장음표시 사용
181쪽
Praeterea non est ignorandum,circumserentiam circuli addci e sitis pertriplum diametri suae minus quidem una septima eius, plus aute
Iecem si uagesimis primis ipsius diametri. C
oisus rei certitudinem Archimedes in I bello de mensuratione circissi manta festauit numerorum fretus officio. Vtemur autem di nos pene simili ingenio mismerorum in hoc nostro pioposito,licentiam id faciendi ab Archimede sementes. Nech turbabit nos un q, pleri' uisiun est,ineptum siue impertinens linearuhahitudines pernam ros inuestigare:nam in proposito nostro non nisi lineis ratio, Titilus communicanti S utemur,quarum proportionem quintadecimi domina
strat esse ut numerorum Quid quin aliud si icaris esse lineas, aut quantitates
quasins commam cantes, ni sinumeros ex coaceritatione menirae earum coimnianis resultantes Cur autem nonnullis in negotio linearum numeri suspecti sint, nisi me fallit animus apertum dabo Arabes olim circulum FN are pollicit ubi circumserentiae suae aequalem rectam descripsitient hac pronis auere sententia Si circaei diameter saerit utunt in circim rentia sua,erit radix quadrata de dei cem Quae quidem sententia, m fite mea, quemadmota alibi mplanavimus, noe numeros rectilineationem esiactaros introduca numeri ipum hoc negoisino susipecti habentur Exsilpra memoratis trahitur,.sidiameter circuli diuis. meritin 'ripartacies aquales,circumferetia circuli erit minor is Σ. huiusmodi particillis, maior autem Φissi. Si mittar si semidiameter posita fuerit s .particaearum aequali semicircumserentia mitti r quidem erit linea re sta cople stentes 1 ε huiust odi particula maior autemlinea redia habente is 61.tales parti culas.Nam assa.addunt sit ertriptande τ.unam septima de ipsis 9 . circi serentia autem circuli ut pnemistum est,minus addit. Item is 6i addunt stiper triplum de V .decem septuagesimasprim de se .circumserentiam aute adderetisper triplum diametri, ae ponitur 9 .plus Φ decem .magesimasprimas,si perius explanatum est. Non iniuria igitur dicemus circumserenitam circidi inter praedictos numeros existere,non quidem tan*anumerum,cum inter dietos numeros nullus cadat medius sed tan*maiorem minore rum,S minorem maiore, ita Φ addat silpra minorem aliquam particula unitatis, ius particulae quantitatem nemo uis ad hodiernum diem didicit sicut i comprehensum est circumserentiam esse communicarem diametro,aut incommunnicat .Hoc suspicor etiatae illud quod derois impulit dicere, curui ad rectum non este proportionem: ubi enim non elle proportion comitam siue datam diceredebebant, simpliciae
ter abnegauere proportionem,quasi non sit proportio aliqua non cognita siue nodata quales tamen multae sunt. Sic ex genere proportionis ignoto proportione nullam prorsus est Lisb pura runt. istos ita inimi meros uocabo terminos Ciraecumserentiae ψ inter eos quantitas circumtaentiae concludatur, quem loquendi morem in aris similibus ninorijs obseruatum ire decreui. Non autem itum illos sed quoslibet etiam numeros maiores maiore dictorum, di quoslibet minores misnore rii, terminos appellabo. msi uerbi gratia circidi circi miserit1a est inter hos duos is 6Σ.erit etiam inter hos io εο,8c ι ς ε 3.&similiter de alus. Quod autem de circumserentia circilli enunciaininus,ad omnes alias quantitates quibus binos huiusinodi terminos cir nponimus,accomodandum exit.
182쪽
lai de Cusa Cardinalis S. Petri ad Vincula, De qua i
dratura circuli. Pud maiores nosti os uetus iamdiu agitatum est problema, circuluprmsitum quadrare, et te quidem uerborum tenore, inoctu auteita Mutini ait inexplicabile ut plurimis philosephis id ab luere tentanti bita tametsi diuersiam quiso pro modo ingenii sui eligeret Mna,spes omnis ademptast nemo aut eoru satis docterem hane tradidisse uidetur.Nam etsi Arehimedes Syracusanus egregie atq; propinque ad
metam hanc accesserit, adeo,ut uniuerses alios longe superase credat, tamen quia
utitur lineis biralibus ad propositum suum quam descriptio difficilius seris pro
hiema ob icit intellegi Ihini a circuli quadratura,visium est pleriis Archimedi huiusce problematis ab lutionem haudquaΦ constitisse. Adde Q, in hac re utitur linea recta continetente spiralem in prima reuolutioe descriptam in termino suo: quod prosei Gob cirri at*incernim fac hi est cymireris, q, Archimedis in hoc negocio meminerim de quo nihil scripsisse uidetur: uppe qui nulli librorum
iborum de quadratura circuli titulum impos in t Satis reuera hoc intendisse uide itur dum circumferentiae circuli aequalem recitam describere conatur, qua quidem descripta,nihil reliqui est,qm,d circulum quadrare prolubeat. Verum Archimeis des ipse quo pacto linea recta aequalis cir Imferentiae circitat describeretur,no tradidiq*uis hanc conclusionem enunciauerit.Si linea recta contingat spiralem in prima circulati descriptam intermino eius, educatur recta ab initio spiralis, contines angulum rectum cum linea quae circulationis existit principium recta quae ipsa contingente,&dicto circulationis principio intercipitur, circinnserenotiae circuli aequabitur. scribere enim rectam aequalem circumferentiae circini
praestipponit descripsiste lineam spiralem es contingente applicitisse,quae duo non minus prosecto dissicilia uidentur,*circumsereti se circuli aequalem rectam
designare.Nonnulli tamen stine,qui circulum quadrare tentarat absim descripti isone praeuiare aequalis circumserentiae circuli,quemadmodii Hippocras, i per lunulas circillum quadrare conanti,Philopatris notam insussicientiae impinis Ni di quidem non iniuria. Hac demum tempestate nostra, uir quidam egregius circillo proposito aequale quadranam describere tentaui similiter absim designa utione rectae aequalis circiimserentiae circissi sed lege quadam constituit quadrata medium inter duo quadrata,quorim alterum quidem circulo proposito circiimra scribitur alterum uero eidem inscribini ita ut circa diametros amborum consistere caritas littetionem in paucissimis explicandam censiui. Circhilo a b g d si iis Per e centro descripto circums libatur quadratum h h, inscribatur quadratul iri, Pro
183쪽
ad rectos etiam lateribus dictonim quadratorum incidenti as dii catur deinceps in centro circuli linea e 1a per angicios quadratorum ii di l. di item alia e u inis definitae longitudinis ex parte u ,cuius quidem terminus e fANDRr adhaereat tro circuli e , ipsa uero linea intestigatur mouerit Iinea e si ueris lineam e a secando circumserentiam circuli:intelligatur insuperquadrati cuius latera aequo
distent lateribus praedictorum quadrato
Tum,unum autem rum laterum transeat per punctuscetionis praedictio in quo
uidelicet linea eu secuit circum malia circuli ipsum etiam quadratu huiusmois di medium cosistat circa diametrosduorum quadratocum extremorum. Oporistebit autem tale quadratu necessario seri per uariari,propter motu lineae e u ci cum entiam circitat diuersimode secantis,ita quanto magis re et linea e ualinea eli, tanto magis habebitur,dum autem linea e u coincidit arm linea e hquadratum tale coincidet cum quadrato 1 m,cum uero adsitum Iineae e a tradum Merit, incidet quadratum tale cum quadrato h k.Praeterea linea e u sec hit duo latera qnadratorum h h.I m, contingit 3 aliquando,ut duae partimata dictorum laterum interceptae duabus lineis e u S e a simiae iuncti sint aequales medietati lateris quadrati medij,quod scilicet semiadum motum lineare u ua riatur.Nam quando linea e u iacet insitu lineae e hsine lineae ii a S lt simul iunc longiores sunt medietati lateris quadrati per punctum morus I transeo tis.Dum autem Herit Iino e u in sim lineae e a,nihil inter duas lineas e u Ne a intercipietur: Mergo permotum lineae e u a maiori transanir continue non quantum,quare aliquando uentum est ad aequalectio rusi metallit opinio nemini dubium uidebimr.Sititam ninclinea e u in tali sini,secanis circumferenittiam quidem circuli inpuneto q,latera autem quadratoium si h & l m in punise is p oc r describaturis quadrarim n o cuius unum latus incedat per punctu ,eopaei ut supra commemorauimus.Duae aut lineae p a di r i simul sim ic aequales sint ipsi lineae n s,dimidio indelicet lateri quadrati medii quibus ita dispositis praedicat pliilosephus ille quadratum n o aequari circulo a b g d.
si ita esse ingentes non iniuria habe imis huic inuentori gratias, tuis nondum problema cimili quadrandi altablutum esset.Haec tiam conclusio aliud praemitti sibi uellet problema,duo Glicet latera quadratorum extremorum per lineam a centro circuli egredientem,sic secare, ut duae parti lae p a S r i simul timetie, aequales essent dimidio lateri quadrati,quod per incisionem circiImserentiae in qptincto tactam transit Tale autem problema dissicilem prae se seri absolutionem, i mdelicet uerum esset quadratu medium sepedictu aequari circillo,dum duae paristiculae p a 5 r i coniunctie,aequantur dimidio lateris quadrati n o, non tameta Propost adhuc circulum quadradi Laritatem nactitatinus Circillum enim quadrare cillio inue aliquid operari,sed nihilo minus explorandum censeo,an uera sit haec propositio,
toris. na deproblemate iaciundo posthac tacebo. Si ex centro circuli dati egrediatur linea
184쪽
DE QUADRATURA CIRCULI. ηι Ilii ea redhi indefinitae longitudinis,secans circumismii aestas,ite nasci latera quais dratorii in ciminasicripti scilicet di inscripta: ipsa est o quadratorum inquam cir ca eandem diametiram consistentium,sic duae portiones laterum praedi horum quae ab ipsa lineae indefinitae longitudinis ditanidiametro circuli ortia monaliter lateribus quadrRonim incidente intercipiuntur,coniunctim sint aequales dimiis dio lateri quadrati,quod per pimctum incisionis circumserentiae incedit, di circa diametros praedictorum quadratorum consisti tale quadratum medium aequale circulo proposito habebitiir.Hanc tamen propositionem facilius ex supra memoratis quisl intestiget,*per longam uerborum se em abs p inaracterum assigna tione.Exploraturus igitur quidnam ueritatis habeat haec coclusio, praemitto hae consequentiam bene ualere.Si duae portiones p a di i r simi aequales lineae ri si quadratum n o aequale est circulo a b g d,igiciar si quadratum n o aequale est circulo a b g d,duae portiones p a S r i coniunctim sint aequales lineae 11 Lita', alterum ex altero pendet,aequalitas uidelicet linearum p a di x t coniunctim cam linea n f,ex aequalitate quadrati n o cum circula a b g d Nam si dixeris aequalitate cogeries linea' p a&r t culinea n f nosequi ad aequalitate quadratin Q cu circulo ab g d.ponat quadratun o aequale circulo a b g d,&cogeries dira linearep a &r t, maior uerbi gratia ipsa linea 11 f. aut possibile sit tradiicere lineae u uersus e a, donec c5geries line lip a dc r t fiatae iii alis lineae 11 Cno dico autem lineae n f prius designat sed ei, quae designanda erit per noua see ionem lineae e u ei circii misentiae circilli a b g d. illud enim quoties opor Ierit,repetendum uolo,ut transmota linea e u,quadratum quo F n o uarietur, sic Q latus cires superius incedat per punctum circumferen circini, ubi eam lineaee u secabit.Procedente autem linea e tu ueris lineam e a duae lineae se a & x t continue fiunt minores linea autem n scontinue maior nam punctus stationis in circumferentia circuli propinquior erit ipsi puncto a antea Berit. Sit ergo iam transmota ad talem latum ubi congeries daarum lineam p a di r istaequain Iis ipsi ta Γ:erit ergo seciindum te quadratum n o aequale ipsi circulo a b g d,sed ponebatur quadratum n o primum aequale ipsi circulo:quare per commune sciuentiam quadratum n o ieciIndum aequabitur quadrato 11 o primo totum part quod est impossibila. Non aliter ad inconueniens redigemus aduersarium,si prosa pleraequalitatem linearum se a & r i coniunetim impiarum cum linea n s di Xeri quadratu n o esse aequale circulo a b g d no in econuerse propter aequalitate quadratin o,&circissi praedicti duas lineas p a di x t comunerim si impia aequales ecte lineae n f sed minores ipsa linea n s Nam transiriota linea e M uerasus h donec duae lineae p a di x t fiant aequales ipsi lineae n f, nouiter ut supra
monuimus designandae erit ex tenore conclusionis si ra memoratae quadratumn o secundum aequale circisso proposito.ponebatiar autem di quadratum n o primum aequale circulo:quare quadratum n o secundum aequabitur quadrato ia oprimo pars tot1 quod est impossibile. Sive igie uera sit propositio superius recitata siue non conse lentiam praefatam optime ualere oportebit,quod praeterea amplius confirmabinir hoc pacto. Quotiescunius natur quadratum circa dianae stros quadrati h consistensae quale circulo proposito Iatus eius superius secabit circumferentiam circuli in eisdem semper punctis:aliis enim facile cocluderetur, partem aequalem esse toti.Sit ergo Q propter duas lineas P a r i coniunctim aequales lineae iis , luadratu no sit aequale circita posito, secet in latus esus superius circumferentiam circuli inpunem q ita,ut tria puncta p q di r stat in linea
Tecta e u indefinitae longii 'detair deinde quandoc libet quadratum
185쪽
qχ IoΗ. DE MONTE REGIOlech o proposito qtrod circa diametros quadrati ii h consist at secabit ergo 1tenim latus superius licitissim γdi quadrati circi serentiam circuli in pulaeto cl ,produci a in linea e u indefinitae quantitatis per purustum qJccabit duo latera stipe Tiora duorum quadratorum tremonim inpune is p S r,in intibus di prius secuit quare iterum duae lineae p a-r i coniunetae, si mi aequat . Iliacae n f. Sed quid in hac re mani stissima contero diem ad principale negocium descendere iubemur,quod ut o breuissime atin facillime ab luatur ponamus semidiametrucirculi propositi q9 .particii Iarsi aequaliti erit ob hoc per i 3. praeambula semicircumferentia memorati circitui inter hos duos notos terminos is 61 8c ις εχ .maallor quidem minore, minor autem maiore eoni m. cunq; area circuli ex ductu se idiametri in semicircumferentia nascatur quemadmodum Archimedes in libello de mensiiratione Irculi tradidit di in libello trium fiatium habetur demonstratuerit per 3.praeam tum area circilli inter duos termi S notos,qui sitiit y 8 1 .ec τ 63 ι.ε.Sit denio quadrarim n o aequale ipsi circisso, ius latus superius se cet cimimserentiam cirruli in puncto q : eductat s linea e u indefinit e longinis diis per punem secet latus quadrati quidem circulo circii scripti in puniso p, laetus autem quadrati eidem inscripti in puneto r .Sit autem quadi atum n o c6sistens circa diametros quadrati h k,latus insuperquadrare n o secet lineam ea in puncto f. Cum igitur quadratum n o sit aequale circulo a b g d, cirius area
inter daos terminos notos conclusimus, Ut Narea quadrati n o inter duos reriaminos notos:quare per γ pronabulum costa sita inter duos notos reperi tur qui
sunt 88o.& 882.ec ideo per 8.praeambulum medietas huius costae stilicet linea ns,inter duos notos concludem qui sint priscit tecimini dimidiati,scilicet q4o.& i. Est autem linea e C aequalis ipsi n f, unde S ipsa inter commemoratos habebitur terminos. Sed per penultimam primi elementorum quadratum e q , aequipoIIet duobus quadratis linearum e sct s q.quadratu aut e q est 2 oo V. quadratum uero e 1 inter hos consistit terminos 1939ς Θ.ec 19 Ο Θ - . illud quidem per 8 praeambulum:nam proportio quadrati n o ad quadranim lineae es est quadriipla,cum suarrum costarum proportio sit dupla. Sunt autum duo teraemini, quos allignauimus iubquadrupli ad duos terminos quadrati n o. Igit quais drato lineae e si per se noto 5 quadrato e s inter duos terminos notos existente, per a praeambulam disterentia eorum scilicet quadratu q s inter duos terminos
notos continebitur,quierunt 3 293o Sue 3oss quare S per . praeambulum ipsa linea qf inter duos notos collocabitur terminos scilicet 23o.S 23 i. rsiis audranim e a ad quadratum e t est dupIum,nam quadrataim e a aequatur quadrato e l,quod per penultimam primi clementorum duplum est ad quadratiana e t.
Est tem quadratum e a 2 oop. adiatam ergo e t erit 1233 οὐ-MUmes rus autem ille non habet radicem quadratam, sed quadratus proximo minor eo habet radicem 3 si proximo autem maior adratuS radic hal et 3 3 Σ.quais
rem necessario linea e t erit inter hos 3 i.& 3 ue Σ.Est autem per quartam sexti elementorum e fa sciit e a ad a p,quarum duae quidom primae inter hiis
nos terminos notos constitamni tertia autem per se nota estninde di per ι o.preis ambulam quarta quo* a p inter duos notos terminos concludetur, scilicci 21 9. ec 261 .Amplius cum proportio e a ad a se fit striit e t ad i r quaru prima qui idem per se data est,reliqtiae uero duae terminos circum sepositos habent notos, erit per io praeambulu&linea i r inter duos notos,qui si mr 181 ει ι Ss. sed nuperrime a P fuit inter duos notos collocata; quare & per primum praeambulum congeries duarum linearum a p&t rinter duos taminos notos compraehende
186쪽
DE CLUADRATUR A. CIRCULI. tur scilicet μι &4 6 maior quidem minore existens S minor maiore. Superius autem didicimus lineam n s esse inter hos duos terminos o S i. maiore mlicet primo di minorem secando congeries igitur linearum a P S i r maior exisastens Φ i. marito maior erit ipsa linea n s.quare falsa est haec hypothetica conditionalis:Si quadranimn o es aequale circulo a b g d.cogeries quom lineastea p 8ci r aequialis est lineae n s Canin haluimodi propositio per praemissam huis ius negotii inseratur illa: Si congeries lineam a p di i r aequalis est lineae ras, quadrataim n o aequabitur circicio a b g d: exuero autem non sequitur falsum: oportebit didictam propositionem ueritate recedere. Nondum ergo quadratuaequale circillo proposito designare licebit,nisi prius rectam aequalem circum aerentiae circuli descripsierimus. Quod si Iibeat subieetiim huius propositionis efficere,scilicet Q duae lineae a p&t r conum sint aequales lineaen s. dimidiae scili, cet coste quadrati per incisionem circumferentis modo saepe dicto transieiuniis, Oportebit lineame u transmoveri a stu pristino uersius a punc him. cu ergo as huiusmodi situm perueniet ubi duae dictae lineae a p ec t r coniunctim sint aequales linearn s,quadratum n o creuisse interea constat. Quadratum autem n o primum ponebatur aequale circii torquare quadratum n o secundum maius erit ipis
circulo.tametsi congeries duarum Iinearum a p , t r aequalis sit lineae tis in secundo situlineae e u hinc iterum salsitas supra memoratae conclusionis colligitur. Argumentationem autem, qua uses est in hoc tuo proposito inuentor ille, noin prompto tene sicuti ne aris libellis meis uti iam licet in hac peregrinatione diuturna.Ne tamen solem Venetorum flustra mihi luxisse quispiam sortasteriais te has notulas ut inciderunt raptim conscribendas censui:quas quicum lecΕΡHIs es, ritati lauere potius,qui in Ioanni Germano se censese uelis: cui proseis
dio non lacesseidi, ita ueritatem cognoscendi cupido huitiscemodi periculum
Venetiis die quinta Iulii, anno ιε .
187쪽
bus diametris a g di h d. orthogonaliter se incentro e secatibus: circumscribatur huic circulo quadratumh circa cuiusdiamet maliud quaadratum existens I m eide circulo inis seripi si sit: intelligatur linea e u ad centrum circiIli terminata,ex alia auteparte indefinitae longitudinis, hane linea imaginemur moueri ab h uersus a serando circumserentia circuli a b g d sit. tandem traducta adeu situm ubi secet latera duorum quadratorum praedii torum in punctis p ec r circu ferentiam aute in puncto q. describais turin quadratu no, circa diametrumh hconsisten citius unum latus perpunctum q transeat, sit aute medietas huiusinodi lateris n s, ita quod duae lineae a p di i r coniunctim sint aequales lineae D s. Dicitur ψ quadratum n o D aequale circulo a b g d. Id experiar lineis rationalibus intercedentibus.
Inter hos erit semicircuferentia b a d. Quare per praeambulia area circuli erit inter duos notos terminoS,na ipsa fit ex semidia, metro in semicircumse
maior terminus areae eirculi. Inter hos etiam termis nos erit area quadratino,& ideo per praeamb. Iatus eius siue costa inis
Quare per praeamb. medietas eius scilicet Itanean s inter duos nostos habebitur.
Interhos erit linea n s. cui aequalis est e f. Quadratum autem e sdempta ex quadrato eqveIinquit quadratu q cta ideo per promD. quadra
188쪽
Est autem quadratu H o quadrirptu ad quadrata meae e s. costaeni sua ad lineam e s dupla est. sed quadratum n o est inter duos notos, quare di per prae ambulu quadratu e sinter duos nostos concludetiar. 3932sq.ἰ minor terminus quadrati e s. 9sso Si maior terminus quadrati eZ-
Est autem quadratu ea duplum ad quadratu e tria e a aequalis est lineae
33 1 33 ΣΙnter hos est e t. Sed proportio e s ad qs, est sicut ea ad a p. cum duae illaru inter teris minos notos sin &teristia per se nota, erit per praeambulum re quarta
Inter hos est linea a p. Similis proportia e fas sq est,ut et aut quaesre iterum Per praeamb. t x inter duos notos concludet. Item proportioe a ad a p sicut e t acit r. Hac secunda proa
189쪽
Inter hos est i r .RF9 26ι Inter hos erat a P.
Inter hos erat 14 S- Congeries ita in linearu
ε i. Lmea autem n saninor *- i. quare cONgeries linearum a P Si r multo maior erit Isisnea n s. Hoc autem paeto argumentabimur
Tu ponendo congerie Iinearu a p ct t r esse aequalem lineae D s , ndhoc est possibile, asseris quadratu n o aequari circulo proposito, sed du. quadratia n o aequatur circulo dicto,congeries linearu a p di i r no est aequalis lineaen s. ergos congeries linearu a PS i r est aequalis lineae o S, ipsa congeries dii tano est aequalis lineae 11 s
quod est impossibile. Est Salia uia directi
us id examinandi. Ponamus semidiametru e R. To. Unde per
demonstrata Archimeisa o H. DE NON TE REGdis semiciretiserentia ba d.erit inter hos issiodi 13 62o. ductat semiis diametro e a in utruncphorum terminoria, pro ducetur duo termini,inter inos necessario continebitur area circuli. sunt isti τ 1 8 1 oo div 63 1 oo.haec ex prioribus copulans facile trae huntur. Nunc ponatur congeries linearum a p di t raequalis Iineae n s, siue e s. dico autem, v linea a P necessario erit inter hos terminos Es S dias 86.Nam si posueris a P. 23 7S.Ctit cogeries exa p & t x minor ipsa nS. multo igitur minoresset si poneres a p mino
sueris a p 23 86.erit dis sta congeries maior ipissa n s multo igitur maior esset s poneres ea maiorem* Σ1 86. Priareum sic ostendetur. Esto a p primuS zy s.
Inter hos est e p. Est autem proportio e
190쪽
Inter hos est e t. Proportio autem e a ada p est ut e t ad tr.quare per praeam. t r exit inter duos notos.
Inter hos habebitur congeries linearu a p ec t x
Congeries igitur ex a p& i r minor est si Hoa , di ideo multo minor Φ 4ι i. Sed linean s maior est quam
n s. multo igitur minor esset sponeres a p mi AEnorem J αs S. sic enim decresceret congeries ex a p ect r: linea auten s cresteret Ponamus nunc a P23 86.