장음표시 사용
121쪽
in tertia aequatione habetur FE c , hoe
est v α - , si in ea loco incognitam sub-
stituatur inventus valor, fiet ν - - 4
c o hPossunt tres isti numeri inventri etiam hoc alio artificio. Quoniam aequationeS, ex problematis conditionibus deductae, sunt vina xem, , &μ mc- , multiplicentur inter se mutuo subinde aequa tiones illae, ut ex omnibus incognitis fiat. Productum unum, & productum alterum ex omnibus cognitis. Erit itaque x IR ERa- b e , sive etiam ud , abc . Sed quum in tertia aequatione habetur 3Σ - ς , substituendo in aequatione illa c- Iocci ipsius dia, fiet c*κ abc, sive cx - ab. Quare divis utraque parte aequationisa ab per c, habebitur, ut supra , Ν -3 ne
dissimiliter valores aliarum incognita-Tum poterunt determinari. Quod si nomina quantitatibus in C - . - ἶni'
122쪽
gnitis imponantur secundum ipsas co di tiones,appositas in problemate, obtine ri poterit problematis resolutio multb is incilius hac ratione. Vocetur rursus a Productum ex primo, 2 secundo; θ' proinductum ex primo , A tertio ; k cδ productum ex secundo, 2 tertio . Itaque si primus dicatur x , quia productum eius pellsecundum est a ,productum verb eius per
tertio . Erat autem c productum ex se Cundo,2 tertio.Quare instituta aequalitate inter duas istas expressiones, habebitura ala
aequatio : c- , quae reducitur ad x ab hanc aliam a
. Caeterum,ut huius problematis resoluationem generalem exemplo aliquo specia. Igna reddamus, Ponatur, quod productum ex primo , & secundo sit Io 3 productum ex primo, 2 tertio sit Ia; aς denique pro uehum ex secundo, & tertio sit I s . Erit. ita ue αα Io, δ' - Ia,
123쪽
III. Invenire tres numeros geometric. Proportionales , ita ut datae sint disserenistiae maioris a minoribus. Vocetur primus, 2 maior numerorum k- secundus , 2 minor M, tertius, 2 minimus Z . Designetur autem littera a differentia primi a secundo, Je littera , differentia primi a tertio. Itaque,quia tr*4 num meri x ,3 . a sunt geometrice proporti nates,erit xa v. Et quoniam x maior st , quam 3 , quantitate cognita a, erit X Ita . Et denique quia x superat equantitate cognita , , erit x - η ' ι . Quare designato statu quaestionis sermone algebrico , reducetur problema ad tres
Ex his autem arq nationibus ea , quae omnes problematis couitiones includens. unicam contineat incognit m quantit
tem , in hunc modum ςrvi Poterit. Quoniam
124쪽
E E E M. Lib.IIcap. a. s 3n Iam in secunda aequatione habetur
x-'l a ι erit x. a '3 atque adeo, quadrando utramque partem a quationis,
erit x- -. 2ax ' a '-- 3 . Sed in prima aequatione habetur κδ ανδ . Quare eri dx- -- aax ' - κα. Jam verb , quum in tertia aequatione habeatur x edidi E ferit Z Σαα- ι . Itaque si in prostremae aequatione loco quantitatis incognitae a Ponatur valog esus x , , habebitur haec alia x- --l a - κ' --, ex
Invento valore incognitae v, valores aliarum incognitarum nullo negotio in venientur . Nam quantitas incognita κmaior est , quam' , quantitate cognita s. Ergo si ex invento valore subducatur si, relinquetur valor incognitae' . Et simi liter , quia incognita quantitas x superat aliam e quantitate cognita b, si ex eodem illo valore subtrahatur b , temanebit va-Ior incognitar E. Hinc monitum lectorem
velim , quod quum in aliquo problemate plures occurrunt incognitae quantitates , praestat eam Primum invenire , ex qua omnes aliae facith deducuntur.
Quod si denominatio quantitatum lu-
125쪽
tiones ,appositas in problemate, pervenietur ad aequationem, unicam incognitam continentem, multb facilius in hunc modum . Designet rursus a excessum primi 1 secundo , v b excessum primi a tertio. Eroo si primus dicatur x , erit x - a se cundus , Se κ . b tertius. Debent autem esse tres numeri inveniendi geometrices Proportionales.Quare erit, uix ad x ita x - a ad x - θ proindeque, quum Productum ex mediis aequale sit producto ex eStremis, erit x' - aaη ' a' κ'
Ponamus , exempli causa, quod excessus primi supra secundum sit Io,excessus verb primi supra tertium sit I s. Erit ita
diviso ioci per ς , fiet prior numerusao 3 a quo si muferas Io, habebis pro secundo Io ; si verb auseras is, habebis Pro tertio φ . Erunt ergo numeri quaestia ro . y . Atque ita quoque sta, sive primi supra secundum excessus sit sue Se b, sive excessus primi supra tertium sit 3 sarunt numeri inveniendi η a , I.
126쪽
ELEM. Lib. II. Cap. . frIV. Invenire duos numeros, quorum data sit is imma quadratorum s datum que , quod eorum multiplicatione proriducitur.
Esto x numerus priorO 2 ' numerus alter. Sit autem la* summa quadratorum ex iis, 2 b id , quod gignitur, mutua eorum multiplicatione. Quia ergo quadrata numerorum x,& imul addita, conficiunt ue erit x 'di asia . Et quoniam id, quod oritur, multiplicandoeeosdem numeros x , 2 γ , ea δ' ue erit v--unde designatis terminis algebraliscis singulis conditionibus problematis,reducetur problema ad duas istas aequationes αδ ldi aa inb . Jam , ut ex duabus istis aequationibus tertiam eliciam , quae omnes problematis conditiones includens , unicam tantoni contineat incognitam quantitatem, murutiplico prioris a quationis x I vi et a terminos omnes per x 4 , ut Ioco eius ha
Et quoniam in secunda aequatione habetur ura b , quadrando esus utramque partem, fiet x γ' - θ'. unde si in alterae illa aequatione κ' f x γῆ αα asi x loco termini x F ponatur valor eius h , eva
127쪽
ss A E a st α quantitatem incognitam continet. ut autem ex hac aequatione erui possit valor ipsius x , fiat primb in ea legitima
terminorum transpositio , ita ut evadat πη - aa κη - - - , ι tum ad eius utraque parte addatur aue s scilicet quadratum ex quantitate cognita secundi termini dimidiata , ut fiat κέ--aa-κ Σαs --, Porro extrahatu utrinque Suadrata . radix s 2 erit x- - a a' h' , si ve αδ in a3 l o a' , θ' & extracta rursus ex utraque parte huius
Poterat hic idem valor quantitatis in cognitae x inveniri etiam hoc artificio . Quoniam in secunda aequatione habeturvum h- , duplicando utramque partem erit av - ah . Sed in prima aequatione habetur x 'I' M aa . Quare erit x
128쪽
sus, ut supra. Invento Valore magnitudinis incogni-- x, valor alterius incognitae' facili negotio invenitur . Quum enim id , quod oritur ex multiplicatione mutua ipsaru, fit ό όsi dividatur ιδ per inventu valores habebitur valor incognitie. I . Hunc u
129쪽
snt ρ , D r , fient numeri quaesiti l f i,
sive η , & χ - r , si Ver a . Atque ita quoque , si ponatur summa quadratorum ex numeris inveniendis, hoc est aa & productum ex eorum multiplicatione mutua , hoc est , Io , erunt numeri
v. Invenire duos numeros , ita ut data sit tum summa ipsoru in , cum suminina cuborum , qui fiunt eae lis. QEsto x numerus unus,&ot numerus alter . Designet autem a summam . ipso. rumi v ab summam cuborum , qui fiunt ex .iis. Itaque quis lamma numero rum x, 23 est v, erit x ' F - a . Et quoniam summa cuborum , qui fiunt ex iliadem numeris, est ab ,erit x3 f 33 radiab , unde defignatis sermone algebrico singulis conditionibus,appositis in problemate,
reducetur problema ipsum ad duas istas aequationes x ' γ a os de κῆ '-Ex his ergo. .Rquationibus deducenda
est tertia , quae includens omnes problematis conditiones , unicam tantum Inc
130쪽
arte. Quoniam in prima aequatione habe tur x ' v in s , erit F - a -- χ s atqu. adeo attollendo utramque partem aequa tionis ad cubum, sive tertiam potestatem fiet 33 -u3 -- ga x ' 3ax - x3.Qu' circa si in secunda aequatioue a 3 33 -- loco terminio 3 valor ejus substitua
, quae quidem aequatio legitime reduis cta , ac resoluta dabit valorem ipsius xue eoque invento valor alterius incognitae 'Per primam problematis conditionem
nullo negotio invenietur. 'VI. Invenire duos numeros,ita ut da ta sit tam summa quadratorum s quam summa cuborum eX iis. Vocetur x numerus unus, Se F num rus alter. Designet autem a summam quadratorum , 2 a s summam cuborum ex iis. Itaque,quia quadrata numerorum
x ,& I simul addita conficiunt a- , eri πη ' γ a'. Et quoniam summa cuborum ex iisdem numeris est a b , erit xx 'F3 a b . Quare designato statu qua sionis terminis algebralcis , erunt κη in a ,2 x3 'γῖ - a b aequationes sad quas problema propositum reducitur. Et quoniam in pxima aequatione habe