Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

111쪽

Ο Α ΕΟ E B κ αἰtur ae - β , quandoquidem Ioeo eiu habi bicur haec alia xla Σαδ. Sed ut aequatio ad simpliciorem exore fionem extractione radicum possit reu vari, necesse est interdum utrique meminhro aequationis a i quid apponere . Sic, ut aequatio κ' ' aax in a* simplicior eva.dat , addatur ad utramque partem a , ita ut fiat x' ' aax ' a aa- , A iam ex trahendo utrinque quadratam radicemierit κ fa aa . Smiliter, ut simplicior fiat a quatio ista κ' ' aa x qaη , ad tur utrinque a ' , 2 quia evadit κ' staa κ' ' a' - qa' , reducetur, extrahendo quadratam radicem ex utraque pari. sequationis,ad hanc aliam κ*l a --aa , fi ve x - Δη . quae fiet simplicissima , si utrinque rurius quadrata radix extraha

tur.

Atque 'hoc artificio iam ex omnibus aequationibus,in quibus incognita ad duas dimensiones ascendit, licebit valorem eius eruere, ipsarumque adeo aequationum I solutionem obtinere , quod est ultimum Analysis opus . Omnis etenim aequatio, in qua incognita ad duplicem dimensionem attollitur , nulla signorum , quibus ter mini afficiuntur , habita ratione, potest

112쪽

Ε E M. Lib.IΙ.Eap. a. 4n Et prosecth, si aequationis huius utriquo membro addatur a , hoc est quadratum ex semisse quantitatis cognitae secundi termini, tum utrinque quadrata radix eX-

trabatur, fiet x l a dies Aa ' b . Sed de

resolutione tum istarum , cum aliarum aequationum , velut totius Analysis comis plemento, fusius deinceps agendum.

C Λ P. II. Methodus resolvendi problemata exmplis illusiratur.

Ouurn in Arte analytica exemplis

magis,quam praeceptis Tyrones ad ιuventur, altiusque nobis inhaereant,quae generaliter enunciata, ad specialia appli Cantur , non abs re sore existimavi, si methodum resolvendi problemata, superiori capite summatim explicatam , aliquibus axemplis, certo consilio electis , Id Tyronum gratiam hoc allo capite illustratam axhibeam. Et ut liquid , constet, quam late pateat haec methodus per universam Matheseos disciplinam,exempla proserams non modb ex Arithmetica, de Geometria deprompta , verum etiam quΕ ad physico- mathematicaar scientias Esrtiuero viden-

113쪽

Et siqvide ea sit recta docidi inethodus. quae progreditur a simplicioribus ad eaι

quae magis composita sunt; afferenda sunt primo loco problemata illa quae ad Arit

meticam pertinent . quaeque circa numeros , live quantitates abstractas occvis

pantur . Sunt quippe huiuscemodi pr hiemata adeo quidem solutu facilia , ut

crediderim tempus terere , qui in eorum solutione ingenii sui vires velit exercere. Statu etenim quaestionis probe intellecto, εe impositis rite nominibus , tum notis, cum incognitis quantitatibus . eb res tota devolvitur, ut sensus quaestionis sermone, ut ita dicam , algebraico designetur, nam conditiones eius, ad algebraicos terminosse translataeullico tot dabunt aequationes, quot ei solvendae sufficiunt. Hac ratione, si quaerantur tres numer arithmetice proportionales , ita ut data sit tam summa ipsorum s qua n summa productorum ex singulis binis . conside-go primum attente statum quaestionis, ae Conditiones . quas deuent habere numer

quaesiti, sedat. perpendo.Tum quos oportet numeros invenire , voco X ,3 , e ; sed

a summam ipsorum , 2 b- sumit am pro ductorum ex singulis binis . unde quia tres cuineri κε , a tales eda debent , ut

114쪽

Ε EM. Lib.II. Cap. a. 43sant arithmetice proportionales . ut suminma ipsorum sit a , ac denique ut summa Productorum ex singulis hinis sit b deis

signentur conditiones litae omnes terminis algebraicis , It habebuntur hoc pacto tres a quartones x et in o , x syl

facile erit,cuiusque incogniti numeri va lorem invenire. Sed non perinde se res habet in tesoluatione eorum problematum 1 quae spectane ad Geometriam. Pendent etenim ut plurimum , quae in iis quaeruntur , a variis linearum positionibus , v relationibus complexis f proindeque ulteriori egent artificio , quo ad algebraicos terminos dea duci possint. Nimirum necesse est ε ue Analysta Geomettiae calleat elementa, fiagurarumque geometricarum proprietates εe accidentia perspecta habeat, ac explo rata ε quo possit problemata geometrica

ad aequationes revocare . Sed Trigonom tria , δε Doctrina Datorum neque etiam eum latete debent; nam ut plurimum iacalculo peragendo non ea et quae Pr

prie data iunt, sed quae ex iis consequuntur, debent adhiberi. Haec itaque sunt , quae resolutionem Problematum geometricorum reddunt

115쪽

paulli dissiciliorem . unde ne statim Tyrones nostri animo concidant exhibeam primum iis problemata aliquot arithmetica , ut in i aveniendis , reducendisque aequationibus aliquantulum instructi , possint ad problemata geometrica in osseso pede se coferre. Sed tam illa,qu m ista ex cipient tIdem problemata nonnulla phy- sco-mathematica , ut intelligant Tyro nes, qua ratione physico-mathematize disciplinae possint etiam calculi algebraici legibus submitti. Problemata Arithmetica. I. T N venite tres numeres, quorum da-I tae sint summae ex singulis binis.

Vocetur Primus numerorum x, secun

sis di , v tertius a. Designetur autem litis tera a summa ex primo , 2 secundo ; littera , summa ex primo , 2 tertio , Se ii terat e summa ex secundo, Jt tertio. Ergo, quia summa ipsoru κ, ἁ ν est a,erit x t γ'e' a ; pariterque,quia summa ipsorum x, M a est Merit x f κ --denique, quia summa ipsorum et , 23 est c,erie F ' Q Quocirca designatis terminis algebrai sis singulis Problematis conditionibus,re

116쪽

Ε h E M. Lib. II. cap. a. 4rducetur problema ad tres istas a quati nes xl 3 a, xl a m b , ' ' Q- c.

Nunc ex tribus hisce aequationibus d ducenda est alia , quae omnes problema tis conditiones includeas, unicam tantum incognitam contineat. Id autem fi

ri potest in hunc modum . Quoniam in tertia aequatione habetur F ' Σ - o . erit transponendo Σ-c -3 . unde si In secunda arauatione x ' a - , lo- eo ipsius a substituatur valor ille, erit hoc est x ' c--ἄ-3 . Denique in prima aequatio ae x ' ν- a loco incognitae ν subrogetur valoe

Invento aatem valore unius incognitaen , valores aliarum incognitarum nullo negotio deducentur . Ηahetur etenim in secunda aequatione x l e --si ve a uadi 5x . Itaque si in ea loca incognitae κhic ponatur valor Invetus,fiet g m s.

Et similiter, quia in tertia aequatione ha be

117쪽

Possunt tres isti numeri ex tribus illis aequationibus in ven ri etiam hoc artificio . Quoniam aequationes , ad quas Pr hiema reductum est. sunt xl F os xl a zbs Φη c. addantur inter se mutuit subinde aequationes illae, ut ex omnibus incognitis fikt summa una , vsumma alia ex omnibus cognitis. Erit

quum in tertia aequatione habeatur' i a dic , duplicando terminos omnes , erita' f ag αα ac . Quare, si in illa aequatione loco terminorum v f a a ponatur ac,

nec dissimiliter aliarum incognitarum Pa ιores invenientur.

118쪽

Ε a M. Lib.II. cap. i. 4νri velit secundum ipsas conditiones hap. positas in probi φmate , obtineri poterie problematis resolutio multo facilius in hunc modum . Vocetur rursus ιδ summa ex primo , δε secundo 3 b summa ex primo , v tertio 3 2 c summa ex secundo,ueertia. Ergo si primu dicatur κε qui summa ipsius cum secundo est et , summa aut*m ipsius cum tertio est bierit a-M

secundus , ,--χ tertius, 2 a i , - ausumma ex secundo tertio . Erat autem c summa ex secundo, v tertio r Quare instituta aequalitate inter h s duas expres.siones, habebitur aequatio ς - . a i , -- axi hoc est an Σα o f b---conseque

Jam,ut indefinitam huius problematIaxesolutionem exemplo uno, aut altero it. lustremus, pon mus, quod summa ex

primo, M secundo sit io; quod summa ex primo, or tertio sit 3 , ac denique . quod summa ex secundo , It tertio sit ε. Erit itaque a Io. b - 8 , Me - 6. I ii de quum sit o f. - ς αα l a , o lm 8 sol,lc-- a m 4, capiendo semis lis istorum numerorum 4 fient numeri

n Rusiti ειε , a. Atlget it quoque si sumo in

119쪽

1 1 . Α Ε Ο Ε B EAEana ex primo. 2 secundo sit Ia , summa ex primo , 2 tertio I 4 , Ω summa ex secundo , Ω tertio Io , erit primus num eorum 8 . secundus 4, 2 tertius 6. II. Invenire tres numeros , Quorum da ea si fit producta ex singulis binis. Estox primus numerorum , a secundus, 3c a tertius. Vocetur autem QR productum ex primo , 2 secundo δ' pro. doctum ex primo ,& tertio.& ς- produ-Hum ex secundo , 2 tertio. Itaque, quia id , quod oritur ex multiplicatione ipso

que , uuia id, quod gignitur ex multi plicatione ipsorum x , Ω a , est b- , erit κz b- . Atque ita quoque,quia id ,quod producitur , multiplicando ' per z,est c*,

erit 3Z -c Inde translatis in hunc modum ad algebraicos terminos singulis Problematis conditionibus, erunt v ma ,xΣΣα b-, 2 FZ-c aequationes, ex quibus problematis solutio deducenda. Ex his ergo tribus aequationibus eruenda est alia, quae omnes problematis Conditiones includens, unicam tantum in cognitam comprehendat. Hoc autem obtineri potest hac arte . Quoniam in tertia

sequatione habetur γα - c- , erit , divi

120쪽

- I.Deniq 3 in prima aequatione v in a loco incognitaes subrogetur valor inve

tus, & fiet -- - a , sive eῖα -a ὁ . Baunde divisa utraque parte aequationis per c- , 2 extracta utrinque quadrata raridice, habebitur aequatio κ - - quae v - elorem nobis exhibet incognitae κ. Cognito valore incognitae x , Valores aliarum incognitarum facile erit deteris minare.Quoniam enim in secunda aequa - batione habetur τααδ- , sive E -- , si

ia ea loco incognitae x ponatur valor in scventus, fiet α-- Et similitor , quia