum diametri BD, radius Si speculum.
PraeterVectus cadit in G , ita, ut per lucidi puncti O, D, C centrum circuli , G, & A sint in eadem recta. Dicatur altitudo puncti lucidi SO - c, altitudo speculi 3B NC- tD -j, & ponatur SO - aB - c - a. Patet, lare
femper Su a): ua seu OBJ me aB γ): BA - κ OB. Esto modo speculum in T , ut perpendiculum inde demissum cadat in I. DucantUr
per I rectae OiL, CIK, ct accipiatur IL - - Μ ΟΙ, dimissumque eXL in VI K perpendiculum LK producatur, ut sit ΚΜ - KL, erit Μpunctum , in quod incidit radius recte Xus I M. Demonstratio facilis est: Dudia quippe MI erunt triangula II L, i ΚΜ similia, & aequalia, c propterea L IK - KIL - CIO, Sit FI tangens circuli in I, ob rectos FIC, FIK aequales, ablati S aequa F 2 tibus
246쪽
inde TΜ est radius refleXus. Q. E. D. 9s. Si ponatur etiam alcera facies mn specularis, dum speculum motu rotationis percurrit alteram semiperipheriam, eadem curva situ opposito describetur a radio resteXO. Ceterum potest etiam sequens haberi constructio. Describatur caustica αῖλ radiis lucis e puncto lucido O in circulum DIB incidentibus, ct si fuerit OΙ - 1, UI
- l, erit Io per ea, quae Art. III de causticis dixi.
by et b- r x l ' - a b r)x l b si μ-r x Liquet adeo, posse haberi & I, ct dimidiam chordam i per x & constantes , & proinde aequationem ad curvam, si lubet, invenire licet. Verum non Videtur operae pretium, ut propterea laboriose calculos subducamuS. 92. Si punctum lucidum abeat ad distantiam infinitam, fiet ΟΙ - OA , utpote cum utraque sit infinita. Hinc etiam erit IL M BA
Si evanescat NI, seu si punctum resectens convertatur circa se ipsum, circulo DI B evanescente, describet radius resteXus in plano horigontali circulum, uti clarum est. Denique si punctum reflectens moveatur in recta, etiam radius reflexus in plano horizontali rectam percurret.
247쪽
Applicatio Dioptrices, o Catoptrices ad explicanda
EXponuntur formulae focorum Dioptrica & catoptrica pro sphaeris paullum diversae ab iis , quas alias habuimus.
93. emo jam est nostro aevo adeo in rerum naturalium scientia ho-I Ni speS, ut nesciat, iridem solaribus radiis in pluviae guttulis refractis, reflexisque estormari , postquam Cartesius at gulOS etiam determinaVit, sub quibus lux in sphaerulas illas aqueas incidere debet, ut omneS illos colores exhibeat, quos in arcu coelesti Observamus. Equidem lucis indolem. colorumque discrimen nescierat CartesuS, neque eiungendae iridi necessarios angulos alio deprehenderat indicio, nisi quod , cum complures ad calculum revocasset, ii soli essent, qui plurimoS lucis radios ad spectatoris oculum remitterent ; satis tamen id erat, ut Newtonus, qui phaenomeni explicationem numeris omnibus absolutam dedit inLect. Opticis PartiΙ SQ.ΙΙ quae inter ejus opuscula minora eXtant , fateretur, Cartesium viam stravisse; quanquam ei hanc rursus laudem in Optices L. I part. ΙΙ prop. 9 surripuerit, & e X duce. M. Antonii de Dominis sequacem fecerit. Haud recte sane, uti R. P. BUCO- vita in Notis ad Poema de Iride N. P. Caroli Noceti ostendit. 94. Porro Ne tonus in laudato inliciae loco demonstratione omni abstinuit; at in Lectionibus Optiore Part. I. Sedi. IV. Prop. 35 &36 pro aride primaria aeque quae interior est, atque unica refleXione, duobusque refractionibus essicitur) , ac secundaria sive eXteriore, quae binas refractiones, totidemque reflexiones requirit luculentam dedit, methodo, quae ut ipse monet) cuivis refleXionum numero 39plicari possit. Angulos autem, qui arcus coelestis amplitudinem metiuntur, & a radiis incidentibus cum iis, qui e guttula emergunt, continentur, in primaria maXimos; minimos in secundaria Vocat. Materiam eandem majore longe amplitudine acceptam perlecutus est
248쪽
Tab. VIIart. 3 . quem sequitur IL Me neru3 in opere germanico pererudato , quod Optices ema omnes parte3 Complexum dicere possis , edito Altenburgi I 755. Quanquam autem primo intuitu haud liqueat, ecquid ad effectum physicum angulus maXimus , minimuSVe conferat, quem radius solaris inciden S cum eXeunte e sphaerula comprehendit; id tamen facile intelligitur , si ad Ne toni monitum adVertatur animus. eo scilicet solo in casu, quo anguli illi in suo genere sunt maximi, vel minimi, fieri posse , ut radii post dua S refractiones, ac unam, duas ve reflexiones inter se paralleli ad oculum pertingant. Ut enim certi generis color percipiatur, plures lucis radii ad eandem sensationem concurrere debent. Demonstratio quidem quam dabimus radios infinite propinquos assumet; at quia prope ea puncta, a Geometria determinata, in quae lumen incidit, discrimen inclinationis perexiguum est, ad vicina utrinque eXtendenda est, quemadmodum nempe ut Newioni argumento a simili petito utamur, cum sol ad tropicorum alterutrum accedit, dierum longitudo per aliquod i temporis spatium parvis admodum portionibuS augetur , Vel imminuitur. Atque hinc fit , ut1ussiciens lucis homogeneae copia in spectatoris oculum illabatur, quae vivacem coloris sui impressionem efficiat. 95. Et ut hujus eXplicationis e Videntia major sit, quae naturae agendi modum pressius attingit, ejusmodi adhibere placuit in hac tractatione methodum, quae a AaYlmis, & Minimis non penderet, sed paralleliginum radiorum emergentium tantummodo spectaret, & a tironibus facillime posset intelligi; interim uero pateret latissime, omnI-busque hypothesibus faceret 1atis. Quin a generalibus rem ordiri libuit principiis tum Dioptricae, tum Catoptricae, quorum applicatio etiam ad alia phaenomena esset eXpedita. 96. Ante omnia itaque haberi debet sormula generalis pro so-co radiorum infinite propinquorum, qui quomodocunque in sphaeram
refringentem incidunt. Sit fg. 51 Tab. Vil) P punctum lucidum, PIE, Die radii incidentes ; IFA, iba refracti: CH, Ch perpendicula ad incidentes; CO, Co ad refractos. Manifestum est CIB, Cib esse angulos incidentiae; CIO, Cio refractionis, quorum sinus proinde sunt CB, Ch; CO, Co; inveniendum itaque est punctum F, seu distantia OF,
cum ponatur, dari puncta P, I una cum arcu DI, ac ratione sinus
anguli incidentiae ad sinum anguli refractionis, quae sit Ι: R. Cencris P, F, radiis ΡΙ, FI intelligantur descripti arcus infinite parvi IU, Iu. Quia anguli Cli, Bi V redii, ablato communi BI maneat CiB, VIi aequales. Et quia ad V, & B recti, triangula VIi, CId similia sunt. Pariter similia sunt Ii Clo ob restos ad v, & Ο & tali, Clo aequales. Est igitur ex prioribus Ii: IV - CI: ΙB; &ex posterioribus Ιu: Ii IO: Ct, ac rationibus compositus Iti: IV IO : IB. Dein quia radii PE, Pe infinite pro linqui, rectar CB, C Qaequales censendae sunt; hinc Ub - CB - Qb. Ob eandem rationem
249쪽
transferamus, indeque in Ii radii incidant, post refractionem situm ΙΡ. 1P obtinere debeant. Cum enim fit idem medium sphaerae circumfusum, ratio sinus anguli incidentiae ad sinum anguli refractionis in egressu, eadem est, quae fuit in ingressu ratio sinus anguli refractionis ad sinum anguli incidentiae : unde cum angulus refractionis in ingressu sit idem cum angulo incidentiae in egressu, iidem etiam sinus habentur, ac pristinus radiorum situs restituitur. Quare si ponamus radios, antequam ingrederentur sphaeram, fuisse parallelos, paralleli etiam ut eadem Via, qua Venerant, egrediantur, eli necesse. 93. Quoniam vero ad essiciendam iridem haud quaquam lasscit refractio, sed praeterea reflexio radiorum requiritur; praeter lacum F ex prima refractione, inveniri etiam debet sociis ex singulis reflexionibus, quae deinceps contingunt. Hoc ut praestetur, solvendum nobis
Problema : Radiis infinite propinquis ex f in A a fg. 5a Tab. Fig. sa. VIl) incidentibus, invenire punctum concursus post reflexionem, seu Twb Vix
Facile intelligitur, resolutionem priori prorsus esse similem. Nam ex aequalitate anguli incidentiae, & reflexionis evidens est, chordas ΙA, AB; ia, ab aequari; aequales proinde sunt etiam earum distantiae a centro CL. CO; Cl, Co: & quoniam radii infinite propinqui ponuntur, censeri debet OC - qC, & LC - QC; hinc Co - Co- Og, &. Cl- CL - Qt, conlequenter etiam sy - ψιIntelligantur centris F, f, radiis FA. o descripti arcus infinite parvi ac propterea pro rectis habendi) AU, Au. Quia BAM, CAa recti, ablato angulo communi LAa, manet a Au - CAL, AC ob rectos ad u & L, triangula a Au . CAL similia sunt, & hinc Aa: Au AC: AL. Ob eandem rationem similia sunt AVa, CAO, ideo que
250쪽
98. His subjiciemus nonnulla corollaria, quorum usus deinceps erit, & quidem in i ' deducemus eandem analogiam, quam jam habuimus pro causticis. Quoniam A --jL: f L IO Ao eue
III. Per se clarum est , quod si chardae IA. ia eX parte Aa producerentur , eae eXhiberent situm radiorum divergentium, & ex finsuperfietem conveXam Aa incidentium , quorum proinde focus Virtualis E sive punctum dispersus) per praecedens corollarium determina