장음표시 사용
191쪽
CtΙjuscumque fine gradus aequatione
quae in resolutione problematu lnveniuntur , illud In iis sedulb observabie Analysta , ni termini omnes fini hom tenet, hoc est, ut singuli eundem dimentionum numerum habeant , quem prio terminus continet. Haec terminorum homogeneitas in aequationibus numericis , ubi nempe quantitates cognitae numeris exprimuntur, semper quidem potest co siderari. Nam quilibet numerus fingi potest , veluti ortus ex multiplicatione aliorum quotcumque numerorum:proi deque in omni numero tot semper dia mensiones , quot libuerit, distinguere licebit. Ita, si fuerit aequatio numerica κ3 -' 6κ -- a 4mo, quemadmodum luaa Prior terminus tres continet di mensiones , ita δe in omnibus aliis ter minis tres quoque dimensiones poterunt distingui. Nam considerando numeruma , vel uia unius dimentionis, erit trium du
192쪽
dimensionum secundus terminus - 2 e . Et similiter consider*ndo numerum K, veluti ortum ex multiplicatione numerorum a ,2 3 ὴ erit ille duarum dimensionum proindeque tertius terminus 6x tres dimensiones habebit. Atque ita quoques ultimum terminum a 4 consideremus, veluti genitum ex multiplicatione numerorum a , g 4 3ζ , in eo tres item dis mensiones poterunt distingui. Haec eadem terminorum homogeneitasia aequationibus litteralibus , ubi nempe quantitates cognitas alphabeti litteris ex primuntur ι semper etiam observabitur, si nomina quantitatibus imponantur seis eundum propriam ipsarum naturam, hoc est, si quantitates unius dimensionis designentur unica littera , quantitates dua
sum dimςnsionum designentur duabus Iitteris, per se mutud multiplicatis, atque Ita de aliis. It , si in triangulo isosceliquaeratur Perpendiculum demissum superhasi ex datis area, 2 perimetro ue in Venie tur haec 'quatio xῖ a x saahc in qua omnes termini iant mmogenei sio quidem semiuis datae perimetri , veluti unius dimensiopia, vocetur o,& area da. ta , tanqum duarum dimetasianum, Vo
193쪽
Quod si autem nomina quanti ibo
imponantur nequaquam secundum pro priam earum naturam stunc equidem ae quationes , quae pro resolutione probleismatum inveniuntur 1 non omnets habebunt terminos homogeneos. Ita ,si io trita
gulo rectaugulo ex datis area ,2 hypoathen usa quaerantur crurλ ά 2 Vucetura hypothenusa data , b duplum datas a rem R ας unum ex cruribus, prodibit haec a
non omn*s termini sunt homogenei: qui nempe areta data , veluti duarum dimet sonum , Ae consequenter duplum eius a non uni ea , sed duabus litteris per semuistud multiplicatis debee designari. Sed nihil obstat, quominui etiam hos
casu terminos aequationis , velut homin geneos consideremus: nimirum,si que admodum inter quanti tutes , numexis de signatas, consideratur una, ad quam Orum nes aliae reseruntur , quaeque unitas dici tur 3 ita eandem unita talem consider κmus quoque inter quantitates , quae illinteris exprimuntur et adeo, ut 8d eam Om. Res aliae quantitates perio de se habeant , ac numeri omnes ad unitatem . Fic enim in aequationibus termini illi, qui paum. Ciores , aut plures habeat dimensiones,
194쪽
qv m in primo termino continentur, ope unitatis fingi possunt tot dimensiones h here , quot ad servandam homogeneit
Ita , si fuerit aequatio-- δκ l a ba- o; quia in ea primus terminus xy tres continet dimensiones , ad servandam h mogoneitatem, necesse est , ut alii termiani tres itidem dimensiones contineant. unde , quia terminus - bx videtur esse duarum dimensionum , cogitari potest . terminum illum multiplicatum esse me unitatem, atque ita non duas , sed tres dimensiones habere . Parirerque . quia terminus ' videtur quatuor dimen sones comprehendere , fingi potest,termianum illum divisum esse per unitatem,a que ita non quatuor , sed tres dimensi nes includere. Non dissimi ister consideranda est etiam homogeneitas in terminis aequationum . quom sub quibusdam formulis generali hus exhibentur . Nam quotiescumque νexempli gratia , aequationes omnes tertii gradus, nulla habita ratione signorum . quibus termini ipsarum assici possunt. Comprehenduntur sub hac formula gene
Iex homogeneitatis ne2uaquam videtur
195쪽
observata . sed nihilominus, confidera do tertium terminum ρx , veluti multiplicatum per unitatem , 2 terminum ultimum ν , veluti ductum in quadratum unitatis , habebunt termini illi, perinda ac duo priores , tres dimensiones ue atquo ita omnes termini erunt inter se mutubhomogenet. Atque hac ratione, non miab illud fieri potest, ut partes omnes unius . mutademqtie quantitatis aeque multis dimen soni hus constent , verum etiam hoc amin plius potest obtineri , ut quantilitates omnes. veluti lineae omnino simplicest concipi queant, licet plures dimensiones hahere videantur. Quemadmodum enim.
ut ex ista quantitate '- δ extrahi possit radix cubica . cogitandum est, par tem unam divisam esse per unitam tem , partem verb alteram δ multiplicatam esse per quadratum unitatis; ita quo. que si quantitas a concipiatur di visa pellunitatem . veluti simplex linea poterit haberi ἔ δε simi litet quantitas a 3 . si con fideretur divisa per quadratum unitati
nihil vetat. quominus pro simplici linea
Et sane invecta in Geometriam v
nitate, licebit multiplicationem , divisi
196쪽
A s E B R IE A disionem , v radicum extractionem perinda Ilneis perficere, ac numerlv fieri solet . Nimirnm primi, multiplicantur intee se mutuli numeri duo, quum tertius inusnitur, qui sit ad unum ipsorum , ut est alter ad unitatem . Ergo ad eundem mori FI. dem modum , si AB sit unitas ,& opo
teat multiplicare BD per dC , iungant ue puncta A,&C per rectam AC, R ducta DE ipsi AC parallela , erit BE productam huius multiplicationis 3 quandoquidem propter triangula aequi angula BDE, BΛC, BE est ad BD, ut BC ad BA.r Secundb dividitur numerus unus pestallunt numerum , quum tertius inveniaevi , qui sit ad dividendum , ut est unitas
ad divisorem . Itaque assumpta rursus ΑΒ pro unitate , si oporteat dividere BR per BD , iungantur puncta D , Ω Ε peerectam DE , di ducta AC ipsi DL paralle, la,erit BC quotiens huius divisionis. Nam, quum triangula BAC , BDE sint aequian tuta 3 erit, ut BC ad BA, Ita ad BD ε tque aded permutando erit , ut BC a BE , ita ΒΛ ad BD.
Denique extrahitue ex aliquo numero radix quaecumque , quum inter ipsum,kunitatem tot mediae proportionales inveniuntur , quot designat exponens radia
197쪽
RAE M. Lib. I. Cap. . eis extrahendat, minutus unitate ι hoc est
una , si radix sit quadrata, duae, fi tubica;
atque ita deinceps . Quare posita semper ΛΒ , velut unitate . si oporteat radicem, Fia. exempli gratia , quadratam extrahere ex BC , ponantur in directum reste AB, B M descripto super ΛC semicirculo ADC, erit perpendicularis BD radix quaesita νquum, propter notissimam circuli pro prietatem, AB sit ad BD , ut BD ad BC. Non me latet, id Tyronibus nonnihil negotii facessere , utpote qui edocti ab Euclide, duas lineas per se niuiub multiplicatas rectanges una producere , non ita facile intelligunt, qua ratione ex earundem linearum multiplicatione possit alia linea simplex oriri , quum exinde illud ipsis sequi videretur , ut lineas χ rectangulum a se mutub disserre non debeant Sed sciant velim, ex multiplicatione duarum linearum nec lineam aliam simplicem , nec rectangulum oriri 3 verum dumtaxat productum illud designari posese , tum per rectangulum stili liness illi contentum , Cum per lineam aliam , quae sit ad unam illarum, ut est altera ad uni
Quod ut elatius intelligant , animadvertendum est prius, in universa Mathea
198쪽
ra A B ct a 2 E AEquantitates non quidem in se ipsis , sed .
prout inter se mutub reseruntur,considerari,qusi sicuti intima cuiusq; rei substalla penitus nos latet,ita quantitatis prinis eipium omnino nos fugiat. Hinc enim fit, ut quum quaeritur productum . quod oriatur ex multiplicatione duarum linearum. quarum unam voco a , alteram , , dumtaxat designari debeat relatio, quam productum illud habet ad aliud , genitum ex multiplicatione duarum quarumvis aliarum linearum , puta c , & de nec de vera utriusque producti magnitudine sollieitos nos esse oportet ἔ quum sicuti linea-llum , ita producti, ex earundem multia Plicatione orti, vera magnitudo sciri non
possit. Itaque , quia productum ex primis asest ad productum ex secundis cd in ratione eomposita ex a ad c . x ex b ad d, oeris spicuum est, unumquodque illorum pro ductorm designari posse, tum per recta gulum,contentum sub lineis, ex quarum multiplicatione oritur , cum per lineam allain , quae sit ad unam illarum , ut ea itera ad unitatem . Nam prim , , si fuerint rectangula duo , unum coluentum sub lineis a , 2b, alterum contentum
sub lineis c . A d , habebunt rectangula
199쪽
E 1'κ M. Db.II. Cap. g. Iasilla rationem compositam ex s ad c , x ex δ ad d . Et secun db si fiat, ut unitas ad a, ita , ad m; u rursus, ut unitas ad c, ita P ad n i ratio , quam habet m ad n , Componetur quoque ex rationibus , qnae sunt inter a , R c , Ω inter , , I d. Horum primum patet ex Elementis, quum ostensum sit ab Euclide, parallelo.
gramma aequiangula rationem habere, ex lateribus compositam . Sed & alterum ostendi potest in hunc modum. Ratio, quam habet m ad n , componitar ex rati
nibus , quae sunt inter & b ue inter b, 2d ; & inter d . Ω n . Itaque , qui a m est ad B , ut a ad unitatem , 2 d est ad n , ut .
unitas ad c : eadem ratio , quam habet naad x,componetur eX rationibus, quae sunt inter a , 2 unitatem ; inter , , χή; 2 inter unitatem, & c. Jam verb rationes,quae sunt inter a , I unitatem; & inter unitatem , k O, componunt rationem , quae est inter a , 2 e . Itaque ratio , quam habet m ad n , componetur ex rationibus , quae sunt inter a , 2 c ,δc inter , , δε d. Λtque hac ratione , aliud agentes, ve rum, quem unitas praestat in Geometria, usum aperuimus, nimirum rationes, quae ex duabus,aut pluribus componuntur,ad
simplices revocare: id quod etiam ostendi
200쪽
I rgo Α Ε R B R AEpotest hae ratione, quia si unitas illa voiscetur is , faciendo ut B ad a, ita , ad m, Jeut is ad c , ita d ad n , erit tam ah - hm, quam cd -δn: quare erit, ut-ad cd, ita Θm ad os . Sed afl est ad od in ratione composita ex a ad c , &-b ad d ue itemque ιm est ad bu , ut m ad n . Quare ratio , quam habet m ad 11, componetur ex rationibus, quae sunt inter a , δι c , 2 i ter b, Se d. Id autem consideranti liquid b patebit, quod tametsi unitatis artificium in Ge metria non adhibuerint Veteres , ipsum tamen usum unitatis alia ratione , δι quiadem meo iudicio praestantiori, fuerint consequuti. Si enim ratio composita ex rationibus , quae sunt inter a, 2 c 3 & inter , , & d, more Veterum ad simplicem esset revocanda , assumpta magnitudine quavis m, id quidem fieri deberet, ut ast ad e, ut m ad k, A b sit ad o, ni h ad x, quum ratio, quam habet m ad n , velut composita ex rationibus, quae sunt interm , Se k ; A inter k, 2 n, componatur eo ipso ex rationibus f quae sunt inter β, 2 c,& inter B d. Sed notare licet hoc loco, quod scuti in rationibus compositis ad simplices revocandis primam magnitudinem ad libitum