장음표시 사용
101쪽
ro A n o E B R AEnobis suppeditet aequationem . Itaque ad determinandum problema non satis determinatum , Addendae sunt in eo tot aequatio 'as , quot sunt quantitates incognitae, quibua nulla corte spondet aequatio , hoc est quotus est numerus, per quem numerus aequationum ab incognitarum numero differt. Caeterdm quemadmodum s quum nu-T imus aequationum inventarum ab inc gnitarum numero deficit, argumento est, problema non esse penitus determinatus nec omnes habere conditiones , ad deteris minationem eius necessarias, ita vicissim, quum numerus aequationum excedit numerum incognitarum , indicio nobis esse Potest, problema esse plusquam determinatum, pluresque habere conditiones squam quae ad determinationem eius requiruntur . Et sicuti etiam numerus , per quem a numero incognitarum deficit numerus aequationum, plane nobis ostendit, quot conditiones problemati adiungi de beant, ut determinatum evadat, certum que numerum solutionum diversatum admittat , ita numerus , per quem numerus aequationum excedit numerum in Cognitatum ostendit nobis adamussin,
quot conditiones ex problemate sint re
102쪽
E h a Lib. II. Cap. r. movendae ut Pollit solutio eius obtineri. .
IV. Inventae aequationis legitimae reduiserio , sic resolutio. IN venta aequatione , quae singulas proriblematis conditiones includens uniis cam contineat incognitam quantitatem , quia ea , ut plurimum, non statim aptae ih solvendae propositae quaestioni, sed magna interdum praeparatione indiget, qubfiat simplicissima:ea porrδ debet esse Λna lystae solertia , ut aequationem illam ad simpliciorem reducat expressionem, separando , quantum fieri potest , quantitates cognitas ab incognita , Se transferendo ad unam partem aequationis terminos omnes , in quibus existit quantitas incogniata , 2 ad partem alteram omnes alios siuquibus solae cognitae quantitates reperiuntur . Ouod equidem obtinebit, vel si membra aequationis Per quantitatem aliquam multiplicet . aut dividae , vebs membris illis aliquid addat , aut subintrahat.
Et primδ quidem divisione, multiplICationeque reducitur aequatio ad simplici
103쪽
etorem expressionem , quotiescumque Coniungitur quantitas aliqua cognita cum incognita , vel quia in uno , eodemque termino per se mutub multiplicatae repetiuntur , vel etiam quia in uno , e demque termino una per alteram divisa reperitur . Nam quotiescum ue per multiplicationem sti ni simul in termino alia quo coniundis , superabit eas Analysta per divisionem,quae opponitur multiplicationi , nimirum dividendo aequationis te . minos omnes per cognitam quantitatem. Ouotiescumque verb sunt coniunctae in aliquo termino ad modum Damonis , separabit eas per multiplicationem , quae opponitur divisioni , scilicet multiplicando terminos omnes aequationis per de nominatorem framonis. Nec divisione, aut multiplicatione ista alterari quicquam poterit aequatio , nam notum est, quod si aequalia dividantur, aut multiplicentur per aequalia, quae fiunt, sint etiam aequalia. Hac ratione, si in resolutione alicuius problematis inciderit Λnalysta in hanc aequationem ax bc , seperabit in illa quantitatem cognitam ab incognita, divi dendo utramque partem aequationis Pera , quum loco ejus oriatue haec alia
104쪽
ea cognitas ab incognita,dividendo aequationis utramque partem Per c φ c 3 nam
quatio, ex aliquo problemate nata, se b l c . fiet in ea separatio cognitis ab incognita , multiplicando utramquo partem per a , squidem loco ejus habebitur hac alia x ob f aς. Pariterque,ue in ista aequatione - - a s x possit incoin
gnita a cognitIs separari,multiplicanda est utraque pars aequationis per x, quippe loco ejus habebitur haec alia ab in ax fNeque veri, in hac alia aequatione ab ax ' κ' separanda est quantitas comgnita a ab incognita x, eo quod reperiantur per se mutui, multiplicatae in terminoax . Nam in huiusmodi speciei aequati nibus, quae, ut suo loco dicemus, vocari
105쪽
eue affectae, fieri nequit totalis ineognitaea cognitis separatio , nisi eae per regulavinferius tradendas resolvantur: quippe si illius termini omnes dividantur per a ,
orietur haec altera aequatio b xl
In qua adhuc cognita cum in copnita con iungitur . Quocirca notetur hoc loco velim,quod seper ac maxima incognitae po-ipstas , qua in aeuuatione conti neturicum nulla ςognitarum conjungitur . ut contingit in ista atquηtione κ3 Φ-- a Meab' , tunc incognita a cognitis censentiast sufficienter separata, nec proinde separatio alia instituenda. Separgia , quantum steri potest, multi. plicationis , Se divisionis beneficio,quan- itate cognita ab incognitis , transferendi deinde sunt termini omnes, in quibus inου cognita quantitas existit , ad unam par tem aequationis , ut remaneant in alter ii omnes, qui ex solis cognitis coalescunt. d autem obtinebitur additione,vel sub tractione terminorum,qui d hane,vul ita Iam aequationis partem sunt transserendi nimirum additione, quQtiescumque ter mini transferendi afficiuntur signo , Se
106쪽
E E E M. Lib. II.Cap. r. 3ς mini signo ' reperiuntur assem. Neque etiam hoc pacto alterari quicqv m potest aequatio. Quum enim notum sit, quod si aequalibus aequalia addantur, aut subintrahantur , aggregata , aut residua sine etiam aequalia, semper quidem inter meminhra aequationis consistet aeqnalitas , si vatis aliquid addatut , sive ex iisdem quidpiam subtrahatur. Itaque, ut fi t legitima terminorum transpositio in hac a quatione x - δα a f ax , transsero primum ad partem alteram terminum c- , qui quum signo - afficiatur, addendus est utrique parti aequationis , ita ut aequatio fiat αδ
ad alteram partem terminum ox , qui
velut affectus signo Φ subtrahendus est
ex utraque parte aequationis.Et quoniam hac faAa snbtractione aequatio evadit αδ -- c ' c --.ax in a fax lc -ox, deletis in ista terminis omni bus, qui contrarietate signorum se mutuo destrarunt shabebitur tandem aequatio redum κ' --ax αα a ' c .lEx quibus liquet,transpositionem istam terminorum fieri simplicius , si nulla in stituatur additio , vel subtractio , sed dumtaxat ipsi termini mutatis signis ad G giter.
107쪽
46 A t S E B R IEalternas partes aequationis transferantur. Patetque etiam , quod quotiescumq ue in utraque R quationis parte uIus idemque terminus occurrit, qui eodem quoque signo utrinque afficiatur , terminus ille
ex utraq; parte sit delendus. Ita si proponatur aequatio κ- ' ax l cx - ax ay ,
quia terminus ax existit in utraque parte Cum eodem signo, reducetur illa ad hanc
In resolutione problematum occurrunt quandoque aequationes quaedam , in quihus quantitate, radicales Continentur. Id quum accidit, subinde oportet a quatio reducatur , ut quδntitates illae rationales evadant. Quod quidem obtinebitur, elevando ad aliquam potestatem utramque partem a quationis . Itaque, quum una tantum occurrit in a quatione quantitas radicalis, methodus eam reducendi haec est. Transferantur ad partem unam a uiationis quantitates Omnes rationales, & relinquatur in parte altera sola quantitas radicalis . Tum elevetur utraque par a quationis ad eam potestatem , quae est propria sedes illius quantitatis radicalis rsicque nova habebitur aequatio , in qua nulla radicalis quantitas occurret.
108쪽
E B R M. Lib. I. Cap. I. ne alicuius problematis orta , 2 oporteat in ea quantitatem radicalem Iax comis mensurabilem reddere . ransferatur ad Riteram partem aequationis quantitas commensurabilis b, ut maneat sola quati titas radicalis in una parte . Erit igitustinax - a ' b . Deinde, quia sedes propria illius quantitatis radicalis est quadratum, sive secunda potestas , elevetur utraque Pars aequationis ad secundam potestatem,& habebitur haec alia aequatio axi: a aab ' δ' , in qua nulla occurrit quanti
Quod si verb pi ures in aequatione sint
quantitates radicales, tunc substitutions iuvabitur Λnalysta in hunc modum. Sit ax - bx f c aequatio , ex aliquo problemate nata . Ponatur ax - p , & -κ- 'Εrit igitur an m p ,2 bx - ρ . Sub stituantur in aequatione proposita loca quantitatum radicalium assumpti valo xes , Ω habebitur loco eius haec alia q l c . Elevetur utraque pars huius aequationis ad secundam potestatem, quae est proprIa sedes utriusque quantitati
autem p in ax, 2 ρ- - bx. Itaque subrogatis rursus hisce valoribus , fiet ax -
109쪽
aqc . Elevetur iterum utraque pars hu . ius aequationis ad quadratum , R habebitatur a x - Ialx h3x abc x c αα , in qua si substitu tur loco ρ valor eius hae , orietur tandem aequatio, libera ab omni quantitate radi eali. Sit insuper Uax l a - 3 qa κ aequatio, ex aliquo problemate nata . Ponatust Iax m p , & σ3 qa x sy . Erit igitueax-p 32 3a κααρῖ. Substituantur in aequatione proposita loco quantitatum radicalium assumpti earum valores, κhabebitur loco eius haec alia p ' o m q. Elevetur utraque pars huius aequationis ad cubumsive tertiam potestatem , & fiet
- - a 3 . Elevetur rursus aequationis huius utraque pars ad uuadratum , 2 ha
qua si loco p substituatur Valor eius ax orietur tandem aequatio xῖ l 6ax sa -κ - a 3, in qua nulla existit quantitas
Extractione radicum possunt etiam afls liciorem expressi ouem aequationes
110쪽
eevocari . Nam quotiescumque omnin notum est quicquid in uno aequationia membro continetur , 2 in altero reperi tur potestas aliqua perfecta ; extrahendo ex utraque parte aequationis radicem eius potestatis , aequatio longὸ simplicior ha-hebitur . Ita si x ab sit aequatio , ex aliquo problemate orta,extrahatur utri qua quadrata radix ,st fiet x ab.Similitet fi in resolutione alicuius proble malis inciderit Analysta in hanc aequati nem ny l aox t a oc . eliciat utrinque quadratam radicem, Ω habebit loco
eius hanc aliam simpliciorem x t o ma
Neque verb a gationes istae α - ab , Sex t c - , ac sunt reducendae. quia in iis
quantitates occurrunt radicalest quippisciendum , radicales quantitates tunc de mum simplicitati aequationum ossicore squum in iis incognitae continentur.Quo tiescumqne etenim ex solis cognitis co stane o nequaquam sunt impedimento, κPotest ab iis aequatio vel solius substitu intionis ope liberari. Qua ratione ex aequa tione x Db Ruferetur quantitas radi. calis . ponenda , quum oriatur
νε-c ue 2 ii militer aequatio x ' a m ubera fiet a quantitate radicali, si Pones