장음표시 사용
101쪽
- tori. Dn Rr Glori DNT Brachmii. Si uero fuerit minus quadrante erat utrunqx reli Foru aut maiusquadrante,aut minus m. si ipsum silerit maius quadrante, erit alterum ex duobus rectusn ambientibus quadrante maius, relis quum autem minus eo. Haec est conuersa praecedentis it itam in triangulo a h g angulum ti reetiam habente avis a g
rum a b, b g erit quana circilli.Super puncti a facto polo, se da quantitatem a g describes
circulus,quem oportebit essenaamu, v anus a gst quarta circiimserm anagrue.si igitur circim
taentia cius transibit per punctu b, planum est arcum a b esse quadrantem .siuaop tereat ipsum, aut ibit supra aut infra ipsi im.si sit prasecabit arcu a b in puncto qui sit d per ita huius duo arcus a d&d g orthogonaliter sibi inuicem insisten est autem &arcus g b orthogonalis ad arcum a b propter angaeu b rectum ex hypothesi quare per huius g est polus cimili a b &ideo per huius arcus g b, latus in icet trianguli propositi erit tarta circi serentiar. similem rintinis concludes mediis,si circuserentia circuli super a polo descripti, transibit infra punctum B, cum arcui a b prolongam in puncto e. Sit demum arcus a g mie, nor quadrante Dico utero arciam a B, b g aut erit maior quarta,aut minorea. Crescat enim aracus a g in directum donec habeat areus a d quadrans,lacundu cuius cordam circumciratur circiis
ius magnus,qui nequa* of det punctu b , aliis enim per huius di hypothesam sequeretur testim angulueste minorem rino. t igitur mundo a
necessario aicum ti g in puncto qui sit 3. erit ira per huius armius 3 e h rectus. fit etiam angulus e B 3 remis ex hypothesi erit per corollaria I. huius 3 polus circaei a b nideo per primam lituus aris 3 b quarta circumferantis.1atus igitur b g quadrantem superabi latus deni 3 a b quadrania e re dere nemini Num erit: consideranti saltem arcum a e aequalem armi a d esse quartam circumstimatiae.Sed transeat circulus dictus insea punctu b sera o arae cum a b protensum oportune inpune oti,arcum autem h g prolongatum pireta k, erit Ita per media nunccommemorata, iusto crebram primam at te cundam huius repetam propositiones tauri apud ti reetiis sed di angulus
B rec his ex hypocla in quare punctus h erit polus circissi a b, iderat arcus κ ουπdran dilatus g b trianisti nostii quadranteminus, latus autem a bate breuius essenemo dubitabit. Memarcus a g rectu subtendens angula quartam si erare ponatur.Dico spes divom laterum a b h g maius erit quadrant reliquu uero minus. Moenim radrante a d cordam ipsius silist a poto circumferenses creabimus circulam magnRcuius prosecto circinnserenna pura
b pret tibi alias enim moestiumnasteretur massicinaticu,uno uenias im
102쪽
sciliret an illas recto maior.Trari Ratiras prvis supraptim iu b,secando arcum ab oin puncto e ,arcum ucro b g oportiine extensium Z
in ilicsto 3 constabit esse polum circilli ab I angulis apud b α e rectis existentibus unde deae I cus3 b circumseremiae quarta pars habes itur. Iais Itus igitur b g trianguli a b g quadrante breuius Irelinquitur,latus autem reliquu a b quadrante sui
perabit proculdubio. si circumferentia dicta descenderit insea punctu h ,secando arcum a b sa uetis porrectu in puncto h, arcum autem b g nam ita fieri necesse est in puncto k, pristino freti syllo, gismo declarabimus h esse polum circuli a b re arcum b h quadrant circim
rerentia unde consequitur latus h g triai mili nostri quadrantelongius es mi , qt uero latus a b quadrantis a fi longitudinem haud attingit. Tres igitur umiorematis partes confirmauimus quod libuit efficere. Postumus praeterea prospositionem nostram stabilire.aduersario oppositu assctenti concludentes impossihi per huius. Nam ponendo Iatus a g quadrantem λfi dixerit neutra reliquo si laterum esse quadrante,eritne cessario utruncum' aut maiuSues minus quadrante, aut Zaltem maias di reliqua minus.quo in autem illine αλ stente, vivir per huius arcum a g non esse quadram Z tem,sic idem arcus quadrans di non quadras aduersario I IProtervienti habebitur quod est impossibile.Si uero lanis a g fuerit minus quadrante,&non fuerit utrunm i quo )Tum laterum aut maius quadrante, aut minus talentia Lquidem aduersarit,erit necessario altem eorum quadran aut alterum eo e maius quadrante,& resiqua minus e quo ita existente, sequitur per hiatu arcum a g esse quadrantem aut maiorem eo qui pridem ponebatur minor . si latus a g maius supponatur quadrante Sc at aduersarius alliterum duoru laterum a b di h g en quadrantem,aut utrunm eorum maius uet minus quadrante, cones emus ei per huius arcum a g aut este quadrante. aut quadrante breuiorem quem nuperrime concessit este maiore quadrante. Destiuac his igitur impossibilibus,ad quae duximus aduersarium,theorematis nostri fimis
In omni triangulo rectangulo,st alter duorum angulorum,quos sastinet Ialus,redium respiciens angulum rectus suerit, erit latus ipsum
quarta circuli. si utercp eorum aut obtusus aut acutus extiterit, latus diquadrante breuius erit. sitiero alter eorum obtusus,reliquus aut acutus occurrat,iatus ipsum quadrante maius con icietur. Triangulus a b g angulum g rectum habeat. Dim Q s alter duoru anguis
line a di g restias suerit, latus a g erit quarta circumferentiae si uero uteris eri. aut obtusiis aut acutus extiterit Jatus a g quadrante breuius ti bit .dinam ius a fuer1t obnisus,angulus aut et acutus uel econtra arcus a g quadran si
103쪽
IΟΠ. DE NON TE REGIOnim laterum a b 5 b g cluarta circilli, qtiare per istia his arciis a n erit quarta circilli. Si uero uterq; anguloiea & g atu obtusum alit aclitus se praebeat, crit per alleagata huius utrun*duos. Iaterum di b g aut mais
Ius quadrance,aut naintus .unde per huius lanis aqquadrante brotius arguetur. H alter angulora a ciu obtusus,resiqtius autem acutus extiterit, erit ex huis
i ius alter duon arcim a b di b g maior quadrante, reliis quus autem minoreo,quare per huim latus a g qua, drantem silerabit,quae censuimus explananda.
Silatus rectum angulum trianguli sphaeralis respiciens quadrans circumferentiae fuerit,alter angulorum sibi insidentium rectus indicabitur. si uero quadrante minus extiterit erit utero dictorum anguloarum aut obtusus aut acutus. N si latus ipsum quadrante longius osteratur, alter dictoru anguloru obtusus,reliquus aut acutus praedicabit.
Haec est couersa prioris. Sit triangulus a b g reeiangultis,amlu uidelicet b rectum ha is. Dico si itatus a g fuerit adrans circumserentiae, alter angulorua di g rectus erit .si uero arciis a g minor siderit quadrare,uter in angulore a di et aut obtusus erit,aut uteri acutus.&si arcus a g quadrantem exceda erit alter angustorum a & g obnisus,reliquus autem acirtus.Namaac a g quadrante existent Gerit alter duorum arcuu a b di huius quare per huius ester angulose a dc g: a g quadrante minor extiteri erat per candem huius utercparcuu ab & h g aut maior quadrante,aut minor ,quare per huius uteri anguloru a & g aut obtusus erihaut acutus.Qaes arcus a g quatata circumferentiae maior occurra erit alter duoru arcuum a b di b g maior quadrati direliquus minor eo quare per huius alter angulorum a G g obtusiusta di reli sacutus,quae Here declaranda.
Si quis triangulus sphaeralis duos acutos habeat angulos, aut duos obtusos arcus egrediens auertice tertii anguli,lateri se respieienti per
pendiculariter occursurus,intra triangulu reperiet. si uero alter eoruacutus,ec reliquus obtusus extiterit,extra triangulu necessario cadet. Sit triangulus huiusmodi a b g duos angulos h dighabens acutos, aut ambos obrusos. Dico Q arcus ab apuncto lateri h g: mis utrin vindefinito, pemendicuisiariter occursurus tra triangulu a b g consistet. Non erum poterit egredi triangaeu ipsum quod si possibile ar--hitreris, sit arcus ille a d coincidens arcui g b,quanta sat est porrecto dextror stim in puncto d erit iram arcus
a d lanu conmune duobus triangulis a d b di a d g
104쪽
DE TRIA GVLII LIB. IIII. rectans pili .stis itur duo a tigit Ii hq g tria It a b g Perint acutis hianguli
ab d obtili is,qua re per Iulius arcus a d minor erit quadrante propter anguώlum a g d trianguli aeg d aciitumst perean ii maior quadrante propter an nilum a b d timunt Ii a b d obtusiim.1demitam arcus minor erit quadrate circumseremiae ciuicactra,ct maior eo,quod est impossibile,arcus ergo perpendicii lastris huiusmodi tam cadet extra triangaeu. Prohibet autem hypothesi ne arcus ille transeat perastemptine in i, di g, Icenim angulus acutus aut obtusiis haberet rectus, quod est impossibile. Destructis autem in uenientibus illis relin titur Φnon niu intra triangulu permaneat quod pollicebatur prima pars theorematis. Sit dema alter praedii horti angulos uerbi gratia, b obtusiis, di reliquus il accitus.Dico Q perpendicularis cadet extra triangulu.Non enim potest coincidere alteri duoru laterii a b N a g,sic enim angulus obnisita aut acutus esset re 'tus,talneo intra triangulum consistere poterit.Si enim ita putaueris, sit arciis a e perpendicularis ad arcum b g,cui ieci indum pimetii e communicat.erit ita latus a e commune duobus triangulis ah e di a g e re Rangulis, quine unus angula a b e ha ibet obuisum,reliquus autem angulu a g e aciud quare per husas bis assumpta arcas a e maior erit quarta circumserenti diminor ea, quod est 1neonueniens. Cum igitur arcus perpendicularis huiusmodi non possit coincidere alteri daonim Iatera a b N a g,ne mira triangula cadere,reliqud estne ilacio ut extra triangulum reperiam quae cupiebas addiscere.
Cuiuslibet trianguli tres angulos acutos habentis, trium laterum unum quod minus quadrante pronunciabitur. Trianguli a b g tres anguli sint acuti. Dico uis
Quolp latus eius quadrante minus erit .Fiant emis apud duo pcincta b S g duo anguli recti eductis duobus arae' orbii circulom magnorii h e di g e in puncto e cocti ventiba quem per huius oportet este polum circuli bg. a polo igitur e per puncitu a procedat circulus mais gnus,qui necessario secabitar m b g,si enim non seca, Te necessario altem duom arcuu a b dia g,fieret in pars Suadrantis semicircumserentia, quod est inconueniens, secet igitur in puncto d, erit autem uter angulohe apud d mella per huiu , Nideo uter* triangulo' a b d di a g d rectangulus cun duo anguli a b d di laa d sint acut totum enim b a g acutum tradidit hypot laesis,erit per huius aracus ab minor quadrante Iimiliter probabimus arcu a g minorem qOdrant vestat igitur,ut arcum h g quadrante breuiorem ostendamus,quod quidem habebitur,si apud duo pune a a & h duos rectos,quemadmota nupera ime apud duo puncta h&g constituerimus.&hoc erat peragendum.
Si quis triangulus duos acutos habeat angulos aequales utrum laterum eos respicientiu minus quadrante pridicabituri Sit triangaeus a b g, duos angaeos b*g acutos tabens aequales. Dico PN a utrim
105쪽
xon. DE RAGIO MONTE Utrunm latcrucius a b re a R mimita erit orta circitu. Creabimurrentiri apud duo cta b & κ diuos rectos an los arcui b u inses nos educti duobus arciibus ti d& n d in puncto d coniicientibias quero. huius noni nil esse polum circuli b g,& ideo per liuius userin aracina in b d di g d quadrans habebitiir. Cu ita in duo araois b a & g a, ex pundiis terminalibus lateris b g triis anguli db g egressi intra triangulum db g conchirrat, erunt per terim huius duo arcus h a di a g conii victi breuiores duobus arcubus b d ec d g. de&medietas hope arcus indesicet b a breuior erit medietate isto' quadrante scilicet b d. similiterarcu g a minore e costabit ipse quadnate g d. oportet em duos arcus baec ag aequalestah tertii lautus emanciant quod libuit attingere.
Trianguli duos obtuses habentis angulos aequales utrun laterueos respicientiu maius quadrante reperietur. ., Sint duo anguli h&g trianguli a b g obnis aequa
perabit Fae is em duobus rectis angulis apud duo punaehi b'narcita b g, educendo duos arcus b d g d, quos constat intra triangulum a b g concurrere quod nat in puncto Rerunt queadmodum in praemisis argumetabar duo arcus b d di h g quos oportet esse quadrat , minores duobus arcubus b a-a g lateribus trianguli nostri di ideo sicut duo arcus h a,a x aequaI Spter angulos a b g di a g b aequales,superabut duos quadraristes b d & d g,ita uterin arcuum h a & a g quadrante maior intelliget, quod uoluimus exponere.
Si quis triangulus inaequales habeat duos angulos acutos,latus in nori eorum oppositum minus erit quadrante. Triaguli a b g duo anguli b*g sint acuti sitis amgulus g minor angulo b. Dico u latus a b in minus quadrante.Na conmmendo duos rectos apud duo punincta b S g , productis arcubus b d ct d in puncto sconcurrenti ,eriit duo arcus b a di a g minores duo hus b d Sug, qui semicircusserentiam perficiunt,qu niam uter eorum est quadrans circumferentiae, d pesscirculi b g existente duo igitur arcus b a S a g minores sunt semicircumferentia. in arcus B a minor strem a g per ter 'huius, langulus g minor existat angulo Kerit arcus h a minor quadrante circumserentiae, quod erat demonstrandum.
Trianguli duos obtulis habentis angulos inaequales,laxus maiori eoru oppositu maius quadrante pronunciabitur. Habeas
106쪽
Dn TRIANGULI 2 LIB. Ii M. Habeat triangulus a b g duos angulos b di g obtuses inae cluales, g scilicet maiorem an o b. Dico Φlatus a b mathiscit quadrante. Apiniciis enim b di qarcus creeti orthmnaliter concurrent intra triangula a b g,qd fit in puncto d polo scilicet circilli b merunt duo arciis b a & a g maiores duobus arciibus b'd,
d g, qui aequantur semicircitia serentiae, quare duo Minciis b a, a g sint circumserentiam sirperabunt,undedi maior corum scilicet arciis a b quadrante maior habeahitur,quod erat alabluendum.
Si quis triangulus duos acutos habuerit angulos, latus uni eorii oppositum non minus quadrante erit resiquus eius angulus obtusus, Iatus ei oppositum maius quadrante. Sit triangulus a b g duos angulos bec g acutos habens, cuius lanis a b alteris acutose respiciens,non sit minus quadrate. Dico Φ angulus eius a erit obtus is,& lanish g maius quadrate.Fiat apud duo puncta b S g duo anguli reeit,ediu his duobus arcubus in me o ci extra triangulti a b qconrurrentibus, quem quidem oportet este polum circuli b g demittatur m 1 polo d spinetis a quadrans d a e incidens arcui bg in puncto e. Cum igitur arcus a g non Iit minor quadrante,erit ipse aut quadrans, aut maior .Si quadrans,per huius alteaerum duoWlateria a e, e b trianguli restanis guli a e b erit quarta circumserenti .est autem arciis a e minor quadrante MDquus ergo e b quadrans erit necessario quare totus arciis h g maior erit quadrate.Similiter per huius probabimus angulu b a e tae rem,cum angulus a b est acutus ex hypothesi totus igitur angulus h a g maior est recto.Qa si latus ab maius si ierit quadrante,erit per huiuS arcus b e maior quadrante, cum restis quas a e sit minor quadrante arciis ergo b g multo maior erit quadrate. Similiter per huius Irtebit angula b a e esse ootusum cum a1 lus a h e sit a tus per hypothesim,angulus ergo h a g multo magis erit obtusus, patet igitur propositio.
Si fuerint in sphaera duo circuli magni ad se inclinati, signentur
in circumferentia unius eorum duo puncta, aut in utrius circumia irentia punctus unus,d producatur ex unoquo punei orum ad circusematiam circuli alterius perpendicularis arcus proportio sinus arcus qui est inter unum illorum punctorum,& punctum sectionis circulo irum ad sinum arcus perpendicularis ex eo protracti ad circulum alterarum est,ut proportio sinus arcus comprehensi inter punctum alium
107쪽
iapunctum scistionis ad sinunt arcus producti ex illa piincto.
Non absterreat obsecro telu rim praesens proposit ,&primo aspectit ituricata: rebus mim Mathematicis in x satis Iticidum,nedixerina in accomoda his stimonem: Hie u prosei diticis limit hac arbore viis rigid a decerpns, quem ubi persenseris,lotu tamῆ praesente libriim intelliges.buat igit duo circuli mam in sphaena ad se inuicem inclinati a b gd a c d ,qtio' circilinferentiae secent
se in punctis a & d signentes duo pune a b g in circumserentia ei mili a b gd , a quibus destendant duo arcus Ppendidicularcs h r, g s ad circiimserentiam circilli a e d. Dico v proportio sinus arcitu a b ad sinum arcus h r est ut siis mis arcis a g ad sanum arcus g s . Apunctis enim h ct g binae perpendicia lares rectae demittatur,unae quidem adsecti in communem circulose stilicet lineam a d quae sint b m, g n , alterae uero ad superficiem circilli a e d, quae
quoniam itam duae lineat m b, b h an latiter eonestinctae, atquedistant duabus n g , g I angulariter coniunctis, bm enim aequedistat lineae g n per primi, b k autem ipsi g l r indeciamterit angulus in B li aequalis angulo 11 g l , uteri autem angulos, b h mg I n tectus est ex dissinitione lineae perpendicularis ad superficiem,quare per 3 2ptimi duo triangissi m h k di n g l simia quiangaei,di ideo pass.1 ti permutaram arguendo proportio m b ad b h est ut proportio n g ad g l. est autem mis sinus rectus arcus a b per tertii&dissinitionem, n g ucro linus arciis a g, item b k simis arciis b ro I autem sinus arcus g. s..proportio illusinus arci a b ad sinum arcus b r est ut sinus aris a g ad unum arcus g s. Hab US M partem propositionis ueram quando duo puncta in una circuserentia signanis Ma Signemus ea demum in duabus circumserent is di elaru circissin sito unus tiam circumserentia circuli a b g d reliquus autem t in circiimserentia circuli a eri,descendata puncto t perpendicularis arcus t x ad circiam rentiam circuli ah g d .Dico q, proportio sinus arcus a b ad sinum arcus h r est ut proportio stan arcus d i ad sinu arcus t X. Sint enim poli duoru circulo' h & 3, per quos aran iccirculus magnus h 3 p e secans circumferentias dictoria circialon inpuactis p ec e .hi circumserentia itam circuli a b g d signata sunt o puncta b depa quibus destendant duoppendicillares h r N p e,quare oportio sinus arcus ah ad sinum arcus h r est ut sinus arcus a p ad linum arcus p e .Rursiis ciun in circumserentia circuli a e d signata sint duo puncta e & t,i quibus duo perpenili lares oriuntur e p ct t x erit proportio sinus arciis e t ad sinum arcus t x, liciit sinus arcus o e ad sinum arcus e p .est autem proportio sinus arcus d e ausi marcus e p , sicut sinus arcus a se ad sinum eiusdem arciis p e uter erum arculi a se S d e est quarta circumserentiae unius.proportio inir sinus arciis a Dad sinum arcus b r est ut simis arcus o e ad sinu arcus t x,quae fuere peragenda.
Sed fessitan adhuc asum pende attentori a quolibet puncto in si perficie sphae
108쪽
ridica piater polum cliculi cultis libet,exua tamen circumferentiam eius signato, geminos demittere Iiceat arcus perpendiculares ad circi inferentiam ipsius circuli possibile est eium per pundium signatu& polum circuli transire circulii alium magnum tei tu mitis docente.circidi igitur hoc paeto descripti,duo arciis inter princiti signatum dicimim ferentiam circuli iacentis intercepti, perpendi Iares erunt ex huius ad circiimserentiam circuli iacentis In figuratione itam piaesentia puncto b prodibit perpendiculari 'unus ad partem inclinatiois, reliquus auestem ad partem oppositan .Idem quoin accidet caeteris punctis in utral circi serentiaru signatis, rum laoc non interturbabit syllogismunostrum, nam hii duo perpendiculares cum sint aequales ni circumferentiae per terim huius, communis animi conceptio eurulem ipsis communem donabit sin n. qiuicquid igitur de uno arcitu praedicabit theorema nos nim,di de reliquo demonstratu habebit.
In omni triangulo redi angulo omnium laterum sinus ad sinus anagulorum quos subtendunt, eadem est proportio. Sit triangulus a b g angulum b rectum habes.
Dico Q Mportio sinus lateris a b ad sinum anguli ag b eadem est proportioni sinus lateris hg ad sinu
anguli b a proportioni,quam habet unus latearis a g ad unum anguli a b g ,quod sic demonstra, himus Necesse est, aut utrunin angulossi a di g esse
mettim, ut alterum' duntaxat,aut nullum.Si utero
Q eorum rectus est,erit per hypothesim di huius puc is a polus circuli b g, b autem polus circuli a g S g polus circuli a b quare perdimnitionem unusa qui sim trium arcua dicto' determinabit quantitatem amissi se respicientis. sdemiginir erit sinus cuiuslibet triumlat oc anguli sibi oppo tisc ideo sinus omniulatera ad sinus angulis se respicienti proportionem eandem acc1piunt uidelicet aequalitatis.Si autem ester duntaxat angulos. a & g f ierit rei has, sit ille, uerbi gratia angulus g .tradidit autem di hypothesis angulii b reditam quare per huius a est polus circuli b g si per huius uterin arcuu h a β a g quadrans ciriscumserentiae magnae per diffinitionem igitur unusquisis arcuu ad bil&ga quantitatem anguli se respicientis determinabi erit in idem sinus cuiusliiat late ixisti anguli sempicientis conuertendo distinitionem sinus anguli. unde postreamo conssabit omnium laterum sinus ad sinus angulo' se respicientissi, eandem hahere proportionem sicilicet aequalitatis. ω si neuter anguloru a S g rectus osse
xatur,non poterit aliquis trium arcula lateralium esse quadrans circumserentiae, quemadmodum huius trahitur,uerum in triplici uarietate habes,utur. Si enim
nor quadrante,unde de per huius arcus a g minor quarta circumferentiae. Crestat igitur arcus g a uersias a donec fiet quadrans a d,secundum cuius cordam
quae est costa quadrati magni super puncto g facto polo describatur circulus magnus ecans arcum g b protomatu in puncto e. Prolongetur derivim arcus a gad partem puncti g,donec quadrans habebitur a 3 , ius cordalper polo a ciccumducta pariat cimiluocairrentem arcui a b continuato in puncto h .Pinxi rmus hoc pacto unam figurationem,Sisero uteri angulorum a di g obtusum se praebean
109쪽
0s Io II. DE REGIO MONTE praebeat,per media nuperrime commemorata iit ereparciam a b R h g in adrantem superabit,amis autem a g cpiadrante mitiorem confitebimur . Di Olon ato gitur ut antea utrinq; arcii a x,donec&aidis g d quartanas turdi arcus a 3,
super polis g di a duo circuli magnivribantur, ite unius sit per g scilicet descripti circumierentia ne tiario secabit arcium g h maiorem Fadrant aluod fiat inpuncto e ,resiqui uero super a descripti, se Dunt arcu a b, quod contingat in puncto h. Sic altera surgit figuratio.Qd' si alter angulis a g obtusus sucrit, reliquiis auteacutus, sit a obtusiis x acutus,crititam ex pallegatiso locis uter arcitu b g g a quadrante maior,arcus autem a b minor eo .abscindant ergo ex arcii a g duo quadrates g d & a 3 in arcu d 3 participantes, descripto scisci laut prius super g polo,circumserentiacius secabit arcum hil maiore quadrante,quod fiat in puncio e,circumis entia autem circilli super a descripti, nscabit arcum a b cum sit minor quadrante sed occurret ei quantusat est porream,quod fiat in puncto h . Neutro igitur angulo' a S g reeto existent tametsi figurat 1 triplici utamur syllogisinus intraxerisum actis.Cum enim duo circuli g d di g e ad se inclinati sint di in circumferentia circuli g d signent duo p cta ex quibus duo perpendiculares a b ct de descendunt erit per praeciam rem proportio sinus arcus ga sinu arcus a b sicut simis arcus q d ad sinu arcus d Rec permutatim sinus g a ad sinu g d,sivit sinus a b adsum d e Item duo circuli a 3 di a li ad se inaeclinati sunt signantur duo puncta g S 3 in circuisse iacirculi a 3 Sex quibus descendunt duo arcus
perpendiculares gh di 3 b,quare per primissim Pponso sinus a g ad sinum g h est tanΦ sinus a 3 ad sinum 3 h, di permutatim sinus a g ad sinum a 3 sicut sinus g b ad sinum 3 h .est autem sinus a g ad sitis num a 3, sicut sinus g a ad sinu g d,q, uterm arculi a 3 & g d quadrans habeatur. Sinus Ritur lateris a b ad sinum d e, & sinus lateris b et adstrum 3 h mi dem habent proportione,qua uidelicet sinus lateris a g ad sinum quadrantis.Sanus aute d e est sinus anguli a gh, amas enim d e deri ominat quantitate anspuli a g b, puncti Og polo existente circuli d e. Similitersinus 3 h est sinus anculi b a g. sinus aute quadrantis est sinus an irecti.quare sinus lateris a b ad uis num anguli a g b,disinus lateris V g ad limura anguli b a g, sinus quom Iat xis a g ad sinum anguli resu a b g unam de eandem suscipiunt proportionem, quod erat declarandum.
In omni triangulo non rectangulo sinus laterum ad sinus angulorum eis oppositoru eande habent proportionem.
Quam praecedens de triangulis rectangulis praedicabat passionem, praestas. quo de triangulis non rectat lis enunciat.Sit igitur triangulus a b g, nulta habens rectum angulu.Dico , sinus lateris a b ad sinum anguli g, sinus u lateris a b ad sinum anguli &unus lateris tig ad sinum angaei vividi eande pro
ronion accipiunt, istiam Ap cto a perpendicularcii, a d incido
110쪽
i, A TRIANGV My LIB. IDI. ror tem sciti h g si itura triangulumanserit,aut Omirrena o tem arciii h g oportline prolongam si extra traMigulum
cecideriolt neutri arcitum a b & a g sibi contermi, naIium coinci V poterit. sic em alter angulos, b re u rectus hametii que hypothesis nostra non re ni tra I didit.Cadatitam prius intra triangulu, distinguens du/ oos triangulas a b d & a g d rectangulos. erit ergo per 'P cedente terminis permutatis proportio sinus a b ad j
sinum a d liciat sinus anguli a d b recti ad sinum anguli a b d. 8c per eandem praemissam proportio sinus a d ad sinum a g tan*sinus anguli a g d ad sinum anguli a d g recti. cssis sit idem sinus anguli a d gdianguli ad later e erectus est. erit per aequa proportionalitate indirecta sinus a b ad sinum a g uinum sinus anguli a g h ad sinum an ab g,5c mutatim sinus lateris a b ad sinum anguli a g b tanΦ sinus lateris a g ad sinu anguli a b g. Eandem denil concludes proportione sinus lateris b g ad sinum anguli b a L,si prius ab altero punctos angularium h & g ad latus sibi oppositum demisti is arciam perpendiculare. Qu6dsipe indicularis a d extra trian Rulum ceciderit mutata pariImper figuratione priuinium repetemus syllogismitalaritem ex praemissa permutatim arguendo sinus a b ad Asinum a d tanta sinus anguli a d b ad sinum anguli a be tecti.item sinus a d ad simini a g, simi sinus angiui I Na g b ad sinum anguli a d g recti.quare per aequam indi Z I rectam erat sinus lateris a b ad sinum lateris a g, sicut si, I nus anguli a g b ad sinum anguli a b d. sinus autem an, s lxuli a D d est etiam simis anguli a b g pct communem Lscientiam sinus igitur a b ad sinum a g est ut sinus an, I Lguli a g h ad sinum anguli a g b4ideo permutatis rem mini'erit sinus lateris a b ad finum anguli a g b ta sinus latinis a g ad sinu
anguli a b g Hanc de conuincemus esse proportionem sinus lateris h g ad sinum anguli b a g qu admota hactenus processim Iasionem igitur quae' de triangulis rectangulis di non rectangulis singulatim in hisce demonstrabatur theorematibus,communiter tandem de omnibus triar ulis qualescimo sum ni concludere licebit,quae res quantos dissiucundos allatura sit minus pedetentim
In omni triangulo unicum habente rectum angulum, proportiorius angulino recti ad sinum anguli recti est ut sinus complementi anguli reliqui ad sinum complementi lateris eum subtendentis.
Sit triangulus a b g euius angulus B quidem sit rectus, uter autem duora & g rectus habeatur.Dico . proportio sinus anguli b a g ad sinum anguli brecti est, ut sinus completianti anguli a gh ad sinum complementi lateris ab . similiter sinus anguli a b ad sinum anguli b recti se habe ta sinus complais menti anguli is a g ad unium complementi arcus h g,quod sic demostrabimus.
Quoniam neuter angulorum a di g ese rectus erit aut uterm eorum acutus uel obtusus,aut alter acutus,&reliquus obtusus.Sit primo uter* acutas, quamobreper huius uin y lateruabbil minus erit quadrante, ideo in per i Maius O ec arcus