장음표시 사용
201쪽
EL EM. Lib. II. Cap. I. III tum Veteres assumebant , quam tamen deinde retinebant eandem, 2 invariatam
ita pro unitate , quae illud idem praestat alia ratione , quaelibet quantitas possit a
sumis quam tamen assumptam mutare amplius non licet. Ubi etiam notandumsquod tametsi aliae sint lineae,quae Driuntur ex multiplicationibus duarum linearum, quum assiimitur qua nestas una pro unitate s quam quum assumtur quantitas altera, non hinc tamen dici possit, produ- cta earum multiplicationum variari,quia rursus sciatur velim,lineas illas non veras producto ru magnitudines,sed tantu rati nes,quas habent inter se mutud, designare.
Quod de unitate respectu multiplicationis dictum est,illud idem intelligi quoque debet respectu di visionis. Nam sicuti multiplicando a per b , & c per d .
oriunt pr producta duo, quae rationem habent, compositam ex a ad c , 2 ex ti ad d , ita dividendo a per 5 ,2 c per d,oriuntur
duo quotientes , quorum ratio Componitur ex rationibus, quae sunt inter a. 2 c. M inter d , & b. Caeterum , quia mirum
alicui videri potest, quod superius dictum
est , ex mu It plicatione duarum linea rum , nec lineam aliam simplicem, nec rectangulum oriri et proinde, ne in eo hae I a Leat.
202쪽
mz Λ L. G E B R AEreat, animadvertat velim , quod si ex multiplicatione duarum linearum oriatur rectangulum , amplissimae Geometriae
scientiae iam fines esset angustissimi; quia etsi dici possit oriri solidum ex multiplicatione trium linearum, attamen, quum
lineae, quae multiplicari debent inter se mutub,sunt plures, quam tres,dici nequie quid exinde oriatur ue quandoquidem in Terum natura non est aliquid contentum pluribus , quam tribus dimensionibus.
Id norunt etiam ex ipsis Ueteribus Mathematicis nonnulli . Nam , ut ex Pappo discimus, quaestionem illam , quam nea Euclides, nec Apollonius , nec quisquam alius ex Veteribus resolvere penitus pO- tuerat , quidam ad sex tantum lineas ex tendebant, quia si plures essent, quam ΩΣ, non audebant dicere, an data sit pro- Portio cur uspiam contenti quatuor lineis ad id , quod reliquis continetur,quoniam non est aliquid contentum pluribus, quatribus dimensionibus . Sed alii non veriti fuerunt, ad quemcumque numerum linearum quaestionem illam extendere sinterpretando paulli aliter producta, quae ex duarum,aut plurium linearum Oriuntur multiplicatione: nimirum, velut quam iit
203쪽
E L R M. Lib. II. Cap. q. I , qtitates. quarum ratio ex duabus,aut pluribus rationibus componas i
De radicibus aequationum , de e rum multiplici Decie.
RAdicem aequationis vocamus Valorem , quem in ea habet quantitas incognita . ita , si fuerit aequatio x -- a , si ve x - a - ci . radix aequationis erit quantitas a , utpote Valor incognitar κ . Et similitervi habeatur aequatio X- -ab, sue x- - ab udi ci , erit radix Ipsius, quia scilicet, si ex utraque parte huius ae quationis x ab extrahatu I quadrata radix, prodibit x - oab. Jam considerando arquationes , vel ueaggregata quantitaturi, quae omnes si mul nihilo sint aequales , perspicuum es , radicem aequationis talem esse debere,ut si in ea loco incognitae substituatur , essiciat quantitates Omnes evanescere . Unde ihac ratione facile erit eaeperiri,num qualitas aliqua sit radix armationis , necne; quia id tantum inquirenuum , num substituendo illam loco incognitae, aequatio nis termini omnes evanescant.
204쪽
r A B o E B R AEQMeraim exempli gratia, num numerus .a sit radix huius aequationis numericae x - 3κ 1 6 - o . Substituatur ipse numerus a loco incognitae x, P eius quadratum η loco x . Et quoniam hac facta substitutione , aequationis termini omnes Contrarietate signorum se mutubdestruunt , quum 4 - r o ' 6 idem sit ,
ac nihil, concludendum est in aequatione propsita valorem incognitae x esse numerum 2 , atque adeo radicem ipsius aequanis esse eundem numerum 2. Eadem ratione invenietur,quantitatema esse valorem incognitae x in hac aequatione X - ax - θx ' ab E- ci , atque adeo radicem ipsius aequationis , quia scilicet,si in ea ponatur a loco incognitar x, 2 a loco x , termini omnes Contrarietate signorum , quibus assiciuntur , evanescent , nec aqiquid supererit. Sed eiusdem aequationis quantitas as nequaquam e radix , quia facta substitutione, relin quitur Ia ab , nec termini ejus sese mutub destruunt. omnis autem aequatio , quum plures habet dimesione iures ite radice admittit. Sic in eadem illa aequatione numerica κ saet6-o, si pro x scri flatur num aus 3, 2 pro κ' numerus 9, producetur 9
205쪽
unde , quia non modb numerus a, Verum etiam numerus 3 reddit terminos illius aequationis cons unctim aequales gero, sive nihilo ue consequens est , ut radix eius in quationis sit tam numerus a, quam numerus 3.
Similiter aequationis huius litteratis x -- ax - bx f ab in o radix, non m dii est quantitas a , verum etiam quantitas , 3 quia sicuti substituendo a loco incognitae κ . M a loco κ- , producitur a a ha ' ab , hoc est Σero , sive nihil, ita quoque, si substituatur ι loco incognitae, x b loco x , producetur ββ -- ab . ., ab , cuius partes contrarietate signoruin se mutub de
Atque ita quoque aequationis huius numericae x3 - 9x a6π --a radix erit quilibet numerorum a s 3 s re Α, quia , sive prox scribatur numerus a , sive numerus 3 , sive numerus 4 , produm Cetur semper gero, sive nihil , & unuia quisque eorum numerorum implebit conditionem incognitae x , essiciendo, ut termini omnes aequationis coniunctim :equentur Bero, sive nihilo. Interim , ne mirum alicui videatur a
206쪽
1gue A L o E B R AE eandem aequationem , quum ad plures dimensiones ascendit, posse plures item radices haberes sciendum est, unum idem que problema , tametsi determinatum, posse plures solutiones addmi tere . Itaque s ut problemati , qu am plurium solutionum est capax , possit per singulos casus satisfieri , invenietur in ejus resolutione aequatio talis , quae tot radices admittet , quot modis problema solvi poterit.
Hoc pacto , si numerus quaeratur, qui subductus a s det tale residuum, ut quod producitur ex multiplicatione eius pelleundem illum numerum , st 6 ; vocandox numerum quaesitum orietur arquatio - κλ - 6 sive κῆ - sx t 6 in o.cuius duae sunt radices , una nempe a, alte
ra 3 . Quod quidem exinde dependet, quia problema duobus modis solvi potest,
ejusque conditiones adimplet, tam nu
merus a , qu lim numerus 7. ' '
Fio. a s. Similiter si dato circulo ACB , quaer tur punctuna, in quo ejus circumferentia secatur a recta DC , quae ducitur aequidi stanter diametro AB ad datum intervallum; quia duo sunt puncta intersectionis, duo item responsa admittit problemat Proindeque aequatio,intersectionem deter
207쪽
E L E M. Lib. II. Cap. 3 u minans , duas debet habere radices , qu hus utraque intersectio determinetur: Et profecto si ponatur perpendIcularis CL a , diameter AB diae ab ,2 segmentum Ah in x , invenietur aequatio a/κ--x - ιι - , sive κῆ - ahx a O , cuius pro duplici dimeusione duae item sunt
. QuJppe sciendum , aequationem Omnem tot radices , sive diversos valores habere posse , quot sunt dimensiones eius, κnon plures.Sic aequatici κ' -ε sx '6 Mnduas habet radices a S non autem plures: nam quilibet ex duobus illis numeris , scriptus in aequatione locσ inc gnitae x , efficit,ut termini omne contrarietate signorum se mutub destruant , Rpraeter illos nullus alius numerus potest inveniri , cujus substitutione hoc idem eveniat. Pariterque aequationis huius xyc- 9π' l a 6x-- aη - ci tres tantum sunt radices , R non plures ; quum dum-, ta at numeri a , g , & 4 possint incogni tae x Coiaditiones adimplere. , . Radices autem aequationas duplices eta se possunt, aliae nempe positivae , ik aliae negativae . Sic aequationis hujus x- f- Iomo, pro duplici dimensione, duae
quidem sunt radices , sed illarum una est:
208쪽
.ret 8 A B G R B R AEpositiva , altera negati Va. Nam eX nuia metis duobus , qui scripti loco incognitaeae essiciunt', aequationis terminos omnes evanesceres unus quidem est a , alter- se proindeque in illa aequatione non modb a , Verum etiam-- x esse potest valor incognitae X. Sic etiam in hac aequatione x3 - I9α po- o, quae pro triplici dimensione tres item radices admittit, duae ex radici. hus sunt positivae, una verb negativa. Nam in ea , sive scribatur a ,sive 3 loco incognitae x , semper aequationis termini Omnes contrarietate signorum evan scent. Verum, quia hoc idem evenit quomque , fi pro x ponatur - ν δ consequens est , ut pro valore incognitae at assumi possit, non modb quilibet ex numeris
positi vis a,& ὁ , verum etiam numerus negativus - r. - Jam , quemadmodum numerus radiacum ε quas admittit aequatio, ostendie
quot modis problema selui potest ue ita
species, sive qualitas cuisque radicis indicat statum , in quo consideranda est quantitas , ut per eam problemati possie satisfieri . Ita si quaeratur quantum habeat in bonis, qui lucratus aureos I oreperitur habere 6o, fiet aequatio x ' roo- 6ον
209쪽
ERE M. Lib.ILCap. g. ID in εο , hoe est x ' 4o m o . Unde quum valor incognitae x se negativus ε dicendum est,eum non modb nihil in honis habere , sed ei deficere quadraginta , ut tu cratus aureos Io o dici possit habere 6 o.
Similiter si dati spatii pedum duode
cim quaeratur quantum aliquis debeae percurrisse, ut possit reliquu eiusde spatii quatuor gradibus velocitatis eodem omisninb tempore percurrere squo aIter Percurreret totum spatium tribus gradibus velocitatis 3 invenietur aequatio a sera I a,hoe est x ' η - o. Quoeirca, quia valor incognitaex est nerativus , coneludendum est, eum dati spatii non modo debere nihil percurrisse , verum etiam νquod regredi debeat per quatuor pedes. qub in fine temporis possit ad datam metam pervenire. Ex quibus patet, quod , quum in res lutione problematis invenitur aeqEatio. cuius radix est negativa , problema non sit rite conceptum,sed pauid aliter debeatenuntiari . Qua ratione non quidem' quaeri debet, quantum habeat in bonis used quantum ei deficiat , qui I cratus Ioo, reperitur habere sci. Et similiter non quaeri debet, quantum dati spatii debeae aliquis parcuuisse, sed quantum regredh
210쪽
debeat , qud possit quatuor gradibus velocitatis ad datum terminum pervenirσeodem omnino tempore, quo alter tribus gradibus velocitatis ad eundem terriminum pertingeret. Eaedem radices negativae occurrunt etiam in aequationibus , quae pro resolutione problematum geometricorum inveniuntur , 2 in hoc casu explicandae suae illae per lineas , tendentes ad plagam Oppositam ei, per quam diriguntur lineae, radices positivas explicantes . Ita si rectario. a . linea ΛΒ producenda esset versus B, usque donec rectangulum ΛCB aequale fuerit AB quadrato, positis quidem ΑΒ -'a , Ε BG - κ , invenietur aequatio ax f x-
a 3 , hoc est x lax - a inci , Cuius duae sunt radices , una nempe positiva,
altera negativa : id quod indicae problema duas solutiones admittere , Se rectam 1ineam ΑΒ protrahi posse non modδ ve sus sed etiam versus plagam opposita A. Tam radices positivae, quam radices negativae non semper sunt reales , sed quandoque possunt esse imaginariae, scili-' Cet quum eas ingreditur radix quadrati negativi. Ita aequationis huius κδ - 6x Io - Ο, duae quidem sunt radices , sed arum utraque est imaginaria. Nam ex