Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

91쪽

materiae de sonari littera ρ; v quaesti velocitas littera s. Et eadem ratione si data corporis velocitate, datoque *atio, velocitate illa percurso. quaeratur tςmpus imis pensum ad spatium illud percurrendum; commodior erit denominatio, si velocitatem littera u, spatium litteras, quaelitu in velli tempus littera i designemus. Caeterum , ut intelligane Tyrones imis mane qaantum afferat adiumenti disti Ela,2 compendiosa quantitatum denominatio , non abs re erit uno , aut altero

exemplo illud ostendere. Notum est apud Geometras , quod si quatuor rectie lineae proportionales fuerint, rectanguluir contentum sub extremis aequale sit et , quod sub mediis continetur 3 notum quo . est stiam,quo longo circuitu veritatem istam ostendat F uclides . Jam si nomina lineis imponantur, secundum ipsa proportionalitatis idea;nihil erit tam facilius osten fu, quam veritas illius propositionis . Itaque quia proportionalitatis idea haec est , ut quoties prima Conpinetur in secunda, toties tertia contineatur in quarta 3 si v Cetur prima a , & tertia c , posito , quod δ ostendat , quoties prima in secunda , Mxertia in quarta continetur;erit ab secun

92쪽

Ε n x, Lib. II. Cap. r. a i ctar lineae proportionales erunt a s ab sc 'i bc in quibus iam clare liquet, est in gu, i tu in contentum sub extremis aequale e set et , quod sub mediis continetur , quum, utrumque sit abc. Haec autem est proprietas proportionissquar dicitur geometrica; quod si verb pro portlo fuerit arithmetica , tunc accidens s eius praecipuum hoc est , ut summa extre i marum aequalis sit summae media . um .s inod eursus iacile ostendetur, si nomina lineis imponantur secunddm ipsam alte rius huius proportionis ideam : nimirum quia proportionis huius idea haec est , ut quantum prima deficit a secunda,tantun dem tertia deficiat a quarta , si vocetur . prima a, 2 tertia c, pcmaturque s quod se delignet , quantum deficit tam prima

secunda , quam tertia a quarta ι erit a s b secunda , 2 e ' b tertia i proinde.

que quatuor rectae lineae arithmetice proins portionales erunt a, a ' b,c,c ' bi in qui- hus liquidb constat summam mediarumseaetremarum summam adaequare 3 quum

utraque prodeat o f b ' c.

. Similiter Euclides propositione nona libri secundi suorum Elementorum longo circuitu ostendit hoc theorema : quod si tecta quaeda linea AB se aetur bifariam ita

93쪽

. puncto C , Ω non bifariam in puncto D, quadrata partiu inaequalium ΛD, DB duis pia sint quadratoru, quae fiunt ex dimidia ΛΒ,2 portione CD, quae inter utramqὴ ctione inter icitur.Sed theorema istud, im positis rite nominibus, ostendetur facilli me in hunc modum . Vocetur a semissis datae rectae lineae AC, sive CB ; 2 dicatur b portio CD,quae interlicitur inter utramque sectionem.Erit ergo a ' b segmentum maius AD , Ω a - , segmentum minus DB ; atque adeli quadratum ex AD erito ' a ab ' δ' , & quadratum ex DB erita aab l h- . Sed duo ista quadrata simul addita sunt aa ' ab', hoc est dupla

quadratorum , quae fiunt ex ΛC , 2 CB. Itaque quadrata partium inaequalium AD , DB dupla sunt quadratorum s quae fiunt ex dimidia ΛC , 2 portione inter media CD. Eadem ratione ostendi quoque posset theorema , quod propositione decima lis bri secundi Elementorum continetur: nim8. mirum quod , si recta quaevis ΛΒ Ω-cetur bifariam in puncto C, eique iis directum adjiciatur alia quaevis BD squadrata , quae fiunt ex AD, k DB , hoc in ex tota , & adiecta, tamquam ex uni

e ipsa adjecta , dupla sint quadrat

ruina

94쪽

EBEM. Lib.II. Cap. I. Tum , quae fiunt ex AC, 2 CD, hoe est eas dimidia, v dimidia, Se adiecta, tamquam j ax unica. Vocetur etenim a lo in ilis datasti rectae lineae ΛC , live CR , dicaturque 44imidia una cum adiectὲ CD . Erit ergo

dratum ex DB erit - aab f . Sed, duo ista quadrata simul addita sunt aa ' ab , hoc est dupla qudratorum , quae fiunt ex AC, χ CD . Itaque quadrata ipsarum AD, D3 , dupla sunt quadrato rum, quae fiune ex AC, 2 CD. AEquatioris inter eo itas, O imoingritas quantitates iuvemio. IM positis nominibus tum cogniti g,

cum incognitis quantitatibus , in id deinceps incumbendir, ut nullo facto in ter quantitates illas discrimine , conside-1entur omnes proiniscue , velut iam notae, Je ipsius problematis conditiones eousque evolvantur,ac inter se mutub cominparentur donee una, eademque quantitas

duobus modis diversis eaeprimi possit.

95쪽

Nam quum binae illae expressiones unI,el demque quantitati conveniant , valor unius , alterius valorem adaequabiti Repropterea instituta inter expressiones ilialas aequalitate per signum istud - , quo la quale apud hodiernos Algebristas significat , invenietur inter cognitas , δε incocgnitas quantitates aequatio , cuius bene-fieio facile erit unius ex incognitis quantitatibus valorem invenire. 'Jam quum problema est determinatum. quia numerus datorum , I se mutuli non dependentium , incognitorum numerum adaequat, tot licebit aequationes invenire, quot occurrunt incognitae quantitates. Iis autem inventis, in id porrδ operam dandum , ut ex omnibus iis una deducatur, quae unicam dumtaxat contineat incoingnitam quantitatem, cujus valor per so- las quantitates cognitas e,pressus omni-nd nobis innotescat. Quod quidem obtinebitur, si in una ex iis aequationibus loco aliacum incognitarum substituantur valores ipsarumwx aequationibus aliis deriducendi . Sic enim in aequatione illa unia. ca dumtaxat incognita quantitas rem nebit , quae quum omnes contineat pro blematis conditiones,ea erit,ad quam Pro

blama proprio reducitur. . Sed

96쪽

E E E M. Lib.II. Cap. I. asSed ut haec omnia exemplis magis notae fiant, nee ab iis recedamus , quae superius proposuimus, si proponantur inveniendi duo numeri, quorum data sit, tam summa , quam differentia , R instituta den

minatione , vocetur summa numerorum differentia eorundem δ , numerus maior x , 3c numerus minor F : quia in hoc problemate duae occurrunt quantitates incognitar, duae etiam sunt inveniendae aequationes . Quumque prima problematis conditio exigat , ut summa numer rum x , v I sit a, secunda veth , ut diis rentia , quae est inter maiorem , v min rem, sit bt ex illa quidem deducetur aequatio sequens x - , ex ista velli eruae . tur haec alia x me F il s. Et siquidem in prima harum aequationum loco quantitatis incognitae x subrogetur valor eius

s f b , per secundam aequationem in Veu tus 3 jam tertia orietur' f) bmo, sive o ' θ - a , in qua unica incognita

quantitas reperitur.

Similiter, si recta linea AB subinta se canda proponatur in puncto C, ut re ctangulum , contentum sub segmentis eius , ACB aequale sit et, quod super DL describitur , quadrato ; factaque denominatione , ponatur ΛΗ- a,OE - b; AC

97쪽

A E 5 E R IE κ,v mmo:iam in hoc problemate duae .cCurrent quantitates incognitae, Se proin pterea duae etiam aequationes erunt in v niendae . IInde,quia in eodem problemate duae sunt appositat C ditiones, una, quod latera rectanguli inveniendi x, 2 I simul sumpta aequalia esse debeant quantitati cognitae a 3 altera , quod ipsum rectangu Ium inveniendum aequale esse debeat quadrato ex altera quantitate cognita b et ex illa quidem deducetur a quatio sequens; ex ista verb eruetur hiec alia - ,δ . unde porrb , si in hac secunda aequatione loco quantitatis incognitar x substituatur valor eius o -- ' , qui Per Tegulas mox .radendas ex prima a quatione deducitur , orietur a quatio tertia ax ,- κ- - θὴ , quae unicam dumtaxat continet incognitam quantitatem. Sed hic monitum Lectorem velim squod si nomina quantitatibus imponat secundum ipsas conditiones appositas in problemate, ab initio inveniat aequatio nem , quae unicam contineat quantitatem In cogat tam . Hac ratione in primo proin hiemata,ubi quaeruntur duo numeri,quorum data sit tam summa, quam differentia , positis summa numerorum inveniendorum ata a , sorundem differentiis - δω& num

98쪽

E E E M. LlbaI.Cap. r. avst numero minori - ' et quia ex hyp thesi numerus minor digerta majori per quantitatem cognitam , , erit numeru maior ' Λ: qua peracta denominati

ne,iam ab initio invenietur aequati O,quae unicam contineat incognitam quantita tem Nam,quum ob alteram problematis Conditionem, ambo numeri simul confi

m si aequatio quaesita. Eadem ratione in altero prohiemates

ubi datam rectam lineam AB subinde FIO. 6. oportot dividero in puncto C , ut recta gulum, sub segmentis eius contutum,ACB aequale sit ei, quod super DE describitur, quadrato , pono rectam AB in a , rectam alteram DE - Α , k segmentum unum AC in x. Quia ergo segmeatum alterum CR est differentia , qua tota AB superaesegmentum prImum ΛC, erit CA - χ :δe propterea quia , propter condi tionem problematis , rectangulum ACB aequale esse debet DE quadrato, erit an αδ in h- aequatio problematis, qui unicam comprehendit incognitam quan

ei talem

In resolutione ergo problematum dem terminatorum tot semper licebit aequationes invenire a quot incoguitae quanti

99쪽

omnibus problematis conditioni hns, non Inveniantur tot aequationes; tum indicio urit, in probIemate non omnes appositas esse conditiones,quae ad determinationem ejus requirunturιx propteaea resolvi posse problema infinitis modis di aer sis , ni mirum assumendo ad libitum quantita tes incognitas, quibus nulla Correspondet sequatici. Ita, si quaerantur duo numeri, quorum summa tantum sit data;problema e it inis determinatum . Nam, propter dua, Inc gnitas quantitates , quae in hoc probleismate occurrunt, duae etiam inveniendae e sient aequationes 3 quum tamens propter unicam appositam conditionem , unica tantum inveniri possit aequatio. Posatis enim summa numerorum inveniendorum

ro quia id tantum in problemate datur, ut summa ipsorum x, χ' sit a haec dumtaxat invenietue aequatio x ' γ

- Jam,quod problema non sit penitus de

terminatum, quum non inveniuntur to aequationes , quot in illo problemate o currunt quantitates incognitae, nec tameta aliqua ex conditionibus appositis omitti-ο

100쪽

Ε E M. Lib. II. Cap. r. 19tur, sic quidem ostenditur. In proiaemata determinato numerus quaesitorum adae qua e debet numerum datorum. Itaque in eo tot oportet conditionea apponete. quot incognitae quantitotes occurrunt. Aquationes autem inveniuntur per irsas conditiones, appositas in problemate, subinde quidem , ut unaquaeque conditi. suam nobis praebeat aequationem . Igitur in problemate determinato tot oportet aequationes invenire , quot incognita: qtiantitates fuerint assumptae:proindeques quotiescumque percuriis diligenter sinisgulis problematis conditionibus , numerus aequationum ab incognitarum numero deficit , indicio erit, problem η non esia penitus determinatum, nec omnes habe re conditiones , ad d*terminationem ejus

necessarias.

Neque verb dissicile erit definire,quot in problemate addendae sint conditiones,qub determinatum fiat i certisque dumtaxat modis solubile. Problema na que, ut sit omninb determinatum , necesIe est tot in eo aequationes invenire, quot occurrunt quantitates incognitae. Jam v rb aequationes invenientur per conditi Des , quae apponuntur in problemate sita tantum , ut unaquaequη conditio tuam