장음표시 사용
141쪽
ueubnim disseroatia non Iatebit: sic igitur prinia proportio componens notos hahec tenninos,ea aute proporti stibii adia ex ipsa proportione, relinquet secima da componetis Proportio cognita,quae erat sinus uos b h ad sit ursi rectum eiusa de quare eo huius arcus ipse h h non ignorabitur. duobus autem arcubus a si di o h cognitis, resiqua quae proponcnantur quaerenda, argumcto huius mPluentur,quorum gratia contemplati sumus.
Si duorum arcuum disserentia data fuerit cum disserentia satauum Corum uteri notus resultabit. Sint duo arcus a b & a e quorum disserentia B cst data duo autem sinus eorum b d di c e disserenatiam habeat cognitam. Diminuter cycorum innotescet. Duco enim cordam i, k ortliogonaliter inciden tem sinui recto c e in puncto h eritin c li disserenistia duorum sinuum,subtendatur etiam arciri b c cor da sua b c,qua oportcteste nota propter arcu ipsi datum: sic ex duabus lineis b c di c h nores angulo iapud li recto emistente, per primi huius angulum cb h metiemur ac si in centro alicuius circilli quiesce rei nunc autem quoniam in circii scientia stipra ara in comi heri idcarcus stibi edens scilicet arciis c h notus,misi adiunxerimus arcum b c ex hypothesi notum,totus arciis b h ni tus redundabit Nideo dimi dius arcas b I inde quo complementum suum a b innotescent ex arcii autem a b & b c notis conflabitur totus archis a c notus,sicuti memoratorum arcuum tum est imus,quod erat ab Liendum.
In omni triangulo reflangulo duos habente acutos angulos, sicut sinus complemeti anguli cuiusuis acuti ad sinum totum sic, quod sub sinu complementi lateris sibi oppositi,& sub sinu reliqui acuti continetur ad quadratum sinus totius.
Triangulus a b e habeat anguicum a rea, ,- ctum ti reliquos duos actitos. Dico sinum
- complemenai anguli c acciti esse ad sinum tof tum sicutiquod sub sinu compi enti a b dis sinu anguli continetur ad quadratum sinus totius,quod sic demonstratur. Producaturs uter arcuum c a ec c b, ut fiant duo qua drates e e&c d similiter b g&b h fiat quat i N. drantes continuentur puncta dec e perari l e m d e, qui extenis concurrat cir m h g
ducti eoncurrant in k.Iam k d ad cl f componitur ex duabus h N ad B q, Susi ad h s,desinibus loquor in k d est complem'tum M a cat, 'quoniam
142쪽
ε3 DE TRIANGULIs LIB. V. inpolii cimili c e spter ancillos aine Tectos. v b alitem est complementum lateris a b oppositiangulo ach, digii est quantitas anguli a b c , imus linus aut i arcinam df, bil&hfest qua,
drans circuli. Cum itam proportio eius quod si ab anis recedentit has componentium continetur rediangulum ad liquod fissi eon prentibus eorum continetur id est ad quadratum sinus totius ex eisdem proportionishus componentibus componitur,patet propositio.
Dato triangulo sphaerali circulum cirrumscribere.
Modus circumscribendi θc inscribendi cire los est,ut in rectilineis triangulis, diiudicio scilicet latera per aequalia aut angulos etc uerum dia,
metrum circuli circumscripti aut inscripti inuestigare,alia requirit media.Dupliciter nano potestinumiri diameter circuli circumscripti, aut scili, i per tres cordas notas, aut per arcus ipsbs di scientiam triangulorum sphaeraliti de insicriptione non siqnam quicunm circitatas circumscribit sphaericum triangulum, is etiam rectilineum circumae scribit, tribus cordis trium arcuum constante, quod inscripto circillo non accidit. Triangulo ab e sphaerato circumscriptus esto a b c circinus, cuius semidiametriim in rimus per ratiosnem arctium. Sit a d arciis perpendicula
ris ad b c b c per medium diuidatur in spuncto unde exeat perpendicitiaris se , in quo necesse est esse polum circuli circumscripti .diuidaniritem a c per medium in g,eae ductus in perpendicii laris occurrat arcui se in ii quierit polus circuli circumscripti. ex utribus autem datis lateribus angulum c ha i hebis & deinde propter sc notum perpenadicularis quom fe cum angulo fe c inii
tesce diomarcii e c , hinc e g notificabitur.& deinde propter angulum e notum arcus g h patefiet. n* ec g c notus fit, erit etiam h c notus qui inter polum di cuspisdem anguli e , id est circumferentiam circuli circumst mi comprehenditi
QuintiMultimi libri Triangulos finis.
144쪽
cicae,Mathematicarum disciplinarum principis,De quadratura circuli, dialogus, ecrationes diuersae separatim al1quot libellis exoquisitae: Ad ea de re Cardinalis Cusiani tradita Sinuenta: quibus autor haec praescrips1t uerba Graeca, quae,nequid illius subtraheremus studiosis subiicimis
146쪽
vra aliquando,ut saepe facio,versitati mihi relictios ex opulantist.bibliotheca Ioari. de Regi Omonte libros,
nec numero nec argumento cum amissis coparandos,
sed qui tame omnes es ent optimi ueriisset in manus meas libellus de quadratura circuli comparatus 1 Rei glomontano aduersius inuenta hac de re Card. Cusa , ni statim dignus mihi libellus uisus fuit, qui studiosis Mathematicarum disciplinarum communicaretur: sed per ocium introspicienti hoc
multo magis quo melior utilior apparuit.Cum autem placeret mirahi commendari hunc libellum praeter autoris opinionem etiam alicuisius horum temporii excellentis uiri nomine, tu mihi in primis occur rebas qui quamuis egregium librum accessione famae tuae ornare auis gere postes Georgi Tan stetere, propter eximiam reperiacta cognistionem rerum Mathematicarum,quarum do strina ea laudem ecflois riam es adeptus,ut cum ueteribus tacite parem te praestantia tua inciis at,tum quem conserre tecum ex omni b. nationib. iure possimus inue
niatur nemo.Mihi igitur &admiranti te de colenti, quod tibi ignotuesse nequit diu ia curae fuit declarandae uoluntatis,iudici j ' de te mei omnibus si possem mortalibus. Qua in cupiditate quae aptior occasio potuisset sese offerre mihi quam dedicandi tibi hunc libellum, dochissimi uiri utri* nostrum natione mihi etiam patria coniuncti. Cuius ut magnitudine doetrinae Italicos etiamti Graecanicos costaret admiratos ita relinqueretur intelligendum omnibus,quanti te faceremus, cuius nomen ornamento clarisse. autoris singulari scripto suturum eis se iudicassemus. Nem te inuitum testimoniu iudi nostri admisi uis rum confido quum S te honorifice de me sentire, ec nos d1I1gentia de laboribus innotuisse studiosis illorum p nonhuliam este existimatiuonem de meis studiis sciam.Quodsi quis rem ipsam N iliu eam tur,eXperidere uolet inuenietur prosecto celebritate tua ignaui ma materia. Nam tanto ab hinc annorum interuallo dilatatum opus,nem postea de manibus doctiorum depositum,a rostramlaetatem usta retentu certe debet nequaquam contemnendii uiderisnuenio tem Anaxagorae tribui in circuli quadratura exquirenualRudem, eum in carcere,in quem esses conicctu. b. x ςm
147쪽
tan* impletatis damnatus,illam rationem conscripsisse.Graeci uocat
γε φρ ωνισμον κυκλον, unde non ,ut opinor, ineptis . quadraturam latine se
cerunt.Sed hanc rem multis seculis post Archimedes putatur diligentia flamma exquisiuisse. Siquidem Anaxagoram contiat Periclis temporibus uixissse,qui&auditor fuerit illius. Ita inter Archimedem Anaxagoram fere intercident anni ducenti odioginta oeta. Possent .vi' nominari,ut Antipho,Briso,Hippocrates Apollonius, qui & ipsi hoc mactu decurrissent mensi rationis curuar lineae ad regula. Sed proxime Cardinalis Cusanus hanc quasi prouinciam gnavissime adiministrauit, rei dissicilis ut ignoratae,ita opinor et Igientis captu humanu quavis cognitione comprehendi possie Aristoteles scripse rit,inuenisse rationem professus. Cuitis breui libello summa,eande breuiori dialogo exposuit. Quae Ioanni nostrati acuti T. ingenii hoomini cum non probarentur instituit in illa quasi inquisitione quanda ad Paulum Florentinu illis temporibus in omni genere scientiarupe, ritum Cum aute ness gloriae ne emolumenti spe multoc p adeo mionus inuidia incitatus hoc opus suscepisset ne nominauit quidem fere Culanum tantum abest ut illius aliquem fimae labem aspergere conatus fuerit. Reliquimus autem omnia in Regiomontani scripto, sicut in archetypo ab ipse informata quo alicubi tantii ostiendimus,lucundam futura rati studiosis non cognitione modo eorum quae ille acuώtis exquisiuisset,sed exquisitionis etiam quasi uiam dc ratione, at adeo non solum quid autor effecisset libenter uisuros sed quos etiam habuisset inter opus cogitationes Nanimi motus. Accipies igitur a nobis doctiss. uirαhunc libellum exiguum munusculum, dc admitates testimonium de te nostrum grato l1Denticy animo. Et nos ut fecissse te comperimus ita perges tua beneuolentia complecti. E Norico
148쪽
Iα,Cardinalis,Legati Episcopi Brixinensis.
V A M v I s iam dudum a studio Geometrico nos altior speculatio ac publica retraxerit tintilitas: tame inter innumeras serio 1as curas,quas habet apostolica legatio si inter colloquia studiosonini delectabiliter immiscuit, De quadratura circuli scibilidi nonu ita asscitio Quam dum nuper equitando reuoluere rmus,quod attigimus conscripsimus.
Non legimus quinquam propinquius accessista ad huius noticiam, quim Ar chimedem, qui primo quadrangula circulo aequari ostendit: in quo semidiameter ei cilli ducta est in mediam periseriam .hoc quidem sic esse necesse est si hoc cenissendum est este aequale,quod nec maius nec minus esse conuincitur. In omnibus
enim poligoniis istbpleuris oc ii perimetris de quibus selu in hoc stripto loquiae
mur semidiameter circuli inscripti si ducitur in medietatem periseriae, Orittar quadrangulum aequale. Posse autem inter semidiametrum di medietatem periseriae medium proportionale iacile constitui, in des ostendit. Quare tale cum sit Iaaetus quadrati aequivalentis conscito qt linea re ita aequetiar periseriae circuli, sciis tur&eius quadrataira.&laaec est certior ostensio. Sed dum per elicam hanc uitiis mam partem se reperisse crederet Archimedes, a uero defecit. Elica enim descri hi nequi nisi signum a centro per semidiametrum in tanto tempore moueatur, in quanto semidiameter pro circuli descriptione circi uoluitur Descriptio igiteticae hos motus supponit quorum habitat esst ut semidiametri ad circumserenaetiam . Pretes Ipponit igitur id quod quaerit.Citius enim recta dari potest circulari lineae aequalis, quam elica uera figurari. Nos autem considerantes trigonum 5e circulum in capacitate extrema oca tenere in trigono semidiametros circulorum S inscripti 5c circumscripti cotrario modo se habere cium semidiametro circuli in quo circuli inscriptus Rcirci scriptus incidunt qui distinant in trigono maxime: sie ibi semidi etrum ciris inscripti maximam di inscripti minimam A simul iunctas breuissimas: ntrario modo in circulo ubi simul iunctae fiunt diameter circuli mrima. Ob hoc sci mus,omnes medias poligonias istiserimetras ocistbpIeuras siecundum capacit Item in illis ad aequalitatem semidiametri circuli accedere. Si igitur lignatamen qHantitav excessus semidiametri circilli,super diametru inscripti trygono. Miniitas quo ipsis semidiameter circuli fuerit minor semidiametro circus i l .mnc Omnis polistonia media secundum suam capacitat in u tametri sibi inscripti super semidiametriim inscripti trigono: 5 diminutione
diametri sibi circumsci ipti a senidiametro circimscripU trigono Ater se hal ait. Nam eum illa ex diue a capacitate VRΠ uel si esse habitudo illorum ab habitiidine capacitatum. Sic s per ne . . . cui se hahet excessus ad excessum etiam sic se ham cum capaeitas ita sequatur unam di Isitatem si x Myδ'' Iaj hi utio tauri quam aliam.Erunt 1gitur in omnibus polagona su ,
149쪽
H NIco LAUS DE cvs Ales se ad inuicem habentes in proportionei ma:chiare data una habitudine, per lorum scientiam in nota aliqua poligonia,ttinc scitur di in circillo. Et quia excessus &diminutio in circulo simul itincti aequantur semidiametro inscripti trigono ut de se patet. itur si reperta habitudine diuidentur secundum eam tanidiam ter inscripti trigono &maior portio adderetur adipiam se idi metrum circini inscripu trigono haberet semidiameter circuli tu erimetri re ita oe quaesitum. Facinnus aute hanc partem tibi hoc modo clariorem. Ex a b Ilinea in tres paristes diuisa,cd e magulus designetur S in eius lator ecdsigneti irpars quarta ab,
quaesiti h quae quadreturo liti hi m.Describantur intaipti Scircuivi cripti circuli, sit in1cripti trigono semidiameter fruticircuscripti f h di inscripti tetragono niacircincriptin o. gnetur deinde linea f h ct in eius medio g lineis de fgh tractis quantumlibet, traliatur ad sh aeque distans i ii cuius medium sita di signetur si midiameter inscripti alicuius polligoniae it porimet e puta tetragone quae litia p,di semidia,
meter circ&cripti, quae sitito,&trahe de g per p in infinitum, di similiter de ii pero lineam in infinirem,oc ubi ille concutiunt signa tralae pq aequedistantem ad sh,quae sit fr,in cuius messio ligna λ.Dicimus r u esse tanidiametrii circuli quaesiti, di eius circumserentiam aequalea b lineae Multipliciter probatur & siciliter. Seniata agitur priori figura, ponatur g bb Iinta esse difinentiam capacitatum m niti circuli ista rimetri, &quod linea de r s moueatur uersus fh atquedistanter.Manifestum est , lineas hq ecpq de illa abscindere omnes di entias semidiametro' circulorum inscriptorum di circus criis storuin omnium figura di pol oriano de triagono usip ad circulum ubi coincidunt. Est etiamanifestum Q simul linea illa mota abscindyret de linea bb g omnes differensias capacitatum inter trigonum & circaeum. Nam quanto ditarentia semidiametrorum disterentiarum est minor, tanto figura capacior. Ideo circissus capacissima figurarum, quia ibi coincklint, di trigonus minimae capacitatis quia ibi maxime di sit. Sit igitur linea motae t n , quae abscindat lineam g h in aa puncto, & sit p o differentia se nidiametrorum in tetragono, quare si g bbest ut diiseritia capacitatum moni: ec circuli is per metri, erit gaa ut diia serentia capacitatum trigoni Stetragoni.Et quia up est praesiipposito semidiameter inlcripti tetragono Saapex talis eius silper fg semidiametrum inscripti trigono Ideo bb qerit excessus innidiametri circii lii imperimerem super semiis diametrum inscripti trigono. m quae proportio ing adaa milia hb q ad aa
p,ut notum est Correspondent aut dii entiae semidiametrorum inscripton inpoligoni jsili erimetris ara disserentiis capacitatum.Non enim euenit aliis
unde capacitatum disterentia inisi leurisui perimetris, nisi ex semidiam
150쪽
DE QUADRATURA CIRCULI. Terorum circitiorum inscriptorum disserentia inroniam capacitas α multiplicatione illius semidiametri,quae traiianir indurersis talibus figuris in s iperiseriam qua semperes eade, exoritaIr ut est notum. Sic si posueris tib s lineam duo' excessuum semidiametrorum,ut excessum capacitatis circuli super trigonum erit m tetragono iacessus talis)capacitatis,ut linea aequalis duabusto S paa lineis,
ct quia una est habitudo illius ad s h quaep aa ad in q, igitur ut supra. Vel si
dixeris capacitatem trigoni minorem esse,quam circuli,ut linea a g erit tetragoni minor ut P O. Si adhuc negaueris S dixeris semidiametra circuli minore esse,puta Φ termi net in paneto medio inters S terminu lineae g quae sit ii, itaine u fit semidiameter circuliis 3perimetri, tunc si sic extendatur u 'quotas Faequetur r ridi sit x disimiliter extendat fh ad aequalitater di sitfΣ ut xx,trahe et x linea,deinde
trahe de u lineas ad g&h,Nubi secauerint in linea signa α di in extendat usQ ad Σκ di sit con ut rX.Dico,q, si diameter inscripti circulo Miserimetro adisclit stiper semidiametnim inisipti trigono quanta est v tuc semidiameter inscripti tetragono addit quati Jminaa a, it sis idiameter inscripti tetragono addit quantum est aa p, tunc semidiameter circuli limpe irimetri addit quannim est bbq.Hoede se patet,si habi θtudo additionum est ut uadaa a di nota est addi tio in tetragono est ut aa p, i inre erit in circitis is ut q, cum Maia thabitudo aap ad G q, quaeaa α u. Quod autem illa sit habitudo probatur. si ruponatur Gnidiameter inscripti circillo,oitu X se emidiameter circumscripti, quae coincidunt in circulo fi perimetro,&manifestum est,quod r x est linea ex
duabus illis innidiametris, disimiliter fz est linea illi aequalis, Rest ex simidia
metro inscripti trigono dis idiametro circii cripti eidem. Omniis igitur po αligoniarum intertrigonum di circulum duce semidiametri tales non erunt min resf nec maeiores x Nitas per aequalis erit igiturn cc aequalis duabus illis
semidiametris in tetragono,&quia ae 9 aequatur necessario p o, cum g hq tria pulus aequetur ghu, ob aequedistatimqu5 gh,&similiter o Esitae meditan adg h,hinc ' α erit ut po,ut ex Euclide scilicet 3 .pti mi,& . ti notum tibi existit. sed p o est excessus innidiametri circuscripti trigono super Avidiametru inscripti eide igitur di 2 9,& rumn α aequetur cc 9,igiturn E erit ut semidiameter inscripti tetragono S a cc ut semidiameter circui ripti didem. Si igitur ponit semidiam mim circuli sit per innidiametrum inscripti trigono addere quantum est v addet necessario nidiameter inscripti tetragono quantum est aaa. Et hae additiones possent capacitates super capacitatem trigones nominari, cum ira istbpleuris &is perimetris capacitatum excessita ex his silum proueniat. Habiis tudo igitur additionum erit,ut aa E ad Bh u,quod erat probandum.Et ita montanibus pol ijs parilanariter procedipoterit,sicut in tetragono.Ex hoc constat propositum.