장음표시 사용
131쪽
κ3 quare elevando utramque partem ae
quationis ad quadratum , sive secundam potestatem , erit 'si dira a b aa lx3 fκο . Erat autem 'βαaβ- ra x ' 3a x. - x. . Quare erit a4 - a'κ 'um aflb- - aa bx3 lxsis quae qui iam aequatio legitime reducta , ac resoluista incognitae x valorem exhibebit. . . - 11. - . . Problimata Geometries.
I. N triangulo rectangulo BAC, data 1 hypothenosa BC, M perpendiculo
ΛD , invenire segmenta BD , DC. Ponatur hypothenusa BC - a,perperi viculum AD , o , 2 segmentum unum
BD in x . Erit ergo segmentum ulterum DC - a x. Et quoniam triangulum BΛC tectum habet angulum in Λ, erit perpendiculum ΛD, medio loco Propor
tionale inter segmenta BD, DC . Quare
132쪽
E B E M. Lib. II. Cap. a. 61erIt ut BD ad D Α, ita DA ad DC, hoe ea
in terminis algebraicis , ut x ad b , ita Mad x. unde,quia rectangulum sub existremis aequale est et,quod sub mediis con tinetur , erit ax-. x by aequatio , ad quam reducitur problema propositum. Eadem aequatio potest etiam inveniri hac alia ratione. Triangulum ADB r ctum habet angulum in D i quare erit quadratum hypothenuis ΛΒ aequale qua dratis crurum ΛD , BD . Est autem quadratum ex AD , , x quadratum ex BD - κδ . Itaque erit quadratum ex
AB - κ ' b . Et quoniam triangulum BAC est rectangulum in Λ, erit latus ΛΒ medio loco proportionale inter hypothenusam BC,2 segmentum,quod ei adiacet, BD. Quare erit AB quadratum aequale re Etagulo BDC. Est autem in terminis algebraicis quadratum ex ΛΒ - h-,2 rectangulum DBC ox. Igitur instituta aequalitate inter has dua quantitates, fiet aequatio G - αδ f ι'. hoc est a --κ'
Sed ad eandem aequationem alia rursus ratione potest perveniri: nimirum quia triangulum ADB rectum habet angulum
in D teri φ AB quadratum aequale A D. BD quadratis: proindeque s quia qu/drδ
133쪽
sa A B S E B eum ex AD est b' , di quadratum ex Boest x , erit qnadratum ex AB in x f δ . Similiter, quia triangulum ADC rectum habet angulam in D , erit quadratum ex ΛC aequale AD , DC quadratis t proindeque , quia quadratum ex ΛD est ,3 , Sequadratum ex DC est a' -- aax l x- , erit quadratum ex AC Σα b ' a' - Uaex .Jam verb,propter triangulum BACrectangulum in Λ , quadratum hypothe nuta BC est aequale quadratis Crurum ΛΒ , AC . Itaque, quia in terminis algebraicis quadratum ex BC est a , quadra
κ ,hoc est, legitima reductione peracta,an
- ' II. In parallelogrammo ABCD datis '' ς' lateribus omnibus , & diagonali AC, invenire diagonalem alteram BD. Super latere ΛΒ producto si opus deia mittantur perpendicula BE , CF. Et quoniam propter parallelas AB, DC angulus B AE aequalis est angulo CDF ue triangula duo reflangula BEΛ, CPD similia erunt,& aequalia inter se: proindeque non modberit ΛΒ aequalis DC , BE aequalis CF, v Fum etiam: A E aequalis QF.
134쪽
E B E M. Lib.IL Cap. a. DPonatur itaque latus ΛΒ, sive DCritia, latus BC , sive AD - b, 2 diagonalis data AC - c . Ponatur autem diagonalis
. . . Et quoniam triangulum BEA rectum habet angulum in E , erit AB quadratum aeqnale ΛΕ , BE quadratis . Quare si ex AB quadrato auferatur AE quadratum, supererit BE, sive CF quadratum. Est autem quadratum ex ΛΒ - a- , Sequadratum ex ΑΕ Σα γλ. Itaque erit quadratum ex BE, sive CP-a- -- γδ. Porro quia triangulum BED est rectan.
gulum in E , erit BD quadratum aequale BE , DE quadratis . Sed in terminis alge-hraicis BD quadratum est x , BE quadratum est a- - γ , R DE quadratum est δ' ' ab ' 'φ . Quaare erit x- - a- - γδ
ab', sive etiam X -- a- - h- tam ab . ulterius,quia triangulum ΛFC rectum
habet angulum in F, erit ΛC quadratum aequale AF , CF quadratis . Jam verb interminis algebraicis quadratum ex ΛCest cy , quadratum ex AF est hy - abdi y- , 2 quadratum ex CF est-- γδ. It que erit c - ιδ -- ab f 3 ' a ' hoc est σῆ αα b1 - ab Φ a- , sive etiam
135쪽
Erat autem ab α κ - a - θη. O ia are erit κδ - a -- δη - a l ,- ea, hoc est x aa l ab --c t ex quo patet quadratum diagonalis quavitae a quale esse ei, quod remanet , si ex quadratis laterum subducatur quadratum datast diagonalis, ut hinc inferre liceat hoc the rema , longe quidem universalius theore mate pythagorico et In omni parallelogrammo quadrata laterum omnium N qualia sunt quadratis diagonalium . Nec abs re erit theorematis huius adeo universalius syntheticam demonstrati nem , Euclideo more compositam, hoc loco proserre t nimirum , quia triangulum BAD chlusum habet angulum in L . erit ex elementis quadratum ex BD aequato quadratis AB, AD una cum duplo rectanguli DAE: quare apposito communi qua drato AC , erunt quadrata duo BD , Α aequalia tribus quadratis ΛΒ, AD, AC un cum duplo restinguli DAE, si vaΛDF. Sed propter triangulus' Λ DC acu tangulum in D , quadr tum ex AC un, cum duplo rectanguli ADF est aequale
quadrato ex DC , una cum quadrato ex
136쪽
E BR M. Lib.II. Cap. a. 6 'AD , DC , c. B . II l. In quadrilatero ABCD , inscripto pin circulo, datis lateribus omnibus,st dia . Φφ' gonali una BD , invenire diagonalem alteram AC . Fiat angulus CBE aequalis angulo ABD. Et quoniam angulus BCΛ aequalis est an is gulo BDΛ έ aequi angula erunt triangula BEC , BAD . Quare erit, ut BC , ad CE, ita BD ad DA . Unde,si ponatur BC m a. BD in , , DA - c , 2 CE - x t, erit interminis algebraicis , ut a ad x,ita b ad ci
Et quoniam angulus CBE aequalis est angulo ABD , apposito su et a b ato) communi DBE, erit angulus CBD aequalis angulo ABE . unde , quia angulus B AC aequalis e R angulo BDC , aequi angula erunt triangula AEB, DBC; eritque adeo, ut AB ad AE . ita BD ad DC. Quare, P
erit rursus in terminis algebraicis, ut d
addi, ita b adfr proindeque erit ν - - .
Ponatur nunc dia ponalis tota AC in z.
Et quoniam segmenta AE,EC simul sum. Lib. II. E pig
137쪽
unde, si in hac aequatione loco incognita ..rum X,&I ponantur ipsarum Valores, ha-
bebitur loco eius haec alia Z - iis . --
quae dabit valorem quaesitae diagonalis
Jam si in hac postrema aequationes ad quam reducitur problema propositum smultiplicentur termini omnes per b, habebitur haec alia ha - ac ' V. Unde, quia AE est rectangulum sub diagonalibus , 2 ac , V sunt rectangula ex lateri bus oppositis; deducetur exinde hoc theo rema , quod rectangulum sub diagonali. bus adaequet summam illorum,quae fiunt ex lateribus oppositis. Hususmodi theorema protulit print, somnium Ptolomeus. Et quoniam, quum agitur de figuris inscriptis in circulo, non rard illud subveniet; non abs re erit,eiuiadem theorematis demonstrationem sy τheticam, Euclideo more compositain, a ferre eoque magis, quod ex iisdem illis, quae pro resolutione propositi problema xis offensa sunt , sua sponte deducatur . Nimirum, quia propter similitudinem
138쪽
E B E M. Lib. II. Cap. a. 6 ut BD ad DA; erit rectangulum ex BC in DΛ aequale rectangulo ex BD in CS. Et smiliter , quia propter triangula similia
ΛΕΒ , DBC, AB est ad AS , ut BD ad DC;
erit rectangulum ex AS in DC aequale rectangulo ex BD in ΛΕ. Unde rectangulum ex BC in DΛ una cum rectangulo ex AB in DC aequale erit rectangulo ex BD in C E una cum rectangulo ex BD in Λ E. Sed duo ista rectangula aequalia sinit et , quod fit ex BD in AC . Itaque rectangulum ex AB in DC una cum rectangulo ex BC in DA aequale erit rectangulo eα
IV. Ex dato puncto D ducere rectam FI . Ira DBC , quae cum aliis duabus ΛΒ , AC, positione datis , triangulum constituat ABC datae magnitu dinis. Ponatur iam factum , 2 ducatur per
punctum D recta DE parallela ipsi AB. Ergo i quia datur punctum D , 2 datur quoque positione recta AB, dabitur etiam AF distantia parallelarum AB, DE.Unde, quia propter lineas positione datas ΛΒ , AC datur angulus B AC, sive DBC , dabuntur in triengulo ABF anguli omnes, 2 conseqnenter, quum detur latus unum
139쪽
68 Λho EB κ puninum D, 2 datur quoque positione recta ΛC , dabitur etiam perpendicu inmDG, quod metitur distantiam puncti D a secta AC. Itaque demittatur perpendicularis ΕΗ , 2 ponantur AE m a , DG - c. AC - ω, χ ΒΗ - ν . Erit ergo tota CR et a l x. Et quoniam propter similitudinem talangulorum CBΛ , CDE , AC est
ad CR , ut AB ad DE ; itemque, propter triangula similia ABΗ , EDG , AB est ad DE , ut ΒΗ ad DG ; erit ex aequali, ut AC ad CE, ita ΒΗ ad OG . Unde , quum sit in terminis algebraicis, ut x ad a = κ .
ita P ad c,habebitur per notissimam quantitatum proportionalium proprietatem
aequatio v f v - cx. Et quoniam, si basis AC multiplicetus per perpendiculum ΒΗ , producitur duplum areae trianguli ABC: proinde si area
istius trianguli , velut data , vocetur M. habebitur laaec alia aequatio v et 2 bc . Unde designatis terminis algebraicis singulis conditionibus, in problemate appΩ- sitis a reducetur problema ipsum ad duas istas aequationes adi i v - cx , & v abc Lex quibus deducenda est tertia, quae singulas problematis conditiones includens , non nisi unicam incognitam colla
140쪽
E B E M. Lib. II. Cap. i. 69 Ad hanc autem commode deducendam, multiplicentur prioris aequationis termini omnes per x , P habebitu e loco esus haec alia oxy f x γ - cx Jam ver, in secunda sequatione habetur u me abc. Quocirca si in illa aequatione ponat ut ab , ubicumque reperitur πν,fiet tandem
x , quae resoluta iuXta regulas artis dabit valorem quantitatis incognitaex.
Quod si locus puncti dati fuerit in recta ΛΒ, positione data , veluti in B , tunc Ionge simplicior erit aequatio , ad quam Problema reducitur . Etenim , quum hoc casu detur perpendiculum B H , siquidem Ponatur ΒΗ - c,2 AC se x, fiet aequatio quaesita cx - abc,ssive etiam x- ab.Quae quidem sequatio colligi quoq; potest ex illa ipsa superius inventa aab l abx mx is Nam , quum perpendiculum DG coincμdit cum perpendiculo ΒΗ , cadet etiam recta DE super recta AB et proindeque quia evanescit recta ΛΕ - a, fatis erit in illa aequatione delere terminum a ub: quo facto , relinquetur abχ- α , hoc est ab
V. Dato quadrato ABCD, producere FIG. 13. latus ΛR in directum versus E , ita ut