장음표시 사용
181쪽
Ε E E Lib.II. Cap. 3. TITmate, sit x3 --, extracta ex utraque parte a quationis radice cubica . habebitur x 3 abG . Atque ita quoque, si problema aliquod ad hanc aequationem reducatur κε - a 3b s extrahendo utrinaque radicem quadrar quadratam , erit
Sed si aequatio , ad quam problema re dulum est , fuerit a meqa, tunc non it
facile erit, ex aequatione illa valorem in incognitar magnitudinis inferre . unde , ne haereat Λnalysta,quum in resolutione pro hiematum in hujusmodi aequationes inrieiderit ue necesse est regulas tradere , quas rum ope possit ex aequationibus affectis valores incognitarum eruere. Qua in re operae pretium prius est,aequationum omnium naturam generatim ostendere, e eundemque proprietates principaliores perspicue aperire.
De gradibus , terminis. Θ formulis
IC Quationes dividuntur in gradu
α ratione maximae potestatis , a , quam ascendit in iis quantitas incognita.
Dicuntur e teaim aequationes simplices. sive
182쪽
xxx X v o E B R AE sive primi gradus, in quibus ineognita ast linearis, hoc est ad primam potestatem
ascendit. Dicuntur aequationes quadratae,
sive secundi gradus, quum in iis altior gradus , ad quem attollitur incognita , est . quadratum, sive secunda potestas. Dicuntur arquationes cubicae , sive tertii gradus,quum idem gradus est cubus,sive potestas tertia;atque ita deinceps. ,
Hac ratione aequatio ista b lo vocator simplex , sive primi gradus , quia, in ea incognita x ad primam potestatem ascendit. Sed haec aequatio xy ' Ox - b
'Ocatur quadrata , sive secundi gradus , . quia altior gradus , ad quem in ea attolli tur incognita x , est quadratum , sive seis Gunda potestas. Atque ita quoque haec altera aequatio κ3'it ax- - abx abc dici tur cubica, sive tertii gradus , quia altiongradu. , ad quem in ipsa reperitur eleva. ta incognita x , est cubus, sive potestas
Interim notetur hoc loco velim , quod aequatio aliqua tunc demum dicatur esse illius gradus , quem ostendit maximae in cognitar potestas , quum ad gradum inferiorem deprimi non potest. Si enim cou- tingat , quod ea per regulas inserius tra
dendas deprimi possis, tuoς dicenda est il-
183쪽
Ex EM. Lib. II. Cap. g. 11 lius gradus , ad quem utique deprimitur. Qu' ratione aequatio x3 ' ax -- abκ dicenda est est secundi gradus , quia scilicet per ea, quae inferius dicenda sunt. deprimi potest ad hanc aliam x- - ab
Quemadmodum autem arquationes diaviduntur in gradus , ratione maximae P
testatis , ad quam incognita quantitas lulis attollitur , ita problemata dividuntur
in certa genera, ratione aequationum , ad quas reducuntur. Hoc pacto vociutur proin
hiema primi generis , qnod reducitur ad
aequationem primi gradus , vocatur pro
blema secundi generis, quod reducitur ad aequationem secundi gradus;atq; ita dein ceps . unde, sicuti aequatio ista x fax ab vocatur secundi gradus, ita problemas ex quo prosecta est aequatici illa , secundi
Atque hic quoque notare oportet,quod sicuti aequationes dicuntur esse illius gramdus, quo ostendit maxima incognitae potestas, quum ad gradir interiore deprimi noPossunt; ita problemata dici debeant tinus generis . quod indicat gradus aequation uaquae in eorum problematu resolutione in veniuntur , quum propria sedes illarum
quationum in gradu illo subsistit . unde ficuti aequatio, quum deprimi potest , d Lib. II. H ci-
184쪽
H4 Α Ε Ο Ε B R AEeitur esse illius gradus, ad quem utique deprimitur 3 ita problema , unde profluxit aequatio it .a, ejus generis esse dicetur, quod eadem aequatio depressa demonstrat. Quoniam autem aequationes nihil aliud sunt , quam congeries quantitatumsbi mutub aequalium , duae in iis partes sunt distinguendan quarum una post legitimam reductionem terminos omnes Continebit , in quibus reperitur quantitas
incognita , altera omnes alios , qui ex solis cognitis coalescunt . Sic in ista aequatione x ax era a - - β' partem unam constituunt' termini x - ax , parten alteram termini a 3 -- ,- . Et similiter inhaC aequatione χῖ -- a x in abc pars una erit x3 - a x , pars altera erit abo. Sed praestat quandoque,omnes sequatio nis terminos ad unam partem transferre, ipsamque aequationem considerare , vel ut congeriem quantitatum , quae simul aero, sive nihilo sint aequales r adeo , ut in una aequationis parte omnes eius termini rein Periantur , In parte verb altera existat dumtaxat gero, si ve nihilum . Ita si fuerit X --ax in ab , erit x -- ax αδ- o . Et similiter si habeatur x3 - a M
Hanc porto terminorum omnium ad
185쪽
E B v M. Lib.II. Cap. . t ruunam phrtem aequationis transpositionem praestat subinde quidem emcere , ut telis ininus ille , in quo existit maxima inc gnitae potestas , reperiatur affectus signo e . Ita si fuerit aequatio ax-. x et et ab ο& fiesi debeat in ea terminorum omnium ad unam partem transpositio , quia retinminus, maximam incognitae potestatem comprehendens , assicitur signo - , fietitiinspositio ista in hunc modum ab ἄ--σκ
Ad meliorem a uationis formam Pe3estat quoque,omnes eius terminos ordinare, secundum dimensiones , quas in termini, illis habet incognita: ita nempe, ut primo loco ponat ut terminus , comprehendens maximam incognitae potestatem ue tum gradatim omnes alii termini , in quibus incognita pauciores habet dimensiones bac denique termini illi, qui ex solis quantitatibus cognitis coalescunt. Hac ratione si fuerit a quatio σκ- x bx ' a' - ea per transpositionem
terminorum omnium ad unam partem ,
tum porro ordinata evadet αδ f θα --. ax' a h -o . Et similiter si a quatio, ex resolutione alicuius problematis ortas
186쪽
uin etiam in ordinandis a quationi. hus praestat, unum infra alium , ponem omnes illos terminos, in quibus incogni- ea eundem dimensionum numerum habet, atque ita etiam scribere terminos illos omnes , qui ex solis cognitis coalescunt. R in quibus incognita nullas dimensi nes habere reperitur . Qua ratione postr Ina aequatio a f ax3 - a κδ l x' mae 3 - abcκ --a δκ ' a c. - a ,3 oris din bitur etiam in hunc modum.
ex3-- x la bx laaba ' Scribendi sunt autem in hunc modum termini omnes, in quibus incognita eundem dimension um numerum habet, quia
scilicet contrahi possunt, A tametsi pluis
xes, ad unum tantum revocari . Si enim supponamus 2 - c p, iam erit ax3 -
tionis haec alis longe simplicior x' Φ px3
187쪽
EBEM. Lib. I t. Cap. q. 'l ox 'νx 'fra o , ubi tamen nulla sa-gnorum habenda est ratio. Hinc in posterum omnes illos termianos aequationis, in quibus incognita eundem dimensionum numerum habet, velut unum reputabimus ue x ea propter distinguemus terminos aequationis , attende do ad dimensiones , quas in iis habet incognita. Ex quo colligere licet,unam quaque aequationem tot terminos habere pota se, quot indicat gradus aequationis,auctus unitate una, Se non plures:nimirum duos,
si sequatio fuerit primi gradus ue tres, si s
eundi. quatuor, si tertii; atq; ita deinceps. Jam,distinguendo terminos aequationis in hunc modum, dicemus terminum primum . qui maSimam incognitae potesta intem comprehendens , ipsius arquationis gradum ostendit, dicemus terminum se eundum , In quo incognita dimensiones habet una pauciores , atque ita deinceps. Qua ratione vocabimus ultimum termi num arquationis, qui ex solis cognitis Constans, nullam incognitae dimensionem comprehendit. Sic in aequatione illa secundi gradus x- - ax ' bc in o primus terminus est x , secundus ax , It tertius , live postremus est ' bc. Sed nihil obstat, quominus aliquando H a uuu s
188쪽
xrg Λ Ea RAEunus , vel plutes ex terminis intermediis in aequatione deficiant. Ita, si oporteat in ter a , 2 b invenire mediam proportiona Iem , quam voco X , habebitur aequatio secundi gradus x -ab , si vex- - ab M o , quae secundo termino caret. Et sita militer, si inter a , 2 b duas oporteat
medias proportionales invenire, vocan
do x primam illarum , habebitur aequatio
αῖ - a b, sive x3- a b - ci , quae se cundo , 2 tertio termino caret.
Terminos istos deficientes solent Ale bristae stes tulis de n re, ut scilicet eorum
desectus statim intelligatur: unde aequationem x- --ε ab - o efferunt hac ratione x ab - o; 2 similiter aequatione αδ- - a-b ino designant in hunc modum κῖ a*b M o . Sed potetur
hoc loco velim, quod sicuti primus ter minus numquam ab aequatione abesse potest , quia is velut primus habetur,qui, maximam continet incognitae potest*tem, ita neque etiam ultimus , . hoc est , qIII omnino notus est , deficere possit , quo si utique incognica in termiuis Omnibus xeperiatur , potest qa per division m e singuli et elidi, atque it eminust haberia qui ex lolis cognitis coallescat. itaque iii aequatione dumtaxat ex
189쪽
E B E M. Lib. II. Cap. 3. Iterminis intermediis unus, vel plures deficere possunt . Neque velli per desectum
horum terminorum minuitur gradus
quationis, utpote qui ex dimensionibus, quas in primo termino habet incognita. debet a stimari. Interim ex desectu eorum terminorum negari non potest, quin ae quatio sit longe simplicior . Nam valo rem in Ogcnitae x longe facilius percipi , quunt habetur x o , quam
quum invenitur κ -- ax ' ac αα O , ne mo non videt.
Sed quandoque desectu terminorum intermediorum licet etiam aequ/tionem quodammodo ad gradum inferiorem de primere . Ita ,si fuerit aequatio quarti gra dua x' ' ' ρκ' quie secudo ,δε quarta termino caret, poterit illa quod ais modo ad aliam secundi gradus depriis mi . Nam ponendo αδ α,3 , I scribenda in aequatione illa I pro κ' , Sedi pro x',
prodibit loco eius haee alia γῆ f ρο
ρ - o , quam liquet esse secundi gradus. Patet autem , huiusmodi artificio tua cidemum arquationes deprimi posse, quum numeri dimensionum , quas in terminis aequationis habet incognita , per unum eundemque numerum dividi possunt. Quod equidem quum accidit, deprime
190쪽
rao ΛL E B tur aequatio, capiendo incognitam allam, quae adaequet eam potestitem incognitae. in aequatione contentae. quam maximus eorum numerorum divisor ostendit.Ita, si
Caeterum considerando . velut unum, omnes illos terminos,in quibus incognita eundem dimensionum numerum hahet,& distinguendo terminos aequationis. habita earundem dimensionuin ratione, poterunt cuiusque gradus aequationes adsormulas quasdam generales revocari: nimirum si scribatur p pro quantitate coenita secundi termini, ρ pro quantitate cognita termini tertit,atque ita deinceps. Qua ratione omnes secundi gradus aequationes , nulla habita signorum , quibus
termini afficiuntur, ratione, poterunt
Atque ita quoque aequationes omneS te
tit gradus , non attendendo ad signa,qui hus ipsarum termini affici possunt , sub hac generali formula poterunt compre