장음표시 사용
81쪽
6 IOII. Dr no NTE REGI nem si perge enim ex dissinitione sit perficiei ad stiperficiem erectae R quarta undecim erit utraq; cariam perpendicitiaris ad stiperficiem circilli sibi sithserati. di ideo per divinitionem Iperpendicitiai is ad omnem lineam in substrata sit perficie sibi conterminalem .di tot intran ii b r kSe s t rcciti sunt c xsciim circundet a clualia latera qhaemadmodii deductum e henint per .prii ni 142 lin b h diei
rectis angulis oppositie aequales,quod enuiciabat ilicorematis nostri prima pars.Qae sicas lineas ponendo aequales uelimus ostmadere armi alitatem arcitum a blad e,reluluis ut antehac manentibus, hoc pacto ratiocinabimur,*pter duas lineas
h h A h r aequales duabus e i S i s. angulos hi apud recs rectos peti ultimal rimi&cona inlus scientijs confirmantibiis,linea b r aequalis erit lineae e s, ba suidelicet trianguli b r 3 basi trianguli e s Y, quonam etiam bina latera silinta qualia,quemadmodu in priori procellia explanavimus,quare per s. primi duo eorum anguli ba r&e X f inccntris suorum circuloru quiescentes aequabuntur, di ideo per tertii duos arcus a b ct d e initiales esse oportebit, quod .pmittebat secunda pars spositionis. Aduertendum tamen, exercistis porti Ossitas arcus aequales absiumpserimus,non minores, maiores dimi s arctibus suarum poristionum caeteris ut antea manentibus,randem per omnia pastionem demonstrabimus,syllogismo etiam non mutato.Pr terra si rexeris semicircillos .ec ualchide accidet, uerum semicirculis erectis aut portionibus minoribus semicirculo sumidiculares domittendae occurrent diametris circitiorum substratoru, forma igitur superioris argumentationis haud mutabitur.Si uero portioncs semicircillo maiores statuerimiis postibile erit ex eis abscindere arcus aequales adco paruos,ut perispendiculares supradidiae non ostendant diametros substratoriam circulorum, sed Occurrant eis extra circulos suos prolonytis,aut fortasse fient diametris conteris minales. stremo quod de duobus substratis circillis diximus ad unicum appli care poterimus,siue sepra diametrum eius unam portionem, siue plures erexerismus.Igitur secundum haec tiariabis parumper figurationem, Icessum autem deis monstratum si si radicia fatis tenueris,secile comparabis.
Si ex portione supra diametrum circuli ereicta arcum minorem di imidio arcu portionis absumpseris,omnium linearum rellaru ab eius puncto terminali ad circumferentiam circuli si1bstrati demisiaru corrda arcus absumpti erit breuissima corda autem residui arcus portiois omnium longissima reliquae uero quo breuissime sunt uiciniores, sunt remotioribus breuiores, aequaliter autem a breuit ima remotae, aequales habebuntur.
Sit circulus a b g d super centro 3 ,ciritus diameter a 3 d sit corda portionisa h d orthogonaliter insistentis circillo dicito, imaturi arcus a li minor dimi, dio arcu portionis i citius pineto h ad circumserentiam circuli a h d demit tant Iineae rectae, h a quidem corda arcus h a & h d corda arcus residui, item quotlibet aliae lineae rectae quam duae li h & h g inaequaliter 2 breuissima distante duae uero h b di h k aequaliter ab ea remotae demonstrationi perficiendae susficient.Daco,q, corda a h omnium demissarum linearum est breuissima di cordad li omnium longissima mea autem h h breuior linea li g,quod sic accipias.Apunei 3 h ad diametrum a d perpendicularis destendat h l, cuius pedi pimi
82쪽
DE TRIANGULIS LIB. III. stilicet 1 ctiopi meta h&g eonnectantur perti meas b Idig 1.oportet autem puncham I distare
centro 3 uersiis a phine lam, quonia ex prima huius cassis a I Onor est castu 1 d Mpter latus ah trianguli a Ii a minus latere fi d,quod mi istatur hypothesim.purusto igitur l praeter centrucirculi a b g d signato erit per tertii linea I a omnium ab eo puncto ad circum serentiam circuli egredientium linearum bretiistima, i d autem omnium longissima item l b breuior linea i q. Cum autem h l in stiperficie alterius duanim suis perficierum orthogonaliter se secantium iectioni earum communi orthogonaliter insistat erit ipsa per divinitionem sepernciei ad stiperficiem ere ,5 quartam undecimi brino gonalis ad reliquam' ideo per distinitionem lineae erei Ee ad superficie ,ipsa erit orthogonalis ad omnem lineam sibi in resiqua superficie conterminalem, quare omnes anguli,quos ambiunt lineae apti fio I egredientes cum ipsia linea h I reaecti habebuntur.s igitur quatuor triangulos in latere h l communicantes nota ueri quorum resiqua latera simili neae ab li puncto demit diab I puncto redientes per penultima primiti comunes animi conceptiones confiteberis lineam h a omnium demissaria linearum esse breuissimam,di h d longissimam,h h ueis robreuiore linea h et, dilino h h aequalem tib quae pollicebamur demonstranda. Huiusinodi pallionem demonstrabimus etiam de semicirrulo erecto supra diametrum circiti non aliter Φ de portione quam minorem postumi Anicirculo, simile praeterea accidit portioni maiori semicirculo,uem pemendicularis h l no raper residebit in diametro circuli substrati,nam postibile est abscindere arcu ex huitnmodi portione adeo paruum, , perpendicularis dicta non occurrat diameatro,nisi extra circulum prolonge ir, aut fortasse cocurret cum ea interminosis quod euenerit, utemur di tertii in processu demonstrativo ubi pridem adduximus ter*,reliqua uero omnia prorsiis repetemus.
circulus magnus in sphaera transiens per polos duorum circuloruse secantium,druidit arcus separatos eorum persequalia. ec si diuiserit arcus eorum separatos per aequalia transibit per polos eorum. q, si arcus unius eorum per aequa partiatur per polum alterius eorum transe
undo ipse quoin arcus separatos reliqui diuidet per aequalia, de per
polos amborum incedet. Sint duo circaei in sphaera a b g & e b g qualesci psecantes se in punctish sc g, per quorum polos incedat circulus magnus a e 3 4 ,secans binos arciis separatos clx Iorum a b g& e b g in pluit iis a,e, 3 did .Dico,* arcus a b qualis est archii a sβb 3 aequalis M.item duo arcus b e&e R inuicem, duoquarcus h d&d g sit aequa Ieserunt Uesus nancycirculi a b g sit k,' pestis citisculi e d g sit punctus h ,2 quo ad duo puncta b S g protrahantur duae rectae hh & h g quas oportet esse aequales, i, polo circuli e d g existente.Quoniam iratur ei us a e 3 d transit per polosam nun circulorum, ipse secabit utrunc K 3 eorum
83쪽
γsror . DE NON TB Rucio rim per pecti talia & orthogonaliter ex huius. qtrare Dortio a e 1 eripitur supra diametriliti circuli a b g ,ex qua abscindit arcus 3 li minor dimidio arcii portionis, a cilitis ter mio ii dirar reci aequales ad circumis entiam ciliavi a b g descendunt hi igitur per lituus arciis b 3 aequalis arcui
I cumserentia circilli,q, circulus a e d transiens per polum circuli a b g ,secet eum per aequalia, deinαptis utrobil aeqxialibus arctibus,manebit arcus ab aequalis arciti a g.Non aliter ostendemus arcu
e b aequalem esse arciti e g,s portionem e h d siupra diametru circuli e b g oesam cile intellexe,
rimus erit em arcus e k minor dimidio arcii porationis siue, lineae s a puncto k ad duo puncta b ei g demisse ,aequales prob huntur, k polo circiisti a b g existente.Hinc etiam reliqui duo arcus b d & d g
uales ostendentur,primae igitiir parti ui rematis as tire compellimur, sed pone circulum a e 3 d diuidere arciis separatos conam per aequalia in piuti tis ae 3'd.Dico,q, transibit per polos nim. Si enim non, transeat alius circulus
magnus per polos eoriim,quod ridem possibile est per di huius,qui per iam demonstrata transibit etiam per quatuor puneta a, e, 3 di d .secabunt ergo se duo circuli magni in sphaera in istis quatuor purietis,quare per huius inusquisl aromum ae , a 3,e 3&ed erit semicircumserentia omnes autem semicircumsesrentiae tinius circuli aequales phibentur,pars igitur aequalis erit toti quod cst imis
possibile.Non potest ergo circillus alius tra re per polos huiushaod nisi ille qui diei a quatuor puncta transcurrit. Cum ita per omnia duo puncti in superficie sphaene signata transire possit circillus magnu ut ex huius didicimus,& no polin transire per duos polos h di h alius circulus praeter eum qui per quatuor puna ,e, 3, d incedit,maminum est Q circulus magnus per quanior dicta punicta transiens,duos polos praeterire non poterit,qui tandem ex huius per resie quos duos polos incedere cogitur,ec 1 illud spo at pars secunda. Postremo si cirMus a e 3 d secuerit uerbi gratia amim b a g per medium punctio a ,&trasterit per polos alterius se secantium circulorum.Dico,q, secabit.reliquu P aequa ilia per polos amborum transeundo.Si enim no secet eos alius quisipiam 2 aequλii aut transeat per polos eorum.ille igitur per polos amborum incedens, secabit arcus separatos eorum per aequalia .comunicabunt itam duae circilinserentiae ciris orum magnorum in tribus pinctis, uidelicet duobus polis alterius eortim diruncto a ,eriti punus i in arcuum inter duo quaelibet pune a comprehensus, emicircilinserentia per huius,unde intutur partem suo toti aequalem esse,quod est impossibile Non igitur stabit haec hypothesis,nisi circulus ille transeat per po. ios ambor di secet utriciis arcus separatos per aequalia,quae fitere demostranda.
Omnes circuli secundum aequales lineas potares deseripti in sphae
ra una aut diuersis aequalibus tamen aequales existunt. si circuli in quales fuerint,lineas eorum potares aequari necesse est. Si lineae polares lateri quadrati magni aequales habeantur, constabit per S.
84쪽
lius DA diffinitionem:omnes circulos magnosti aequaIcs inuicem esse.Sed ponamus eas minores aut maiores huicimodi Iatere quadrati magni, sint
e n li inspiratratina aut diuersis aequalibus tam describantur,quos dico esse aequales. Transeanten, Per polos eorum qui sint a&d duo circuli magni a b g,cuius centrum 3,eed e Λ si Mercentro S, aper i s.huius secabui descriptos circissos per aequallia Sorthogonalite stati s communes seetiones lineae b goce ii descendant demum a polis a ec daliae duae polares lineae a b&d e militis duabus
aequales,a centris autem circulorum binae egrediais
tur semidiametri 3 b dig 3 circuIi a b g, s e auaten, di s h circuli d e li erit igitur ex hypothesi diter in arctis a g aequalis arciii d h dtenim arcus a b aequalis arcui d e,quare per communem scientiam totus iarciis b g toti arcui e li aequalis habe hitur cideo per tertii corda b g, quae est etiam diameter cirili h g in aequalis erit cordae e l, , quae est diameter circuli e li,quare per diffinitione
circulorum aequalium patebit prima pars theoreae Inatis. Conuertendo autem processum iam recit tum,facile concludemus aequalitatem linearum po1 tu si prius circulos ipsos stabiecerimus aequales, erunt enim duae eorum diametri h g oc e li aequa, Ies per conuersionem diffinitionis circuloru aequas inim,undect per tertii arcus b g 8c e li,quo mi sunt cor ,-nsegislanientur quare per comunem scientiam arcus ru dimidii a g scilicet Oc d li 1 erutinaequales,5 ideo per tertii cordae suae a g & d,quae&polares lineae sum aequales demonstrabunt tur .utranin igitur theorematis partem si inlimus, quod iidem diosus expectabat discipulus.
: Omnes minores c1rculi aequales a centro sphaerae eos continenti aequaliter distant δc si ab eo centro aequaliter distiterint circuli minoa quotlibet,ipsos aequales esse conuincemus. Sint duo circuli minores a b&nd .aut plares quotlibet in
spretae aequales.Dico vipsi aequaliter distenta emtro spi is x qui si fuerint aequedistantes 1 centro sphaerae,aequales necessatio habebuntur.Primam partem sie confirmabimus. R cenistro sphaerae quod sit 3 ad centra duo in circulorum heck ed cantur duae lineae 3 h oc 3 h, duae in Gnidiametri sphaerae 3 b&3 g,qua a duos terminos connectemus per lineas h b ech g,erit4 per huius citra 3 Iinearum 3 h 5c 3 h per dimis Iaris ad sciperficiem circuli cui incidit, ec ideo per dimnii nepcipendicularis ad semidiametrum sibi conterminalem quare uterin angulorum 3 h bdc 3 k greeliis habetur. oportet aute
85쪽
di semidiametro et ii b&h et esse aequale Ixpter circitiose mim, quos hypolliciis
aequales tradidit.I eri ciuilitariat ni turpi imi&c anaim scientias erit 3 lt ii,
iaca mitialis 3 k,unde dipei disi initioncm circilli dicti aequaliter a cetro sphaerae distabunt,quod intendebat prina a parsa positionis.&dpona diuo circillip dicti aequaliter distantes iccntrosphaen quamobrem oportet id duas lincas 3 h3 k eskaequale unde ex medijs praeas Limpiis duas scini diametros h bdi h gaequales esseconstabit Aiametris ergo circitiorum aequalibus exilitentibio ipsi circuli perdist nitionem inclitote aequalium aequato halbebuntur, quod astiniit sotanda pars theorematis Poterimus autem di has mutuas passiones demonstrare decimilis diuersarum sphaerarum aquatium tanim, non aliter quam de circulis unius sphaerata
Si duos circulos minores in sphaera aequales de aequedistantes cira
culus quidam secet magnus per polos eorum non transiens, arcus ex eis coalternos abscindet aequalas. circulus praeterea magnus duobus
praedictis aequedistans arcus circuli inclinati interceptos duobus dira culis aequedistantibus minoribuspex aequalia secabit.
Ex duobus circillis minoribus a I p qin
sphaera una aequalibus ec aedistantibus, circulus magnus I b o d per polos eorum non inceden sescet arcus coalternos 1 a m & n g o, quibus quide circulis aequessistat circulus magnus h x d, secans duos arciis I n S m o circuli 1 h o d in duobus punctis b& d.Dic larcus I a in aequalis est at cui n g o,5 arcus I p m arcui n q o aequalis, ecu circulus magnus h X d aequedistans duobus minorihus,duos arcus I n ec m o per ira tandet in punctis b d .Duos enim polos per huius communes esse oportet, tribus dictis circulis ae ieci stantibus,qui sint h&k polus autem circuli I b od sit punctus 3 . per duos itain Ios h R 3 incedat circulus a li 3 h huius edocent qui transibit etiaper punctum k ex huius. mitain arcus r s sisse,n1circumserentia per liuius arcus: h k sit me dietas circumserentiae, duo poli h di h diametrum sphaerae terminent, quemadmodum ex huius trahitur, ablato arcu communi h s , relinc etur arciis h r aesqualis arcui k s .ex autem huius duo arciis k g di h a aequales sunt, lare diresiduus a r residuo g s aequalis habebitur. pra diametriim autem circuli l bod erectae sintduae portiones aequales,ex quibus stimuntur arciis aequales r h & sh,quoriam Uter minor est dimidio arcu portionis suae lineae a punctis ii & P
duo pune a m ec o protens aequales sunt per huim quare per huius ariscus a m aequabitur arcui s o,arcus autem T m aequalis est arcui I r,similiter arcus s o arcui s n cum circissus a I, 3 h per polos horim circulorum se secantia
trantat. diis quoniam stipra diametros duorum circitiorum a l p & g n q, erectae sunt duae portiones aequales a p&g Rex abus absumptis intarciis aequales a I di g s,quoium uteri minor est dimidio arcu pocilarus suae, lineae item a Pundus
86쪽
aequales, propter arcus r m di s o,quos aequales nuperrime conclusimus erit per huius arcias a m aequalis arcui g o,arcus autem a m aequatur arcui a I arcus g O arcui propter circulum magnum a li 3 h per polos circulorum se secatatium transentem.quare tonis arcus I a m aequabitur toti areta n g o, reliquusin I p m reliquo n Q o non erit inaequalis.constat ergo prima pars propostitionis nostrae.Postremo unusquilinquatuor arcuum rh,bs,sddid r est quadrans circumserentis,quandoquulem circulus a li 3 h per polos duorum circuislorum b l o d di b x d magnorum transit,i quibus sit, latim quadrantibus,si
Omnis anguli sphaeralis ad quatuor rei hos eam esse proportione, quam basis eius ad circumserentiam suam.
Stultimam sexti Euclidis satis uidisti, non larebit te nostri theorematis demoseratio,per habitudines enim aequemultiplicium usitato tuti his te syllogismo.
Cunisti sphaerales anguli, siue in sphaera una,siue diuersis, quorum bases sunt sinules sibi inuicem aequabuntur.
Erit enim basinuq similibu ad suas circiam ret1as una proportio per couersonem distinitionis arcuum similium anguloru autem ad quatuor rectos praecedens eam cocluM Pportionem,quam ballum ad suas circumserentia erit igitur omnium angulorum ad quatuor rectos una proportio,per .ergo quinti angula ipsi aequales erunt,quod oportuit declarare. XXm II.
Omnium angulorum aequalium basesinu H smiIes.
Aequaliu nanin angulorum ad quai r restos eandem constat esse proporationem,quae quidem per huius est,ut basium ad suas circumserentias.bastu igithinusinodi angulorum ad shias circumserentias eadem habetur proportio , quare per diffinitionem similiti armum basis ipsae similes conuincetes quod est δpositu. παNIII.
Quorum dissimiles sunt bases angulos in uales esse,angulorum quot inaequalium dissimiles reperiri bases.
Haec ex contrario salue M praemis diant raemisse contrarium inseri par solum sitarum aduersarium ducendo ad impossibile Si enim h ses dissimilis adis miserit,angulos autem aequales, erunt ex praemissi bases simile igitur similes dissimiles esse confitebitur easdem bases,quod est inconueniens. od si angulis inaequalibus existentibus bases putauerit similex, uitur ex antepraemissa Sanis Rulos esse aequales.quare eosdem angulos aequales inuicem 5c inaequales assi MDit,quod quoniam repugnantiam parturi esse non potest. s ictis auton Possibilibus,tieritate .ppositionis inseremus. L iuxta
87쪽
Iuxta pulti tum quotlibet iii stiperficie sphaerae signatum, angui proposito aequum angulum stinuere. Sit angulus propositiis b a g,cui iuxta pikim d in sphaera
quacian paecllial constituere libet. gulo b a st subsicino batim suam bg,deinde super puncto d secundum distaritia inquanti tramlibet describo circulum, citius circumfer uia abstitido aris cum e 3 similem arcui b g quod per Σ3 primi S tillimam sexti facile comparabis, duo: phuaista cius terminalia e & 3 punctod per duos arcuq circulorum magnorum copulabo, qui lint dedi d 3 quos dico apud punctum d continere angulum aequalem angulo b a g,cuius ratio propter similitudinem duarum basi uni b g di e 3 ex huius manifesta apparet.Facilius tamen id effici es in sphaera una auidiuersis aequalibus tamen. Super puncto emy d secundum distantiam a b circumduces circulum ex ut cir. cum rentia archim e 3 abscindes aequalem arciii b g reliqua ut antehac disponendo.Erunt enim duo circuli ex quarum circi serentiis bases abscinduntur,per huius aequales. in phases ipsae sint aequales, erunt etiam simbis, per vii vir huius syllogismum conficies.
Omnium duorum triangulorum sphaeralium quorum cuneta laatera unius cunetis lateribus alterius aequalia sunt, oes angulos aequis oppositos lateirbus aequales esse.
Omnes trianguli,de quibius suturim habebimus tam nem,insuperficie unius sphaerae,aut duarum uel pluriuaeqicilium tamen, arcubus circulorum magnorum constantest intelligemus.Sintilao duo trianguli a b g,& d e 3 , quos Frum trina latera sunt uesia,latus qui m b g unius lateal ri e 3 alterius ei reliqhia reliquis.Di n q, anguli aequalibus oppositi lateribus sunt aequales angulus uidelicet a angaeod,&reliqui suis relativis.Si enim utrit arcitum angulos adi d ambientium fuerint quadrantes erunt duo punctia adici poli circulorum h g ta e 3 per huius, quare per lius ius duo anguli a & d aequales erunt, bases eorum sint si miles,imo aequales Si uero bini arcus dictos angulos contisnetes fuerint aequale minores tame quadrate diuisim, deisl scriptis duobus circulis superpolis a & d sectindum distatistias aequales a g di e 3 ,circuli ipsi aequales erunt per has Q iusArchis autem eorum ad bina puncta b g di e 3 terminasti necesseenim in eos is pucta dicta terminari opto aequalitatem binorum arcuum a punctis a & d deicendentium arcus ini issi aequites erunt, quoniam hahehunt cordas aequales,Ppter arcus h g ti e 3 cis contrerminales, quos quidem hypothesis si abiecit aequale quare per Ei .huius anguli a & d aequades habebun tur ae sibiniarcus qui ambiunt duos angulos a ct d inaequales fili rint,sint mi
nores eorumdWo arrita a g α d 3 super punctis a.d iactis polis secundunt
88쪽
distantias aequales a.dc d 3 describaiitur circuli g h di 3 k quos constat esse
aequales per huius, pra qtrorum diametros eredi sinat duae portiones mira les, quibus qui de portionibus accepti si int duo arcus h b di h e aequale quo rumuinq; minoro dimidio arcu portionis suae. B g autem recta linea,si produm fiterit quan ipsi e 3 ,propter arcus b g di e 3 aequales erit igitur per huius arcus g h aequalis arcui 3 h. illi autem duo arcus, cum sint bata duorum angulorum a& d,per huit Isai ulosiosa ent aequales. Quemadmodum autem circa angulos adi d procamus,circa reliquos quot faciemus,&haec instituimus declaranda.
Omniu duoru triangulorum,quorum duo latera unius duobus lateribus alterius sunt aequalia,angulus unius dictis lateribus coletus angulo alterius,basis quo unius basim alterius aequabit, reliqui deramum anguli unius reliquis angulis alterius,quis uidelicet suo relastiuo aequabuntur. Trianguli a b g lanis a b Iateri d e trianguli d e 3 aequale habeatur avis uero a g aequale lateri d 3 angulusa aequalis angulo a .Dico, Q latus h g lateri e 3 aequabit. angulus etiam h angaeo e ,&angulus g angulo 3 aequabumr.Si matrun platerum ab N a g suerit quadrans cita cum tento,similiter utrini laterum d e di d 3 , erui duo inmeta a & d poli circissorum B g ti e 3 per huius, reinpositi sint anguli a & d aequales,erunt per huius hases eorum Ibmiles, cus scilicet h g e 3 ,&ideo aequales, cirisculi eorum aequales habeantur.Si uero bini arcus, qui duos angulos a & d ambitini inter se itisint aeqtrale non tamen quartae circulorum,necesse est circulos desti iptos super polis a di d secundum distantias a gec d3 transire per puncta b & e erunt ex hypossiesi& huxim arcus horum circuloni quos latera trianguloru in tercipiunt similes,&ideo trales, , circissi eorum liuoxus confirmante aequales habeantur unde etiam eoru coradas aequari oporte quae quidem cor arcubus h g di e 3 lateribus scilicet triangulorum ppositorum comunes sim quare & arcus ipsi aequales erunt.Postremo duorum armum a b S a g alter altero maior fit arcus,verbi gratia, a b maior arcii a g ,item in d e maior o 3 .describaguritam super duobus polis a & d,secundum distantias aequales a g & d 3 eseculi gli&3 k,quos huius aequales arguit. portionibus autem aequalibus sapra diametro eost erectis duo arcus h b & k e absumunmr aquale quoru uter minor est dimidio arcii portionis sitae.est aute arcus g h similis armi 3 k ex hypothesidi huius ec ideo aequalis eidem, Q cimilitui aequales existant, quare per Iulius linea b g si prodacias ierit,aequabitur Ilineae e 3 .unde di arcus h udi e 3 ,quorum ipsis fiunt cord aequales reperienti Irares igitur arcus triangula a b g claudentes tribus triangulum d e 3 ambientibus,aequales habentur,angulusin a unius angulo e alterius aequalis,unde ecper praecedentem reliquos angulos unius reliquis duobus angulis alterius aequales uideri necesse est, pro qui . in ius latiuati sumuS,
89쪽
omnis trianguli duo qtiaelibet latera tertio reliquo simi longiora.
- Duo latera a g&ir l, trianguli collecta dico esse longiora latere a s .Si enim latus ae imie tuerit lateri a b aut longius eo,planum est duo latera a g&gh congregata stipei a re latus a b.Si uero minus eo fileerit secundum distantiam a g, super polo a describatur circillus, cuius arcii g d Iatus tri uti a b offendat in puncto d . Supra diametrum ita circuli g d erecta est portio circuli exclua sumptus est arcus d b minor dimidio arcu portionis siuae,quare po huius linea b d reuel si producta sum breuiores Minea b g undedi arcus b d brcitior arcu b g. adiectis igitur uti obim aequalibus a g & a d arcubus erit per communem scientiam aggregatum ex duobus arcubus a g, g b mastis aggregato ex duobus ars cubus a d, d h scilicet arcu a d quod libuit abibluere.Non diter de duobus resisquisqui lcunt ad tertium collatis procedemt .
Si a duobus piaclis terminalibus unius lateris trianguli duo arcus exierint,intra angulum ipsum concurrentes, erunt ipsi colleeti mino res duobus reliquis trianguli lateribus. A duobus puc tis b & g terminatibus latus b g tri,
guli a b R exeant duo arcus h d & g d intra triangusium comventes in puncto d. Dico,q, duo arcus B d, dg congregati,naria ores sunt duobus arcubus a b N a gconiunctis Protendatur enim arcus g d in e punctum lateris a h, eruntis per praecedentem duo arcus g a, Re longiores arcia se riquare adiecto communi e b fient
duo arciis g a, ah Iongiores duobus g e N e b. item duo arcus d e, e b longiores sunt arcu d b, facto ut, vir d g communi:erunt duo arcus g e, e b longiores duobus g d, o h , erat duo arcus g a, a b longiores duobus st e, e b multo iginir longiores habebuntur duobus arcubus g d di d b colunctis.cinde&silli viceversa minores istis, qutioluimus pertractare. Costat autem ex dictis v si ab aIiquo puncto terminali lateris trianguli arcus producatur Iatus sibi oppositum secan erunt duo arcus scilicet productus,& ex latere trianguli resectus minores duobus trianguli Iateribus.
Cuiuslibet trianguli sphaeralis tria latera duobus semicirculis esse
minora. Produeantur duo latera a b a c ut concimat in d. erit itam h e minor duobus arcubus b d Θc e d , adicia' ciis itain communibus a b N a c. tres arcus a ti, a e citi minores erunt duobus icirculis a b dha e d.
Cuiuslibet trianguli duos aequales angulos habentis, duo quo poterat eos respicientia aequari necesse est. Habcδ
90쪽
DR TRIANGULII LIB. LII. Habeat nanq; trianguIus a b g duos amissos h Scg aequales. Dico, latus a b aequabit Iateri a g.Si enimno alterum altero mauis erit,fitch a g longius ipse a b ex quo abscindar cum g d aequalem arcui a b prodacendo arcum b ri uo itam trianguli ab &bgd bina latera habent aequalia angulosis histe contentos lateribus aequales,annitum uidelicet a b g aequalem angualo b g d ex hypothesi. quare per liuius angulus dh g aequalis erit angula a g h quem hypothesis subiecit aequalem angulo a b g. tume di angulus db g angulo eide a b g ualis habebit: pars scilitet toti qd est impossibila. est ergo ait altero maius,& ideo aequalia inuice relinquent, quod expectabas demonstranda.
Duo latera cuiusuis trianguli aequalia angulos aequales subtendere
oportet. Haec conuerindo pi missam ex passione eius si abiectu in restium polliceatur. angulus ergo a b g duo latera a h&a g habeat aequalia.Dico Q angit Ius e aequalis erit angulo b Non enim alter eosὰ altero maior esse potest. quod si forsitan ita arbitreris,sit angulus g maior angulo b, fiat per huius iuxta terririmim g arcus b g angulus h g d aequalis angulo a b g,produeto arcu g d . Trianguli ita db g duo anguli d b g S d g b aequales sunt,quare per praecedenaem duo eius Iatera a b N a g sibi inuicem aequarumvir. adieci 4 coi arca a d erit aggrWatia ex duobus arcubus a d , d g aequale arcui a qui ponebatur xqualis arctii a g. dedi aggregatum ex duobus arcubus a Rd g diuabitur arcitu a g, quod est impossibile,repugnans huius. Deceptus igitur affirmabis alterum altero maius PGquare propositi Inostrae assentire compelletis. Hanc autem di praecedentem ostentae potuimus demonstrare uerum breuiores in omni opere uias eligendi fuit consilium. α
In omni triangulo sphaerali maiorem angulu,
longius subtendit latus. Angulus enim b trianguli a Nil maior occurrat an pulo g. Dico Q latus a g longius est latere ab . iuxta lpi 'limemm h arcus b g fiat angulus d b st aequalis langulo a g b. erit igitur per huius arcus db aequalis 3 arcui d g. adiecto sarciri a d coierit arcus a R a quas iis aggregato ex duobus arcubus a cheb.qiuod quide aggregatam huius maius est laterea b.unde dilatus a glatere ab Iogius habebit, O placiut adducta G
Longiori demulateri trianguli cuiuslibet ma
iore opponi angulum. Sit triangulus a b g latus a st langius latere siro ah habens.Dico angulus a b g maior erit angulo an b. Noenim potest aequesis ei, sic mim per huius latera a b d a a coniuncerenniraequalia,' m noreo potest hal G.sic enim angulas a g b maior esset