장음표시 사용
91쪽
DE REPRACT1ONE IN LENΤE RADIORUΜ LUCIs AXI cte. 'allele in lentem incidentium. Verum quando focus lentis mediocris est, distantiae magnae, etsi infinitae non sint, satis sunt, ut radii incidentes pro parallelis haberi possint. Quanta autem in casu particulari distantia pro data lente requiratur , ut DCVS a foco radiorum parallelorum sensibiliter non disserat, facilius ex sequentibus determinabimus. Eodem modo dicemuS , qua ratione determinetur focus lemtis, quando radii convergentes ad aliquod punctum ultra lentem positum adveniunt, postquam formulas ad commodiorem eXpressionem reduXerimus ; quem in sinem sequens subjicimus Io. Theorema I. Lenti cuivis semper substitui potest lens iso stella manente eadem longitudine foci.
-- --; sed haec est Drmula lentis i sceliae, cuius radius conoua m - Π UE, veYitatis est r; quare si stat R H r: 2R r: ς, habebitur radius conveYitatis lentis is stellae, quae habeat eundem focum x cum lente data , in qua radii conveXitatum sint R & r. Potest igitur &d. Q. E. D. . Ir. Corollarium. Per se intelligitur, theorema facile extendi ad omnes lentium speilies. Si v. g. Velis Vltro plano conveΚo subsit G
1 a. Theorema II. Neglecta lentis crastitudine si objectum est- Iocetur in ipso foco , lacus semper erit in eadem distantia a lente, in qua prius erat objectum pontum ; seu lacus, ct diliantia objecti fem per possunt permut3ri. Demonstratio. Ut id evidens fiat, opus tantum est. Ut in for-dni r
92쪽
ideoque x - . Q. E. F.14. Corollarium I. Quia per Theor. I. cuivis lenti substitui potest lens isos cella, evidens est, solutionem pertinere ad omniS generis lenteS, ita, ut id unum attendendum sit, an focuS radiorum parallelorum sit positivus , an Vero negativus , & siquidem postremum contingat, tribuendum erit quantita iij signum negativum. Exempli causa in vitris concavis fiet x
I5. Coroll. II. Si detur focus .v pro data distantia objecti d, sa-cile invenitur focus radiorum parallelorum , nam si d)catur x a , cadf - x, erit a , seu ad - ax dx, Vel - x. 16. Coroll. III. Si radii convergant versus aliquod punctum ultra lentem positum , distantia puncti convergentiae a lente sumenda est negativa , seu in formula sumendum est -- d. Hoc posito siet x -
P , ideoque si lens sit convexa , seu si s positiva quantata S, x semper erit positi VUS focus. Si vero sit f focus negativus in o fformula x - 1n praesente hypothesi fiet - x. Cum proinde possit esses d, vel f d, aut etiam j - d; secus erit po sitiVuS, negativus, aut infinitu S.I7. Coroll. IV Ιn Theorem. II. diXimus , objectum in foco collocatum habere DCum aequalem distantiae, qua prius a lente remo thim erat. Quando focus est negativus, probe notandum, o ectum in eo non aliter collocari posse , nisi tributa illi distantia negativa , hoc est , nisi fiat, ut radii incidant eX altera parte lenti S con VergenteS ad illud purustum, in quo prius erat socus eX radiis divergentibuS. Nam
ssi in formula x αα quaeratur eXpresio quantitatis G siet -
93쪽
Da RERRACTIONE IN LENTE RADIORUM LUCIs AXI &c, II se αα -yx, adeoque d. Jam Vero quemadmodum in for-
radii convergunt, nempe x, esse eX eadem lentis parte. 18. Coroll. U. Si detur focus radiorum parallelorum, & quaeratur, quanta debeat esse distantia objeciti, ut radii possint censeri paralleli, constituendum erit prius, quae quantitas respedita foci s contemni possit 8 Erit enim haec pro diversa magnitudine i etiam diversa. v. g. Si laeus f sit duorum pedum , pars de s fere insensibilis
fiet. Dicemus in serius, eX focis positivis lentium conveXarum minimum esse focum radiorum parallelorum, quamdiu d est positiva ; unde sine errore sensibit, lacus actualis objegi habentis distantiam d poterit esse major, quam j, seu O,O24 lineae. Ponatur igitus - T P, ct quaeratur d; fiet 1oozo θ - 1 Cooo g -l- d -y- 1 Oo se, seu d Ioozo I f. In nostro eZemplo, si j - aped , fiet d - 4OOOa. Ped. I9. In postremo corollario promisimus nos ostensuros, sumptad positiva, minimum focum positivara est e radiorum parallelorum.
Patebit Ioe ex formula x - 2 P, seu potius ex analogia d -- y:d -J: x in qua manifestum est, antecedens primae rationis esse minus consequente, ideoque etiam erit in altera ratione f et x. Verum quando d sit oo, prima ratio eo -J: fit ratio aequalitatis , consequenter etiam tum habetur j in x. Igitur quandocunque u est quantitas finita, lacus x major est, quams, seu focuS radiorum parallelorum. At si accipiatur d negativa pro radiis conVergentibus, analogia
fiet f: - -j: x, ct lacus x pariter siet infinite parvus. In lentibus cavis habentibus lagum negati Tum, analogia est d - - s: d - -i: x. Atqui quamdiu d est finitia , & positiVa , est d in I d; erga etiam - x, quod pariter ersv negatiVum Pa-
94쪽
.tet autem. discrimen inter d - y ct d eo sore maius, quo d minus fuerit; igitur etiam quando distantiae d parvae sunt, fori negativi xerunt multo minoreS, quam dum distantia, d sunt ingentes. Unde sequitur, cum d fit focum' negativum x fieri maximum. Sed si accipiatur - d pro rad is convergentibus, analogia abit in J- d: -d - - J: x. Jam , Ximus, si primus terminuS sit negativus , seu J Q d, fore x nepativum; &si d, x pariter habere valorem positivum. In hypotlies igitur, quod d, eo erit antecedensJ- d majus
consequente, quo fuerit a minus, eo Vero magi S eXCedetur arte edens a. conseqnente, quod propius accesserit ad quantitatem f. Unde necesse est, ut e Vanescente - d. evanescat etiam x ; abeunte - d in infinitum,
sat - x ut quidem aliunde constabat); & quando - d τα --s, fiat x - m, seu ut radii ad focum parallelotum codUergentes e lente exeant inter se paralleli. 2O. In Optica annotavimus, in soco positivo depingi objecti imaginem, si radii excipiantur in tabeJa, vel ut arta alba. Sequitur hinc, posse hac ratione inveniri foco' lentium, si nempe mensuretur non modo distantia objeeti, sed etiam illicis imaginis alen e . Quandolentes habent focos longiores, & radiz pnrallele incidentis haberi nequiunt, si pius sumenda sunt objecta leuti satis Vicina , quo casu foci fiunt quandoque ita longi, ut spaci na, g. intra coticlaVe-, Vel ambulacrum haud ita longum , iis mensumundis non sit. Quare locus est sequenti Problemati. et . Problema II. Quaeritur distandia objecti a lente habente Q. cum positivum, ut summa dia tantiar Lm objecti, & foci a Ionte sit omnium minima.
Resolutio. Sit distantia foci se x dissantia objecti in I , debe-
bit o evanescere in casu Minimi jam Vero est X
b. Jam vero constat, distantiam soci cum distantia objecti permutari ,
95쪽
object a lente summa, si utraque se in V. Esse autem isthic minimum, vel ex eo intelligitur, quod dicta summa possit fieri eo , posito objecto in foco radiorum parallelorum, nec secundum disserenti Ie evanescat, sed maneat positivum.
De Punctis extra axem sitis, & praecisione Imaginum. sa, Propositio I. In lentibus unica superficie sphaerica praeditis ut
a sunt Vitra plano - conVeXa , & plano - concava datur unicum punctum, ad quod radius oblique Veniens ex puncto eXtra aXem sito ita refringitur, ut sibi ipsi parallelus e lente eXeat. Ρerspicitur veritas hujus propositionis vel ex ipsa figura et &3 Tab. I. Nam unicum punctum A habet tangentem PAT superficiei MBΝ parallelam. Atqui ut radius incidens RΛ fg. v exeat situ parallelo per superficiem planam , nempe directione Dr, requiritur, ut sit PT ad MN parallela, ut facile intelligitur e X iis, quae Part. I. N. 31 diXimus. Verum etsi unicum hoc sit punctum Α, possunt tamen radii eκ infinitis punctis d1 versum situm e Ytra axem habentibus in illud incidere, ut rursus sibi ipsis paralleli egrediantur, velut radius SA. si refringatur ad AE, e Xibit dire etione Es ad AS parallela, utpote infinitis angulis refradtionis D AB, EAB Sc competentibus infinitis angulis obliquitatis RAT, SAT &c. Quod modo de plano - conveXO dictum est , applicatur eodem modo Vitro planO- conca Vo fig. 3. 23. Propositio II. Si lentes sint duplice superficie sphaerica praeditae, cuivis puncto superficiei minoris sphaericitatis, respondet punctum in superficie majoris sphaericitatis, quorum tangentes parallelae sunt. Et hinc ex unico puneto extra aXem lentis sito unicus tantum radius ita potest incidere, ut exeat e lente sibi ipsi parallelus; seu puncti eratra axem siti unicus tantum datur radius principali S. Sit axis lentis vel utrinque convexae, Vel utrinque cxVae ABGg. 4 & 5 Tab. I . Poterie cuivis radio e centro C alterius superfi-
96쪽
ciet CD dueto sieri alter e centro K superficiei oppositae parallelus KE , igitur tangens puncti II erit parallela tangenti pundii si, uti
clarum est. Conjungatur D cum E ; erit KED determinatus aliquis angulus refractionis; & cum ratio sinus refraetionis ad sinum anguli incidentiae sit constans, unicus angulus KER Vel hujus supplementum) erit possibilis, qui ejus respectu sit angulus obliquitatis. Quare ex unico puncto R ad punctum E incidere potest radius, qui per Drexeat ad RE parallelus. Quod si ad extremum punctum N superficiei habentis majorem radium sphaericitatis ducatur KN, poterit semper e XC duci Cn parallela, ita, ut in arcu Bn fig. vel An fig 5 sint omnia puncta, quae possint habere tangentes parallelas tangentibus punctorum in arcu toto AN fig. 4 Vel BN sig. 5 contentorum. Quare cum innumera puncta correspondentia istorum arcuum conjungi possint eum in modum , quo puncta D & E. fient infiniti anguli refractionis inter se diversi , quorum singulis respondeant singuli tantum anguli incidentiae; & propterea eX infinitis punctis eXtra aXem sitis possunt tantum
singuli radii ad singula puncta incidere, qui sibi ipsis paralleli e lente
egrediantur. Quod de lentibus con VeXo . conveXis , aut concaVO- conca Vis
dictum est, intelligi etiam debet de menis cis fig. 6 & 7 Tab. Ι). Rursus enim e X utriusque superficiei centris C & K duci possunt radii CD, KE inter se paralleli, eruntque tangentes pumitorum D & E parallelae, & angulo refractionis CDE, cujus supte mentum fg. 6) est KER, unicus angulus incidentiae r DC fig. 6) vel supplementum anguli ED C sg. 7 competere potest. Pari ratione definitur arcus En in superficie minoris radii CB , respondens arcui AN. Coroll. I. Re ita DE etiam pro dueta si necesse sit 'ita secat axem lentis pariter productum in me ni scis) in O, ut distantia puncti O ab utravis superficie sphaerica sit in ratione radiorum sphaericitatis. Nam ob CD, KE parallelas, triangula COD, KO E similia sunt,
fieret D E ad axem parallela; & si forent superficies concentricae, punctum O caderet in centrum commune. Si radii sphaericitatum sint aequa-JeS , patet eX N. 7 W, menis cum esse ad usus opticos ineptum ; & si superficies sint concentricae, congruet DE cum radio tam DC, quam KE; hinc angulus refraditonis fieret - , & talis etiam angulus incidentiae esse deberet ob rationem constantem simu um Unde neque hujusmodi lentes usum habent. Ut
97쪽
Ut sequentem propositionem eXpeditius demonstremus, utemur lemmate, quod subjicimus. 24. Lemma. Si radius oblique incidat in superficies planas AR, PS convergentes ad S, nequit sibi ipsi parallelus e X altera superficie egredi, sed inclinatur Versus eam partem, eX qua Venit sig 8 Tab. l.)Sit radius incidens ΙΡ, T P t perpendiculum ad superficiem AS. 'R ad quod proinde, si eX aere Veniat ad Vitrum, accedit refractus ad PO. Excitetur ad O perpendiculum QOq ad superficiem BS, & agatur pero parallela sa ad SA. Evidens est , quod sit superficies SB haberet situm Sa, radius PO eYiret directione Oe ad ΙP parallela ; atqui radius PO magis obliquus est ad Ocet , quem ad OB, id est, angulus inciden- esse respectu superficiet Oa major est, quam respectu superficiei OB, igitur etiam angulus refractionis , quae fieret in superficie Oa, foret major angulo. refractionis in superficie OB; quare cum e prima emer- geret direetione Oe, directio , qua e secunda egreditur, minus debet recedere a perpendiculo Og, sed faciet angulum V. g. EO l minorem, quam eo g, Vel Verget Versis partem puncti I, quod idem est. 25. Propositio III. Si punctum R Fig. 9. Tab. I. satis a lente Ug remotum sit, & eXtra aXem AB productum situm, ven1 atque eX R radius RII, qui refractus ad DE ex altera superficie emergat sibi ipsi parallelus Er; radii alii velut RΡ eX eodem puncto R incidentes, post duplicem refractionem in P, & Q ita exibunt e lente, ut sumptis arcubus DP e Xiguis, concurrant cum Er alicubi in r. Nam per Lemna, si intelligantur duo plana tangentia lentem in P et Q , quae cum parallela non sint, convergent ad S, radi US emergens ur, nequit esse parallelus cum RP, sed vergit Versus parteS puΠ-eti R, adeoque etiam versus Er ad RD parallelam; sed si arcus DP sit eXiguus, & distantia puncti R sat magna angulus PRII fiet Valde ParVLIS, Consequenter anguluS eQr, quo radius emergens Qr deficit a parallelismo cum ΡR Vel Qe, facile fit major angulo PRU, ideoque occurret radio principali Er sat cito , eoque citius, quo e r fuerit
Addidi vero conditionem , ut angulus PRD sit eXiguus. Cum enim sit RΡ ad Qe, & RD ad Er parallela, ct angulus PRD non Teapse infinite parVus, fieri potest angulus eser is a exilis, ut non modo Ursat parallela cum Er, sed etiam ab eadem divergat. Verum id non continget, nisi punctum R sit nimis Vicinum lenti, aut, ut videbimus, nisi objectum etiam in a Xe positum acquirat focum vel infinitum, Vel
Quod di Ximus de punctis P & Q in arcubus DNI, EM sitis ,
initelligi etiam debet de aliis in arcubus DN, EN sumptis, quorum taΠ' Sente S eodem modo eX parte N concurrunt. Jam vero refractio in punctis P, Q eodem modo sit, ac in planis tangentibus , quorum sectioetahibe cur per PS, QS. Unde perspicitur, etiam radios in arcum UN
98쪽
incidentes e puncto eodem R, debere sub eXposita conditione concur-Tere cunn radio principali E . Coroll. Si ex aliquo puncto posito in aXe producto, & ejusdem distantiae a lente , ac est PR Vel UR, incideret in punctum P r dius, is haberet minorem angulum incidentiae, quam RP, ideoque etiam minorem angulum refractionis, & egrederetur e lente per aliquod punctum inter se &Η situm, e quo ducta tangens faceret cum PS minorem angulum , quam QSP. Unde censeri deberet transire per prisma habens minorem angulum ad S, & propterea etiam minus refringeretur a perpendiculo in egressu, & posito angulo radii incidentis cum a Xe producto aequali cum angulo PRD, in majore distantia a puncto H rursus occurreret axi. EX quo palam est, focum pundiorum in aXe positorum esse paullo longiorem , quam pUnctorum e Xtra aXem.
26. Propositio IV. Si planehum B parum ab aYe lentis Aa distans radi et in lentem MN, & arcus PR, in quem incidunt radii, sit e Xiguus, habebit focum inj fere tantundem remotum a lente, quantum distat focus V puncti A in axe positi. Si B parum distet ab axe radii BP, BR fere eundem situm habent respeetu radii principalis Boose, qui sibi ipsi parallelus e lente egreditur , quem habent radii AP, AR respeetu aXis A F; nam post duplicem refractionem tam illi ad se, quam hi ad bE. conVergunt. Igitur quo AB suerit minus , eo relatio situ S radiorum propius ad aequalitatem accedet, consequenter etiam eadem pro Xime relatio obtinebit
in radiis refractis iis, si , quae est in radii S PF, ΥΕ, ut adeo distantiae OE, O , proXime aequales censeri possint. 27. Neque dissentit e perientia. Imqgines objectorum in telescopiis , in quibus angulus A OB Fin est pereXilis, sunt admodum distinctae, & in usu censentur habere eandem a lente distantiam puncta F, j: in camera obscura imagine S objectorum ab a Xe paullo magis remotorum etiam aliquantum obscuriores , & minus distinctae apparent, utpote cum foci F, i non habeantur in plano parallelo ad diametrum lentis MN, sed in curva quapiam ΡΥ. quae parum etiam a circul Rridiicrepat. Hinc etiam de quo alibi agemus micrometri, seu reticuli, quod apud Astronomos in usu est, non nisi eXigua pars accurate congruit cum imagine objecti, & pardes, quae prope limbos sitae sunt, non adeo praecisae Videntur. z8. Lentem A Fig. I 1 Tab. Ι) circulo ligneo BCDE, ct axi bus diametraliter oppositis Co, se munitam indidi alteri circulo li gneo PKRS verticaliter super tabula quadrangulari LMNO firmato, ut per eum aYes CO, D, transirent, & len S circa eOSdem intra eum mutramque partem converti posset. In tabula duXi per foramen G, cui aXis inserebatur, reetam FGH in plano circuli PRS, ili parallelam aciei tabulae AIN. Eidem circulo Verticali superne agglutinavi dis-
99쪽
DE PUNCTIs EXTRA AXEM SITIS, ET PRAECISIONE &c. IIcum dabo, per cuius centrum K transibat alter lentis axiculus ini, situ horizontali. Radius hujus disci Kb erat lineae FH parallelus, atque adeo in plano ad diametrum lentis parallelo. Arcus ba, bc in gradus divisi. In axiculo Co firmavi indicem IQ, qui lente circa aXiculos CO , EP mota una cum ea moVebatur, & angulos indicabat, quibus lens ad planum circuli PRS inclinabatur. Machinulam ita praeparatam super tabula opposui senestrae cubiculi cortinis obductae , &non nisi eRiguo spatio apertae, per quod statua in edito aedificio 5O circiter hexapedas dissita directe videri poterat. Imaginem statuae e Xcepi charta alba & nitida super tabula lignea firmata, & machinulam eidem tamdiu juxta regulam in digitos, & centesimas digiti partes divisam admoVi, aut removi, donec eXigua pars imaginis centro lentis vicinissima , & ab aliis facillime discernenda, appareret clarissime, 1ente ad statuam & imaginem obtinente situm proXime parallelum, ut merito judicarem, eam partem statuae esse in age lentis sitam. Inveni distantiam lentis a tabula a ped. 6,l5 dig. Tum lentem circa aXiculos converti 5 , notato prius ope styli acuti centro illius partis imaginis, quam in axe esse judicabam : movebatur in partem eandem, in quam - 1ens convertebatur, imaginis centrum spatio tam exili, ut dubitarem, an prorsus O,Oa digiti aequaret; sed ipsa ea pars imaginis tum Videbatur aliquantum obscurior, & minus distincta. Verum lente in eodem sitia 5' ' ad planum parallelum inclinato ad tabulam O, 35 dig. admota, imago fiebat aliquantum distinctior , ut quidem optime discerni posset, attamen eam distinctionem nunquam recuperabat , quam in prima di-- stantia, & lente situm parallelum obtinente, habuit. In hoc noVositu, nempe O, 35 dig. intra lacum primum , denuo restitui lentem adsitum parallelum cum tabula & objecto Verum imago fiebat obscurior , quam lente ad angulum 5 inclinata. 29. Eκ hoc phaenomeno manifestum est Primo: conversione lentis circa axiculos nil aliud fuisse praestitum , quam ut pars objecti prius in axe proxime) collocata, discederet ab aXe angulo 5'r', & ejus imago jam depingeretur in concursu radiorum cum aliquo radio principali. 5ecundo, focum, ubi imago objecti eXtra aXem positi clarissime videtur, esse paullo minorem, quam objecti in aXe collocati. Tertio , imaginem objecti 5 extra aXem collocati, &suo proprio laco eYceptam esse quidem aliquantum minus distinctam, quam imagines objectorum in ipso axe positorum, si eae in debito Deo eXcipiantur , attamen notabiliter magis distinctam , quam sit imago objeeti in axe posci, si excipiatur intra focum debitum spatio, O SA digit. Porro objeeti pars, quasnvidebam proxime in centro lentis, erat e Tigua, scilicet pinnulae, aut cauda sagittae, quae apparebat e X tra totam statuam, & in imagine non occupabat nisi o,o3 digiti proxime. 3O. Lente rursus ad distantiam 2 ped. 6, 15 dig. situ paralleloxemota , denuo notabam eandem imaginis partem. Tum tribui lenti
100쪽
ΙΝs T. OPTI AR. PAR g II. CAPUT L ARTre. III 8 inclinationem 7 36 ; Videbatur imago in partem eandem moveri proxime o,oa digiti, paullo obscurior; Verum in distantia O, 35 dig. imminuta rursus aliquantum magis distincta, & equidem notabiliter magis, quam dum lenti in ea distantia situs parallelus tribuebatur. Tandem
lente ad angulum Io ' inclinata, imago movebatur proXime O,o3 digiti, erat obscurior, & lente ad tabulam O, 3 propius , mota Videbatur quidem aliquantum distinctior, attamen fere aeque Obscura, ac dum in eadem distantia lens restituebatur ad situm parallelum. 31. Cur imago semper aliquantulum in partem , in quam movebatur lens, discesserit, lente circa aXem conVersa, tacite iri. Nigitur eX iis, quae de radio principali diximus. Erat aXis lentis proXime duarum linearum decimalium , sive O,2 dig. diameter Vero 3,92 dig. Ceterum hoc eXperimentum abunde confirmat, quae superioribus quatuor propositionibus, & earum Corollariis attulimus , ct insuper ostendit , quando foci non sunt adeo magni, Velut pedum, posse objecta, quae non sub majoribus anguli S, quam 15 , aut 18 Videntur, adhuc satis distinctis imaginibus, quantum usus desiderat, eXhiberi. 32. Quoniam itaque etiam imagines punctorum eXtra aXem sitorum, modo ne nimis ab eo remota sint , per radios in conos coeuntes satis distinctae depinguntur , jam perspicitur, qui fiat imago alicujus objecti habentis etiam notabilem e Xtensionem. Ut Vero imago ta- Fig. ra. lis satis distincte exhibeatur fig. 12 Tab. I , necesse est, ut eXcipiatur in distantia a lente debita, in qua nempe sint apice S conorum radiosorum a, o, b, , qui situm oppositum habent si tui punctorum A, C, B, objecti. Quod si tabula, in quam projicitur imago, TV removeretur, velut ad Rr jam radii inde a punctis a, o, divergerent, ideoque in tabula Rr estormarentur parVi circelli, quorum diametri no, Pq,Sx.& quoniam ejusmodi circellos a punctis contiguis objecti est ormatos aliquantum inter sese permisceri necesse est, fiet imago confusa, ct ind1stincta; eodem modo tabula tu intra debitam distantiam a lente collocata, circelli, quorum diametri de , ik, Dr, oriuntur, &similis enascitur confusio. 33. Ut porro tirones Videant, qua ratione per vitra concava objecta appareant, utimur schemate ampliore fg. 33 Tab. IIJ. Esto objectum ACB radians in Vitrum concavum LMmL EX puncto C ina e sito incidant radii eXtremi CG, CH, qui duplice refractione in G, g ; Η, h, egedientur e lente magi S divergentes GR , Hr, ita ut Ver-fus o ecium producti Concurrant in puncto axis c. Et hinc si oculus sit ita constitutus, ut radii e X omnibus, qui inter r & R e lente emerigunt, sussicientes pupillam ingrediantur, atque ita in humoribus refringantur, ut apex coni eX iis est ormati veniat in retinam, videbitur punctum C in c. Pariter erit aliquis radius principalis e puncto
A Veniens AO, qui sibi ipsi parallelus egrediatur per i in Y: alii insupersiciem GOH ex A incidentes iterum post duplicem refractionem