장음표시 사용
151쪽
NICO LAI DE Cus As x aequale r q. y medium inter r oc centrum carcilli r y x. S u medium proportionale inter x s&s x. Ex nona cti. Auz a. quadratum aequale circulo,cuit semidiameter r q.
huc aliter Capacitas circissi sirper capacitatem trigoni es maxima & distexentiae semidiametroium circulorum inscripti circiimicripti est nulla seu minima simpliciter,quia minor nequit, sed di initia semidiametrorum circulo' Inscriptiucircii cripti trigono est maxima capacitas uero eius super sulipsius capacitatem est nulla uel minima simpliciter.Esto init quod aliqua linea sit ut dinerentia semidiametrorum in trigono di etiam sit ut capacitas circuli seper trigonum qixe sit a b linea. quadretur igiuir ill ec sit quadratum a b c d, di sit ah ut disserentia semidiametrorum cum illa minima capacitate trigoni super sti visius capacitatem,& c d capacitas circissi super trigonum clim illa minima differentia semidiametrorum talium Stratratur linea diametrali ς b c Dico in o risius pol vomis me s inter trigonum Sc circulum lineas capacitatis seper capacitate trigoni cu daebentia tanidiametrord non posse esse maiores nec minores a b aut c d ut de se patet. Esto igitur,quod trahatur e s linea aequalis&aequeb distans ad a b S c d ,hilla secetur per b c in puncto rudi sit g e ut disserentia semidiametronim talium in tetragono. mani se mest, Φ g f erit ut capacitas tetragoni stuper trigonum. Erit igitur habitudo capacitatis tetragori ni super capacitatem trigoni ad capacitatem circuli supero capacitate trigoni,ut g I ad c d. Signanir igit in f g addi,tio semidiametri inscripti tetragono super semidiametrii astra pii trigono ct sitfh,&trahat deb perii ad c d linea,&cotactus sit 1.Dico
d i est additio itinidiametri circuli Moperimem sup Didiametru inscripti trigono.Quae em est habitudo f g ad d c illa f h ad a i , diuersitas capacitatis iniitapleuris & imperimetris sep capacitate trigoni no euenit nisi ex diuersa addi itione semidiametro' circillo' inscripto' ip tanidiametrum inscripti trigono.Quae igit est habitudo capacitatu sup trigonii,illa est additionii se idiametro' inscripto e sita tanidiametru circuli inscripti trigono,Per hoc patet quaesithim.
152쪽
ni v SDEM DE SINIBVs ET CORDIS.' TX his nunc circa cordas arcus scientia persecta elici poterit. Nam si una
inhabitudo eius quod addit semidiameter intaipti poligoniae ista irae dii imperimetrari a st trigonum sit personidiametrum inici ipti trigono ad liquod addit semidiameter circuscripti trigono 1inor semidiametrum circiimisipti illipoligoniae: disi illae additiones una cum dis rentia scit sagitta simul iunctae aequi
Malent sagittae lateris trigon ut ex praemissis clare constat, tunc scita habitudine talium auditionum,quae tamen numero no attingitur, sicut nec medietas duplae. ars est reperta ad omne stibile in cordis Narcissius. Quae autem fit habitudo adis
ditionum sic in propinquis numeris inuestigatur.Esto Q innidiameter circuli trigono circii inscripti sit 1 .eriis idiameter inscripti .cuius quadrata s. di quadratum sonitateris trigoni ter tantum, ilicet ι π.oc quadratus idiametri ci cumscripti quater tanti cilicet 196. erit igitur scinnatus tetragoni radix quadratitani lateris trigoni scilicet radix cle ΘΣ mni π. 8c talis erit semidiameis ter inscripti.Erit autem semidiameter circumscripti radix dupli numeri scilicet ι6s cum b. Subtraclia igitur radice de 49.1 radice de sti disseretia est additio semidiametri inscripti tetragono sus semidiametru inscripti trigono, quae
erit aliquid plus *duo,ec sit btraiti radice de i6s cum j a radice de is 6. quae
erit panim plas qui unu.Habes additiones Sceani habitardo est illa, per quam Omnia inuestigantur.Nam si has additiones Dbtraxeris 1 sagitta lateris trigon1, scilicet τ .remanet sagittae tetragoni.Si igitur diuise is γ seciuidum praeiatam auditionum habitudine di maiorem addideris stiper nidiametrum inscripti trigono habes semidiametrum circuli imperimetri.Poteris etiam ex quadrato sateris trigoni aut quadrati scire sic Fadratum lateris cuiuslihel poligoniae dabilis: ex eius scientia di habitudine additionum deuenitur ad sagitta distinidia meistrum inscripti,d sic scitur corda. Et haec est perseetio ultima Geometricae artis,
ad quam hac enus ueteres non legimus dimissi. Est etiamnunc ars compleista Geometricarum transmutationum, quam ante minus,tamen sussicienter quoad quadraturam circuli descripsimus. Et putamus tulis scibilis in Geometricis nunc uolenti diligenter in hoc medio inquirere emanere occultum. Haec stam xime scripserim, ut uideatur potentia arcis coincidentiarum,per quam in omni secultate occillo penetrantur .Ex sela enim incidentia semidiametroru instriapti oc circumser*ti circulorum in omnibus poli omis disserentium,& in circulo tantum incidentium inquisitio nos ad praemimpeta in Laus Deo.
153쪽
Dialogus inter Cardinalem findit Petri, is copii Brixinensem,S Paulum physicu Florentinum de circuli quadratura.
AN optime,qui me nosti a puero ueritatem quaesi is in Matii matici S ciarius uidetur relucere,atin quantum cupiam hactenus ignotam circilli quadratura.Si igistir post milu mistbs tuos de Mailiematicis complementis,utit mihi obstiiros ait incertos Iibellos alius cortior modus incidit, rogo communices. N ICO I A Us CARD . Imo facilis,& ut puto certus. P A V. Dicito quae . NI. Omnia tibi nota scio,qive ad rem pertinent, tum hoc unico dempto,scilicet ut datae circum serentiae circilli scias rectam linea et aequalem assignare. PAV. Ita est,nam mi hi ex Archimede notum est,si semidiametriam circilli duxero in lineam aequalem semicircumferenti oriri quadranquium circulo aequalem. N i. Vt igitur tibi pandam concepta circa id quod restat accipe propotitionem. Si corda quadran tis dati circuli huerit addita semidiametro eius dem oritur diameter circuli circii
scripti trigono istbperimetro circuserentiae dati circuli. Puta sit datus circissus super a descriptus b c d h& b c quadrans tracta corda b c, dilineis a b ec a si sit alius circulus super eodem a centro descriptus, cuius diameter f g sit ut ah di b c ,scilicet g h ut b a S li fui b c ct inscribatur trigonus i k l. dico illam trigonum restiIineum aequarti circumferentiae cuniae b c d e. P A V. His cilis est haec praxis at in carissima si hoc uerum ostenderis. NI. Conabor serum ladesicriptione dati circilli, lineam a c continuabo in infinitum, quae sit m a, dico non dubium de b ad a m lineam, aliquam poste lineam duci quae sic se trihe q, si ei additur alia linea, quae se habeat ad ipsam sicut costa ad diametru quais drati, surget linea aequalis diametro circulior scripti trigono iubperimetro
154쪽
additur alia habens se ad immut costa ad diametrum oti tur Imea minor diametro circuli circuscripti truono seperimetro dati circuli ut si trahitur ad puncta prope a quae ponatur esse n. di sic potest dati alia,quae ad punctum prope m pune o o trahatur,quaere costa sit maior:1gitur inter n & o erit punctus, ad quem si trahitur linea de b.sila rum costa erit aequalis nec maior scilicet,nec minor di metro circilli circisiscripti trigono ubperimetro dati circuli. N I c. Benedico igitur,q, simili acceperis b n ca quotquot uolueris costis suis, linea quae orir erit minor diametro circuli cir scripti tr no,di tot staudiametris dati circilli, costas addideris una costa dempta,& si a s eris b o, cu tot costis suis sicut uolueris exurget linea maior semidiametro cir i circuscripti trigono,ct tot sonidiametris dati circuli,quot costas addideris una dempta. Igitur etiam erit punctus inter ti di o. ad quem si de b lineam traxeris,sic se habem i,q, ipsa erit aequalis dia
metro circuli circiisci ψu trigono di tot semidiametris dati circuli,quot costas addideri una dempta:hoe uti est possibile nisi in puncto c. ius costa est ut seismidiameter dati circuli, scilicet ut b a, aliis sie a Dret maior aut minor Φb Mno erit hoc possibile. P A v. Fateor primu scilicet Q bri dii tot costis,sicut placuerit,sumptis,maneat minor diametro circuli ininscripti trigono is erimetro,scrot semidiametris dati circuli una dempta intelligo una dempta: quia viij com ungis lineae b n pro diametro circuli circuscripti patet a cu b n costa sit minor Φ illa diametri &costa fit minor la b, patet totu.Sic contrario modo se habet 1inea b inocetia patet:est etia certu, si sic debet fieri quo ad aequalitatem in aliquo medio puncto villa sit Gob ratione qua dixisti.Siem costa seret minor aut misior ab sine nullo modo sequeretur.Sed quid si quis negaret piinctu tale dari illarern & o. N I c. Qin negat interminus &maius cadere media aequale, negat dari posse trigonii iQpetimetru circulo .Ego aut praestippono quadraturam circuli
possibiliu&per cosequens ota sine quibus no est possibilis. P A v. Post dicere nihilominus possibile sed no esse hoe possibile de quotquot costis ad linea addenis
dis,ut diameter ille circissi circuscripti trigono Stot semidiatris dati circuli una dempta oriantur,qtua possim dicere, punctata cadat intern dic, qui ponat esse
p.& linea b p cu cona aequetur diametro dicti circuli circuscripti N I c. Tucno negas,quin si b p caperetur cu duabus costis,qν tunc foret aequalis diametro dicto ted c ,e minor semita metro dati circuli quia costa minor Φ a b. P A v. c modo negarem hoc N I C. Esto igit Q recipiam punctu si ex p, qui sit tibi b q cu costa sit tantu maior diametro die in Nantum una costa minor linea a hoc ude tuc est possibile.Nonne hoc dato h cum duabus costis ualeret dicta diametri S cu hoc semidiametrudat1. P A V. Quis dubitat NI c. Quid si quaererem linea ,liae cis costa excederet diametν dictu quantu duae cinae sunt duobus semidiametris dati circuli minores P A V. Oportet punctu esse adhuc propinquiore puncto c. NI c. Quid si adhuc pluribus costis additis aestes linra pluribus semidiametris aequari. P A V. Necella seret cotinue punctu accedere ad e. NI c. Recte dicis,si igit in infinitia se processeris necessario ultimo ad e punctu deuem res,cii antecptinctam costa semersit minor a b. PAV. Optime dicis. NI c. nstat igie Q hoc no est impostibile,sc1 licet.inter n*o cadat puneris, qud linea ducia sic se habeat Q quotquot costas ei addideris, ipsa erit aequalis diametro circuli circumscripti trigono isbperimetro'c tot tanidiametris dati circuli,quot addideris costastina dempta scis ille erit c punctus 5 si dixeris puncta ultra. c uersus o esse, idem inconueniens se tur, cotrario modo arguendo,quia deueniec
155쪽
deuenietur necesiario itertiad cpunctum. PAV. Non possim negare quin ita
sit,ut clareos adisti mani siccissi constat,q, quipi metu citra ueniltra dixer1teste ilIeerra Nerror conuinci tex ipsius politione. iliomaois linea maior b c cci
costa sita in maior diametro circuli circiscripti trigono is operimetro, di minorcii costa est minor diametro. N I C. Posset alii alia uia idipsuti ostendi, di pIuis res modi sint diametros circissoru inscriptoru& circumscriptoru polygoniis iλὰ perimetris datis circillis faciliter reperitat ex scietia, . capacissima polygoniai finimietatem incidit cucimilo,scii sufficit iste modus,Miquu ad te remitto. PSatis est stare moduc a circumferentia in rectam linea transinutandi, di mo iam rem in curua ex quo, quae hactenus inmaturematicis ignorabatur, posiiunt elici prout in mathematicis tuis tetigisti coplementis. Qui igitur reduxerit cur in reis dumttanidiametrum dati circissi in semirecta aequale circuserenistia putast r s ut ab , ct s t ut medietas trium linean i h I, concludendo quae drangula x s t u,qui erit ut area circilli b c d e,reperiat diu rportionale in . ter x s-s t per nonam sexti Euclidis, di sit x y medium proportionale scilia et costa quadrati,dierit x y T di quadratia aequale circulo.Ista nota sim di ideo tibi Nictaao patri optimo gratias ago, Fod tot tuis curis no obstantibus dignati tus es tuu ingeniti adliac rem ab ossius doctis in Mathematicis desiderat dino reperia appllicare,ec post multos labores Suarios modos iacit ima ali clarissimam rimentione tua propalare, ct inquisitores a istiga magna releuare. irius Brixinae. HI T.
156쪽
DE QNADRATURA CIRcVLI. 33CApacitates omnium polligoniamin istoperimetrartim adinvicem ad ci1 cillum istoperimetriam eandem proportione trabent, quam primae lineae unius ad primas lineas alterius,oc ad semidiametrum iidoperimetram. Similiter miscessias capacitatis alia' a triangulosiora triangulum in eandem proportionem se habent ad capacitatem trianguli,quam habent excessus primansm linearia alliarum figurarum 1 triangulo ad primam trianguli lineam. gratia.
Sit primae trianguli a b prima alterius figurae medite ut quadrati cd Irima circitui siue innidiametric Mit a c semicircumserentia o istarum superfici a quoniam sunt is seperimetrae,erit superficies a e caespacitas circuli, Pperficies a d capacitas figurie mediae ut quadrati, stipficies a s capacitas trianguli. Dico primo Q qualis est proportio sit perficiei a e M a d sit perficiem talis est e et sisn ade d lineamis qualis proportio est a d sit perficiei ad a s iuperfici ci talis est c d lineae ad c t Iineam. per prima enim sexti Euclidi dictae superficies sunt eiusdem altitudinis ergo tuis halibus simi proportionales Eodem modo proba etur de excessibus capacitati quia eaedem sunt proportiones de perficiebas g e di b d ad lineas e d di d L uel desiiperficiebus h e R b d , Ῥ1 sunt ce ius capacitatum circuli& quadrati supra triangulum ad lineas f e di s d, cui si intexcessas primarum linearum circilli di quadrati si in primam trianguli . haec clara sunt ex eadem prima Sexti Euclidis. Quicquid ergo de capacitatibus cor rporum dictuir,& capacitatibus excessivam de ipsis primis lineis, dici potest di de
Si a secunda extremitate primae circuli ad secundam trianguli linea recta dilacaturaequedistanter basi in ea proportion qua diiudet excessum se indae supra primam ipsius trianguli, in eadem proportione diuidet excessus secundaru a pria. misomnium aliarim figurarum mediaR. Sit supra extremitatem lineae a c er Iinea a b, quae sit prima circilli,ct super alia extremitate dictae lineae a c, sit erecta linea c d , quae sit secunda trianguli,quia linea a b est lnor linea c d , si a puncto b trinis hatur linea b e mi distans basi - sa c, perueniet in linea c d, didi- uidet excestam secundae 1 prima, V qui est ii d in quadam proporti ν --πne d e ad e h. Dico Q si prima 'ecsecunda alicuius figurae mediae
describatur ut g i prima, di g s
secunda, in ex us secundae t prima quieus i diuident ab ipsa b
portione quae erit f h ad k ida Qctis lineis d b h b itam erit eadem proportio f h ad k i, inne d e ad e h t tus enim triangulus d h h diuisus est per aequedistantem basi s i, erit ergo prois
157쪽
cessi s proportionabiliter sunt diuiti, Iod filii probati dii. Ι'orte dicitur, si x fest sectunda tinuis figitne mediae, quod R i non erit prima. Era tergo Prismia eiu eminutae aut maior g 1 aut minor sit primo maior, Aut 1 m, quae
tendos ursiimus p ad n ita quod I n sit aequalis g traho lineam i ii a quedi stanter basi proptereandora longitudinem duarum lineam g f, di I nanter duo ergo puncta g 1 sunt signandae plures primae&se dae lineae figurarum media
Fum.Signetur una' sit o p prima quae extendaturuis ad se lidam eicide fi mi ,aut proueniet infra Iinea f n, aut in ipse linea,aut sit pra.Non infra ipsam, nec in vitae quia est se da figurae minoris capacitatis,ergo de Ict esse longior, non tamen potest poni longio quia g f est posita inter figuras minoris capacitatis di esset breuio quod in impossibile,quia non diminuendo procederent si cunis lineae uersus capaciores figuras ince ado,quod est impossibile. Eode modo dicetur impossibile sequi,si dicatur, quod prima eius erit nor g i. Cum erugo nec maior nec minor dici potest,ipsa g i erit prima, quia omnes excessus se cundarum a primis in eadem proportione diuidentur, quod fiut probandum. Haec uidereir declaratio undecimae conclusionis urun in qua pendet tota demonstratio quadraturae. in qualis est proportio h q ad q i talis est Ii r ad rh. Manim autem quatuor linearum proportionalia tres primae int notae, ii qprima,quia subtractio sagittae quadrati uel alterius mediae a sagitta trigoni q LMcunda est etia nota,quia excessii furimae tetragoni e prima trigoni. Tertia etiaest nota, h r, quia sigitta trigoni.,i ergo multiplices h r in q indiuidas perhq habetur r b nota quae adiuncta primae trigoni r a esit a b nota prima circi Ii siue semidiameter quod intenditur. Sed non uideo air duae lineae h b & b d concludentes omnes illos excessiis primanim secundarium , non posciathsse niniae omni genere cirruitatis,&tunc non procederet demonstiatio : erilem
illud quod indecima tua conclusione dixisti, V primae capaci fer ut semper maviores,di secundae minores: haec uolo mihi in pnesenti sitfficiat. Mitata habeo quae me mouent,quod istae coincidentiae siue intensiones 5c remissiones tarmarum noperline reclassignari debeant,ut moderni ponimi sed in aliud tempus reser uo. Vale. Detur uenerabili nostro fideli dilecto magiis stro Georgio inurbachio Astronomo. Declaratio rectilineationis curua quae ponitur in primo modo secindi libelli de Mathematicis complementis. PRima suppositio.Sexta cim medietate portionis quinta ut in cadit inter curuam ei quadrata potest aequari h ecuniae.Haec sit positio certa iniit in litora. Secunda stippositio.Sexta cram medietate portionis di quinta cum mediotate disteretiae cord quae est ista,& partis quintae,quae etiam est corda, possint aequari b e curuae bis.1llasiippositio prohanir praemisia intexta probantur. Nam dabilis est locus ubi sunt maiores h e chiruabis,ec ubi minores di ideo ecubi uales.Dico hanc secundam suppositionem non habere locum nisi ubi di sis semitia est ut portio,&hoc prima suppositio amsi dixeris in secunda Cippotatione,disterentiam maiore portione erit igitis quinta minor tacta quae insectae aequali quado disterentia cordaru sicut portio qtuin δε minor si disserentia maior,&maior si disterentia mino ut dest patet. usto vitair, ψ ad Actam addatur
158쪽
tota portis 5 ad qui utam tota dimentia,tinc erimi aequales' quaelibet malo
xis b e curua.Si 1gitair subtiininium Ieicit quaelibet sit sicut b e curua, tunc necesse in q, de sexta cim portione si ibtrahat,plusi medietas portionis, cum portio ponatur mi Ur differentias, oportet. dedimerentia subtrahat minus medietas,di tantum minus eius medietate quantum prius plus medietate portionis, iit simul maneat medietas portionis di medietas differentiar, q in additae inciae ct quinta efficiant b e cimiambis ut de se patet.Sota igitur cum medietate portionis erit tunc maior b e cum non erit igitur 'sexta cum medietate portionis aequalis ti e curuae differentia portione excedente. Puta rii dicis,q, b g quinta
cum medietate ditarentiae se sexta di b g cordae quintae,& e s sexta cum medietate fg portionis simul aequentur h e curuaebi di dicis disserentiam fe di stimatore fet portione.Siligit linea fi i ut quinta b mcui addatur dis etia quaesit ut i h.sit alia linea sub dicta deseripta 1 m ut sexta se,cui addatur portio fudesit m n ut fg ,linea I, k est ut linea 1 n , netur medietas disserentis quaesit
1 o,di medietas portionis quae sit m p,cadat orthogonaliter inter p 8c o quae siti s .Quanto igitur m s est minus medietate portioisinae in m p,tanto i r maior medietate disserentiae quae est i o,erit igitur 1 s aequalis h e curuae sic sexta lm cum medietate portiois est maior h e cirruae ubi ergo sexta in medietate portionis debet esse aequalis b e curuae,medietas disserentiae non erit maior medietate portioni f.Sic si dixeris disserentia minore portione ,sequit sexta cumedietate portionis minorem b e cum oportet igitur,si sexta cim medietate portiois de
teste aequesis ti e cum quod disserentia sextae &cordae quintaeno lit maior aeminor portione, casia probat primum praesuppositu secundum stilicet quinia cum medietate dii serentiae δε sextam cst medietate portionis,mne aequari h e citruae bis,quando disserentia fuerit ut portio,&hoc est, quando quinta est ut Ota, di hoc est intentum.Ecce mirabilem modum ostensioni quorum siue dixeris differentiam aequari portioni in secida suppositione, siue non aequari M'tur in primae stippositione disserentiani aequari portion ct per consequens secim suppositione,ec est quaedam coinciditia oppositorum quoniaan per hocinoeciscitarentia non aequari portioni,sequitur, Uae retur,ectasinii interimi seipsum.
159쪽
Via uidi pratacum magisterium commensurationis eum di recti deesse Geometrici ideo ipses imperfecto di plura quae possibilia fieri uident ad aream deducere non post conatum igitur non panium
is adhibui ut ipsam artem assequetur, quam si reperi,tu qui haec leges,
iudicabis. Commensi irati autem cumum directam dico, Quando una mens ira mens tantur. puta quando rechalinea tot pedes habet ris , quot arcus curuos. Propositio prima.
Dato arcu,rectam ei commensurabilem assignare.
Sit b c datus arcus, citius a medium,ec trahatur corda b e,&in illa pineius a distans de a di h qui sit d, di hic punietiis huuis magisteri, de illo itin Per h continua rectat quaesit d e taliter lside a cordam A g , Quaesit Ut m dictas d e per e e traxeris,sta corda uadat per spunctum lineae o e.Sit autem Q f quarta pars d e, anc d e linea recta est commensi rabilis b c arciti. Ad hoc probandum praesupponod Frimo v d e sic signari potest linter
Pinctu perquam uadit corda,ut praesertur' e finem lineae d e portio aequetur tribus quartis commensurabilis recte patet des nam certum est taliter si gnari potm,in f e est plus ut insereda figura,ct etiam taliter , in minus, ut in tertia igitur α taliter, nec plus nec minus.
ω do praesimpono,q, quanto d e est mino tanto se in habitudine ad de est minor,& d t maior, di quanto maior huius contrarium: hoc etiam per se patet ad oculum in secunda ectertia figuris. Dico igitur primum praestippositum laetificari,aut quando d e est quaesitata licet commensurabili sarcui aut quando minor aut quando maior. Si primum, habeo intentum,nam oportinit tune d feste necessi rio quarta partem d e. Si dicis uaincari,quando cl e est minor commensit rabili hoc est impossibile, na cum tune secunda suppositione se sit minor inhabitudine ad d e ec d f maior *Incommensurabili,&ferundum te aequabitur tribus quartis commensurabilis, erit ct e minor commesiirabili sed maior: sic si dicis uerificari.quando d e est magor commenserabilisnussiter implicat contradictionem,