장음표시 사용
141쪽
νo Α E E R AEtae magnitudinis. Ponatur iam factum, li sit AB, s. ΛD in a , EF , c , BE in x , 2 BF -'. Erit ergo tota AE a ' x . Et quo uiam similia sunt triangula ADE , BFE , erit ut AD ad BF, ita AE ad B E. tinde quum sit in terminis algebraicis, ut a ad F , ita
a l x ad x ; habebitur per notissimam
quantitatum proportiona tum proprie talem aequatio ax - Ο v. Et quoniam triangulum EBF rectum habet angulum in B , erit quadratum hypothenus ae EF aequale quadratis crurum BE, BF. Unde, qtita per ea, quae superius posita sunt , quadratum ex EF est e. , quadratum ex BE est x- , quadratum ex BF est 3- , instituta aequatione, lisbe bitur c - x f ν . 2 propterea propos tum problema reducetur ad duas istas aequationes ax α ρο ' v, 2 c in x
Ut autem ex duabus istis aequationibus tertiam eruamu S, quae includens Omnes problematis conditiones, unicam incognitam comprehendat s elevetur prioris aequationis ax , v f v pars utraque
ad quadratum, sive secundam potestatem,& fiet a- κ a ' ' a ax γῆ 'x'γ' . unde quia in secunda aequatione habetur
142쪽
Potest etiam problema resolvi, quaerendo valorem line:e DE: nimirum pQ satis adhuc AB,sive AD M a , 2 Ep - c, ponatur DP - x. Et quoniam DE est ad EF , ut AD ad BF , si fiat , ut x ad c,ita aac
ad quartam , invenietur BF - - . Et si
militer, quoniam DF est ad EF, ut AB ad AB, si fiat ut x-c ad c , ita a ad quar
tam, invenietur BE α - . Unde,quia
triangulu EBp rectu habet angulu in h , adeoque quadratu hypothenusta EF est aequale quadratis truru BE, BF ; habebitur
143쪽
να Λ L G E B R AEPraestat autem in resolutione problematis quaerere potius valorem lineae DE , quam BE. Nam quaerendo valorem lineae ΒΕ obtinetur a quatio, ex qua non ita facile ille valor eruitur . Sed quaerendo va-Iorem linear CE incidimus in aequatio nem , ex qua nullo negotio quae litus valor insertur. Est enim aequatio oontinens valorem ipsius D E , x' - 1 cx3 feax- - aa-x- ' aa cx a c- , quae talis quidem deprehenditur , ut si ad ejus utramque partem addatur a ' , fiet pars prior quadratum perfectum: adeoque ponendo c- f a- - δὴ , Se extrahendo hinc
sus si resolvatur per regulam superius traditam, habebi ur 'alor incognitar x. Sed adhuc simplicior futura erit rem lutio χ' uationis , ad quam problema reducitur , si sedi EF bifariam in puncto G , quaeratur valor linea: DG . Nam postis ΛΒ , si ve ΛD - a, δε EG , sive GP- θ , si ponatur DG - x , prodibit a
144쪽
ΕgRM. Lib. I. Cap. I. utrinque quadratam radicem , fiet x
Unde extracta rursus ex utraque parte alterius huius aequationis quadrata radice , obtinebitur tandem valor incognitae
Caeterv inresolutione propositi proble- 3tis , sive quaeratur valor lineae BE, aue ΑΕ, sive valor lineae DE, aut DG; sempos quidem talis prima iacte prodibit aequa
tio, ut in ea maxima incognitar potesta ad quatuor dimensiones ascendae r eiusdemque Armar erit elis φ aequatio , si quaeratur valor lineae BF , aut CF , qua rum utraque problema quoque determinat . Interim poterit idem problema pegiales quoque lineas determinari , ut a quationes, valotes illarum linearum continentes , statim duarum dimen sonum oriantur. Quod ut Tyronibus nostris fiat palam , illud hic ostendere non gravabimur , Concipiendo etiam problema pauid alitet in hunc modum. VI. Angulum rectum EBF subtendere recta data EF , quae transeat per datum punctum D,a quid istans lineis, te ctum angulum comprehendenti hus.
Ponatur jam sectum , & secta EF hi- Lariam tu piincto G, iungantur rectar BG,
145쪽
BD , Quia ergo angulus ERF rectus est, semicirculus descriptus super recta BP transibit per punctum B έ proindeque tres recte lineae BG , EG ι FG aequales erunt inter se. Unde,quia punctum G est in circumserentia circuli , qui describitur centro B , Se intervallo semissis ipsius EF ; si super Bo demittatur perpendicularis GH , quaeri potest in resolutione problematis valor reste DΗ , quippe quae determinat problema, si descripto circulo illo,
erigatur ex puncto Fl rem ipsi DA per-
Pendicularis, quae circumferentiam illius
circuli alicubi secet. . VJam ad inveniendum valorem relae DΗ i considero conditionem alteram, appositam in problemate , ni inlium quod puncta D aequedistet a rectis ΛΕ, AC,comprehendentibus angulum rectu in ERP. Hinc enim sequitur,angulum ABD semitectum effri atque adeo angulum HBI a qualem esse angulo BIΗ s sive EI G . Unde s quia angulus ΕBG aequalis est angulo BEG , erit totus angulus GBH aequali duobus angulis EI G , BEG . Sed duobus isti, angulis velut interioribus , Ω opposi iis aequalis est angulus exterior DGH. Quare erit angulus GAA aequalis angulo D GH , A consequenter triangula duo
146쪽
Et quoniam triangula aequiangula latera habent circum aequales angulos promportionalia, erit , ut DE ad GH , ita GH ad ΒΗ. Unde GH quadratum aequale erit rectangulo DEB : ac proinde apposito communi quadrato ΒΗ , erunt quadrata duo ΒΗ, GH aequalia rectangulo DHRun: cum ΒΗ quadrato. Sed duobus quadratis ΒΗ , GH , propter angulum rectum BEG , aequale est BG quadratum. Itaque erit BG quadratum aequale rectangulo DΗΒ una cum B H quadrato . Unde impositis nominibus tum lineis datis DB, BG , cum lineae quaesitae DΗ , facili negotio invenietur aequatio,quae ipsius Dis
BΗ in x- - aax ' a , 2 quadratum eKBG - δὴ. Ostensum est autem rectanguissDΗΒ una cum ΒΗ quadrato aequale essit quadrato , quod ει ex BG . Itaque instituta aequalitate inter valores algebricos harum quantitatum s fiet aequatio axπ
147쪽
Quaeri etia potest pro resolutione ps
blematis valor redi e BH: quo casu tametsi aequatio ad duas dimensiones assurgat,
pauciores tamen terminos involvet. Posiatis namque adhuc ΛΗ - a , Se BG ΣΕ ponatur ΒΗ - κ . Erit ergo tota DH- κ f a, rectangulum D ΗΛ .m x ' ax, quadratum ex BH - κ- , Je quadratum ex BG - , . Quocirca,quia rectangulum ΒΗ Duna cum ΕΗ quadrato aequale ea et , quod super BG describitur , quadrato , instituta rursus aequalitate inter Va
lores algebricos harum quantitatum, fiet aequatio ax l ax h . Sed videamus , num aequatio duarum dimensionum pro resolutione propositi problematis inveniri pollit , qinerendo alores aliarum linearum , quibus idem Problema determinetur . Hunc in finem
super DE erigatur perpendicularis ΕΚ , quae conveniat cum recta DC ipsi BL parallela in puncto Κ . QMa ergo anguius I ΕΚ rectus est, semicirculus descriptus super tecta DK transibit per punctum E. unde, quia idem punctum E reperit ut quoque in recta ΛΒ , q uaeri potest in resolutione problematis valor rectar Dlis quippe quae determinat problema , si descripto super ea semicirculo , Protrahat uv
148쪽
Iatus AB , donec semicirculi huius circumferentiam alicubi secet. Ad inveniendum verb valorem rectae
DX , demittatur perpendica laris LL,quae quum sit aeqv lis ipsi BC , sive DC , erit etiam ΕΚ aequalis DF : sunt etenim ae quiangula triangula ELΚ , DCP .) Et
quoniam triangula DCF,DΕΚ sunt etiam aequiangula, erit ut DK ad DE, ita DF ad DC: proindeq; rectangulu CDK aequa te erit rectangulo BDP , Se consequenter si fiat C M aequalis DC , erit rectangulum MDK aequale duplo eius, quod fit ex BD in DF , ad eooue apposito communi quadrato ex EF, erit rectangulum MDK un Scum EF quadrato aequale duplo esus a
quod fit ex ED in DF , una quoqRe cum EF quadrato. Et quuniam duplum eius , quod fit exEDin DF , Ii,na cum EF quadrato , est a quale duobus quadratis DE , DF , sive etiam DE , ΕΚ ; erunt quadrata duo DE. ΕΚ aequalia rectangulo MDΚ via cum LF quadiato . Sed duobus quade tis DE, ΓΚ , propter angulum rect am DE K , a quale est DK quailratum. Itaque,quia DK quadratum est aequale rectangulo M DK
una cum rectangulo MKD,erit rectangulum Μ Κ una cum quadrato aequale
149쪽
E E R M. Lib. II.Cap. a. 'o Atque ex hac atquatione deducitur veritas lemmatis, pro resoluticiae propo siti problematis a Vappo praemi1s.: nimiis
rum , quod GK quadratum aequale sit quadratis , quae fiunt ex CD , 2 EF i id, quod etiam synthetice ostendi potest in
hunc modum . Quoniam rectangulum
DKM ostensum est aequale qΠadrato,quod fit ex EF, apposito communi CD quadrato , erit rectangulum DKM una cum CD. quadrato aequale duobus quadratis CD , EF . Jam verb , quum recta linea D M se cta sit bifariam in puncto C , eique in directum sit adiecta alia MK ; rectanguis tum DKM una cum CD quadrato aequale est quadrato, quod fit ex CK . Itaque erit CK quadratum aequale quadratis, quae
Problemata Physico-mathematica.
I. I Lges motuum in occursu corpo I. a rum inertium definire. In definiendis legibus motuum, qua in solidorum corporum Congressu locum habent , duo corporum congredientium
penera distin suunt Philosoplii mechani- '
150쪽
ῖε Α Ε . E B R AEci ἱ eorum unum , quae vim habent eIasticam, per quam compressa ad pristinum suum statum illicb se restituunt , 2 huiusmodi corpora vocant elastica , sive a d uosa allorum alterum, quae tali vi sunt
destituta, eaqὴ corporu inertium nomino designant. Et quoniam no parum conducit calaulus speciosus in determinandis legibus motuum, quae in utriusq; generis corporum congressu debent observari, id circo primb leges motuum in Occursu corporum inertium definiemus; tum eas. quae locum habent in Congressu corpo sum elasticorum, determinabimus.
Hunc in finem ex saniori Physica mutuanda sunt prius principia , ex quibus leges istae depgdent: nimirum pri inb,quod quantitas motus cujusq; mobilis definiatur per productum,quod oritur,multiplicado velocitate per pondus, sive quantitatem materiae, secundb quod velocit s sit affectio motus, per quam mobile datum spatium in dato tempore percurrit, adeo ut mensura eius sit relatio , quam habet spatium ad tempus; & tertio, quod actio,& reactio sint semper aequales , 2 contra riae, hoc est, quod in omni corporea actio ne quantum unum corpus agit in aliud.