Elementa algebræ pro novis Tyronibus tumultuario studio concinnata, auctore Nicolao De Martino in illustri lyceo Neapolitano mathematum professore. Tomus 1. 2. ..

171쪽

η , quae legitime reducta , ac resoluta sincognitar x valorem exhibebit.

Sed notetur hoe loco velim , quod si fuerit c- - ab , hoc est QN quadratum aequale rectangulo qnater contento sub BA , 2 ΛQ ; tunc aequatio futura erit κ'

que parti si addatur 4a- , δε transseratur ad partem alteram terminus Aax , habebitur loco eius haec altera x auex 'b --ψox ob ' ηιι- αα ηa ,quae per eStractionem quadratae radietis reducitur ad x - θ aa in a a , hoc est ad x - b f a. unde patet,determinari lineam proiectionis AC , si sumatur QO aequalis quadruplo ipsius ΒΛ . Sed quoniam quadrata

radix ex . a potest esse tam a a , quam 2a,deducetur etiam exinde θ au aa , hoc ex x - b . Ex quo liquet,

172쪽

globum Λ pertingere quoque ad datu nilocum N , si secundum lineam horizonta lem ΑΕ proiiciatur. Ouod si locus datus fuerit in ipsa linea horigon tali ΑΕ, puta in E , tunc recta RQ fiet aequalis gero, sive nihilo , coincidentibus nimirum rectis ΛE, QN . Quocirca deletis in inventa aequatione x - αbx ' b f c- - 4ax terminis omnibus,uhi b reperitur 3 erit x c ax ae quatio , quae in hoc casu problemati sati iaciet. Quod quidem perspicuum est.Nam completo parallelogrammo ΛΚΕI, positisque BA, sive AD - a,ΛΕ - c, 2 ΛΚ, sve EI - κ ; erit quadratum ex ΛΙα c R quadratum ex ΛC - 4a- . Unde, quia ΛΚ est ad ΛD , ut AI quadra tum ad AC uuadratum , erit ut X ad a ,

Hinc verb liquet, quod si ex puncto Larigatur super Λ C perpendicularis I L . quae conveniat cum AB in puncto L ; tota AL sit quadrupla ipsius AB . Est enim κ' f o aου . Itaque ΑΙ quadratum aequale erit rectangulo , quod fit ex EI in quadruplum rectae ΛΒ Sed propter triangulum rectangulum AIL , idem AI quadratum est aequale rectangulo,quod fit ex

173쪽

Ε t E M. Lib. II. Cap. 2. I fEI In AL.Quare erit AD quadrupla ipsius ΛΒι unde patet, quod ,quum datum punctu est in linea horirontali ΛΕ, problema propositum ad hoc aliud pure geometri Cum revocari possit: nimirum in trian-lo rectangulo AIL data hypothenusa ΛL,& dato perpendiculo SI, invenire angulum LAI , qui determinat positionem lineae ΛC. Atque hoc artificio iam id omne deteris

minati potest , quod *d motum spectae

Projectorum. In omni siquidem proiectione quatuor considerari debent, nimiis rum velocitas, amplitudo , altitudo, Jeangulus projectionis. Ita si semita proiecti se AMN, designabit tecta BA altitudine,

Per quam grave corpus descendere debet, ut velocitatem acquirat s quae in proiectione requiritur,recta AE amplitudinem Proiectionis; recta GH,quae bisecat ipsam ΛE, amplitudinem ejusdem projectionis;& CΛE angulum, quem constituit cum Horiaonte linea , per quam grave corpus projici debet. Unde patet. circa motum projectorum sex principaliora problemata institui posse. Primum est, quum datis velocitate , vamplitudine proiectionis , quaeritur altitudo una cum angulo . Secundum,quum

174쪽

xo Α Ε Ε B R AEdatis velocitate , 2 altitudine proiection quaeruntur angulus , v amplitudo. Tertium quum datis velocitate , 2 angulo proiectionis, quaeruntur altitudo , stamplitudo. inarium,quum datis amplitudine , 2 altitudine , quaeritur vel in citas una cum angulo . Quintum , quum datis amplitudine , 2 angulo , quaeruntur velocitas , ac altitudo . Et sextum denique , quum datis angulo , 2 altitu dine , velocitatem , 2 amplitudinem oportet invenire. Jam quemadmodu in triangulo rectan

gulo At L hypothenusa AL est quadrupla

rectae lineae AB, quae determinat velocitatem proiectionis , ita portio ΛS est quadrupla rectae GH, quae eiusdem projectio nis altitudinem definit. Nam sicuti AE

est dupla ipsius AG , ita erit EI dupla ipsius GR . Sed quum Λl quadratum sit ad ΛR quadratum , ut EI ad HR , erit eadem EI quadrupla ipsius ΗR . Itaque bisecta erit GR in H r propterea sicuti El , sive AS est quadrupla Porti

Dis ΗR , ita quoque erit quadrupla alte rius portionis G H. Hinc quia in eodem triangulo rectanin

175쪽

Ε x R M. Lib.II cap. a. nis ; liquet sex illa problemata ad alta totidem pure geometrica posse revocari. Primum etenim erit, quum datis hypo thenusa AL,& perpendiculo IS , quaeritur segmentum ΛS una cum angulo ΛLI. Seiacundum,quum datis hypothenusa ΛL, aesegmento As, quaeritur perpendiculum IS una cum angulo ΛLLTertium, quum

datis hypothenusa AL , y angulo ALI . quaeritur perpendicu Ium IS una cum segmento AS . Quartum , quuna datio perpendiculo IS , & segmento ΛS, quaeriis tur hypothenusa AL una cum angulo ΛLI. Quintum , quum datis perpendiculo IS , & angulo ALI, quaeritur hypo thenusa AL cum segmento As. Et sextum denique, quum datis segmento AS, vangulo ALI , quaeritur hypothenuia Λ cum perpendiculo IS. Haec problemata facili negotio resolvet

quicumque vel leviter in trigonometricis est versatus. Caeterum,quum amplitu

do proiectionis designetur per perpendiinculum IS , patet Veritas ejus , quod primus omnium prodidit Galileus,nimirum amplitudinem projectionis maximam es se , quum angulus est graduum quadra ginta quinque . Sed non obscure exinde

colligi quoque potest , eandem futuram

176쪽

sos Α B esse prosectionis amplitudinem , sive auis gulus fuerit acutus, sive obtusus , qui duos rectos cum acuto illo Constituat. V. Definire figuram vasis , ita ut fluidum erumpens per foramen , factum infundo ejus , aequalibus temporibus aequaliter quoque deprimatur.

Hoc problema proposuit primus omianium Evangat ista Torricellius , sed qui primus litterato orbi solutionem ejus exhibuit , suit Dominus Mariolte in suo

de aquarum motibus tractatu . Pro eius solutione praemittenda sunt prius theo remata principaliota a circa motus flui dorum , per minora foramina erumpe tium , ab Hydrostaticis demonstrata , cuiniusmodi sunt duo . Primum , quod quantitates fluidorum , per duo quaelibet foramina eodem tempore aequabiliter erumpentium, sint ut velocitates , Se soramina coniunctim. Λlterum . quod velocitates, quibus fluida per foramina qua vis erum punt, sint in subduplicata ratione altitu

dinum fluidorum super iis foraminibus. Hisce suppositis , esto Λ DB curva . per

cuius revolutione circa axim ΛΗ , oritue vas quaesitum B AC.Sumantur in axe ΛΗ portiones duae HI , IL aequales , D in dein vite parvae.Itaque,si ducantur rectae BC,

177쪽

E M. Lib.II. Cap. i. rct νDE , FG perpendiculares axi AH, quantitates suidorum , inclusae circulis , qui 1 tectis illis, velut diametris,in vasis genesi

describuntur , erumpent per foramen Λeodem tempore t proindeque , per theo rema primum, quantitates illae fluidorirum erunt inter se, ut velocitates, quibus erumpunt. Jam vest,per theorema secun dum , velocitates istae sunt in subduplicata ratione altitudinum ΛΗ , ΛΙ. Qua ire,ex aequali,eaedem illae fluidorum quantitates erunt inter se, ut radices quadratae altitudinum ΛΗ, ΑΙ. Et quoniam quantitates illae fluidorum sunt duo cylindri, aequales altitudines habentes; 2 ex Geometriae Elementis nOtum est, Cylindros, quorum aequales sunt altitudines, esse inter se , ut bases , hoc est , ut quadrata diametrorum, quae ad hases illas referuntur et erunt duae illae fluidorum quantitates,ut quadrata recta rum BC , DE ; sive etiam , ut quadratR rectarum ΒΗ , DI: proindeque ,rursus eNaequali, quadrata rectarum ΒΗ, DI erunt inter se, ut radices quadratae altitudinum ΛΗ, ΛΙ ; 2 consequenter , elevando ad

quadratum omnes terminos huius anal giae , erit, ut quadrat quadratum rectae

AH ad quadrato-quadratum rectae DI, ita

178쪽

xo8 A F, o R B R AEaltitudo AH ad altitudinem AI.

Unde patet,curvam BDΛ, ex cuius rein volutione circa rectam AH oritur vas quaestum , talem esse debere , ut quadrato quadrata rectarum , quae ex singulis

Curvae punctis perpendiculariter de miliatuntur ad ΑΗ, sint inter se, ut portiones, quas rectar illae abscindunt ex ipsa ΛΗ:proindeque eb res reait, ut qua ratione curva ista describi possit, ostendamus. Sed quoniam circa rectam AH infinitae huiusmodi curvae describi possunt, proinde,

ut problema determ4 nemus , aliam ei oportet conditionem adiungamus: nimiarum, ut curva describenda transire debeat

per datum punctum B. Itaque si Λ DB sit curva quaesita , lacompleto rectangulo ΛΒ , sumatur in ΛΚ portio quaevis ΛΟ , determinari debet punctsi D, in quo curvam secat recta linea OP,perpediculariter erecta super AK. Huc in finem ponatur ΒΗ, sive ΑΚ-a; ΛΗ,sive ΒΚ - Θ ; ΛΟ, si ve DI - c 3 2 OD, sive ΛΙ - x. QuJa igitur per Curvae naturam quadrato-quadratum rectae ΒΗ est ad quaindra to-quadratum recta: DI, ut ΛΗ ad ΛΙ erit in terminis algebraicis , ut a ' ad c'. ita b ad x: proindeque. quum productum ex mediis aequale sit producto ex extremi ν

179쪽

E L R M. Lib.II. Cap. 7. I om Is , erit a x b. Hinc determinabitur punctum D,ρ' inventa recta' linea, quae sit quinta proin portionalis in ordine duarum ΛΚ, ΛΟ , fiat ut ista habeat ad GD egndem ratio . nem,quam habet ΛΚ ad ΛΗ. Nam,quum hujusmodi recta linea per ea , qua supe-

rius posita sunt, sit - ὸ erit, ut -- ad .ay οῖ sive etiam , ut cue ad a3x , ita a wd b ue RPropterea erit - ς'b , prorsu ut supra

De natura, ct proprietatibus aequa.

ovum D Ostquam problema ad aequationem -- reductu es ,2 aequatio illa per legitimam reductionem ad suam simpliciorem expressionem est revocata , forma Oportet aequationis eius consideretur , Si enim Contingat , ut in aequatione illa incognita magnitudo ad unicam tantum dimensionem ascendat;quia valor illius iam innotescit, problema quoque iam erit resolutum et nec proinde ulterius progredien

dum , nisi ejusd*m prohiςmatis, quum

180쪽

AB EA AEFuerit geometricum, constructio deside. retur. Ita si aequatio, ex aliquo problema te orta , quum fuerit ad simpliciores terminos re Vocata , hanc formam induerit x - δι - ab ἔ problema iam ese resolutatum , quandoquidem valor incognitae κnon amplius ignoratur.

Quod si autem aequatio talis suerit se mae , ut in ea incognita magnitudo non unam , sed plures haheat dimensiones ;tunc rursus aequatio poterit esse vel pura, vel affecta. Vocatur pura, quum in ea unica tantum incognitar potestas Occurrit , sive sit qu dratum , live cubus , sive quaevis alia potestas superior , ut χ- ob, πῖ - abc, x a 3b ,&c. vocatur autem affecta,quum in illa duae laut plures incognitar magnitudinis potestates OC Currunt, ut x ax α b- , x' ' ax' metabc ,κ3 fax -- c-x a b, Sce. Quum aequatio , ad quam problema reducitur , est pura, problema rursus iam erit resolutum , quia extrahendo ex utra que parte aequationis radicem illius potestatis, ad quam ascendit incognita magnitudo , valor ejus jam obtinetur. Ita si fuerit x - ab . extrahendo hinc inde radicem quadratam, fiet x ab. Et similiter si aequatio, nata ex aliquo proble